2023年2020-2021年高中数学 相似三角形的判定及有关性质 1.3.2 相似三角形的性质练习新人教.pdf

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1、2.相似三角形的性质 课时过关能力提升 基础巩固 1 三角形的一条中位线截该三角形所得的小三角形与原三角形的周长之比等于()A.14 B.13 C.12 D.不确定 解析小三角形与原三角形相似,其周长之比等于相似比.答案 C 2 两个相似三角形对应中线分别长 6 cm 和 18 cm,若较大三角形的面积是 36 cm2,则较小三角形的面积是()A.6 cm2 B.4 cm2 C.18 cm2 D.不确定 解析相似比等于618=13,则小大=(13)2=19,故 S小=19S大=19 36=4(cm2).答案 B 3 已知 ABC ABC,AD,AD 分别是 ABC 和 ABC 的角平分线,且=

2、54,则 ABC 和 ABC 的内切圆的直径的比等于()A.45 B.59 C.94 D.54 解析 ABC 和 ABC 对应角平分线的比等于它们内切圆直径的比,故选 D.答案 D 4 已知 ABC 内切圆的半径 r1=4,ABC 内切圆的半径 r2=6,且 ABC ABC,AB=2,则 AB等于()A.3 B.6 C.9 D.不确定 解析 ABC ABC,12=.46=2,AB=3.答案 A 5 如图,在 ABC 中,M,N分别是 AB,BC的中点,AN,CM 交于点 O,MON 与 AOC 面积的比是.解析 M,N分别是 AB,BC的中点,MN 12AC.MON COA 且=12.=2 2

3、=(12)2=14.答案 1 4 6 一条河的两岸是平行的,在河的这一岸每隔 5 m 有一棵树,在河的对岸每隔 50 m 有一根电线杆,在这岸离岸边 25 m 处看对岸,看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住,并且在这两棵树之间还有两棵树,则河的宽度为 m.解析如图,A,B是相邻两电线杆的底部,F,G中间还有两棵树,则 AB=50m,FG=3 5=15(m),EC=25m,CD AB,AB FG,则=.三角形的面积是则较小三角形的面积是不确定解析相似比等于则小大故小大答案已知分别是和的角平分线且则和的内 且则等于不确定解析答案如图在中分别是的中点交于点与面积的比是解析分别是的中点且答案

4、一条河的两岸是平行的 被这岸的两棵树遮住并且在这两棵树之间还有两棵树则河的宽度为解析如图是相邻两电线杆的底部中间还有两棵树则设河的宽度为 xm,则2525+=1550,解得 x=1753,所以河的宽度是1753m.答案1753 7 如图,已知在 ABCD 中,AE EB=1 2,AEF 的面积为 6,则 ADF 的面积为.解析 AE DC,AE EB=1 2,AEF CDF,且相似比=+=13.又 AEF 的边 EF上的高与 ADF 的边 DF上的高相等,=13.又 S AEF=6,S ADF=18.答案 18 8 若两个相似三角形对应中线之比是 3 7,周长之和为 30 cm,则它们的周长分

5、别是 cm和 cm.解析设两个三角形的周长分别为 xcm,ycm,则 x y=3 7,x+y=30,解得 x=9,y=21.答案 9 21 9 如图,已知 D是 ABC 中 AB边上一点,DE BC且交 AC于点 E,EF AB且交 BC于点 F,若S ADE=1,S EFC=4,则四边形 BFED 的面积等于多少?三角形的面积是则较小三角形的面积是不确定解析相似比等于则小大故小大答案已知分别是和的角平分线且则和的内 且则等于不确定解析答案如图在中分别是的中点交于点与面积的比是解析分别是的中点且答案一条河的两岸是平行的 被这岸的两棵树遮住并且在这两棵树之间还有两棵树则河的宽度为解析如图是相邻两

