4.3常用的统计分布.ppt

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1、 43 常用的统计分布 一、分位数 二、2分布 三、F分布 四、t 分布 一、分位数 定义44(上侧分位数)设随机变量X的分布函数为F(x)给定实数(01)如果实数F 满足 PXF 1F(F)(46)则称F 为分布函数F(x)的水平的上侧分位数 当X是连续型随机变量时 设其密度函数为f(x)则其水平的上侧分位数F 满足 一、分位数 定义45(双侧分位数)设X是对称分布的连续型随机变量 其分布函数为F(x)给定实数(01)如果正实数T满足 P|X|T (412)即 F(T)F(T)1 (413)则称T 为分布函数F(x)的水平的(双侧)分位数 定义44(上侧分位数)设随机变量X的分布函数为F(x

2、)给定实数(01)如果实数F 满足 PXF 1F(F)(46)则称F 为分布函数F(x)的水平的上侧分位数 标准正态分布的分位数 用u表示标准正态分布N(01)的水平的上侧分位数 则u满足 10(u)即 0(u)1 (49)例46 设005 求标准正态分布的水平005的上侧分位数和双侧分位数 水平005的上侧分位数为u005 它满足 0(u005)1005095 查附表2得 u0051645 解 标准正态分布的分位数 用u表示标准正态分布N(01)的水平的上侧分位数 则u满足 10(u)即 0(u)1 (49)例46 设005 求标准正态分布的水平005的上侧分位数和双侧分位数 解 水平005

3、的双侧分位数为u0025 它满足 0(u0025)100250975 查附表2得 u0 025196 二、2分布 命题41 如果随机变量X的密度函数由(418)给出 则称X服从以n为自由度的2分布 定义46(2分布)如果随机变量X的密度函数为 则称X服从以n为自由度的2分布 记作X2(n)根据命题41 若X1 X2 Xn是n个相互独立的标准正态随机变量 则 说明 命题42 (1)若X 2(m)Y 2(n)且X与Y相互独立 则 XY 2(mn)(2)若X 2(n)则 EXn DX2n 定义46(2分布)如果随机变量X的密度函数为 则称X服从以n为自由度的2分布 记作X2(n)2分布的分位数 附表

4、3中对自由度n45的 2分布给出了水平的上侧分位数之值 当X 2(n)时 有 例如 设X 2(10)取水平005 查表可知 PX18307PX3940 005 P3247X20483095 当自由度n充分大时 2分布可近似地看作正态分布 于是由正态分布的分位数可近似地求得 2分布的分位数 2分布的分位数 附表3中对自由度n45的 2分布给出了水平的上侧分位数之值 当X 2(n)时 有 三、F分布 命题43 设X 2(m)Y 2(n)且X与Y相互独立 记 则Z的密度函数为 如果随机变量X的密度函数由(420)给出 则称X服从第一自由度为m 第二自由度为n的F分布 定义47(F分布)如果随机变量X

5、的密度函数为 则称X服从第一自由度为m 第二自由度为n的F分布 记作XF(m n)由命题43不难推知 若XF(m n)则X 1F(n m)当XF(m n)时 有 PXF(m n)PXF1(m n)附表4中对一些充分小的值列出了F分布的水平的上侧分位数F(m n)之值 F分布的分位数 例如 设XF(510)查表4知 PX333005 PX4240025 又设YF(10 5)查表可得 PY474005 PY6620025 当XF(m n)时 有 PXF(m n)PXF1(m n)附表4中对一些充分小的值列出了F分布的水平的上侧分位数F(m n)之值 F分布的分位数 由(421)式知 当接近于1时

6、可利用下式求出所需的上侧分位数 当XF(m n)时 有 PXF(m n)PXF1(m n)附表4中对一些充分小的值列出了F分布的水平的上侧分位数F(m n)之值 F分布的分位数 当接近于1时 可利用下式求出所需的上侧分位数 例如 当XF(5 10)时 查表可知 四、t 分布 命题44 设XN(01)Y 2(n)且X与Y相互独立 记 则T的密度函数为 如果随机变量的密度函数由(423)给出 则称其为服从自由度为n的t分布 定义48(t分布)如果随机变量X的密度函数为 则称X服从自由度为n的t分布 记作Xt(n)当自由度n很大时 t分布接近于标准正态分布 这是因为 t分布的分位数 附表5对于一些充分小的值给出了t分布的水平的上侧分位数t(n)之值 当Xt(n)时 有 PXt(n)PXt(n)P|X|t/2(n)例如 设Xt(8)005 查表可知 t(8)1860 t/2(8)2306 故有P|X|2306005 PX1860PX1860 t分布的分位数 附表5对于一些充分小的值给出了t分布的水平的上侧分位数t(n)之值 当接近1时 可按下式求出相应的上侧分位数 t(n)t1(n)(424)当Xt(n)时 有 PXt(n)PXt(n)P|X|t/2(n)此外 由于自由度n充分大时 t分布近似于标准正态分布 故有t(n)u