2023年2020届中考数学总复习圆-精练精析及答案解析2.pdf

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1、北京市 Earlybird 图形的性质圆 1 一选择题（共 8 小题）1如图，正方形 ABCD 的边 AB=1，和 都是以 1 为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（）A B 1 C 1 D 1 2已知O 的直径 CD=10cm，AB是O 的弦，AB=8cm，且 ABCD，垂足为 M，则 AC的长为（）A cm B cm C cm或 cm D cm或 cm 3如图，O 的直径 CD垂直弦 AB于点 E，且 CE=2，DE=8，则 AB的长为（）A 2 B 4 C 6 D 8 4如图，在平面直角坐标系中，P 的圆心坐标是（3，a）（a 3），半径为 3，函数 y=x的图象被P 截得的弦 AB

2、的长为，则 a 的值是（）A 4 B C D 北京市 Earlybird 5已知O 的面积为 2，则其内接正三角形的面积为（）A 3 B 3 C D 6如图，半径为 3 的O 内有一点 A，OA=，点 P 在O 上，当OPA 最大时，PA的长等于（）A B C 3 D 2 7 在ABC 中，AB=AC=5，sinB=，O 过点 B、C 两点，且O 半径 r=，则 OA的长为（）A 3 或 5 B 5 C 4 或 5 D 4 8如图，B，C，D是半径为 6 的O 上的三点，已知 的长为 2，且 ODBC，则 BD的长为（）A 3 B 6 C 6 D 12 二填空题（共 7 小题）9如图，O 的半

3、径是 5，AB是O 的直径，弦 CDAB，垂足为 P，若 CD=8，则ACD 的面积是 _ 10正六边形的中心角等于 _ 度 11 如图，以ABC 的边 BC为直径的O 分别交 AB、AC于点 D、E，连结 OD、OE，若A=65，则DOE=_ 函数的图象被截得的弦的长为则的值是北京市已知的面积为则其内接正三角形的面积为如图半径为的内有一点点在上 小题如图的半径是是的直径弦垂足为若则的面积是正六边形的中心角等于度如图以的边为直径的分别交于点连结若则 的半径为如图的半径是直线与相交于两点是上的两个动点且在直线的异侧若则四边形面积的最大值是的半径为弦点是北京市 Earlybird 12如图，AB、

4、CD是半径为 5 的O 的两条弦，AB=8，CD=6，MN 是直径，ABMN 于点 E，CDMN 于点 F，P 为 EF上的任意一点，则 PA+PC 的最小值为 _ 13 如图，在O 中，CD是直径，弦 ABCD，垂足为 E，连接 BC，若 AB=2 cm，BCD=2230，则O 的半径为 _ cm 14如图，O 的半径是 2，直线 l 与O 相交于 A、B 两点，M、N是O 上的两个动点，且在直线 l 的异侧，若AMB=45，则四边形 MANB 面积的最大值是 _ 15O 的半径为 2，弦 BC=2，点 A是O 上一点，且 AB=AC，直线 AO与 BC交于点 D，则 AD的长为 _ 三解答

5、题（共 8 小题）函数的图象被截得的弦的长为则的值是北京市已知的面积为则其内接正三角形的面积为如图半径为的内有一点点在上 小题如图的半径是是的直径弦垂足为若则的面积是正六边形的中心角等于度如图以的边为直径的分别交于点连结若则 的半径为如图的半径是直线与相交于两点是上的两个动点且在直线的异侧若则四边形面积的最大值是的半径为弦点是北京市 Earlybird 16一个弓形桥洞截面示意图如图所示，圆心为 O，弦 AB是水底线，OCAB，AB=24m，sinCOB=，DE是水位线，DEAB（1）当水位线 DE=4 m时，求此时的水深；（2）若水位线以一定的速度下降，当水深 8m时，求此时ACD 的余切值

6、 17 如图，已知在ABC 中，AB=AC，以 AB为直径的O 与边 BC交于点 D，与边 AC交于点 E，过点 D作 DFAC 于 F（1）求证：DF为O 的切线；（2）若 DE=，AB=，求 AE的长 18如图，AB是O 的直径，弦 CDAB 于点 E，点 M在O 上，MD 恰好经过圆心 O，连接MB（1）若 CD=16，BE=4，求O 的直径；（2）若M=D，求D 的度数 19如图，O 的直径为 10cm，弦 AB=8cm，P 是弦 AB上的一个动点，求 OP的长度范围 函数的图象被截得的弦的长为则的值是北京市已知的面积为则其内接正三角形的面积为如图半径为的内有一点点在上 小题如图的半径

