最新数学归纳法在高中数学解题中的运用.pdf

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1、最新精品资料推荐 最新精品资料推荐1 数学归纳法在高中数学解题中的运用 作者：伍文娟 摘要：数学归纳法是高中数学教学的难点之一，它作为一种常用的证明方法，集归纳、猜想和证明于一体，内容既抽象又具体，蕴含着非常深刻的数学思想，数学归纳法并不是通过对某些生活问题（比如多米诺骨牌或者火车车厢）的研究而发现的规律，再将它运用于数学问题的求解之后形成的一种数学思想方法，而是数学家们通过对一些数学问题求解方法探究，逐步提炼出来的一种特殊的数学思想方法。因此，数学归纳法产生于数学本身，而不是生活中的规律在数学中的应用，数学归纳法在解题中有广泛的应用，它是一种递推的基础，第一步是证明命题 n=10n;第二步是

2、假设 n=k 时成立，再证明 n=k+1 时命题页成立。这是无限递推下去的理论依据，它判断命题的正确性突破了有限，达到无限。完成了这两步，就可以断定“对任何自然数结论都成立，由这两步可以看出，数学归纳法是由递推实现归纳的，属于完全归纳。关键词：高中数学 数学归纳法 引言：数学家皮亚诺提出了算术公理系统，用其中的归纳公理奠定数学归纳法的逻辑基础。归纳公理：由自然数组成的集合为N，1N,若N中任意自然数的后继也属于N，则N包含了全部自然数。本文从第一数学归纳法和第二数学归纳法的原理出发，逐步阐述数学归纳法蕴含的递推数学思想，结合高中数学解题中常出现的与数学归纳法有关的题型，根据分析-假设-论证-结

3、论的思路，总结了数学归纳法在高中数学解题方面的应用。正文：一、理论基础 第一数学归纳法：设 P(n)是一个关于正整数的命题,如果 P(n)满足：（1）对 n=1 成立；（2）假设 P(k)(k是正整数)成立能推出 P(k+1)成立;那么命题 P(n)对一切正整数成立.证明：设集合 M=n|P(n)不成立，假设 M不是空集，最新精品资料推荐 最新精品资料推荐2 则 M中必有最小数 m，且 m1.P(m-1)成立，据(2)，P(m)成立，矛盾！故命题 P(n)对一切正整数成立.第二数学归纳法：假设()p n是关于自然数n的命题,如果()p n满足:(1)(1)p成立；(2)假设()p n对于所有满

4、足ak的自然数a成立，则()p k也成立；那么,命题()p n对一切自然数n都成立。证明:设n|()Mp n成立，nN,又设ANM(差集)假设A不空,由自然数的最小数原理,A有最小数0a 由条件(1)知1M,故01a 因此01,21aM,又由条件(2)知01aM,必有0aM 这与0aA矛盾,所以 A为空集 从而MN,则命题()p n对一切自然数n 都成立。运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数n 有关的恒等式、代数不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等，现举例数学归纳法在高中数学中经常出现的题型。二、用数学归纳法证明不等式 例 1 已知数列bn的通项公式为bn2n，求证：对任意的nN*，

5、不等式b11b1b21b2bn1bnn1最新精品资料推荐 最新精品资料推荐3 都成立 证明 由bn2n，得bn1bn2n12n，所以b11b1b21b2bn1bn3254762n12n.下面用数学归纳法证明不等式b11b1b21b2bn1bn3254762n12nn1成立(1)当n1 时，左边32，右边2，因为32 2，所以不等式成立(2)即b11b1b21b2bk1bk3254762k12kk1成立(3)则当nk1 时，左边b11b1b21b2bk1bkbk11bk13254762k12k2k32k2(4)k12k32k22k324k14k212k94k1(5)4k212k84k14k23k

6、24k1 4k1k24k1 k2k11.所以当nk1 时，不等式也成立 最新精品资料推荐 最新精品资料推荐4 由(1)、(2)可得不等式b11b1b21b2bn1bn3254762n12nn1对任意的nN*都成立 三、利用数学归纳法证明整除的问题 求证：2111nnaa能被21aa整除，*nN 证明 (1)当 n 1 时，a11(a 1)211 a2 a 1，命题显然成立 (2)假设当n k(k N*)时，ak1(a 1)2 k1能被a2 a 1 整除，则 当 n=k+1时，2122121212211212121121.1.1 11(1)1 111kkkkkkkkkkkaaa aaaa aaa

