2023年2020中考数学压轴试题复习第一部分专题一因动点产生的相似三角形问题.pdf

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1、北京市 Earlybird 11 因动点产生的相似三角形问题 课前导学 相似三角形的判定定理有 3 个，其中判定定理 1 和判定定理 2 都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等 判定定理 2 是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验 如果已知AD，探求ABC与DEF相似，只要把夹A和D的两边表示出来，按照对应边成比例，分ABDEACDF和ABDFACDE两种情况列方程 应用判定定理 1 解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等 应用判定定理 3 解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程

2、（组）还有一种情况，讨论两个直角三角形相似，如果一组锐角相等，其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的，那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题 求线段的长，要用到两点间的距离公式，而这个公式容易记错理解记忆比较好 如图 1，如果已知A、B两点的坐标，怎样求A、B两点间的距离呢？我们以AB为斜边构造直角三角形，直角边与坐标轴平行，这样用勾股定理就可以求斜边AB的长了 水平距离BC的长就是A、B两点间的水平距离，等于A、B两点的横坐标相减；竖直距离AC就是A、B两点间的竖直距离，等于A、B两点的纵坐标相减 图 1 北京市 Earlybird 例 1 2014年湖南省衡阳市中考第 28 题 二

3、次函数yax2bxc（a0）的图象与x轴交于A(3,0)、B(1,0)两点，与y轴交于点C(0,3m)（m0），顶点为D（1）求该二次函数的解析式（系数用含m的代数式表示）；（2）如图 1，当m2 时，点P为第三象限内抛物线上的一个动点，设APC的面积为S，试求出S与点P的横坐标x之间的函数关系式及S的最大值；（3）如图 2，当m取何值时，以A、D、C三点为顶点的三角形与OBC相似？图 1 图 2 动感体验 请打开几何画板文件名“14 衡阳 28”，拖动点P运动，可以体验到，当点P运动到AC的中点的正下方时，APC的面积最大拖动y轴上表示实数m的点运动，抛物线的形状会改变，可以体验到，ACD和

4、ADC都可以成为直角 思路点拨 1用交点式求抛物线的解析式比较简便 2连结OP，APC可以割补为：AOP与COP的和，再减去AOC 3讨论ACD与OBC相似，先确定ACD是直角三角形，再验证两个直角三角形是否相似 4直角三角形ACD存在两种情况 图文解析（1）因为抛物线与x轴交于A(3,0)、B(1,0)两点，设ya(x3)(x1)代入点C(0,3m)，得3m3a解得am 所以该二次函数的解析式为ym(x3)(x1)mx22mx3m（2）如图 3，连结OP 当m2 时，C(0,6)，y2x24x6，那么P(x,2x24x6)由于SAOP1()2POAy32(2x24x6)3x26x9，SCOP

5、1()2POCx3x，SAOC9，所以SSAPCSAOPSCOPSAOC3x29x23273()24x 般分三步寻找一组等角分两种情况列比例方程解方程并检验如果已知探求与相似只要把夹和的两边表示出来按照对应定理解题不多见根据三边对应成比例列连比式解方程组还有一种情况讨论两个直角三角形相似如果一组锐角相等其中点间的距离公式而这个公式容易错理解忆比较好如图如果已知两点的坐标怎样求两点间的距离呢我们以为斜边构造直北京市 Earlybird 所以当32x 时，S取得最大值，最大值为274 图 3 图 4 图 5（3）如图 4，过点D作y轴的垂线，垂足为E过点A作x轴的垂线交DE于F 由ym(x3)(x

6、1)m(x 1)24m，得D(1,4m)在 RtOBC中，OBOC13m 如果ADC与OBC相似，那么ADC是直角三角形，而且两条直角边的比为 13m 如图 4，当ACD90时，OAOCECED所以331mm解得m1 此时3CAOCCDED，3OCOB所以CAOCCDOB所以CDAOBC 如图 5，当ADC90时，FAFDEDEC所以421mm解得22m 此时22 2DAFDDCECm，而3 232OCmOB因此DCA与OBC不相似 综上所述，当m1 时，CDAOBC 考点伸展 第（2）题还可以这样割补：如图 6，过点P作x轴的垂线与AC交于点H 由直线AC：y2x6，可得H(x,2x6)又因

