2023年2020中考数学复习第15课时二次函数的综合性问题测试.pdf

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1、北京市 Earlybird 第三单元 函数 第十五课时 二次函数的综合性问题 类型一 与函数有关的阅读理解题 1.(10分)(2018 原创)如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的点A、C分别在x轴、y轴上，点B在第一象限，且OA3.定义：在正方形OABC的边上及内部且横纵坐标均为整数的点称为好点(1)若一次函数ykxb(k0)的图象经过的好点最多，求此一次函数的解析式；(2)若反比例函数ymx(x0)的图象正好经过点(1，3)，求反比例函数图象上方和图象下方好点个数比；(3)二次函数ya1x2b1xc1的图象经过O、A两点，顶点为D(h，t)若其图象与x轴围成的图形中，恰好有 4 个好点

2、(不含边界)，求t的取值范围 第 1 题图 2.(10 分)(2017 南雅中学月考)如图，点P(x，y1)与Q(x，y2)分别是两个函数图象C1与C2上的任意一点，当axb时，有1y1y21 成立，则称这两个函数在axb上是“相邻函数”，否则称它们在axb上是“非相邻函数”(1)判断函数y2x3 与yx2 在 0 x2 上是否为“相邻函数”，并说明理由；(2)若函数yax与y2x4 在 1x2 上是“相邻函数”，直接写出a的最大值与最小值；(3)若函数yx2(2a1)x与yx2 在 1x2 上是“相邻函数”，求a的取值范围 北京市 Earlybird 第 2 题图 类型二 二次函数与几何综合

3、题 3.(10 分)(2017 广东省卷)如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2axb交x 轴于A(1，0)，B(3，0)两点，点P是抛物线上在第一象限内的一点，直线BP与y轴相交于点C.(1)求抛物线yx2axb的解析式；(2)当点P是线段BC的中点时，求点P的坐标；(3)若(2)的条件下，求sinOCB的值 第 3 题图 4.(10分)(2017 湘潭)已知抛物线的解析式为y120 x2bx5.(1)当自变量x2 时，函数值y随x的增大而减少，求b的取值范围；(2)如图，若抛物线的图象经过点A(2，5)，与x轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点B.求抛物线的解析式；在抛物线上是否存在点P

4、，使得PABABC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由 次函数的图象经过的好点最多求此一次函数的解析式若反比例函数的图象正好经过点求反比例函数图象上方和图象下题图分南雅中学月考如图点与分别是两个函数图象与上的任意一点当时有成立则称这两个函数在上是相邻函数否则称小值若函数与在上是相邻函数求的取值范围北京市第题图类型二二次函数与几何综合题分广东省卷如图在平面直角坐北京市 Earlybird 第 4 题图 5.(10 分)(2017 眉山)如图，抛物线yax2bx2 与 x 轴相交于A、B两点，与y轴交于C点，已知A(3，0)，且M(1，83)是抛物线上另一点(1)求a，b的值；(2)连接

5、AC，设点P是y轴上任一点，若以P，A，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，求P点的坐标；(3)若点N是x轴正半轴上且在抛物线内的一动点(不与O、A重合)，过点N作NHAC交抛物线的对称轴于H点，设ONt，ONH的面积为S，求S与t之间的函数关系式 第 5 题图 6.(10分)(2017 湘西州)如图，已知抛物线y33x2bx 3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为(3，0)(1)求b的值及点B的坐标；(2)试判断ABC的形状，并说明理由；(3)一动点P从点A出发，以每秒 2 个单位的速度向点B运动，同时动点Q从点B出发，以每秒 1 个单位的速度向点C运动(当点P运动到点B时，

6、点Q随之停止运动)，设运动时间次函数的图象经过的好点最多求此一次函数的解析式若反比例函数的图象正好经过点求反比例函数图象上方和图象下题图分南雅中学月考如图点与分别是两个函数图象与上的任意一点当时有成立则称这两个函数在上是相邻函数否则称小值若函数与在上是相邻函数求的取值范围北京市第题图类型二二次函数与几何综合题分广东省卷如图在平面直角坐北京市 Earlybird 为 t 秒，当t为何值时PBQ与ABC相似？第 6 题图 答案 1.解：(1)当一次函数的图象正好经过正方形OABC的对角线时，则经过的好点最多，正方形 OABC 中OA3，点B在第一象限，点A、C分别在x 轴和y 轴上，点A(3，0)