7、aa aa aaaaa 由归纳假设，以上两项都可以被21aa整除，故当n k 1 时命题成立由(1)(2)知，对任意n N*，命题成立 四、数学归纳法用于几何问题的证明 有 n 个圆，其中每两个圆相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n 个圆把平面分成2()2f nnn部分。证明(1)n 1时，分为2块，f(1)2，命题成立；(2)假设n k(k N*)时，被分成f(k)k2 k 2 部分；那么当n k 1时，依题意，最新精品资料推荐 最新精品资料推荐5 第 k1 个圆与前k 个圆产生2k 个交点，第k1 个圆被截为2k 段弧，每段弧把所经过的区域分为两部分，所以平面上净增加了 2

8、k 个区域 f(k 1)f(k)2 k k2 k 2 2 k(k 1)2(k 1)2，即当n k 1 时命题成立，由(1)(2)知命题成立 五、数学归纳法在数列证明中的运用 高考数学中结合数列来体现数学归纳法是非常常见的题，有些数列的通项不好求，我们可以先对前面几项发现规律，进而进行猜想，继而用数学归纳法进行证明，这不失一种很好解决问题的方法。在生活上可以将此精髓应用，可以达到很好的效果。假设11,a 2122(nN)nnnaaab (1)若1b，求2a，3a及数列na的通项公式(2)若1b ，问：是否存在实数 c 使得221nnaca 对所有nN成立？证明你的结论 解：(1)22a 321a

9、 变下形式有11 1 1a 22 1 1a 33 1 1a 根据这个规律进行猜想有1 1nan 下面用数学归纳法证明以上结论：证明：1、（1）当1n时，结论显然成立（2）假设nk时命题成立 即1 1kak 则21(1)1 1(1)1 1(1)1 1kkaakk 最新精品资料推荐 最新精品资料推荐6 当1nk 时命题也成立 所以1 1nannN 2、设2()(1)1 1f xx 则1()nnaf a 令()cf c 即2(c 1)1 1c 解得14c 下面用数学归纳法证明命题2211nnaca （1）当1n时，2(1)0af 3(0)21af 23114aa 结论成立（2）假设nk时结论成立，即

10、2211kkaca 易知(x)f在(，1 上为减函数，从而 212()(1)(1)kcf cf afa 即2221kcaa 再由(x)f在(，1 上为减函数，得 2223()(2)()1kcf cf af aa 故231kca因此2(1)2(1)11kkaca 当1nk 时命题也成立 综上，存在14c 使221nnaca 对所有nN成立 六、对将数学归纳法用于解题的总结 最新精品资料推荐 最新精品资料推荐7 高中生对数学归纳法往往停留在机械的步骤上，对原理了解的不透彻，在一定程度上会阻碍他们理解该知识点，因此合理的教学在一定程度上会帮助学生克服面临的困难，与此同时可以帮助学生更好把握数学归纳法

11、的题目，夺得更高的分数。下面提出几点教学的建议，此建议是根据普通高中课程标准试验教科书数学选修 2-2数学归纳法知识排版选题提出的。(1)对数学归纳法原理的理解是这一节的难点，一定要特别注意 对数学归纳法是证明与正整数有关的数学命题的特别方法，其实它更应该反映的是一种递推的数学思想，先 存在 一 个使 结 论成立 的 最 小正 整 数0n，这 是递推 的 基 础，在 这个 基 础上，假 设 当0(,)nk kn kN时，命题成立，根据这个假设，如能推出当 n=k+1时命题也成立，那么久可以递推出对所有不小于0n的正整数命题都成立。这是递推的一句。有了这个一句，加上递推的基础，就可以说明对所有0

12、nn的正整数 n，命题都成立。(2)通过教学要让学生认识到数学归纳法的两个步骤缺一不可。数学归纳法的两个步骤缺一不可，教学中要向学生强调这一点。如果命题只证到0nn成立，就断定对一切正整数 n 都成立，即不做第二步证明，这就是不完整归纳，不足以证明命题的正确性。但没有第一步，也是不正确的。有些命题，如果只作第二步，完全可以做通，但事实上它们是不成立的。如1123(1)12n n +n=。若 n=k 时,1123k(k 1)12 +k=则可推得 n=k+1 时，11123(1)k(k 1)1(1)(1)(2)122kkkk +k+=，然而n=1 时命题成立显然不成立。这个例子说明，数学归纳法的两

