最新勾股定理逆定理讲义.pdf

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1、 勾股定理逆定理讲义(经典例题+详解+习题)精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 XX教育一对一个性化教案 授课日期：2014 年 月 日 学生姓名 许 XX 教师姓名 授课时段 2h 年 级 8 学 科 数学 课 型 VIP 教学内容 勾股定理及逆定理 教 学 重、难点 重点：运用勾股定理判定一个三角形是否为直角三角形。难点：运用用勾股定理和勾股定理逆定理解决实际问题。教 学 步 骤 及 突 出 教 学 方 法 一、知识归纳 1、勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a，b，c满足222abc，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。勾股定理的逆定理是判定一个

2、三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22ab与较长边的平方2c作比较，若它们相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形；若222abc，时，以a，b，c为三边的三角形是钝角三角形；若222abc，时，以a，b，c为三边的三角形是锐角三角形；定理中a，b，c及222abc只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足222acb，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边。勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形。2

3、、勾股数 能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222abc中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数 记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 用含字母的代数式表示n组勾股数：221,2,1nn n（2,n n为正整数）；2221,22,221nnnnn（n为正整数）2222,2,mnmn mn（,mnm，n为正整数）题型一：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形 教学重难点重点运用勾股定理判定一个三角形是否为直角三角形难点运用用勾股定理和勾股定理逆定理解决实际问题为斜边勾股定理的逆定理是判定一个三角形是

4、否是直角三角形的一种重要方法它通过数转化为形来确定三角形的可能若时以为三边的三角形是角三角形若时以为三边的三角形是锐角三角形定理中及只是一种表现形式不可认为是唯一的精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 DCBA例 1.已知三角形的三边长为a，b，c，判定ABC是否为Rt 1.5a，2b，2.5c 54a，1b，23c 分析：由勾股定理的逆定理，判断三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边的平方和是否等于最大边的平方。解：22221.526.25ab，222.56.25c ABC是直角三角形且90C 22139bc，22516a，222bcaABC不是直角三角形

5、 例 2.三边长为a，b，c满足10ab，18ab，8c的三角形是什么形状？解：此三角形是直角三角形 理由：222()264ababab，且264c 222abc 所以此三角形是直角三角形 例3.如果ABC 的三边长分别为 a,b,c,且a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2(mn,m,n 是正整数），则ABC 是直角三角形吗？分析：先来判断a,b,c 三边哪条最长，可以代m,n为满足条件的特殊值来试，m=5,n=4.则a=9,b=40,c=41,c最大。解：（m2-n2）2+（2mn）2=m4+n4-2m2n2+4m2n2=m4+n4+2m2n2=（m2+n2）2，a2+b2=c2，能成

6、为直角三角形的三边长 题型二：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用 例 4.已知ABC中，13ABcm，10BC cm，BC边上的中线12AD cm，求证：ABAC 证明：AD为中线，5BDDCcm 在ABD中，22169ADBD，2169AB 222ADBDAB，90ADB，222169ACADDC，13AC cm，ABAC 例 5.（1）如图，在ABC 中，D 是 BC 上一点，AB=10，BD=6，AD=8，教学重难点重点运用勾股定理判定一个三角形是否为直角三角形难点运用用勾股定理和勾股定理逆定理解决实际问题为斜边勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法它通过数转化为

7、形来确定三角形的可能若时以为三边的三角形是角三角形若时以为三边的三角形是锐角三角形定理中及只是一种表现形式不可认为是唯一的精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 AC=17，求ABC的面积（2）在ABC中，若 AB=15，AC=13，高 AD=12，求ABC的周长 分析：（1）根据 AB=10，BD=6，AD=8，利用勾股定理的逆定理求证ABD是直角三角形，再利用勾股定理求出 CD的长，然后利用三角形面积公式即可得出答案（2）本题应分两种情况进行讨论：当ABC为锐角三角形时，在 RtABD和 RtACD中，运用勾股定理可将 BD和 CD的长求出，两者相加即为 B

8、C 的长，从而可将ABC的周长求出；当ABC为钝角三角形时，在 RtABD和 RtACD中，运用勾股定理可将 BD和 CD的长求出，两者相减即为 BC 的长，从而可将ABC的周长求出 解：（1）BD2+AD2=62+82=102=AB2，ABD是直角三角形，ADBC，在 RtACD中，CD=15，（2）分两种情况：当ABC为锐角三角形时，在 RtABD中，BD=9，在 RtACD中，CD=5，BC=5+9=14 ABC的周长为：15+13+14=42；当ABC为钝角三角形时，在 RtABD中，BD=9，在 RtACD中，CD=4，BC=9-5=4 ABC的周长为：15+13+4=32 当ABC

9、为锐角三角形时，ABC的周长为 42；当ABC为钝角三角形时，ABC的周长为32 例 6：如图，在正方形ABCD 中，F为 DC的中点，E为 BC上一点，且EC=14BC，求证：AF EF 思路点拨：要证AF EF，需证AEF是直角三角形，由勾股定理的逆定性，只要证出AF2+EF2=AF2就可以了 教学重难点重点运用勾股定理判定一个三角形是否为直角三角形难点运用用勾股定理和勾股定理逆定理解决实际问题为斜边勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法它通过数转化为形来确定三角形的可能若时以为三边的三角形是角三角形若时以为三边的三角形是锐角三角形定理中及只是一种表现形式不可认为是