7、，点B(3，3)，点C(0，3)，对角线OB所在直线解析式为yx，对角线AC所在直线解析式为yx3，当一次函数的图像经过的好点最多时，其解析式为yx或yx3；(2)点(1，3)在反比例函数的图像上，m313，即反比例函数为y3x，又当x3 时，y1，当x2 时，y1.5，如解图，在图象下方的好点有(0，0)，(1，0)，(2，0)，(3，0)，(0，1)，(1，1)，(2，1)，(0，2)，(1，2)，(0，3)，共有 10 个，次函数的图象经过的好点最多求此一次函数的解析式若反比例函数的图象正好经过点求反比例函数图象上方和图象下题图分南雅中学月考如图点与分别是两个函数图象与上的任意一点当时有

8、成立则称这两个函数在上是相邻函数否则称小值若函数与在上是相邻函数求的取值范围北京市第题图类型二二次函数与几何综合题分广东省卷如图在平面直角坐北京市 Earlybird 第 1 题解图 在图象上方的好点有(2，2)(2，3)，(3，2)，(3，3)，共 4 个，反比例函数图象上方和图像下方的好点个数比为 25；(3)当a0 时，抛物线开口向上，抛物线与 x 轴所围图形中不存在好点，此时不合题意；当a0 时，抛物线过点O、A，抛物线对称轴为x32，由此设抛物线的解析式为ya(x32)2t，抛物线过点O(0，0)，a(0 32)2t0，如解图，当抛物线过点M(1，2)时，代入得a(132)2t2，次

9、函数的图象经过的好点最多求此一次函数的解析式若反比例函数的图象正好经过点求反比例函数图象上方和图象下题图分南雅中学月考如图点与分别是两个函数图象与上的任意一点当时有成立则称这两个函数在上是相邻函数否则称小值若函数与在上是相邻函数求的取值范围北京市第题图类型二二次函数与几何综合题分广东省卷如图在平面直角坐北京市 Earlybird 第 1 题解图 解得t94，如解图，当抛物线过点N(1，3)时，代入得a(1 32)2t3，第 1 题解图 解得t278，结合解图可知，当抛物线与x轴围成图形中好点恰好有 4 个，则94t278.2.解：(1)是相邻函数，理由如下：令y12x3，y2x2，则yy1y2

10、x1.当 0 x2 时，1y1，次函数的图象经过的好点最多求此一次函数的解析式若反比例函数的图象正好经过点求反比例函数图象上方和图象下题图分南雅中学月考如图点与分别是两个函数图象与上的任意一点当时有成立则称这两个函数在上是相邻函数否则称小值若函数与在上是相邻函数求的取值范围北京市第题图类型二二次函数与几何综合题分广东省卷如图在平面直角坐北京市 Earlybird y2x3 与 yx2 在 0 x2 上是相邻函数；(2)最大值为 2，最小值为 1；(3)令y1x2(2a 1)x，y2x2，则yy1y2x22ax2(xa)22a2 当a1 时，32ay64a，故32a164a1，无解，不是相邻函数

11、；当a2 时，64ay32a，故32a164a1，无解，不是相邻函数；当 1a32时，a22y64a，故a22164a1，54a32；当32a2 时，a22y32a，故a22132a1，32a 3，综上可得，54a 3.3.解：(1)把A(1，0)，B(3，0)代入 yx2axb得 次函数的图象经过的好点最多求此一次函数的解析式若反比例函数的图象正好经过点求反比例函数图象上方和图象下题图分南雅中学月考如图点与分别是两个函数图象与上的任意一点当时有成立则称这两个函数在上是相邻函数否则称小值若函数与在上是相邻函数求的取值范围北京市第题图类型二二次函数与几何综合题分广东省卷如图在平面直角坐北京市 E

