最新抛物线单元测试题.pdf

《最新抛物线单元测试题.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最新抛物线单元测试题.pdf（13页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、精品文档 精品文档 抛物线期末复习单元测试题 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 抛物线xy102的焦点到准线的距离是（）A 25 B 5 C 215 D 10 2以抛物线22(0)ypx p的焦半径|PF为直径的圆与y轴位置关系是（）A 相交 B 相切 C相离 以上三种均有可能 3 设AB为过抛物线)0(22ppxy的焦点的弦，则AB的最小值为（）A 2p B p C p2 D 无法确定 4 若抛物线xy2上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为（）A 12(,)44 B 12(,)84 C 12(,)44

2、 D 12(,)84 5若双曲线2221613xyp的左焦点在抛物线22ypx的准线上，则p的值为（）A2 B3 C4 D42 6已知点 P 在抛物线24yx上，那么点 P 到点(21)Q，的距离与点 P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点 P 的坐标为（）A（41，1）B（41，1）C（1，2）D（1，2）7已知点 P 是抛物线22yx上的一个动点，则点 P 到点（0，2）的距离与 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）A172 B3 C5 D92 8已知抛物线22(0)ypx p的焦点为F，点111222()()P xyP xy，333()P xy，在抛物线上，且123,xxx成等差

3、数列，则有（）精品文档 精品文档 123FPFPFP 222123FPFPFP 2132 FPFPFP 2213FPFPFP 9过点(2,4)M作与抛物线28yx只有一个公共点的直线l有（）A0 条 B1 条 C2 条 D3 条 10已知抛物线2:8Cyx的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且2AKAF，则AFK的面积为()A4 B8 C16 D32 11抛物线22xy 上两点),(11yxA、),(22yxB关于直线mxy对称，且2121 xx，则m等于（）A 23 B 2 C 25 D 3 12过抛物线2(0)yaxa的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点，若线段 PF 与

4、FQ的长分别是 p、q，则qp11等于（）A2a B a21 C4a D a4 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.把答案填在题中的横线上）13若直线10axy 经过抛物线24yx的焦点，则实数a 14过抛物线22(0)xpy p的焦点F作倾角为30o的直线，与抛物线分别交于A、B两点（A在y轴左侧），则AFFB 15.已知抛物线21yax的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 16 对于抛物线24yx上任意一点Q，点(,0)P a都满足PQa，则a的取值范围是 。三、解答题（本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程

5、或演算步骤）17（本小题满分 12 分）已知抛物线的顶点在原点，对称轴是 x 轴，抛物线上的点(3,)Mm到焦点的距离等于 5，求抛物线的方程和 m 的值。以上三种均有可能设为过抛物线的焦点的弦则的最小值为无法确定若抛物线上一点到准线的距离等于它到顶点的距离点距离之和取得最小值时点的坐标为已知点是抛物线上的一个动点则点到点的距离与到该抛物线准线的距离之和的最直线有条条条条已知抛物线的焦点为准线与轴的交点为点在上且则的面积为抛物线上两点关于直线对称且则等于过抛精品文档 精品文档 18（本小题满分 12 分）已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线被直线21yx截得的弦长为15，（1）求抛物线的方程；

6、（2）若抛物线与直线25yx无公共点，试在抛物线上求一点，使这点到直线25yx的距离最短。19（本小题满分 12 分）如图，已知点(1 0)F，直线:1l x ，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且QP QFFP FQuuu r uuu ruuu r uuu rgg（）求动点P的轨迹C的方程；（）过点F的直线交轨迹C于A B，两点，交直线 l于点M，已知1MAAFuuu ruuu r，2MBBFuuu ruuu r，求12 的值.20（本小题满分 12 分）已知抛物线C：22yx，直线2ykx交C于A B，两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N（）证明：抛物线C在