6、电线杆的底部中间还有两棵树则分析由题意显然 ADE EFC,由面积比能得出相似比,再由相似比转化为面积比,求出 ABC 的面积,利用 S四边形 BFED=S ABC-S ADE-S EFC,得到四边形 BFED 的面积.解 AB EF,DE BC,ADE ABC,EFC ABC,ADE EFC.又 S ADE S EFC=1 4,AE EC=1 2.AE AC=1 3.S ADE S ABC=1 9.S ADE=1,S ABC=9.S四边形 BFED=S ABC-S ADE-S EFC=9-1-4=4.10 如图,在 ABC 中,AB=14 cm,=59,DE BC,CD AB,CD=12 c

7、m.求 ADE 的面积.分析先求出 S ABC,再由 DE BC,可得 ABC ADE,由=()2,可求得 S ADE.解 CD AB,S ABC=12AB CD=12 14 12=84(cm2).DE BC,ABC ADE,=()2.又=59,=514.84=(514)2,S ADE=757cm2.能力提升 三角形的面积是则较小三角形的面积是不确定解析相似比等于则小大故小大答案已知分别是和的角平分线且则和的内 且则等于不确定解析答案如图在中分别是的中点交于点与面积的比是解析分别是的中点且答案一条河的两岸是平行的 被这岸的两棵树遮住并且在这两棵树之间还有两棵树则河的宽度为解析如图是相邻两电线杆

8、的底部中间还有两棵树则1 如图,已知在矩形 ABCD 中,AB=12,AD=10,将此矩形折叠,使点 B 落在 AD 的中点 E 处,则折痕 FG的长为()A.13 B.635 C.656 D.636 解析由题意得,直线 FG是线段 BE的中垂线.过点 A作 AH FG交 CD于点 H,如图.则四边形 AFGH 是平行四边形.所以 AH=FG.因为 FG BE,所以 AH BE.所以 ABE+BAH=90.因为 BAH+DAH=90,所以 ABE=DAH.因为 BAE=ADH=90,所以 ABE DAH.所以=.因为 AB=12,AD=10,AE=12AD=12 10=5,所以 BE=122+

9、52=13.所以1312=10.所以 AH=656,即 FG=656.答案 C 三角形的面积是则较小三角形的面积是不确定解析相似比等于则小大故小大答案已知分别是和的角平分线且则和的内 且则等于不确定解析答案如图在中分别是的中点交于点与面积的比是解析分别是的中点且答案一条河的两岸是平行的 被这岸的两棵树遮住并且在这两棵树之间还有两棵树则河的宽度为解析如图是相邻两电线杆的底部中间还有两棵树则 2 如图,D是 ABC 中 AB边上一点,过点 D作 DE BC交 AC于点 E.已知 AD DB=1 3,则 ADE 与四边形 BCED 的面积比为()A.1 3 B.1 9 C.1 15 D.1 16 解

10、析因为 DE BC,所以 ADE ABC.又因为 AD DB=1 3,所以 AD AB=1 4,S ADE S ABC=1 16,则所求的两部分面积比为 1 15.答案 C 3 有一块三角形铁片 ABC,已知 BC=12 cm,高 AD=8 cm,要把它加工成一个矩形铁片,使矩形的一边在 BC上,其余的两个顶点分别在 AB,AC上,且矩形的长是宽的 2 倍,则加工成的铁片的面积为()A.18 cm2或115249 cm2 B.20 cm2或 18 cm2 C.16 cm2 D.15 cm2 解析本题有图 和图 两种情况:如图,矩形的长 EF在 BC上,点 G,H分别在 AC,AB上,高 AD

11、交 GH于点 K,设矩形的宽为 xcm,则长为 2xcm.由 HG BC,得 AHG ABC,得 AK AD=HG BC(8-x)8=2x 12 x=247 S矩形EFGH=2x2=115249(cm2);如图,矩形的宽 MN 在 BC上,类似地,可求得 S矩形 MNPQ=18cm2.三角形的面积是则较小三角形的面积是不确定解析相似比等于则小大故小大答案已知分别是和的角平分线且则和的内 且则等于不确定解析答案如图在中分别是的中点交于点与面积的比是解析分别是的中点且答案一条河的两岸是平行的 被这岸的两棵树遮住并且在这两棵树之间还有两棵树则河的宽度为解析如图是相邻两电线杆的底部中间还有两棵树则 答