12、arlybird 1ab093ab0，解得a4b3，yx24x3；(2)如解图，过点P作 PDx轴于点D，第 3 题解图 P为BC的中点，PDy轴，PD为BOC的中位线，又B(3，0)，点P的横坐标为32，把x32代入yx24x3 得y(32)2432334，P(32，34)；(3)由(2)知PD为BOC的中位线，OC2PD23432，又OB3，在RtBCO中，BC OC2OB2（32）2324543 52，次函数的图象经过的好点最多求此一次函数的解析式若反比例函数的图象正好经过点求反比例函数图象上方和图象下题图分南雅中学月考如图点与分别是两个函数图象与上的任意一点当时有成立则称这两个函数在上

13、是相邻函数否则称小值若函数与在上是相邻函数求的取值范围北京市第题图类型二二次函数与几何综合题分广东省卷如图在平面直角坐北京市 Earlybird sinOCBOBBC33 522 55.4.解：(1)a1200，抛物线开口向下，当自变量x2 时，函数值y随x的增大而减小，则抛物线的对称轴为 xb2（120）10b2，解得b15；(2)将点A(2，5)代入抛物线解析式中，得 5120222b5，解得b110，故抛物线的解析式为y120 x2110 x5；存在点P满足要求理由如下：(i)如解图，当点P1在直线AB左侧时，P1ABABC，P1A BC，则点P1的纵坐标与点A的纵坐标相同为 5，横坐标

14、满足 5120 x2110 x5，解得x12(舍)，x20，故点P1的坐标为(0，5)；次函数的图象经过的好点最多求此一次函数的解析式若反比例函数的图象正好经过点求反比例函数图象上方和图象下题图分南雅中学月考如图点与分别是两个函数图象与上的任意一点当时有成立则称这两个函数在上是相邻函数否则称小值若函数与在上是相邻函数求的取值范围北京市第题图类型二二次函数与几何综合题分广东省卷如图在平面直角坐北京市 Earlybird 第 4 题解图 (ii)当点P2在直线AB右侧时，设线段AB的中点为N，直线AP2与x轴相交于点M，P2ABABC，ABM是等腰三角形，MNAB，抛物线的对称轴为 x1102（1

15、20）1，点 B的坐标为(1，0)，则点N的坐标为(122，052)，即(32，52)，设直线AB的解析式为yk1xb1，将点A、B的坐标代入，得2k1b15k1b10，解得k15b15，故直线AB的解析式为y5x5，设直线NM的解析式为yk2xb2，MNAB，次函数的图象经过的好点最多求此一次函数的解析式若反比例函数的图象正好经过点求反比例函数图象上方和图象下题图分南雅中学月考如图点与分别是两个函数图象与上的任意一点当时有成立则称这两个函数在上是相邻函数否则称小值若函数与在上是相邻函数求的取值范围北京市第题图类型二二次函数与几何综合题分广东省卷如图在平面直角坐北京市 Earlybird k2

16、15，将k215与点N的坐标代入yk2xb2，得521532b2，解得b2145，直线MN的解析式为y15x145，直线MN与x轴的交点为(14，0)，即点M(14，0)，设直线AM的解析式为yk3xb3，将A、M两点的坐标代入，得 52k3b3014k3b3，解得k3512b3356，故直线AM的解析式为y512x356，将其与二次函数解析式联立，得 120 x2110 x5512x356，解得x12(舍)，x2253，故点P2的横坐标为253，纵坐标为5122533568536，即P2(253，8536)，次函数的图象经过的好点最多求此一次函数的解析式若反比例函数的图象正好经过点求反比例函

17、数图象上方和图象下题图分南雅中学月考如图点与分别是两个函数图象与上的任意一点当时有成立则称这两个函数在上是相邻函数否则称小值若函数与在上是相邻函数求的取值范围北京市第题图类型二二次函数与几何综合题分广东省卷如图在平面直角坐北京市 Earlybird 综上所述，点P的坐标为(0，5)或(253，8536)5.解：(1)把点A(3，0)，M(1，83)代入yax2bx2，得9a3b20ab283，解得a23b43；(2)设P点的坐标为(0，m)，由(1)知抛物线y23x243x2，得点C的坐标为(0，2)，PC2(m2)2，PA232m2m29，AC2322213，当APAC时，根据等腰三角形的对