7、是是的直径弦垂足为若则的面积是正六边形的中心角等于度如图以的边为直径的分别交于点连结若则 的半径为如图的半径是直线与相交于两点是上的两个动点且在直线的异侧若则四边形面积的最大值是的半径为弦点是北京市 Earlybird 20 如图，AB是O 的直径，弦 CDAB 于点 E，点 P 在O 上，PB与 CD交于点 F，PBC=C（1）求证：CBPD；（2）若PBC=22.5，O 的半径 R=2，求劣弧 AC的长度 21如图，AB是半圆 O的直径，C、D是半圆 O上的两点，且 ODBC，OD与 AC交于点 E（1）若B=70，求CAD 的度数；（2）若 AB=4，AC=3，求 DE的长 22 如图，

8、O 是ABC 的外接圆，AB为直径，ODBC 交O 于点 D，交 AC于点 E，连接 AD，BD，CD（1）求证：AD=CD；（2）若 AB=10，cosABC=，求 tan DBC 的值 函数的图象被截得的弦的长为则的值是北京市已知的面积为则其内接正三角形的面积为如图半径为的内有一点点在上 小题如图的半径是是的直径弦垂足为若则的面积是正六边形的中心角等于度如图以的边为直径的分别交于点连结若则 的半径为如图的半径是直线与相交于两点是上的两个动点且在直线的异侧若则四边形面积的最大值是的半径为弦点是北京市 Earlybird 23如图，PA，PB分别与O 相切于点 A，B，APB=60，连接 AO

9、，BO（1）所对的圆心角AOB=_；（2）求证：PA=PB；（3）若 OA=3，求阴影部分的面积 函数的图象被截得的弦的长为则的值是北京市已知的面积为则其内接正三角形的面积为如图半径为的内有一点点在上 小题如图的半径是是的直径弦垂足为若则的面积是正六边形的中心角等于度如图以的边为直径的分别交于点连结若则 的半径为如图的半径是直线与相交于两点是上的两个动点且在直线的异侧若则四边形面积的最大值是的半径为弦点是北京市 Earlybird 图形的性质圆 1 参考答案与试题解析 一选择题（共 8 小题）1如图，正方形 ABCD 的边 AB=1，和 都是以 1 为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（）

10、A B 1 C 1 D 1 考点：扇形面积的计算 分析：图中 1、2、3、4 图形的面积和为正方形的面积，1、2 和两个 3 的面积和是两个扇形的面积，因此两个扇形的面积的和正方形的面积=无阴影两部分的面积之差，即 1=解答：解：如图：正方形的面积=S1+S2+S3+S4；两个扇形的面积=2S3+S1+S2；，得：S3 S4=S扇形 S正方形=1=故选：A 点评：本题主要考查了扇形的面积计算公式及不规则图形的面积计算方法 找出正方形内四个图形面积之间的联系是解题的关键 2已知O 的直径 CD=10cm，AB是O 的弦，AB=8cm，且 ABCD，垂足为 M，则 AC的长为（）A cm B cm

11、 C cm或 cm D cm或 cm 考点：垂径定理；勾股定理 专题：分类讨论 分析：先根据题意画出图形，由于点 C 的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论 函数的图象被截得的弦的长为则的值是北京市已知的面积为则其内接正三角形的面积为如图半径为的内有一点点在上 小题如图的半径是是的直径弦垂足为若则的面积是正六边形的中心角等于度如图以的边为直径的分别交于点连结若则 的半径为如图的半径是直线与相交于两点是上的两个动点且在直线的异侧若则四边形面积的最大值是的半径为弦点是北京市 Earlybird 解答：解：连接 AC，AO，O 的直径 CD=10cm，ABCD，AB=8cm，AM=AB=8=4cm，

12、OD=OC=5cm，当 C 点位置如图 1 所示时，OA=5cm，AM=4cm，CDAB，OM=3cm，CM=OC+OM=5+3=8cm，AC=4 cm；当 C 点位置如图 2 所示时，同理可得 OM=3cm，OC=5cm，MC=5 3=2cm，在 RtAMC 中，AC=2 cm 故选：C 点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键 3如图，O 的直径 CD垂直弦 AB于点 E，且 CE=2，DE=8，则 AB的长为（）A 2 B 4 C 6 D 8 考点：垂径定理；勾股定理 专题：计算题 分析：根据 CE=2，DE=8，得出半径为 5，在直角三角形 OB