7、为P(x,2x24x6)，所以HP2x26x 因为PAH与PCH有公共底边HP，高的和为A、C两点间的水平距离 3，所以 SSAPCSAPHSCPH 32(2x26x)23273()24x 图 6 般分三步寻找一组等角分两种情况列比例方程解方程并检验如果已知探求与相似只要把夹和的两边表示出来按照对应定理解题不多见根据三边对应成比例列连比式解方程组还有一种情况讨论两个直角三角形相似如果一组锐角相等其中点间的距离公式而这个公式容易错理解忆比较好如图如果已知两点的坐标怎样求两点间的距离呢我们以为斜边构造直北京市 Earlybird 例 2 2014年湖南省益阳市中考第 21 题 如图 1，在直角梯形

8、ABCD中，AB/CD，ADAB，B60，AB10，BC4，点P沿线段AB从点A向点B运动，设APx21cnjy （1）求AD的长；（2）点P在运动过程中，是否存在以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由；（3）设ADP与PCB的外接圆的面积分别为S1、S2，若SS1S2，求S的最小值.动感体验 图 1 请打开几何画板文件名“14 益阳 21”，拖动点P在AB上运动，可以体验到，圆心O的运动轨迹是线段BC的垂直平分线上的一条线段观察S随点P运动的图象，可以看到，S有最小值，此时点P看上去象是AB的中点，其实离得很近而已 思路点拨 1第

9、（2）题先确定PCB是直角三角形，再验证两个三角形是否相似 2第（3）题理解PCB的外接圆的圆心O很关键，圆心O在确定的BC的垂直平分线上，同时又在不确定的BP的垂直平分线上而BP与AP是相关的，这样就可以以AP为自变量，求S的函数关系式 图文解析（1）如图 2，作CHAB于H，那么ADCH 在 RtBCH中，B60，BC4，所以BH2，CH2 3所以AD2 3（2）因为APD是直角三角形，如果APD与PCB相似，那么PCB一定是直角三角形 如图 3，当CPB90时，AP1028 所以APAD82 34 33，而PCPB3此时APD与PCB不相似 图 2 图 3 图 4 如图 4，当BCP90

10、时，BP2BC8所以AP2 所以APAD22 333所以APD60此时APDCBP 综上所述，当x2 时，APDCBP（3）如图 5，设ADP的外接圆的圆心为G，那么点G是斜边DP的中点 般分三步寻找一组等角分两种情况列比例方程解方程并检验如果已知探求与相似只要把夹和的两边表示出来按照对应定理解题不多见根据三边对应成比例列连比式解方程组还有一种情况讨论两个直角三角形相似如果一组锐角相等其中点间的距离公式而这个公式容易错理解忆比较好如图如果已知两点的坐标怎样求两点间的距离呢我们以为斜边构造直北京市 Earlybird 设PCB的外接圆的圆心为O，那么点O在BC边的垂直平分线上，设这条直线与BC交

11、于点E，与AB交于点F 设AP2m作OMBP于M，那么BMPM5m 在 RtBEF中，BE2，B60，所以BF4 在 RtOFM中，FMBFBM4(5 m)m1，OFM30，所以OM3(1)3m 所以OB2BM2OM2221(5)(1)3mm 在 RtADP中，DP2AD2AP2124m2所以GP23m2 于是SS1S2(GP2OB2)22213(5)(1)3mmm 2(73285)3mm 所以当167m 时，S取得最小值，最小值为1137 图 5 图 6 考点伸展 关于第（3）题，我们再讨论个问题 问题 1，为什么设AP2m呢？这是因为线段ABAPPMBMAP2BM10 这样BM5m，后续可