7、点N处的切线与AB平行；（）是否存在实数k使0NA NB uuu r uuu rg，若存在，求k的值；若不存在，说明理由 O y x 1 1 l F 以上三种均有可能设为过抛物线的焦点的弦则的最小值为无法确定若抛物线上一点到准线的距离等于它到顶点的距离点距离之和取得最小值时点的坐标为已知点是抛物线上的一个动点则点到点的距离与到该抛物线准线的距离之和的最直线有条条条条已知抛物线的焦点为准线与轴的交点为点在上且则的面积为抛物线上两点关于直线对称且则等于过抛精品文档 精品文档 21（本小题满分 12 分）如图倾斜角为的直线经过抛物线28yx的焦点F，且与抛物线交于,A B两点（）求抛物线的焦点F的坐

8、标及准线l的方程；（）若为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明cos2FPFP为定值，并求此定值 22（本题满分 14 分）如图，在平面直角坐标系xOy中，过y轴正方向上一点(0)Cc，任作一直线，与抛物线2yx相交于A B，两点一条垂直于x轴的直线，分别与线段AB和直线:l yc 交于点PQ，（）若2OA OB uuu r uuu rg，求c的值；（）若P为线段AB的中点，求证：QA为此抛物线的切线；（）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由 lyymPBA题（21）图 FxA B C P Q O x y l 以上三种均有可能设为过抛物线的焦点的弦则的最小值为无法确定若抛物线上一点

9、到准线的距离等于它到顶点的距离点距离之和取得最小值时点的坐标为已知点是抛物线上的一个动点则点到点的距离与到该抛物线准线的距离之和的最直线有条条条条已知抛物线的焦点为准线与轴的交点为点在上且则的面积为抛物线上两点关于直线对称且则等于过抛精品文档 精品文档 x y O l F P Q M N 参考答案 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1B 210,5pp，而焦点到准线的距离是p 2B 设 Q 为 PF 中点，分别过 P、Q 作准线l的垂线，垂足分别为 M、N，则111|(|)(|)|2222pQNp PMp PFP

10、F，点 Q 到y轴的距离1|22pdQNPF，故选 B。3 C 垂直于对称轴的通径时最短，即当,2pxyp min2ABp 4B 点P到准线的距离即点P到焦点的距离，得POPF，过点P所作的高也是中线 18xP，代入到xy2得24yP ，12(,)84P 5 C 解：双曲线的左焦点坐标为：2(3,0)16p，抛物线22ypx的准线方程为2px ，所以23162pp，解得：4p，故选 C。6A 解：点 P 到抛物线焦点距离等于点 P 到抛物线准线距离，如图PFPQPSPQ,故最小值在,S P Q三点共线时取得，此时,P Q的纵坐标都是1，故选 A。（点P坐标为1(,1)4）7A 解：本小题主要考

11、查抛物线的定义解题。依题设P在抛物线准线的投影为P,抛物线的焦点为F,则1(,0)2F,依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PPPF,则点P到点(0,2)A的距离与P到该抛物线准线的距离之和 22117|()2.22dPFPAAF,故选 A。8 C 解：由123,xxx成等差数列得2132xxx，从而有2132()()(),222pppxxx根据抛物线定义即得：2132 FPFPFP故选C。以上三种均有可能设为过抛物线的焦点的弦则的最小值为无法确定若抛物线上一点到准线的距离等于它到顶点的距离点距离之和取得最小值时点的坐标为已知点是抛物线上的一个动点则点到点的距离与到该抛物线准线的距离之和

12、的最直线有条条条条已知抛物线的焦点为准线与轴的交点为点在上且则的面积为抛物线上两点关于直线对称且则等于过抛精品文档 精品文档 9C 解：点(2,4)M在抛物线28yx上，过点(2,4)M作与抛物线28yx只有一个公共点的直线l只有 2 条，故选 C。10B 解：抛物线2:8Cyx的焦点为 2 0F，准线为2x 2 0K，设00A xy，过A点向准线作垂线AB，则02By，2AKAF，又0022AFABxx 由222BKAKAB得22002yx，即20082xx，解得24A，AFK的面积为0114 4822KFy 故选 B.11 A 22212121212111,2(),2AByykyyxxxx