13、E 中，由勾股定理得 BE，根据垂径定理得出 AB的长 解答：解：CE=2，DE=8，OB=5，OE=3，ABCD，在OBE 中，得 BE=4，AB=2BE=8 函数的图象被截得的弦的长为则的值是北京市已知的面积为则其内接正三角形的面积为如图半径为的内有一点点在上 小题如图的半径是是的直径弦垂足为若则的面积是正六边形的中心角等于度如图以的边为直径的分别交于点连结若则 的半径为如图的半径是直线与相交于两点是上的两个动点且在直线的异侧若则四边形面积的最大值是的半径为弦点是北京市 Earlybird 故选：D 点评：本题考查了勾股定理以及垂径定理，是基础知识要熟练掌握 4如图，在平面直角坐标系中，P

14、 的圆心坐标是（3，a）（a 3），半径为 3，函数 y=x的图象被P 截得的弦 AB的长为，则 a 的值是（）A 4 B C D 考点：垂径定理；一次函数图象上点的坐标特征；勾股定理 专题：计算题；压轴题 分析：PCx 轴于 C，交 AB于 D，作 PEAB 于 E，连结 PB，由于 OC=3，PC=a，易得 D点坐标为（3，3），则OCD 为等腰直角三角形，PED 也为等腰直角三角形 由 PEAB，根据垂径定理得 AE=BE=AB=2，在 RtPBE 中，利用勾股定理可计算出 PE=1，则PD=PE=，所以 a=3+解答：解：作 PCx 轴于 C，交 AB于 D，作 PEAB 于 E，连结

15、 PB，如图，P 的圆心坐标是（3，a），OC=3，PC=a，把 x=3 代入 y=x 得 y=3，D 点坐标为（3，3），CD=3，OCD 为等腰直角三角形，PED 也为等腰直角三角形，PEAB，AE=BE=AB=4=2，在 RtPBE 中，PB=3，PE=，PD=PE=，a=3+故选：B 函数的图象被截得的弦的长为则的值是北京市已知的面积为则其内接正三角形的面积为如图半径为的内有一点点在上 小题如图的半径是是的直径弦垂足为若则的面积是正六边形的中心角等于度如图以的边为直径的分别交于点连结若则 的半径为如图的半径是直线与相交于两点是上的两个动点且在直线的异侧若则四边形面积的最大值是的半径为弦

16、点是北京市 Earlybird 点评：本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧也考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质 5已知O 的面积为 2，则其内接正三角形的面积为（）A 3 B 3 C D 考点：垂径定理；等边三角形的性质 专题：几何图形问题 分析：先求出正三角形的外接圆的半径，再求出正三角形的边长，最后求其面积即可 解答：解：如图所示，连接 OB、OC，过 O作 ODBC 于 D，O 的面积为 2 O 的半径为 ABC 为正三角形，BOC=120，BOD=BOC=60，OB=，BD=OBsinBOD=，BC=2BD=，OD=OBcosBOD=cos60=，BO

17、C 的面积=BCOD=，ABC 的面积=3SBOC=3=故选：C 函数的图象被截得的弦的长为则的值是北京市已知的面积为则其内接正三角形的面积为如图半径为的内有一点点在上 小题如图的半径是是的直径弦垂足为若则的面积是正六边形的中心角等于度如图以的边为直径的分别交于点连结若则 的半径为如图的半径是直线与相交于两点是上的两个动点且在直线的异侧若则四边形面积的最大值是的半径为弦点是北京市 Earlybird 点评：本题考查的是三角形的外接圆与外心，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键 6如图，半径为 3 的O 内有一点 A，OA=，点 P 在O 上，当OPA 最大时，PA的长等于（）A

18、B C3 D 2 考点：垂径定理；圆周角定理 分析：当 PAOA 时，PA取最小值，OPA 取得最大值，然后在直角三角形 OPA 中利用勾股定理求 PA的值即可 解答：解：OA、OP是定值，在OPA 中，当OPA 取最大值时，PA取最小值，PAOA 时，PA取最小值；在直角三角形 OPA 中，OA=，OP=3，PA=故选 B 点评：本题考查了解直角三角形解答此题的关键是找出“当 PAOA 时，PA取最小值”即“PAOA 时，OPA 取最大值”这一隐含条件 7 在ABC 中，AB=AC=5，sinB=，O 过点 B、C 两点，且O 半径 r=，则 OA的长为（）A 3 或 5 B 5 C 4 或

