【人教版】九年级上册数学教案：21.2 解一元二次方程-21.2.21.pdf

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1、Earlybird 21.2.2 公式法 教学内容 1一元二次方程求根公式的推导过程；2公式法的概念；3利用公式法解一元二次方程 教学目标 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元 二次方程 复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入 ax2+bx+c=0（a 0）的求根公 式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程 重难点关键 1重点：求根公式的推导和公式法的应用 2难点与关键：一元二次方程求根公式法的推导 教学过程 一、复习引入（学生活动）用配方法解下列方程（1）6x2-7x+1=0（2）4x2-3x=52（老师点评）（1）移项，得：6x2-7x=-

2、1 7 1 二次项系数化为 1，得：x2-x=-6 6 7 7 1 7 配方，得：x2-x+（）2=-+（）2 6 12 6 12 7 25（x-）2=12 144 7 5 5 7 7 5 x-=x1=+=1 12 12 12 12 12 5 7 7 5 1 x2=-+=12 12 12 6（2）略 总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）（1）移项；（2）化二次项系数为 1；（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；（4）原方程变形为（x+m）2=n 的形式；（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元 二次方程无解 二、探索新知 如果这个一元

3、二次方程是一般形式 ax2+bx+c=0（a 0），你能否用上面配方法的步骤求 出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题 问 题：已 知 ax2+bx+c=0（a 0）且 b2-4ac 0，试 推 导 它 的 两 个 根 b b2 4ac b b2 4ac x1=，x2=2a 2aEarlybird 分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把 a、b、c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去 解：移项，得：ax2+bx=-c b c 二次项系数化为 1，得 x2+x=-a a b b c b 配方，得：x2+x+（）2=-+（）2 a 2a a 2a b 即（x+）2=2

4、a b 4ac 2 4a 2 b2-4ac 0 且 4a20 b 4ac 2 0 4a 2 b 直接开平方，得：x+=2a b2 4ac 2a 即 x=b b2 4ac 2a b b2 4ac b b2 4ac x1=，x2=2a 2a 由上可知，一元二次方程 ax2+bx+c=0（a 0）的根由方程的系数 a、b、c 而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式 ax2+bx+c=0，当 b-4ac 0 时，b b2 4ac 将 a、b、c 代入式子 x=就得到方程的根 2a（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法（4）由求根公式

5、可知，一元二次方程最多有两个实数根 例 1用公式法解下列方程（1）2x2-4x-1=0（2）5x+2=3x2（3）（x-2）（3x-5）=0（4）4x2-3x+1=0 分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可 解：（1）a=2，b=-4，c=-1 b2-4ac=（-4）2-42（-1）=240 x=(4)24 4 2 6 2 6 22 4 2 2 6 2 6 x1=，x2=2 2（2）将方程化为一般形式Earlybird 3x2-5x-2=0 a=3，b=-5，c=-2 b2-4ac=（-5）2-43（-2）=490 x=(5)49 5 7 23 6 x1=2，x

6、2=-1 3（3）将方程化为一般形式 3x2-11x+9=0 a=3，b=-11，c=9 b2-4ac=（-11）2-439=130 x=(11)13 11 13 23 6 11 13 11 13 x1=，x2=6 6（3）a=4，b=-3，c=1 b2-4ac=（-3）2-441=-70 因为在实数范围内，负数不能开平方，所以方程无实数根 三、巩固练习 教材 P42 练习 1（1）、（3）、（5）四、应用拓展 m 例 2某数学兴趣小组对关于 x 的方程（m+1）+（m-2）x-1=0 提出了下列问 x 2 2 题（1）若使方程为一元二次方程，m 是否存在？若存在，求出 m 并解此方程（2）若

