2-1矩阵及其运算.ppt

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1、11.1 矩阵的概念矩阵的概念一、实际例子一、实际例子例例1 设设某某物物质质有有 m 个个产产地地，n 个个销销地地，如如果果以以 aij 表表示示由由第第 i 个个产产地地销销往往第第 j 个个销销地地的的数数量量，则则这这类类物物质质的的调调运运方案，可用一个数表表示如下：方案，可用一个数表表示如下：2销地销量产地12j n3记为记为4例例2 解线性方程组解线性方程组1行行2行行3行行1行行2行行3行行代替：代替：r1r2r3r1r2r35由由mn 个个数数 aij(i=1,2,m;j=1,2,n)有次序地排成有次序地排成 m 行行(横排横排)n 列列(竖排竖排)的数表的数表称称为为一一

2、个个 m 行行 n 列列的的矩矩阵阵，简简记记(aij)mn，通通常常用用大大写写字字母母 A，B，C，表表示示，m 行行 n 列列的的矩矩阵阵 A 也也记记为为 Amn，构构成成矩矩阵阵 A 的的每每个个数数称称为为矩矩阵阵 A 的的元元素素，而而 aij 表表示示矩矩阵阵第第 i 行行、第第 j 列列的的元素。元素。定定义义1.16注意：注意：v 只有一行的矩阵只有一行的矩阵 A1n=(a1 a2 an)v只有一列的矩阵只有一列的矩阵称为称为列矩阵；列矩阵；v两两个个矩矩阵阵 A、B，若若行行数数、列列数数都都相等，则称相等，则称 A、B 是是同型同型的；的；称为称为行矩阵；行矩阵；7v若

3、若 A=(aij)mn,B=(bij)mn 是是同同型型的的，且且 aij=bij(i=1,2,m;j=1,2,n)，则称则称 A 与与 B 相等，记作相等，记作 A B；v元素全为元素全为 0 的矩阵称为的矩阵称为零矩阵零矩阵，记作，记作O；v不同型的零矩阵是不相等的。不同型的零矩阵是不相等的。81.2 矩阵的运算矩阵的运算一、矩阵的加法一、矩阵的加法1.定义定义2.1设设 A=(aij)mn,B=(bij)mn则矩阵则矩阵 C=(cij)mn=(aij+bij)mn称为矩阵称为矩阵 A 与与 B 的和，记作的和，记作 C=A+B。92.性质性质设设 A，B，C，O 都是都是 mn 矩阵，则

4、矩阵，则(1)A+B=B+A(2)(A+B)+C=A+(B+C)(3)A+O=O+A=A10二、二、矩阵的减法矩阵的减法(1)负矩阵设 A=(aij)mn,则称(aij)mn 为A的负矩阵，简记A显然A+(A)=O,(A)=A(2)减法：设 A=(aij)mn ,B=(bij)mnAB=A+(B)=(aij bij)mn11三、数与矩阵的乘法三、数与矩阵的乘法 1.定义定义2.2记为 A，即设 是常数，A=(aij)mn，则矩阵(aij)mn 称为 数 与矩阵 A 的乘积，122.性质性质设设 A、B 为为 m n 矩阵，矩阵，、为常数为常数(1)()A=(A)=(A);(2)(A+B)=A+

5、B(3)(+)A=A+A(4)1A=A(1)A=A13例例2.1设求 A2B解：14四、矩阵乘法四、矩阵乘法1.定义定义2.3设 A=(aij)ms,B=(bij)sn,是 mn 矩阵，其中 cij 等于 A 的第 i 行与 B 的第 j 列对应元素的乘积之和:(i=1,2,m;j=1,2,n)CAB=(cij)mn则 A 与 B 的乘积15第i行j列16例例 设设试证：(1)AC=AD (2)AB=0 ；17故 AC AD证：证：1819比较：比较：在数的乘法中，若 ab=0 a=0 或 b=0两个非零矩阵乘积可能为O。在矩阵乘法中,若 AB=O A=O 或 B=O在矩阵乘法中,若 AC=A

6、D,且 A O C=D 在数的乘法中，若 ac=ad，且 a 0 c=d (消去律成立)(消去律不成立)20例例 设矩阵设矩阵求乘积求乘积 AB 和和 BA.解：21注：注：AB BA 即矩阵乘法不满足交换律即矩阵乘法不满足交换律222.性质性质(1)(A B)C=A(B C)(2)A(B+C)=A B+A C(3)(B+C)A=B A+C A(4)(A B)=(A)B=A(B)(其中其中 为常数为常数)233.线性方程组的矩阵表示线性方程组的矩阵表示设方程组为可表示为简记为AXB24其中称为由线性方程组所确定的系数矩阵，称为线性方程组的右端向量。25四、矩阵的转置四、矩阵的转置将矩阵 A m

7、n 的行换成同序数的列，列换成同序数的行所得的 nm 矩阵称为A的转置矩阵，记作 AT 或 A。例如：例如：则1.定义定义2.4262.性质性质(1)(AT )T=A(2)(A+B)T=A T+B T(3)(A)T A T(4)(A B)T=BT A T27例例设求(A B)T。解一：解一：28解二解二(A B)T=B T A T291.3 方阵方阵一、方阵一、方阵定义定义3.1则：(其中：k,l均为正整数)记AA A=Akk个个k个个行数与列数相同的 n n 矩阵 A 称为方阵，n 称为它的阶数，简记 An。30二、几类特殊方阵二、几类特殊方阵称为n阶单位矩阵阶单位矩阵，简记 E显然1.单位

8、矩阵单位矩阵00312.对角矩阵对角矩阵其中 aij=0,i j00特别：特别：称为数量矩阵0032结论：结论：(1)00000033(2)k为正整数时为正整数时00k00343.上三角矩阵上三角矩阵0其中 aij=0,i j下三角矩阵下三角矩阵其中 aij=0,i j0354.对称矩阵对称矩阵(1)若方阵A满足 AT=A，即 aji=aij，则称A为对称矩阵对称矩阵。(2)若方阵A满足 AT=A，即 aji=aij，则称A为反对称矩阵反对称矩阵。这时 aii=0(i=1,2,n)36例 设A，B为n阶对称矩阵，证明：AB是对称矩阵的充分必要条件是AB=BA.证 必要性：设AB是对称矩阵，即(AB)=AB.又（AB)=B A =BA，所以AB=BA.充分性：设AB=BA，因为(AB)=BA=BA=AB，所以AB是对称矩阵.证毕37