12、案 A 4 在比例尺为 1 500 的地图上,测得一块三角形土地的周长为 12 cm,面积为 6 cm2,则这块土地的实际周长是 m,实际面积是 m2.解析这块土地的实际形状与在地图上的形状是两个相似三角形,由比例尺可知,它们的相似比为1500,则实际周长是 12 500=6000(cm)=60m;实际面积是 6 5002=1500000(cm2)=150m2.答案 60 150 5 如图,已知在 ABC 中,BC=m,DE BC,DE分别交 AB,AC于 E,D两点,且 S ADE=S四边形 BCDE,则DE=.解析 DE BC,ADE ACB.又 S ADE+S四边形 BCDE=S ABC

13、,S ADE=S四边形 BCDE,S ADE=12S ABC.()2=12.()2=12.DE=22m.答案 22m 三角形的面积是则较小三角形的面积是不确定解析相似比等于则小大故小大答案已知分别是和的角平分线且则和的内 且则等于不确定解析答案如图在中分别是的中点交于点与面积的比是解析分别是的中点且答案一条河的两岸是平行的 被这岸的两棵树遮住并且在这两棵树之间还有两棵树则河的宽度为解析如图是相邻两电线杆的底部中间还有两棵树则6 如图,BE,CF分别为钝角三角形 ABC 的两条高,已知 AE=1,AB=3,CF=4 2,则 BC边的长为.解析在 Rt BEA 中,BE=2-2=32-12=2 2

14、,因为 BEA=CFA,BAE=CAF,所以 BEA CFA,所以=,即 AC=3 4 22 2=6,所以 EC=AE+AC=7,所以在 Rt BEC 中,BC=2+2=(2 2)2+72=57,所以答案应填:57.答案 57 7 如图,在梯形 ABCD 中,AD BC,AC,BD相交于点 O,AO=2 cm,AC=8 cm,且 S BCD=6 cm2,求 S AOD.解 AO=2cm,AC=8cm,OC=6cm.AD BC,AOD COB.AD BC=OA OC=1 3.AD=13BC.S AOD S BOC=1 9.设梯形 ABCD 的高为 h,则 S ACD=12AD h,S BCD=1

15、2BC h=6cm2,BC h=12.3AD h=12.AD h=4.S ACD=2cm2.三角形的面积是则较小三角形的面积是不确定解析相似比等于则小大故小大答案已知分别是和的角平分线且则和的内 且则等于不确定解析答案如图在中分别是的中点交于点与面积的比是解析分别是的中点且答案一条河的两岸是平行的 被这岸的两棵树遮住并且在这两棵树之间还有两棵树则河的宽度为解析如图是相邻两电线杆的底部中间还有两棵树则设 S AOD=xcm2,S COD=ycm2,则 S ACD=S AOD+S COD,即 x+y=2.又 S BCD=S BOC+S COD,9x+y=6.由+=2,9+=6,解得 x=12,即

16、S AOD=12cm2.8 如图,ABC 的 BAC 的平分线交 BC于点 P,BAC 邻补角的平分线交 BC的延长线于点 Q,M为 PQ的中点.求证:(1)MA2=MB MC;(2)=2 2.证明(1)因为 M为 PQ的中点,且 PAC+CAQ=+2=1802=90,所以 AM 是 Rt PAQ 斜边 PQ的中线.所以 AM=PM=MQ.又 CAM=CAQ-MAQ=NAQ-Q=B,CMA=AMB,所以 AMC BMA.所以=,即 MA2=MB MC.(2)由(1)知 AMC BMA,所以=.所以=()2,即=2 2.三角形的面积是则较小三角形的面积是不确定解析相似比等于则小大故小大答案已知分别是和的角平分线且则和的内 且则等于不确定解析答案如图在中分别是的中点交于点与面积的比是解析分别是的中点且答案一条河的两岸是平行的 被这岸的两棵树遮住并且在这两棵树之间还有两棵树则河的宽度为解析如图是相邻两电线杆的底部中间还有两棵树则