3.1.4--3.1.5空间向量的正交分解及其坐标表示.ppt

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1、3.1.4空间向量的正交分解及坐标表示12提问：提问：平面内的任一向量平面内的任一向量 都可以用两个不共线的都可以用两个不共线的向量向量 、表示（表示（平面向量基本定理平面向量基本定理）。）。对于空间任意向量，有没有类似的结论呢对于空间任意向量，有没有类似的结论呢？空间向量基本定理空间向量基本定理：如果三个向量 、不共面不共面，那么对空间任一向量那么对空间任一向量 存在唯一有序实数组存在唯一有序实数组x,y,z,使得使得即，空间任意一个向量都可以用三个即，空间任意一个向量都可以用三个不共面不共面的的向量向量表示出来。表示出来。3解读：解读：1 1、空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一

2、组基底、空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一组基底3 3、用空间三个不共面的已知向量组可以、用空间三个不共面的已知向量组可以线性表示出空间任意向量，且表示的结果唯一。线性表示出空间任意向量，且表示的结果唯一。2、由于零向量与任意向量都共线，与任意两个向量都共、由于零向量与任意向量都共线，与任意两个向量都共 面，所以三个向量不共面，隐含它们都不是零向量。面，所以三个向量不共面，隐含它们都不是零向量。4特别地：特别地：若选择若选择单位正交基底单位正交基底且建立空间直角右手坐标系，且建立空间直角右手坐标系，由空间向量基本定理知存在有序实数组由空间向量基本定理知存在有序实数组 使得：使得：阅

3、读教材阅读教材P93-94P93-94页：页：教材教材P94 P94 例例4 4教材教材P94 P94 练习练习7结论：若结论：若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则则AB=OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1)=(x2-x1 ,y2-y1,z2-z1)空间一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个空间一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标终点的坐标减去起点的坐标.如果知道有向线段的起点和终点的坐标如果知道有向线段的起点和终点的坐标,那么有向线段表示的向量坐标怎样求那么有向线段表示的向量坐标怎样求?空间向量坐

4、标运算法则，关键是注意空间几何空间向量坐标运算法则，关键是注意空间几何关系与向量坐标关系的转化，为此在利用向量的坐关系与向量坐标关系的转化，为此在利用向量的坐标运算判断空间几何关系时，首先要选定单位正交标运算判断空间几何关系时，首先要选定单位正交基，进而确定各向量的坐标。基，进而确定各向量的坐标。8课堂课堂小结：小结：1、空间向量、空间向量基本定理；基本定理；2、空间向量空间向量的坐标表示；的坐标表示；3、利用向量的坐标运算判断空间几何关利用向量的坐标运算判断空间几何关系的关键：系的关键：首先要选定单位正交基，进而确定各向量首先要选定单位正交基，进而确定各向量的坐标，再利用向量的坐标运算确定几

5、何关系。的坐标，再利用向量的坐标运算确定几何关系。3.1.5 空间向量运算空间向量运算的坐标表示的坐标表示以以 建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系O-xyz若若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则则AB=OB-OA=(x2 2-x1 1 ,y2 2-y1 1,z2 2-z1 1)复习：复习：规定：规定：2.2.空间向量数量积的坐标表示：空间向量数量积的坐标表示：设空间两个非零向量设空间两个非零向量4.4.空间两点间的距离公式空间两点间的距离公式已知、已知、，则，则注意：注意：（1）当）当 时，同向；时，同向；（2）当）当 时，反向；时，反向；（3）当）当 时，。时，。思考：当思

6、考：当 及及 时时，夹角在什么范围内？夹角在什么范围内？6.6.空间两非零向量垂直的条件空间两非零向量垂直的条件1、将空间向量的运算与坐标表示结合起来，不仅可以解决夹角和距离的计算问题，而且可以使一些问题的解决变得简单2、几何问题-向量问题-向量坐标问题3、几何推理-向量坐标计算练习一：练习一：2.求下列两个向量的夹角的余弦：求下列两个向量的夹角的余弦：1.求下列两点间的距离：求下列两点间的距离：例题：例题：例例1已知、，求：已知、，求：（1）线段的中点坐标和长度；）线段的中点坐标和长度；解：设是的中点，则解：设是的中点，则点的坐标是点的坐标是.（2）到两点距离相等的点的）到两点距离相等的点的

7、坐标满足的条件。坐标满足的条件。解：点到的距离相等，则解：点到的距离相等，则化简整理，得化简整理，得即到两点距离相等的点的坐标满即到两点距离相等的点的坐标满足的条件是足的条件是例例1已知、，求：已知、，求：解：解：（教材教材P96 例例5)如图如图,在正方体中，在正方体中，求与所成的角的余弦值，求与所成的角的余弦值.（教材教材P96 例例6)教材教材P97 P97 练习练习A1xD1B1ADBCC1yzEFCD中点，求证：中点，求证：D1F例例5.5.在正方体在正方体中，中，E、F分分别别是是BB1,1,，平面平面ADE 证明：设正方体棱长为证明：设正方体棱长为1，为单位正交为单位正交 基底，

8、建立如图所示坐标系基底，建立如图所示坐标系D-xyz，则可得：则可得：所以所以BCC1A1B1AMxyzBCC1A1B1AMxyz练习：练习：xyz建立空间直角坐建立空间直角坐标系来解题。标系来解题。1.基本知识：基本知识：（1）向量的长度公式与两点间的距离公式；）向量的长度公式与两点间的距离公式；（2）两个向量的夹角公式。）两个向量的夹角公式。2.思想方法：思想方法：用向量计算或证明几何问题时，可以先建立用向量计算或证明几何问题时，可以先建立 直角坐标系，然后把向量、点坐标化，借助直角坐标系，然后把向量、点坐标化，借助 向量的直角坐标运算法则进行计算或证明。向量的直角坐标运算法则进行计算或证明。