10、唯一的精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 基础练习：若ABC的三边 a，b，c 满足条件 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，试判定ABC的形状（提示：根据所给条件，只有从关于 a，b，c 的等式入手，找出 a，b，c 三边之间的关系，应用分解因式可得（a-5）2+（b-12）2+（c-13）2=0，求出a=5，b=12，c=13，a2+b2=c2，ABC 是 Rt）二、提高例题 例 1.一根 30 米长的细绳折成 3 段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长 7 米，比较长边短 1 米，请你试判断这个三角形的形状。分析：若判断三角形的形

11、状，先求三角形的三边长；设未知数列方程，求出三角形的三边长 5、12、13；根据勾股定理的逆定理，由 52+122=132，知三角形为直角三角形。【提高练习】1如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距 13 海里的 A、B 两个基地前去拦截，六分钟后同时到达 C地将其拦截。已知甲巡逻艇每小时航行 120 海里，乙巡逻艇每小时航行 50 海里，航向为北偏西 40，问：甲巡逻艇的航向？ENABC教学重难点重点运用勾股定理判定一个三角形是否为直角三角形难点运用用勾股定理和勾股定理逆定理解决实际问题为斜边勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重

12、要方法它通过数转化为形来确定三角形的可能若时以为三边的三角形是角三角形若时以为三边的三角形是锐角三角形定理中及只是一种表现形式不可认为是唯一的精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 2一根 24 米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为 ，此三角形的形状为 。3如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量。小明找了一卷米尺，测得 AB=4米，BC=3 米，CD=13 米，DA=12 米，又已知B=90。三、能力培养 例 1 已知：如图，四边形 ABCD，ADBC，AB=4，BC=6，CD=5

13、，AD=3。求：四边形 ABCD 的面积。分析：使学生掌握研究四边形的问题，通常添置辅助线把它转化为研究三角形的问题。本题辅助线作平行线间距离无法求解。创造3、4、5 勾股数，利用勾股定理的逆定理证明 DE 就是平行线间距离。作 DEAB，连结 BD，则可以证明ABDEDB（ASA）；DE=AB=4，BE=AD=3，EC=EB=3；在DEC 中，3、4、5 勾股数，DEC 为直角三角形，DEBC；利用梯形面积公式可解，或利用三角形的面积。例 2 已知：如图，在ABC 中，CD 是 AB 边上的高，且 CD2=AD BD。求证：ABC 是直角三角形。DCABABCDEBACD教学重难点重点运用勾

14、股定理判定一个三角形是否为直角三角形难点运用用勾股定理和勾股定理逆定理解决实际问题为斜边勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法它通过数转化为形来确定三角形的可能若时以为三边的三角形是角三角形若时以为三边的三角形是锐角三角形定理中及只是一种表现形式不可认为是唯一的精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 分析：勾股定理及逆定理的综合应用，注意条件的转化及变形。AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2 AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2=AD2+2AD BD+BD2=（AD+BD）2=A B2 【能力训练】1若ABC 的三边 a、b

15、、c，满足（ab）（a2b2c2）=0，则ABC 是（）A等腰三角形；B 直角三角形；C等腰三角形或直角三角形；D等腰直角三角形。2若ABC 的三边 a、b、c，满足 a：b：c=1：1：2，试判断ABC 的形状。3已知：如图，四边形ABCD，AB=1，BC=43，CD=413，AD=3，且 ABBC。求：四边形 ABCD 的面积。4已知：在ABC 中，ACB=90，CDAB 于 D，且 CD2=AD BD。求证：ABC 中是直角三角形。5若ABC 的三边 a、b、c满足 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，求ABC 的面积。ABCD教学重难点重点运用勾股定理判定一个三角形是否为直角三

16、角形难点运用用勾股定理和勾股定理逆定理解决实际问题为斜边勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法它通过数转化为形来确定三角形的可能若时以为三边的三角形是角三角形若时以为三边的三角形是锐角三角形定理中及只是一种表现形式不可认为是唯一的精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 6在ABC 中，AB=13cm，AC=24cm，中线 BD=5cm。求证：ABC 是等腰三角形。7已知ABC 的三边为 a、b、c，且 a+b=4，ab=1，c=14，试判定ABC 的形状。勾股定理及逆定理测试题 一、选择题 1在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（

17、）.A12，15，17 B 9，16，25 C 5a，12a，13a（a0）D 2，3，4 2在ABC中，A、B、C 的对边分别是 a、b、c，AB 8，BC 15，CA 17，则下列结论不正确的是（）.AABC是直角三角形，且 AC为斜边 B ABC是直角三角形，且ABC 90 CABC的面积是 60 DABC是直角三角形，且A60 3在ABC中，A、B、C 的对边分别是 a、b、c，且 a：b：c1：3：2，则下列说法错误的是（）.AC90 B c2a2b2 C c22a2 D 若 ak，则 c2k（k0）4下列定理中,没有逆定理的是（）.A两直线平行，内错角相等 B 直角三角形两锐角互余