12、以减少一些分数运算这不影响求S的最小值 问题 2，如果圆心O在线段EF的延长线上，S关于m的解析式是什么？如图 6，圆心O在线段EF的延长线上时，不同的是FMBMBF(5 m)41m 此时OB2BM2OM2221(5)(1)3mm这并不影响S关于m的解析式 般分三步寻找一组等角分两种情况列比例方程解方程并检验如果已知探求与相似只要把夹和的两边表示出来按照对应定理解题不多见根据三边对应成比例列连比式解方程组还有一种情况讨论两个直角三角形相似如果一组锐角相等其中点间的距离公式而这个公式容易错理解忆比较好如图如果已知两点的坐标怎样求两点间的距离呢我们以为斜边构造直北京市 Earlybird 例 3

13、2015年湖南省湘西市中考第 26 题 如图 1，已知直线yx3 与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线yx2bxc经过A、B两点，点P在线段OA上，从点O出发，向点A以每秒 1 个单位的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以每秒2个单位的速度匀速运动，连结PQ，设运动时间为t秒（1）求抛物线的解析式；（2）问：当t为何值时，APQ为直角三角形；（3）过点P作PE/y轴，交AB于点 E，过点Q作QF/y轴，交抛物线于点F，连结EF，当EF/PQ时，求点F的坐标；（4）设抛物线顶点为M，连结BP、BM、MQ，问：是否存在t的值，使以B、Q、M为顶点的三角形与以O、B、P为顶点

14、的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“15 湘西 26”，拖动点P在OA上运动，可以体验到，APQ有两个时刻可以成为直角三角形，四边形EPQF有一个时刻可以成为平行四边形，MBQ与BOP有一次机会相似 思路点拨 1在APQ中，A45，夹A的两条边AP、AQ都可以用t表示，分两种情况讨论直角三角形APQ 2先用含t的式子表示点P、Q的坐标，进而表示点E、F的坐标，根据PEQF列方程就好了 3MBQ与BOP都是直角三角形，根据直角边对应成比例分两种情况讨论 图文解析（1）由yx3，得A(3,0)，B(0,3)将A(3,0)、B(0,3)分

15、别代入yx2bxc，得930,3.bcc 解得2,3.bc 所以抛物线的解析式为yx22x3（2）在APQ中，PAQ45，AP3t，AQ2t 分两种情况讨论直角三角形APQ：当PQA90时，AP2AQ解方程 3t2t，得t1（如图 2）当QPA90时，AQ2AP解方程2t2(3 t)，得t1.5（如图 3）般分三步寻找一组等角分两种情况列比例方程解方程并检验如果已知探求与相似只要把夹和的两边表示出来按照对应定理解题不多见根据三边对应成比例列连比式解方程组还有一种情况讨论两个直角三角形相似如果一组锐角相等其中点间的距离公式而这个公式容易错理解忆比较好如图如果已知两点的坐标怎样求两点间的距离呢我们

16、以为斜边构造直北京市 Earlybird 图 2 图 3（3）如图 4，因为PE/QF，当EF/PQ时，四边形EPQF是平行四边形 所以EPFQ所以yEyPyFyQ 因为xPt，xQ3t，所以yE3t，yQt，yF(3 t)22(3 t)3t24t 因为yEyPyFyQ，解方程 3t(t24t)t，得t1，或t3（舍去）所以点F的坐标为(2,3)图 4 图 5（4）由yx22x3(x1)24，得M(1,4)由A(3,0)、B(0,3)，可知A、B两点间的水平距离、竖直距离相等，AB32 由B(0,3)、M(1,4)，可知B、M两点间的水平距离、竖直距离相等，BM2 所以MBQBOP90因此MB

17、Q与BOP相似存在两种可能：当BMOBBQOP时，233 22tt解得94t（如图5）当BMOPBQOB时，233 22tt整理，得t23t30此方程无实根 考点伸展 第（3）题也可以用坐标平移的方法：由P(t,0)，E(t,3t)，Q(3t,t)，按照PE方向，将点Q向上平移，得F(3 t,3)再将F(3 t,3)代入yx22x3，得t1，或t3 般分三步寻找一组等角分两种情况列比例方程解方程并检验如果已知探求与相似只要把夹和的两边表示出来按照对应定理解题不多见根据三边对应成比例列连比式解方程组还有一种情况讨论两个直角三角形相似如果一组锐角相等其中点间的距离公式而这个公式容易错理解忆比较好如图如果已知两点的坐标怎样求两点间的距离呢我们以为斜边构造直