【北京卷】2018年全国统一高考数学试题2.pdf

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1、 2018 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（文史类）第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1若集合 2 A x x，2,0,1,2 B x，则A B I（A）0 1，（B）-1 0 1，（C）-2 0 1，（D）-1 0 1 2，2）在复平面内，复数 的共轭复数对应的点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限 3执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为（）A12 B56 C76 D712 4设 a，b，c，d 是非零实数，则“ad bc”是“a，b，c，d

2、 成等比数列”的（）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 5“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要的贡献十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于12 2 若第一个单音的频率为 f，则第八个单音的频率为（）A 3 2 f B3 22 f C12 52 f D12 72 f i1-i 6某四棱锥的三视图如图所示，在此三棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）A 1 B 2 C 3 D 4 7.在平面直角坐标系中，AB,C

3、D,EF,GH是圆2 21 x y 上的四段弧（如图），点 P 在其中的一段上，角是以 Ox 为始边，OP 为始边.若 tan cos sin，则 P 所在的圆弧是（A）AB（B）CD（C）EF（D）GH 8.设集合,|1,4,2 A x y x y ax y x ay，则 A 对任意实数 a，2,1 A B 对任意实数 a，2,1 A C 当且仅当 0 a 时，2,1 A D 当且仅当32a 时，2,1 A 二填空（9）设向量 1,0 a，1,b m。若 a ma b，则 m。（10）已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴，若l被抛物线24 y ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为。（

4、11）能说明“若 a b，则1 1a b”为假命题的一组 a，b 的值依次为。（12）若双曲线2 2214x ya(0)a 的离心率为52，则a。（13）若x，y满足1 2 x y x，则2 y x 的最小值是。14.若 ABC 的面积为 2 2 234a c b，且 C 为钝角，则 B；ca的取值范围是。三.解答题 15（本小题 13 分）设 na 是等差数列，且1ln 2 a，2 35ln 2 a a（1）求 na 的通项公式；（2）求1 2e e ena a a 16（本小题 13 分）已知函数2()sin 3 sin cos f x x x x。（）求()f x 的最小正周期；（）若(

5、)f x 在区间,m3 上的最大值为32，求 m 的最小值。(17)(本小题 12 分)电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 140 50 300 200 800 510 好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1 好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值(1)从电影公司收集的电影中随机选取 1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；(2)随机选取 1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；(3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化。

6、假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加 0.1，哪类电影的好评率减少 0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）(1)由表格可知电影的总部数 140 50 300 200 800 510 2000 获得好评的第四类电影 200 0.25 50 设从收集的电影中选 1部，是获得好评的第四类电影为事件 A,则50 1()2000 40P A(2)未获得好评的第一类电影 140(1 0.4)56 未获得好评的第二类电影 50(1 0.2)40 未获得好评的第三类电影 300(1 0.15)255 未获得好评的第四类电影 200(

7、1 0.25)150 未获得好评的第五类电影 800(1 0.2)640 未获得好评的第六类电影 510(1 0.1)459 未获得好评的电影总数 56 40 255 150 640 459 1600 设随机选取 1部电影，估计这部电影没有获得好评为事件 B,则1600 4()2000 5P B(3)第五类电影增加 0.1，第二类电影减少 0.1 18 如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD为矩形，平面PAD 平面ABCD，PA PD，PA PD，E，F分别为AD，PB的中点。（1）求证：PE BC；（2）求证：平面PAB 平面PCD；（3）求证：EF平面PCD.19（本小题 13 分）

8、设函数 23 1 3 2 exf x ax a x a，（1）若曲线 y f x 在点 2,2 f 处的切线斜率为 0，求 a；（2）若 f x 在 1 x 处取得极小值，求 a 的取值范围 20.（本小题 14 分）已知椭圆2 22 2:1(0)x yM a ba b 的离心率为63，焦距为 2 2 斜率为 k 的直线 l 与椭圆 M 有两个不同的交点 A，B（1）求椭圆 M 的方程；（2）若 1 k，求 AB 的最大值；（3）设 2,0 P，直线 PA 与椭圆 M 的另一个交点为 C，直线 PB 椭圆 M 的 另一个交点为 D 若 C，D 和点7 1,4 4Q 共线，求 k 一.选择题 1