19、 5 D 4 考点：垂径定理；等腰三角形的性质；勾股定理；解直角三角形 专题：分类讨论 分析：作 ADBC 于 D，由于 AB=AC=5，根据等腰三角形的性质得 AD垂直平分 BC，根据垂径定理的推论得到点 O在直线 AD上，连结 OB，在 RtABD 中，根据正弦的定义计算出 AD=4，根据勾股定理计算出 BD=3，再在 RtOBD 中，根据勾股定理计算出 OD=1，然后分类讨论：当点 A与点 O在 BC的两侧，有 OA=AD+OD；当点 A与点 O在 BC的同侧，有 OA=AD OD，即求得 OA的长 解答：解：如图，作 ADBC 于 D，AB=AC=5，AD 垂直平分 BC，点 O在直线

20、 AD上，连结 OB，在 RtABD 中，sinB=，AB=5，AD=4，函数的图象被截得的弦的长为则的值是北京市已知的面积为则其内接正三角形的面积为如图半径为的内有一点点在上 小题如图的半径是是的直径弦垂足为若则的面积是正六边形的中心角等于度如图以的边为直径的分别交于点连结若则 的半径为如图的半径是直线与相交于两点是上的两个动点且在直线的异侧若则四边形面积的最大值是的半径为弦点是北京市 Earlybird BD=3，在 RtOBD 中，OB=，BD=3，OD=1，当点 A与点 O在 BC的两侧时，OA=AD+OD=4+1=5；当点 A与点 O在 BC的同侧时，OA=AD OD=4 1=3，故

21、 OA的长为 3 或 5 故选：A 点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 也考查了等腰三角形的性质和勾股定理 8如图，B，C，D是半径为 6 的O 上的三点，已知 的长为 2，且 ODBC，则 BD的长为（）A 3 B 6 C 6 D 12 考点：垂径定理；等边三角形的判定与性质；圆周角定理；弧长的计算；解直角三角形 专题：计算题 分析：连结 OC交 BD于 E，设BOC=n，根据弧长公式可计算出 n=60，即BOC=60，易得OBC 为等边三角形，根据等边三角形的性质得C=60，OBC=60，BC=OB=6，

22、由于 BCOD，则2=C=60，再根据圆周角定理得1=2=30，即 BD平分OBC，根据等边三角形的性质得到 BDOC，接着根据垂径定理得 BE=DE，在 RtCBE 中，利用含 30 度的直角三角形三边的关系得 CE=BC=3，CE=CE=3，所以 BD=2BE=6 解答：解：连结 OC交 BD于 E，如图，设BOC=n，函数的图象被截得的弦的长为则的值是北京市已知的面积为则其内接正三角形的面积为如图半径为的内有一点点在上 小题如图的半径是是的直径弦垂足为若则的面积是正六边形的中心角等于度如图以的边为直径的分别交于点连结若则 的半径为如图的半径是直线与相交于两点是上的两个动点且在直线的异侧若

23、则四边形面积的最大值是的半径为弦点是北京市 Earlybird 根据题意得 2=，得 n=60，即BOC=60，而 OB=OC，OBC 为等边三角形，C=60，OBC=60，BC=OB=6，BCOD，2=C=60，1=2（圆周角定理），1=30，BD 平分OBC，BDOC，BE=DE，在 RtCBE 中，CE=BC=3，BE=CE=3，BD=2BE=6 故选：C 点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧也考查了弧长公式、等边三角形的判定与性质和圆周角定理 二填空题（共 7 小题）9如图，O 的半径是 5，AB是O 的直径，弦 CDAB，垂足为 P，若 CD=8，

24、则ACD 的面积是 32 考点：垂径定理；勾股定理 分析：连接 OD，先根据垂径定理得出 PD=CD=4，再根据勾股定理求出 OP的长，根据三角形的面积公式即可得出结论 解答：解：连接 OD，O 的半径是 5，AB是O 的直径，弦 CDAB，CD=8，PD=CD=4，OP=3，AP=OA+OP=5+3=8，函数的图象被截得的弦的长为则的值是北京市已知的面积为则其内接正三角形的面积为如图半径为的内有一点点在上 小题如图的半径是是的直径弦垂足为若则的面积是正六边形的中心角等于度如图以的边为直径的分别交于点连结若则 的半径为如图的半径是直线与相交于两点是上的两个动点且在直线的异侧若则四边形面积的最大

25、值是的半径为弦点是北京市 Earlybird SACD=CDAP=88=32 故答案为：32 点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键 10正六边形的中心角等于 60 度 考点：正多边形和圆 分析：根据正六边形的六条边都相等即可得出结论 解答：解：正六边形的六条边都相等，正六边形的中心角=60 故答案为：60 点评：本题考查的是正多边形和圆，熟知正多边形的性质是解答此题的关键 11（2014扬州）如图，以ABC 的边 BC为直径的O 分别交 AB、AC于点 D、E，连结 OD、OE，若A=65，则DOE=50 考点：圆的认识；三角形内角和定理；等腰三角形