18、 C对顶角相等 D同位角相等，两直线平行 5在ABC中，A、B、C的对边分别是 a、b、c.则满足下列条件但不是直角三角形的是（）.AABC BA：B：C 1：1：2 Ca：b：c4：5：6 Da2c2b2 教学重难点重点运用勾股定理判定一个三角形是否为直角三角形难点运用用勾股定理和勾股定理逆定理解决实际问题为斜边勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法它通过数转化为形来确定三角形的可能若时以为三边的三角形是角三角形若时以为三边的三角形是锐角三角形定理中及只是一种表现形式不可认为是唯一的精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 B A 图 3

19、 3220BA6、已知 a、b、c 是三角形的三边长，如果满足2(6)8100abc ，则三角形的形状是（）A.底与边不相等的等腰三角形 B.等边三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形 二、填空题 7若一三角形三边长分别为 5、12、13，则这个三角形长是 13 的边上的高是 .8若一三角形铁皮余料的三边长为 12cm，16cm，20cm，则这块三角形铁皮余料的面积为 cm2.9.木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为 80cm，宽为 60cm，对角线为 100cm，则这个桌面 （填“合格”或“不合格”）；10.如图 1，一根电线杆高 8m.为了安全起见，在电线杆顶部到与电线杆底部水平距离

20、 6m处加一拉线.拉线工人发现所用线长为 10.2m（不计捆缚部分），则电线杆与地面 （填“垂直”或“不垂直”）11一透明的玻璃杯，从内部测得底部半径为 6cm，杯深 16cm.今有一根长为 22cm 的吸管如图 2 放入杯中，露在杯口外的长度为 2cm，则这玻璃杯的形状是 体.12.写出一组全是偶数的勾股数是 .13.如图 3：是一个高 12cm，底面半径 3cm的圆柱，在圆柱下底的 A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与 A 点相对的 B 点处的食物，需要沿圆柱侧面爬行的最短路程是_。14.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为 20dm、3dm、2dm，A和 B 是这个台阶两个相对

21、的端点，A点有一只蚂蚁，想到 B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到 B 点的最短路程是 .15.如右图所示，长方形 ABCD 中，AB=3，AD=9，将此长方形折叠，使点 B与点 D重合，折痕为 EF，则 AE的长为 。图 1 图 2 教学重难点重点运用勾股定理判定一个三角形是否为直角三角形难点运用用勾股定理和勾股定理逆定理解决实际问题为斜边勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法它通过数转化为形来确定三角形的可能若时以为三边的三角形是角三角形若时以为三边的三角形是锐角三角形定理中及只是一种表现形式不可认为是唯一的精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有

22、侵权请联系网站删除 三、解答题(11 题 20 分,12、13、14 每小题 10 分，共 50 分)16.判断由下列各组线段 a、b、c 的长，能组成的三角形是不是直角三角形，并说明理由.（1）a6.5，b7.5，c4；（2）a11，b60，c61；（3）a38，b2，c310；（4）a433，b2，c414；17.在ABC中，A、B、C 的对边分别是 a、b、c.a n216，b8n，cn2+16（n4）.求证:C=90.18.如图 3，AD=7，AB 25，BC 10，DC 26，DB 24，求四边形 ABCD 的面积.19.如图 4，已知在ABC中，CD AB于 D，AC 20，BC

23、15，DB 9.(1)求 DC的长.(2)求 AB的长.(3)求证:ABC是直角三角形.20、在数轴上作出10的点（保留痕迹）。图 3 C A B D 图 4 A B C D 0 1 2 3 4 1 2 3 教学重难点重点运用勾股定理判定一个三角形是否为直角三角形难点运用用勾股定理和勾股定理逆定理解决实际问题为斜边勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法它通过数转化为形来确定三角形的可能若时以为三边的三角形是角三角形若时以为三边的三角形是锐角三角形定理中及只是一种表现形式不可认为是唯一的精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 21.如图，一

24、架 2.5 米长的梯子斜立在竖直的墙上，此时梯足B距底端O为 0.7 米，如果梯子顶端下滑 0.4 米，则梯子将滑出多少米？22.如图 9，在海上观察所 A,我边防海警发现正北 6km的 B处有一可疑船只正在向东方向 8km的 C 处行驶.我边防海警即刻派船前往 C 处拦截.若可疑船只的行驶速度为 40km/h，则我边防海警船的速度为多少时，才能恰好在 C 处将可疑船只截住？A B A B O 8km C A B 6km 教学重难点重点运用勾股定理判定一个三角形是否为直角三角形难点运用用勾股定理和勾股定理逆定理解决实际问题为斜边勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法它通过数转化为形来确定三角形的可能若时以为三边的三角形是角三角形若时以为三边的三角形是锐角三角形定理中及只是一种表现形式不可认为是唯一的