13、xx 而得，且212122xxyy(,)在直线yxm 上，即21212121,222yyxxm yyxxm 222212121212132()2,2()22,23,2xxxxmxxx xxxmmm 12C（特例法）过抛物线2(0)yaxa的焦点 F 作与y轴垂直的直线，则12pqa，114apq，故选 C。二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.把答案填在题中的横线上）13解：直线10axy 经过抛物线24yx的焦点(1,0),F则101.aa 14解：如图，分别过点,A B向抛物线准线作垂线，垂足为,C D；过A点作AEBD于E。则,AFAC BFBD，,ABAFBF

14、BEBDACBFAF，又30BAEo所以111223BEBFAFAFABBFAFBF 15解:抛物线2211(1)yaxxya，顶点(0,1)焦点是坐标原点，所以11144aa 抛 物 线2114yx与 两 坐 标 轴 的 三 个 交 点 为(2,0),(0,1)，所 以 三 角 形 面 积以上三种均有可能设为过抛物线的焦点的弦则的最小值为无法确定若抛物线上一点到准线的距离等于它到顶点的距离点距离之和取得最小值时点的坐标为已知点是抛物线上的一个动点则点到点的距离与到该抛物线准线的距离之和的最直线有条条条条已知抛物线的焦点为准线与轴的交点为点在上且则的面积为抛物线上两点关于直线对称且则等于过抛精

15、品文档 精品文档 O F x y M l N 14 122S 16,2 设2(,)4tQt，由PQa得222222(),(168)0,4tatatta 221680,816tata恒成立，则8160,2aa 三、解答题（本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17解法一、设抛物线方程为22(0)ypxp，则焦点(,0)2pF，由题意可得 5)23(6222pmpm，解之得462pm或462pm，故所求的抛物线方程为28yx，62的值为m。解法二、设抛物线方程为22(0)ypxp，则焦点(,0)2pF，准线l：2px 则由抛物线定义知：|352pMFMN ，4p

16、 故所求的抛物线方程为28yx，62的值为m。18解：（1）设抛物线的方程为22ypx，则22,21ypxyx 消去y得 21212214(24)10,24pxpxxxx x 2212121215()4ABkxxxxx x2215()41524p ，则223,4120,2,64ppppp 或 22412yxyx，或（2）解法一、显然抛物线24yx 与直线25yx无公共点，设点2(,)4tPt为抛物线24yx 上的任意一点，点 P 到直线25yx的距离为d，则 222()5421052 5ttttd 以上三种均有可能设为过抛物线的焦点的弦则的最小值为无法确定若抛物线上一点到准线的距离等于它到顶点

17、的距离点距离之和取得最小值时点的坐标为已知点是抛物线上的一个动点则点到点的距离与到该抛物线准线的距离之和的最直线有条条条条已知抛物线的焦点为准线与轴的交点为点在上且则的面积为抛物线上两点关于直线对称且则等于过抛精品文档 精品文档 当1t 时，d取得最小值，此时1(,1)4P 为所求的点 解法二、显然抛物线24yx 与直线25yx无公共点，设与直线25yx平行且与抛物线24yx 相切的直线方程为2yxb，切点为 P，则点 P 即为所求点。由224yxbyx 消去y并化简得：2244(1)0 xbxb，直线与抛物线相切，2216(1)160bb，解得：12b 把12b 代入方程2244(1)0 x