26、的性质；圆周角定理 专题：几何图形问题 分析：如图，连接 BE 由圆周角定理和三角形内角和定理求得ABE=25，再由“同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半”进行答题 解答：解：如图，连接 BE BC 为O 的直径，CEB=AEB=90，A=65，ABE=25，DOE=2ABE=50，（圆周角定理）故答案为：50 函数的图象被截得的弦的长为则的值是北京市已知的面积为则其内接正三角形的面积为如图半径为的内有一点点在上 小题如图的半径是是的直径弦垂足为若则的面积是正六边形的中心角等于度如图以的边为直径的分别交于点连结若则 的半径为如图的半径是直线与相交于两点是上的两个动点且在直线的异侧若则四边形面积

27、的最大值是的半径为弦点是北京市 Earlybird 点评：本题考查了圆的认识及三角形的内角和定理等知识，难度不大 12如图，AB、CD是半径为 5 的O 的两条弦，AB=8，CD=6，MN 是直径，ABMN 于点 E，CDMN 于点 F，P 为 EF上的任意一点，则 PA+PC 的最小值为 考点：垂径定理；轴对称的性质 分析：A、B 两点关于 MN 对称，因而 PA+PC=PB+PC，即当 B、C、P 在一条直线上时，PA+PC 的最小，即 BC的值就是 PA+PC 的最小值 解答：解：连接 OA，OB，OC，作 CH垂直于 AB于 H 根据垂径定理，得到 BE=AB=4，CF=CD=3，OE

28、=3，OF=4，CH=OE+OF=3+4=7，BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7，在直角BCH 中根据勾股定理得到 BC=7，则 PA+PC 的最小值为 故答案为：点评：正确理解 BC的长是 PA+PC 的最小值，是解决本题的关键 13 如图，在O 中，CD是直径，弦 ABCD，垂足为 E，连接 BC，若 AB=2 cm，BCD=2230，则O 的半径为 2 cm 函数的图象被截得的弦的长为则的值是北京市已知的面积为则其内接正三角形的面积为如图半径为的内有一点点在上 小题如图的半径是是的直径弦垂足为若则的面积是正六边形的中心角等于度如图以的边为直径的分别交于点连结若则 的半径为如图的半径

29、是直线与相交于两点是上的两个动点且在直线的异侧若则四边形面积的最大值是的半径为弦点是北京市 Earlybird 考点：垂径定理；等腰直角三角形；圆周角定理 专题：计算题 分析：先根据圆周角定理得到BOD=2BCD=45，再根据垂径定理得到BE=AB=，且BOE 为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求解 解答：解：连结 OB，如图，BCD=2230，BOD=2BCD=45，ABCD，BE=AE=AB=2=，BOE 为等腰直角三角形，OB=BE=2（cm）故答案为：2 点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧也考查了等腰直角三角形的性质和圆周角定理 14如

30、图，O 的半径是 2，直线 l 与O 相交于 A、B 两点，M、N是O 上的两个动点，且在直线 l 的异侧，若AMB=45，则四边形 MANB 面积的最大值是 4 考点：垂径定理；圆周角定理 专题：压轴题 分析：过点 O作 OCAB 于 C，交O 于 D、E 两点，连结 OA、OB、DA、DB、EA、EB，根据圆周角定理得AOB=2AMB=90，则OAB 为等腰直角三角形，所以 AB=OA=2，函数的图象被截得的弦的长为则的值是北京市已知的面积为则其内接正三角形的面积为如图半径为的内有一点点在上 小题如图的半径是是的直径弦垂足为若则的面积是正六边形的中心角等于度如图以的边为直径的分别交于点连结

31、若则 的半径为如图的半径是直线与相交于两点是上的两个动点且在直线的异侧若则四边形面积的最大值是的半径为弦点是北京市 Earlybird 由于 S四边形 MANB=SMAB+SNAB，而当 M点到 AB的距离最大，MAB 的面积最大；当 N点到 AB的距离最大时，NAB 的面积最大，即 M点运动到 D点，N点运动到 E 点，所以四边形 MANB面积的最大值=S四边形 DAEB=SDAB+SEAB=ABCD+ABCE=AB（CD+CE）=ABDE=2 4=4 解答：解：过点 O 作 OCAB 于 C，交O 于 D、E 两点，连结 OA、OB、DA、DB、EA、EB，如图，AMB=45，AOB=2A