13、个步骤是问题的两个方面，一个是命题成立的基础，另一个是递推的依据（延续关系），二者缺一不可，教学中可以通过反例来让学生体会这一点。(3)教学中应引导学生特别注意根据题意找准初始值（不是每个问题的初始值都是1）教材所给例子中虽然第一步中的起始值都是从n=1 开始的，但其实 n 从几开始要依据题目而论，只不过从 n=1 开始的题目比较普遍，难度也不太大，这一点教师可以依据学生情况做一补充。另外，在第一步骤中，只需证明 n 取第一个值时命题成立就可以了，无需继续验证其他有限个值，因为一旦有了“第一个”的基础，再有第二部递推的依据，即保证了 n 取第 2 个，第 3 个值时命题的正确性。最新精品资料推

14、荐 最新精品资料推荐8 参考文献：【1】王跃辉（2011）关于新旧教材中“数学归纳法”编写的比较研究中学版.教学参考，（1），31-33.【2】范利平（2009）浅谈数学归纳法在高中数学中的应用.考试.高考数学，1-3.【3】郎芳芳（2014）高中生对数学归纳法的理解：结构特征和证明建构的过程 3-6.考点归纳 就具体命题而言，阅读理解题的考查内容应主要集中在以下几个方面：1.理解主旨和要义 2.理解文章的具体细节 3.进行简单的判断和推理 4.根据上下文推测生词的意义 5.理解文章中具体信息（包括图文转换的信息）一.细节理解题 细节理解题是中考阅读理解中主要考查的类型，通常占 50%以上的分

15、值。其宗旨是考查学生对文章中的细节和具体事实的把握能力，内容涉及询问事实，原因，结果和目的等，属于浅层次的理解题，难度较低。同学们往往需要在有限的时间内运用略读，扫读，跳读等技巧快速阅读，发现文章中的细节信息，然后遵循由整体到细节的原则，把握作者的思路，按全文-段落-词语的步骤来解题。主要考法有：1.列举信息处常考 文中 first,second,to begin with,in addition,on one hand,on the other hand等出现的地方，常会要求学生从所列举的内容中选择符合题干要求的选项 2.举例和打比方处常考 要注意那些引出例子或比喻的标志词，如：as,suc

16、h as,for example,for instance等，因为这些词是作者为了使自己的观点更具有说服力而引用的具体事实的，这些事例就是常考的细节之处.3.指示代词出现处常考 常用来考查学生是否真正的了解上下文句子之间的逻辑关系 4.引用人物论断处常考 作者为了正确表达自己的观点或使论点更有依据，常会引用某些权威人士的论断或其重要发现。5.特殊标点符号后的内容常考 标点符号后的内容往往是对前面内容的进一步说明或解释，因此注意到这些标点也就注意到了细节，这些标点符号有：破折号，括号，冒号，引号等 另外，细节理解题的选项也有特点：通常正确答案不是照搬原文，而干扰选项正好相反。有的来自原文信息，但

17、不是题目要求的内容。有的符合常识，但不符合原文内容。有的与原句内容很相似，只是在程度上有些变动，有的与原文大相径庭甚至完全相反，也有的是部分正确或部分错误的。二.推理判断题 推理判断题是根据材料中所提供的信息，推断出未知信息。推理不是凭空推测，是在已知信息的基础上对未知的内容作出的推测。选项的特点是：最新精品资料推荐 最新精品资料推荐9 1.正确选项的特点 正确答案一般含义比较丰富，具有一定的综合性和概括性 正确答案的表述一般不会太绝对，而会用一些相对能够留下一些余地的词汇，如：often,usually,sometimes,some,any,can,possibly,probably等。正确答案有时与通过常识判断得出的结论相反，要特别注意。2.干扰选项的特点 只是原文的简单复述，而非推断出来的结论，把直接表达当成间接推理 看似从原文推断出来的结论，实际上与原文不符 根据常识判断是正确的，然而不是在文章事实或上下文逻辑基础上推论而得出的观点