18、bxb并解得：14x ，1y 故所求点为1(,1)4P。19解法一：（）设点()P xy，则(1)Qy，由QP QFFP FQuuu r uuu ruuu r uuu rgg得：(10)(2)(1)(2)xyxyygg，化简得2:4Cyx（）设直线AB的方程为：1(0)xmym 设11()A xy，22()B xy，又21Mm，联立方程组241yxxmy，消去x得：2440ymy，2(4)120m，故 121244yymy y，由1MAAFuuu ruuu r，2MBBFuuu ruuu r得：1112yym，2222yym，整理得：1121my，2221my，12122112myy 1212

19、22yymy y g2 424mm g0 解法二：（）由QP QFFP FQuuu r uuu ruuu r uuu rgg得：()0FQPQPFuuu ruuu ruuu rg，()()0PQPFPQPFuuu ruuu ruuu ruuu rg，220PQPFuuu ruuu r，PQPFuuu ruuu r P B Q M F O A x y 以上三种均有可能设为过抛物线的焦点的弦则的最小值为无法确定若抛物线上一点到准线的距离等于它到顶点的距离点距离之和取得最小值时点的坐标为已知点是抛物线上的一个动点则点到点的距离与到该抛物线准线的距离之和的最直线有条条条条已知抛物线的焦点为准线与轴的交

20、点为点在上且则的面积为抛物线上两点关于直线对称且则等于过抛精品文档 精品文档 所以点P的轨迹C是抛物线，由题意，轨迹C的方程为：24yx（）由已知1MAAFuuu ruuu r，2MBBFuuu ruuu r，得120g 则：12MAAFMBBF uuu ruuu ruuu ruuu r 过点A B，分别作准线l的垂线，垂足分别为1A，1B，则有：11MAAAAFMBBBBFuuu ruuuruuu ruuu ruuuruuu r 由得：12AFAFBFBFuuu ruuu ruuu ruuu r，即120 20解：解法一：（）如图，设211(2)A xx，222(2)B xx，把2ykx代入

21、22yx得2220 xkx ，由韦达定理得122kxx，121x x ，1224NMxxkxx，N点的坐标为248k k，设抛物线在点N处的切线l的方程为284kkym x，将22yx代入上式得222048mkkxmx，Q直线l与抛物线C相切，2222282()048mkkmmmkkmk，mk 即lAB（）假设存在实数k，使0NA NB uuu r uuu rg，则NANB，又MQ是AB的中点，1|2MNAB 由（）知121212111()(22)()4222Myyykxkxk xx 22142224kk x A y 1 1 2 M N B O 以上三种均有可能设为过抛物线的焦点的弦则的最小值

22、为无法确定若抛物线上一点到准线的距离等于它到顶点的距离点距离之和取得最小值时点的坐标为已知点是抛物线上的一个动点则点到点的距离与到该抛物线准线的距离之和的最直线有条条条条已知抛物线的焦点为准线与轴的交点为点在上且则的面积为抛物线上两点关于直线对称且则等于过抛精品文档 精品文档 MN Qx轴，22216|2488MNkkkMNyy 又222121212|1|1()4ABkxxkxxx xgg 2222114(1)11622kkkk gg 22216111684kkkg，解得2k 即存在2k ，使0NA NB uuu r uuu rg 解法二：（）如图，设221122(2)(2)A xxB xx，

23、把2ykx代入22yx得 2220 xkx 由韦达定理得121212kxxx x，1224NMxxkxx，N点的坐标为248k k，22yxQ，4yx，抛物线在点N处的切线l的斜率为44kk，lAB （）假设存在实数k，使0NA NB uuu r uuu rg 由（）知22221122224848kkkkNAxxNBxxuuu ruuu r，则 22221212224488kkkkNA NBxxxxuuu r uuu rg 222212124441616kkkkxxxx 1212144444kkkkxxxxg 221212121214()4164kkkx xxxx xk xx g 22114(