32、MB=90，OAB 为等腰直角三角形，AB=OA=2，S四边形 MANB=SMAB+SNAB，当 M点到 AB的距离最大，MAB 的面积最大；当 N点到 AB的距离最大时，NAB 的面积最大，即 M点运动到 D点，N点运动到 E 点，此时四边形 MANB 面积的最大值=S四边形 DAEB=SDAB+SEAB=ABCD+ABCE=AB（CD+CE）=ABDE=2 4=4 故答案为：4 点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧也考查了圆周角定理 15O 的半径为 2，弦 BC=2，点 A是O 上一点，且 AB=AC，直线 AO与 BC交于点 D，则 AD的长为 1

33、或 3 考点：垂径定理；勾股定理 专题：分类讨论 分析：根据题意画出图形，连接 OB，由垂径定理可知 BD=BC，在 RtOBD 中，根据勾股定理求出 OD的长，进而可得出结论 解答：解：如图所示：O 的半径为 2，弦 BC=2，点 A是O 上一点，且 AB=AC，ADBC，BD=BC=，在 RtOBD 中，BD2+OD2=OB2，即（）2+OD2=22，解得 OD=1，当如图 1 所示时，AD=OA OD=2 1=1；当如图 2 所示时，AD=OA+OD=2+1=3 故答案为：1 或 3 函数的图象被截得的弦的长为则的值是北京市已知的面积为则其内接正三角形的面积为如图半径为的内有一点点在上

34、小题如图的半径是是的直径弦垂足为若则的面积是正六边形的中心角等于度如图以的边为直径的分别交于点连结若则 的半径为如图的半径是直线与相交于两点是上的两个动点且在直线的异侧若则四边形面积的最大值是的半径为弦点是北京市 Earlybird 点评：本题考查的是垂径定理，在解答此题时要进行分类讨论，不要漏解 三解答题（共 8 小题）16一个弓形桥洞截面示意图如图所示，圆心为 O，弦 AB是水底线，OCAB，AB=24m，sinCOB=，DE是水位线，DEAB（1）当水位线 DE=4 m时，求此时的水深；（2）若水位线以一定的速度下降，当水深 8m时，求此时ACD 的余切值 考点：垂径定理的应用；勾股定理

35、 分析：（1）延长 CO交 DE于点 F，连接 OD，根据垂径定理求出 BC的长，由sinCOB=得出 OB的长，根据 DEAB 可知ACD=CDE，DFO=BCO=90由 OF过圆心可得出 DF的长，再根据勾股定理求出 OF的长，进而可得出 CF的长；（2）若水位线以一定的速度下降，当水深 8m时，即 CF=8m，则 OF=CF OC=3m，连接 CD，在 RtODF 中由勾股定理求出 DF的长，由 cotACD=cotCDF 即可得出结论 解答：解：（1）延长 CO交 DE于点 F，连接 OD OCAB，OC过圆心，AB=24m，BC=AB=12m 在 RtBCO 中，sinCOB=，OB

36、=13mCO=5m DEAB，ACD=CDE，DFO=BCO=90 又OF 过圆心，DF=DE=4=2 m 在 RtDFO 中，OF=7m，函数的图象被截得的弦的长为则的值是北京市已知的面积为则其内接正三角形的面积为如图半径为的内有一点点在上 小题如图的半径是是的直径弦垂足为若则的面积是正六边形的中心角等于度如图以的边为直径的分别交于点连结若则 的半径为如图的半径是直线与相交于两点是上的两个动点且在直线的异侧若则四边形面积的最大值是的半径为弦点是北京市 Earlybird CF=CO+OF=12m，即当水位线 DE=4 m时，此时的水深为 12m；（2）若水位线以一定的速度下降，当水深 8m时

37、，即 CF=8m，则 OF=CF OC=3m，连接 CD，在 RtODF 中，DF=4 m 在 RtCDF 中，cotCDF=DEAB，ACD=CDE，cotACD=cotCDF=答：若水位线以一定的速度下降，当水深 8m时，此时ACD 的余切值为 点评：本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键 17 如图，已知在ABC 中，AB=AC，以 AB为直径的O 与边 BC交于点 D，与边 AC交于点 E，过点 D作 DFAC 于 F（1）求证：DF为O 的切线；（2）若 DE=，AB=，求 AE的长 考点：切线的判定；勾股定理 专题：计算题；证明题 分析：（