7、使方程为一元二次方程 m 是否存在？若存在，请求出 你能解决这个问题吗？分析：能（1）要使它为一元二次方程，必须满足 m2+1=2，同时还要满足（m+1）0（2）要使它为一元一次方程，必须满足:m2 1 0 m m2 1 1 1 0 或 或 (m 1)(m 2)0 m 2 0 m 2 0 解：（1）存在根据题意，得：m2+1=2 m2=1 m=1 当 m=1 时，m+1=1+1=2 0 当 m=-1 时，m+1=-1+1=0（不合题意，舍去）当 m=1 时，方程为 2x2-1-x=0 a=2，b=-1，c=-1 b2-4ac=（-1）2-42（-1）=1+8=9Earlybird x=(1)9

8、 1 3 22 4 1 x1=，x2=-2 1 因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根 x1=1，x2=-2（2）存在根据题意，得：m2+1=1，m2=0，m=0 因为当 m=0 时，（m+1）+（m-2）=2m-1=-1 0 所以 m=0 满足题意 当 m2+1=0，m 不存在 当 m+1=0，即 m=-1 时，m-2=-3 0 所以 m=-1 也满足题意 当 m=0 时，一元一次方程是 x-2x-1=0，解得：x=-1 当 m=-1 时，一元一次方程是-3x-1=0 解得 x=-1 3 因此，当 m=0 或-1时，该方程是一元一次方程，并且当 m=0 时，其根为 x=-1；1 当 m=

9、-1 时，其一元一次方程的根为 x=-3 五、归纳小结 本节课应掌握：（1）求根公式的概念及其推导过程；（2）公式法的概念；（3）应用公式法解一元二次方程；（4）初步了解一元二次方程根的情况 六、布置作业 1教材 P45 复习巩固 4 2选用作业设计:一、选择题 1用公式法解方程 4x2-12x=3，得到（）3 6 3 6 Ax=Bx=2 2 3 2 3 3 2 3 Cx=Dx=2 2 2方程 2 x2+4 3 x+6 2=0 的根是（）Ax1=2，x2=3 Bx1=6，x2=2 Cx1=2 2，x2=2 Dx1=x2=-6Earlybird 3（m2-n2）（m2-n2-2）-8=0，则 m

10、2-n2 的值是（）A4 B-2 C4 或-2 D-4或 2 二、填空题 1一元二次方程 ax2+bx+c=0（a 0）的求根公式是_，条件是_ 2当 x=_时，代数式 x2-8x+12 的值是-4 3若关于 x 的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0 有一根为 0，则 m 的值是_ 三、综合提高题 1用公式法解关于 x 的方程：x2-2ax-b2+a2=0 b 2 设 x1，x2 是一元二次方程 ax2+bx+c=0（a 0）的两根，（1）试推导 x1+x2=-，x1x2=a c a ；（2）求代数式 a（x13+x23）+b（x12+x22）+c（x1+x2）的值 3某电厂规

11、定：该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过 A 千瓦时，那么这户居民 这个月只交 10 元电费，如果超过 A 千瓦时，那么这个月除了交 10元用电费外超过部分还 A 要按每千瓦时 元收费 100（1）若某户 2 月份用电 90 千瓦时，超过规定 A 千瓦时，则超过部分电费为多少元？（用 A 表示）（2）下表是这户居民 3 月、4 月的用电情况和交费情况 月份 用电量（千瓦时）交电费总金额（元）3 80 25 4 45 10 根据上表数据，求电厂规定的 A 值为多少？答案:一、1D 2D 3C b b2 4ac 二、1x=，b2-4ac 0 24 3-3 2a 2a 4a2 4b2 4a2 三、

12、1x=ab 2 2（1）x1、x2 是 ax2+bx+c=0（a 0）的两根，b b2 4ac b b2 4ac x1=，x2=2a 2a b b2 4ac b b2 4ac b x1+x2=-，2a a b b2 4ac b b2 4ac c x1x2=2a 2a a（2）x1，x2 是 ax2+bx+c=0 的两根，ax12+bx1+c=0，ax22+bx2+c=0 原式=ax13+bx12+c1x1+ax23+bx22+cx2Earlybird=x1（ax12+bx1+c）+x2（ax22+bx2+c）=0 A 1 9 3（1）超过部分电费=（90-A）=-A2+A 100 100 10 A（2）依题意，得：（80-A）=15，A1=30（舍去），A2=50 100