9、.【答案】A 2.【答案】D 1 1 i 1 i 1 1i1 i(1 i)(1 i)2 2 2z，则1 i2 2z，故11 i 的共轭复数在第四象限，故选 D 3.【答案】B【解析】根据程序框图可知，开始 1 k，1 s，执行 11 11 11 1 2s，2 k，此时 3 k 不成立，循环，21 1 512 1 2 6s，3 k，此时 3 k 成立，结束，输出56s 故选 B 4.【答案】B【解析】当 1 a，9 d，3 b c 时，ad bc 成立，但是 a，b，c，d 不成等比数列，当 a，b，c，d 成等比数列时，此时根据等比数列性质，ad bc 成立 故“ad bc”是“a，b，c，d

10、 成等比数列”的必要而不充分条件 故选 B 5.【答案】D【解析】根据题意可得，此十三个单音形成一个以 f 为首项，12 2 为公比的等比数列，故第八个单音的频率为 8 112 7 12 2 2 f f 故选 D 6.【答案】C【解析】由三视图可知，此四棱锥的直观图如图所示，在正方体中，PAD,PCD,PAB 均为直角三角形，3 PB,5 BC,2 2 PC，故 PBC 不是直角三角形 故选 C 7.【答案】C【解析】因为 tan 最小，所以在第一二象限，tan 小于 cos，所以EF满足题意。8.【答案】：D【解析】：若 2,1 A，则2 1 032 1 422 2a aa。则当32a 时，

11、2,1 A；当32a 时，2,1 A 选 D 二.填空题 9.【答案】：1【解析】：由题知，,0 ma m，1,ma b m m。因为 a ma b，所以=+1=0 a ma b m，所以 1 m。10.答案：(1,0)解析：由已知(1,2)点在抛物线上，满足抛物线方程，即4 4a，1 a 即抛物线方程为24 y x，焦点坐标为(1,0)11.答案：1，1（答案不唯一）解析：由题知，需求 a，b 的值，使得a b，且1 1a b。所以当 0 a，0 b 时符合条件，即当 1 a，1 b 时成立，其余正确答案均可。12.答案：4 解析：由题知，24 b 据双曲线的性质知222 2544cac a

12、 解得216 a 0 a 4 a 13.答案：3 解析：将不等式转换成线性规划，即 121x yy xx 目标函数2 z y x 如右图z在(1,2)处取最小值 min3 z 14.【答案】：3，2,【解析】：由余弦定理可得2 2 22 cos b a c ac B，由三角形面积公式可得 2 2 21 3sin2 4S ac B a c b，化简得1 3sin cos2 2ac B ac B，tan 3 B，又 0,2B，3B C 为钝角，3B，0,6A 由正弦定理可得 sinsin 1 3 1sin sin 2 2 tanB Cc Aa C C A 0,6A，3tan 0,3A 2,ca 三

13、.解答题 15.【解析】解：（1）设等差数列公差为d，1ln 2 a，2 35ln 2 a a，1 22 5ln 2 a d a d，ln2+ln2 2 5ln2 d d，ln 2 d，11 ln 2 1 ln 2 ln 2na a n d n n，所以 na 的通项公式为 ln 2na n（2）1 2e e ena a a ln 2 2ln 2 3ln 2 ln 2e e e en 2 3ln 2 ln 2 ln 2 ln 2e e e en 2 32 2 2 2n 2 1 21 2n 12 2n 16.【解析】解：（）2()sin 3 sin cos1 3(1 cos 2)sin 22 2

14、3 1 1sin 2 cos 22 2 21sin(2)6 2f x x x xx xx xx 所以函数的最小正周期2Tw.（）函数1()sin(2)6 2f x x 能取到最大值32时，sin(2)16x,m3x，52,2m6 6 6x，由正弦函数的图像，26 2m，所以3m，即 m 的最小值为3。17.【解析】(1)由表格可知电影的总部数 140 50 300 200 800 510 2000 获得好评的第四类电影 200 0.25 50 设从收集的电影中选 1部，是获得好评的第四类电影为事件 A,则50 1()2000 40P A(2)未获得好评的第一类电影 140(1 0.4)56 未