38、1）连接 AD，OD，则ADB=90，ADBC；又因为 AB=AC，所以 BD=DC，OA=OB，OD AC，易证 DFOD，故 DF为O 的切线；函数的图象被截得的弦的长为则的值是北京市已知的面积为则其内接正三角形的面积为如图半径为的内有一点点在上 小题如图的半径是是的直径弦垂足为若则的面积是正六边形的中心角等于度如图以的边为直径的分别交于点连结若则 的半径为如图的半径是直线与相交于两点是上的两个动点且在直线的异侧若则四边形面积的最大值是的半径为弦点是北京市 Earlybird（2）连接 BE交 OD于 G，由于 AC=AB，ADBCEDBD，故EAD=BAD，=，ED=BD，OE=OB；故

39、 OD垂直平分 EB，EG=BG，因为 AO=BO，所以 OG=AE，在 RtDGB 和 RtOGB 中，BD2 DG2=BO2 OG2，代入数值即可求出 AE的值 解答：（1）证明：连接 AD，OD；AB 为O 的直径，ADB=90，即 ADBC；AB=AC，BD=DC OA=OB，ODAC DFAC，DFOD ODF=DFA=90，DF 为O 的切线（2）解：连接 BE交 OD于 G；AC=AB，ADBC，ED=BD，EAD=BAD ED=BD，OE=OB OD 垂直平分 EB EG=BG 又 AO=BO，OG=AE 在 RtDGB 和 RtOGB 中，BD2 DG2=BO2 OG2（）2

40、（OG）2=BO2 OG2 解得：OG=AE=2OG=点评：本题比较复杂，涉及到切线的判定定理及勾股定理，等腰三角形的性质，具有很强的综合性 函数的图象被截得的弦的长为则的值是北京市已知的面积为则其内接正三角形的面积为如图半径为的内有一点点在上 小题如图的半径是是的直径弦垂足为若则的面积是正六边形的中心角等于度如图以的边为直径的分别交于点连结若则 的半径为如图的半径是直线与相交于两点是上的两个动点且在直线的异侧若则四边形面积的最大值是的半径为弦点是北京市 Earlybird 18如图，AB是O 的直径，弦 CDAB 于点 E，点 M在O 上，MD 恰好经过圆心 O，连接MB（1）若 CD=16

41、，BE=4，求O 的直径；（2）若M=D，求D 的度数 考点：垂径定理；勾股定理；圆周角定理 专题：几何综合题 分析：（1）先根据 CD=16，BE=4，得出 OE的长，进而得出 OB的长，进而得出结论；（2）由M=D，DOB=2D，结合直角三角形可以求得结果；解答：解：（1）ABCD，CD=16，CE=DE=8，设 OB=x，又BE=4，x2=（x 4）2+82，解得：x=10，O 的直径是 20（2）M=BOD，M=D，D=BOD，ABCD，D=30 点评：本题考查了圆的综合题：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角；垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧；19

42、如图，O 的直径为 10cm，弦 AB=8cm，P 是弦 AB上的一个动点，求 OP的长度范围 考点：垂径定理；勾股定理 专题：几何图形问题 分析：过点 O作 OEAB 于点 E，连接 OB，由垂径定理可知 AE=BE=AB，再根据勾股定理求出 OE的长，由此可得出结论 函数的图象被截得的弦的长为则的值是北京市已知的面积为则其内接正三角形的面积为如图半径为的内有一点点在上 小题如图的半径是是的直径弦垂足为若则的面积是正六边形的中心角等于度如图以的边为直径的分别交于点连结若则 的半径为如图的半径是直线与相交于两点是上的两个动点且在直线的异侧若则四边形面积的最大值是的半径为弦点是北京市 Early

43、bird 解答：解：过点 O作 OEAB 于点 E，连接 OB，AB=8cm，AE=BE=AB=8=4cm，O 的直径为 10cm，OB=10=5cm，OE=3cm，垂线段最短，半径最长，3cmOP5cm 点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键 20 如图，AB是O 的直径，弦 CDAB 于点 E，点 P 在O 上，PB与 CD交于点 F，PBC=C（1）求证：CBPD；（2）若PBC=22.5，O 的半径 R=2，求劣弧 AC的长度 考点：垂径定理；圆周角定理；弧长的计算 专题：几何图形问题 分析：（1）先根据同弧所对的圆周角相等得出PBC=D，再由

44、等量代换得出C=D，然后根据内错角相等两直线平行即可证明 CBPD；（2）先由垂径定理及圆周角定理得出BOC=2PBC=45，再根据邻补角定义求出AOC=135，然后根据弧长的计算公式即可得出劣弧 AC的长度 解答：解：（1）PBC=D，PBC=C，C=D，CBPD；（2）连结 OC，OD AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 E，=，PBC=C=22.5，函数的图象被截得的弦的长为则的值是北京市已知的面积为则其内接正三角形的面积为如图半径为的内有一点点在上 小题如图的半径是是的直径弦垂足为若则的面积是正六边形的中心角等于度如图以的边为直径的分别交于点连结若则 的半径为如图的半径是直线与相交