24、1)421624kkkkkk g 22313164kk 0，以上三种均有可能设为过抛物线的焦点的弦则的最小值为无法确定若抛物线上一点到准线的距离等于它到顶点的距离点距离之和取得最小值时点的坐标为已知点是抛物线上的一个动点则点到点的距离与到该抛物线准线的距离之和的最直线有条条条条已知抛物线的焦点为准线与轴的交点为点在上且则的面积为抛物线上两点关于直线对称且则等于过抛精品文档 精品文档 21016kQ，23304k，解得2k 即存在2k ，使0NA NB uuu r uuu rg 21（I）解：设抛物线的标准方程为22ypx，则28p，从而4p 因此焦点02pF，的坐标为(2 0)，又准线方程的一

25、般式为2px 从而所求准线的方程为2x （II）解法一：如答 21 图作ACl，BDl，垂足分别为CD，则由抛物线的定义知 FAAC，FBBD 记,A B的横坐标分别为Ax，Bx，则cos222ApppFAACxFA cos4FA，解得41 cosFA 类似地有4cosFBFB，解得41cosFB 记直线m与AB的交点为E，则1()22FAFBFEFAAEFAFAFB 21444cos2 1cos1cossin 所以24cossinFEFP 故22244 2sincos 2(1cos 2)8sinsinFPFP 解法二：设()AAA xy，()BBB xy，直线AB的斜率为tank，则直线方程

26、为(2)yk x 将此式代入28yx得22224(2)40k xkxk，故224(2)ABkxxk lyymPBA题（21）图 CDxEF以上三种均有可能设为过抛物线的焦点的弦则的最小值为无法确定若抛物线上一点到准线的距离等于它到顶点的距离点距离之和取得最小值时点的坐标为已知点是抛物线上的一个动点则点到点的距离与到该抛物线准线的距离之和的最直线有条条条条已知抛物线的焦点为准线与轴的交点为点在上且则的面积为抛物线上两点关于直线对称且则等于过抛精品文档 精品文档 记直线m与AB的交点为()EEE xy，则222(2)2ABExxkxk，4(2)EEyk xk，故直线m的方程为224124kyxkk

27、k ，令0y，得点P的横坐标22244pkxk，故2224(1)4sinPEkFPxxk 从而22244 2sincos 2(1cos 2)8sinsinFPFPg为定值 22解：（1）设直线AB的方程为ykxc，将该方程代入2yx得20 xkxc 令2()A aa，2()B bb，则abc 因为2222OA OBaba bcc uuu r uuu rg，解得2c，或1c （舍去）故2c （2）由题意知2abQc，直线AQ的斜率为22222AQacaabkaababa 直线AQ的方程为：22()yaa xa，即22yaxa 由222yaxayx 得2220 xaxa，22(2)40aa 因此，

28、AQ为该抛物线的切线 （3）（2）的逆命题成立，证明如下：设直线AQ的方程为：2()yak xa，由22()yak xayx 得：220 xkxkaa A B C P Q O x y l 以上三种均有可能设为过抛物线的焦点的弦则的最小值为无法确定若抛物线上一点到准线的距离等于它到顶点的距离点距离之和取得最小值时点的坐标为已知点是抛物线上的一个动点则点到点的距离与到该抛物线准线的距离之和的最直线有条条条条已知抛物线的焦点为准线与轴的交点为点在上且则的面积为抛物线上两点关于直线对称且则等于过抛精品文档 精品文档 若AQ为该抛物线的切线，则，224()02kkaaka 又设0(,)Q xc，则直线AQ的斜率为2200acaabkaxax，所以202aabaax，得202axaab，因0a，有02abx 故点P的横坐标为2ab，即P点是线段AB的中点 以上三种均有可能设为过抛物线的焦点的弦则的最小值为无法确定若抛物线上一点到准线的距离等于它到顶点的距离点距离之和取得最小值时点的坐标为已知点是抛物线上的一个动点则点到点的距离与到该抛物线准线的距离之和的最直线有条条条条已知抛物线的焦点为准线与轴的交点为点在上且则的面积为抛物线上两点关于直线对称且则等于过抛