15、获得好评的第二类电影 50(1 0.2)40 未获得好评的第三类电影 300(1 0.15)255 未获得好评的第四类电影 200(1 0.25)150 未获得好评的第五类电影 800(1 0.2)640 未获得好评的第六类电影 510(1 0.1)459 未获得好评的电影总数 56 40 255 150 640 459 1600 设随机选取 1部电影，估计这部电影没有获得好评为事件 B,则1600 4()2000 5P B(3)第五类电影增加 0.1，第二类电影减少 0.1 18.【解析】（1）证明：在PAD 中，PA PD，点E为AD中点；PE AD；平面PAD 平面ABCD；平面PAD

16、平面ABCD=AD；PE 平面PAD；PE 平面ABCD；BC 平面ABCD；PE BC.（2）由（1）知PE 平面ABCD；CD 平面ABCD；PE CD；CD AD；,PE AD 平面PAD；=PE AD E；CD 平面PAD；PA 平面PAD；CD PA；PA PD；,CD PD 平面PCD；=CD PD D；PA 平面PCD.PA 平面PAB；平面PAB 平面PCD.（3）证明：取PC中点Q；连接,FQ DQ；在PBC 中，,F Q分别为,PB PC中点；FQBC，且12FQ BC；EDBC，且12ED BC；FQED，且ED FQ；四边形EFQD为平行四边形；EFDQ，EF 平面PC

17、D，DQ 平面PCD；EF平面PCD.19.【解析】（1）解：函数定义域为 x R，2()2 3 1 e 3 1 3 2 ex xf x ax a ax a x a 2e 1 1xax a x e 1 1xax x 若函数在 2,2 f 处切线与 x 轴平行，则 22 e 2 1 0 f a，即12a（2）由（1）可知 e 1 1xf x ax x，当 0 a 时，令 0 f x，1 x，x,1 1 1,f x 0 f x Z 极大值 不满足题意；当 0 a 时，令 0 f x，1 x 或1xa，当 0 a 时，即11a，x 1,a 1a 1,1a 1 1,f x 0 f x 极小值 Z 极大

18、值 不满足题意；当 0 a 时，1）当11a，即 1 a 时，0 f x，函数 f x 无极值点；2）当11a，即 1 a 时，x 1,a 1a 1,1a 2 1,f x 0 f x Z 极大值 极小值 Z 满足题意；3）当11a，即 0 1 a 时，x,1 1 11,a 1a 1,a f x 0 f x Z 极大值 极小值 Z 不满足题意 综上所述，若 f x 在 2 x 处取得极小值，1 a 20.【解析】（1）由已知可得 2 c，又63cea，所以 3 a，2 21 b a c 所以椭圆 M 的方程为2213xy（2）令1 1(,)A x y，2 2(,)B x y，直线 AB 的方程为

19、 y x m 联立2 23 3y x mx y，整理得2 24 6 3 3 0 x mx m 所以2 2 236 16(3 3)12(4)0 m m m 所以 2 2 m 所以22 2 2 22 1 2 1 2 112(4)6()()2()2 44 2mAB x x y y x x m，因为 2 2 m，所以易知当 0 m 时，max6 AB （3）因为点 Q 在椭圆外，所以直线 CD 一定存在斜率 令3 3(,)C x y，4 4(,)D x y，设直线 CD 的方程为1 7()4 4y m x，则3 37 14 4y mx m；3 37 14 4y mx m 直线 33:(2)2yPA y

20、 xx，带入椭圆2213xy 中去，得 2 2 2 333()(2)32yx xx，整理得2 2 2 2 2 23 3 3 3 3(2)3 12 12 3(2)0 x y x y x y x，又因为2 23 33 3 x y，所以2 2 23 3 3 3(4 7)12 7 12 0 x x y x x x 所以可知23 31 337 124 7x xx xx，解得 3137 124 7xxx，所以 3 3 313 3 37 12(2)2 4 7 4 7y x yyx x x 同理可得 4247 124 7xxx，4244 7yyx 所以3 43 4 1 23 41 23 44 7 4 77 12 7 124 7 4 7ABy yx x y ykx xx xx x 3 4 4 34 3 3 4(4 7)(4 7)(4 7)(7 12)(4 7)(7 12)y x y xx x x x 4 3 3 44 3 3 47 1 7 1(4 7)()(4 7)()4 4 4 4(4 7)(7 12)(4 7)(7 12)m mx mx x mxx x x x 3 4 4 3 4 34 3 3 4 4 37(7 1)7(7 1)148 49 48 49mx m x mx m x x xx x x x x x