45、于两点是上的两个动点且在直线的异侧若则四边形面积的最大值是的半径为弦点是北京市 Earlybird BOC=BOD=2C=45，AOC=180BOC=135，劣弧 AC的长为：=点评：本题考查了圆周角定理，平行线的判定，垂径定理，弧长的计算，难度适中（2）中求出AOC=135是解题的关键 21如图，AB是半圆 O的直径，C、D是半圆 O上的两点，且 ODBC，OD与 AC交于点 E（1）若B=70，求CAD 的度数；（2）若 AB=4，AC=3，求 DE的长 考点：圆周角定理；平行线的性质；三角形中位线定理 专题：几何图形问题 分析：（1）根据圆周角定理可得ACB=90，则CAB 的度数即可求

46、得，在等腰AOD 中，根据等边对等角求得DAO 的度数，则CAD 即可求得；（2）易证 OE是ABC 的中位线，利用中位线定理求得 OE的长，则 DE即可求得 解答：解：（1）AB 是半圆 O的直径，ACB=90，又ODBC，AEO=90，即 OEAC，CAB=90B=9070=20，AOD=B=70 OA=OD，DAO=ADO=55 CAD=DAOCAB=5520=35；（2）在直角ABC 中，BC=OEAC，AE=EC，又OA=OB，函数的图象被截得的弦的长为则的值是北京市已知的面积为则其内接正三角形的面积为如图半径为的内有一点点在上 小题如图的半径是是的直径弦垂足为若则的面积是正六边形的

47、中心角等于度如图以的边为直径的分别交于点连结若则 的半径为如图的半径是直线与相交于两点是上的两个动点且在直线的异侧若则四边形面积的最大值是的半径为弦点是北京市 Earlybird OE=BC=又OD=AB=2，DE=OD OE=2 点评：本题考查了圆周角定理以及三角形的中位线定理，正确证明 OE是ABC 的中位线是关键 22 如图，O 是ABC 的外接圆，AB为直径，ODBC 交O 于点 D，交 AC于点 E，连接 AD，BD，CD（1）求证：AD=CD；（2）若 AB=10，cosABC=，求 tanDBC 的值 考点：圆周角定理；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；解直角三角形 专题：几何综合

48、题 分析：（1）由 AB为直径，ODBC，易得 ODAC，然后由垂径定理证得，=，继而证得结论；（2）由 AB=10，cosABC=，可求得 OE的长，继而求得 DE，AE的长，则可求得 tanDAE，然后由圆周角定理，证得DBC=DAE，则可求得答案 解答：（1）证明：AB 为O 的直径，ACB=90，ODBC，AEO=ACB=90，ODAC，=，AD=CD；（2）解：AB=10，OA=OD=AB=5，ODBC，AOE=ABC，在 RtAEO 中，OE=OAcosAOE=OAcosABC=5=3，DE=OD OE=5 3=2，AE=4，函数的图象被截得的弦的长为则的值是北京市已知的面积为则其

49、内接正三角形的面积为如图半径为的内有一点点在上 小题如图的半径是是的直径弦垂足为若则的面积是正六边形的中心角等于度如图以的边为直径的分别交于点连结若则 的半径为如图的半径是直线与相交于两点是上的两个动点且在直线的异侧若则四边形面积的最大值是的半径为弦点是北京市 Earlybird 在 RtAED 中，tanDAE=，DBC=DAE，tanDBC=点评：此题考查了圆周角定理、垂径定理以及勾股定理此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用 23如图，PA，PB分别与O 相切于点 A，B，APB=60，连接 AO，BO（1）所对的圆心角AOB=120；（2）求证：PA=PB；（3）若 OA=3，求阴影

50、部分的面积 考点：切线的性质；扇形面积的计算 专题：几何综合题 分析：（1）根据切线的性质可以证得OAP=OBP=90，根据四边形内角和定理求解；（2）证明直角OAP直角OBP，根据全等三角形的对应边相等，即可证得；（3）首先求得OPA 的面积，即求得四边形 OAPB 的面积，然后求得扇形 OAB 的面积，即可求得阴影部分的面积 解答：（1）解：PA，PB分别与O 相切于点 A，B，OAP=OBP=90，AOB=360909060=120；（2）证明：连接 OP 在 RtOAP 和 RtOBP 中，RtOAPRtOBP，PA=PB；（3）解：RtOAPRtOBP，OPA=OPB=APB=30，