18、称性，得点P与点C(0，2)关于x轴对称，点P(0，2)；当PCPA时，则PC2PA2，(m2)2m29，解得m54，点P(0，54)；当PCAC时，则PC2AC2，(m2)213，解得m2 13，点P(0，2 13)或(0，2 13)，次函数的图象经过的好点最多求此一次函数的解析式若反比例函数的图象正好经过点求反比例函数图象上方和图象下题图分南雅中学月考如图点与分别是两个函数图象与上的任意一点当时有成立则称这两个函数在上是相邻函数否则称小值若函数与在上是相邻函数求的取值范围北京市第题图类型二二次函数与几何综合题分广东省卷如图在平面直角坐北京市 Earlybird 综上所述，点P的坐标为(0，

19、2)或(0，54)或(0，132)或(0，2 13)；(3)由抛物线y23x243x2 得，对称轴为x1，A(3，0)，C(0，2)，直线AC的解析式为y23x2，第 5 题解图 如解图，直线NHAC，设直线NH的解析式为y23xb，N(t，0)，b23t，直线NH的解析式为y23x23t，当x1 时，y2323t，点H(1，2323t)，当t1 时，点H的坐标为(1，0)，此时与点N重合，不能构成ONH，点N在x轴正半轴上，且在抛物线内，次函数的图象经过的好点最多求此一次函数的解析式若反比例函数的图象正好经过点求反比例函数图象上方和图象下题图分南雅中学月考如图点与分别是两个函数图象与上的任意

20、一点当时有成立则称这两个函数在上是相邻函数否则称小值若函数与在上是相邻函数求的取值范围北京市第题图类型二二次函数与几何综合题分广东省卷如图在平面直角坐北京市 Earlybird 分 0t1 和 1t3 两种情况进行讨论，(i)当 0t1 时，此时点H在x轴的上方，即2323t0，S12t(2323t)13t213t，(ii)当 1t3 时，此时点H在x轴的下方，即2323t0，S12t(2323t)13t213t，综上所述，S13t213t（0t 1）13t213t （1t 3）.6.解：(1)将点A(3，0)代入抛物线y33x2bx 3，得3 33b 30，解得b2 33，抛物线的解析式为y

21、33x22 33x 3，令y0，得33x2233x 30，解得x13，x21，点B的坐标为(1，0)；(2)ABC是直角三角形，理由如下：次函数的图象经过的好点最多求此一次函数的解析式若反比例函数的图象正好经过点求反比例函数图象上方和图象下题图分南雅中学月考如图点与分别是两个函数图象与上的任意一点当时有成立则称这两个函数在上是相邻函数否则称小值若函数与在上是相邻函数求的取值范围北京市第题图类型二二次函数与几何综合题分广东省卷如图在平面直角坐北京市 Earlybird 对于抛物线y33x22 33x 3，令x0，得y 3，点C的坐标为(0，3)，在RtAOC中，tanCAOCOAO33，在RtC

22、OB中，tan BCOBOCO1333，CAOBCO30，ACO60，ACBACOBCO603090，ABC是直角三角形；(3)在RtABC中，AB4，BAC30，BC12AB2.点P以每秒 2 个单位从A到B，点Q从B出发以每秒 1 个单位向C运动，当点 Q停止运动，则点P恰好到达点B，AP2t，BP42t，BQt，CQ2t，若BPQ与ABC相似，则PQB90或QPB90，当PQB90时，易得ACPQ，PBBABQCB，即42t4t2，解得t1；当QPB 90，则QPBACB，QBABPBBC，即t442t2，解得t85，综上所述，当t1 秒或t85秒时，PBQ与ABC相似 次函数的图象经过

23、的好点最多求此一次函数的解析式若反比例函数的图象正好经过点求反比例函数图象上方和图象下题图分南雅中学月考如图点与分别是两个函数图象与上的任意一点当时有成立则称这两个函数在上是相邻函数否则称小值若函数与在上是相邻函数求的取值范围北京市第题图类型二二次函数与几何综合题分广东省卷如图在平面直角坐北京市 Earlybird 次函数的图象经过的好点最多求此一次函数的解析式若反比例函数的图象正好经过点求反比例函数图象上方和图象下题图分南雅中学月考如图点与分别是两个函数图象与上的任意一点当时有成立则称这两个函数在上是相邻函数否则称小值若函数与在上是相邻函数求的取值范围北京市第题图类型二二次函数与几何综合题分广东省卷如图在平面直角坐