最新北师大版六年级数学上册 全册 爬坡题.pdf

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1、第一单元 圆【例 1】在方格纸上画圆，使点 A和点 B都在圆上，这样的圆可以画出多少个?圆心所在的直线与线段 AB有什么关系?解析：在点 A与点 B中间的竖线 L上(如右图)任取一点，以这一 点到点 A(或点 B)的距离为半径画圆，这样的圆能画出无数个。观察这 些圆，圆心所在的直线 L垂直于线段 AB，且平分线段 AB。解答：这样的圆可以画出无数个，圆心所在的直线垂直于线段AB且平 分线段 AB。【例 2】下面是一个正方形，请在它的内部画一个最大的圆。解析：正方形和圆都足轴对称图形，正方形对称轴的交点就是其内部最大圆的对称轴的交点，即正方形对角线的交点是圆心，最大圆的直径等于正方形的边长，半径

2、等于边长的一半。解答：【例 3】张师傅用铁丝把3 根直径均为 10cm的圆柱捆在一起(接头处忽略不计)，把 3 根圆柱捆一周要用多少厘米铁丝?方案一 解析：如果把 3 根因柱并排捆在一起，排成“一”字形(如图一)，由图一可以看出，相好这 3 根团柱需要的铁丝的长度等于 4 条直径的长度十 1 根圆拄横截面的周长。解答：10 4+3.14 1071.4(cm)答；把 3 根圆柱捆一周要用 71.4cm 铁丝。方案二 解析：如果把 3 根圆柱捆成“品”字形(如图二)，由图二可以看出，这样捆一周需要的铁丝的长度等于 3 条直径的长度+1 根圆柱横截面的周长。要点提示：过两点画圆，连接这两点成一条线段

3、：圆心一定在这条线段的垂直平分线上。要点提示：在正方形内画最大的圆，圆心是正方形对称轴的交点，半径是正方形边长的一半。要点提示：运用割补法是解决此类问题的关键。要点提示：解答此题的关键是知道等圆中半径(或直径)都相等。解答：103 十 3.141061.4(cm)答：把3 根圆柱捆一周要用61.4cm铁丝。【例4】右面是由三个等圆组成的平面图形。依次连接三个圆心 O1、O2和 O3围成一个三角形，这个三角形三个内角各是多少度?思路分析 三个圆半径相等，圆心相连。三条线段都是由 2 条半径相连而成的，且长度相等。可推得这三条相等的线段所围成的三角形是等边三角形，根据等边三角形的特点可知这个三角形

4、每个内角的度数。解答:每个内角都是 600。【例 5】如右图，OA，OB分别是小半圆的直径，且 OA OB 6 cm，BOA 900，阴影部分的面积是多少平方厘米?解析：图中阴影部分形状不规则，可以将一部分阴影通过切割分成相等的两部分，然后分别补到另一部分的阴影上，使图形得到转化。如下图所示：阴影部分的面积41圆的面积一三角形 AOB的面积。解答：3.14 6241一 6621 28.26 18 10.26(cm2)答：阴影部分的面积是 10.26cm2。第二单元 分数混合运算 一点以这一点到点或点的距离为半径画圆这样的圆能画出无数个观察这些圆圆心所在的直线垂直于线段且平分线段解的圆解析正方形

5、和圆都足轴对称图形正方形对称轴的交点就是其内部最大圆的对称轴的交点即正方形对角线的交点是轴的交点半径是正方形边长的一半例张师傅用铁丝把根直径均为的圆柱捆在一起接头处忽略不计把根圆柱捆一周要用要点提示：关键是正确确定两个不同的单位“1”。要点提示：题中缺少的条件可以设一个数来代替，求得的结果与所设的数的大小无关。要点提示：解决此类问题的关键是求出两袋面粉的质量差。【例 1】一种商品的价格是 70 元，降价了101后又涨价101，这时商品的价格是多少元?解析：由“降价了101”可知，把这种商品的价格看作单位 “1”，根据乘法的意义可求出降价了101后的价格；“又涨 价101”，可知是把降价以后的价

6、格看作单位“1”；同理根据乘法的意义可求出降价后又涨价101的价格。解答：70（1101）（1101）69.3（元）答：这时商品的价格是69.3 元。【例 2】有两袋面粉，甲袋面粉的质量是 30 千克，乙袋面粉的质量是甲袋的65，要使两袋面粉同样重，应从甲袋中取出多少千克面粉放人乙袋?解析：观察示意图可知，乙袋面粉的质量是甲袋的65，则乙袋 面粉的质量是 306525(千克)，甲袋比乙袋多 30255(千 克)，因为要从甲袋取出一部分放入乙袋，并使两袋一样重，所 以取出的是它们质量差的一半。解答：30 6525(千克)30 255(千克)5212.5(千克)答：应从甲袋中取出 25 千克面粉放

7、人乙袋。【例 3】乐天影院正在放映一部最新电影，原来电影票每张 20 元，现在降价，观众人数增加了一倍，收入增加了51。现在电影票每张多少元?解析：题中没有给出观众的具体人数，可以设降价前有 10 人看电影，则收入为 200 元。降价后看电影的人数为 20 人，则收入为 200(1+51)240(元)。用此时的总收 入除以人数就得到每张电影票的价钱。解答：设降价前有 10 人看电影，则降价后有 20 人看电影。2010(1 十51)240(元)240 2012(元)答，现在电影票每张 12 元。【例 4】A、B、C三个盒子里都装有黑、白两种颜色的球，三个盒子里所装球的数量相等。A盒子里的白球个

8、数和 B盒子里的黑球个数相等。C盒子里的白球个数占全部白球个数的52。全部黑球的个数占球总个数的几分之几?一点以这一点到点或点的距离为半径画圆这样的圆能画出无数个观察这些圆圆心所在的直线垂直于线段且平分线段解的圆解析正方形和圆都足轴对称图形正方形对称轴的交点就是其内部最大圆的对称轴的交点即正方形对角线的交点是轴的交点半径是正方形边长的一半例张师傅用铁丝把根直径均为的圆柱捆在一起接头处忽略不计把根圆柱捆一周要用要点提示：当被观察的立体图形中小正方体的数量超过 5 个时，与观察由 5 个小正方体构成的立体图形的方法相同，应从不同位置观察立体图形，并将观察到的形状用平面图的形式表示出来。解析：此题是

9、对已知一个量以及另一个量比它多(或少)几分之几，求另一个量的解题方法的全面考查。由 A盒子里的白球个数和 B盒子里的黑球个数相等及每个盒子里的球数相等可知，两个盒子里的球合在一起，白球个数和黑球个数应相等，A、B两个盒子里的白球总数(或黑球总数)等于一盒球数。先假设有 50 个白球，C盒里应有 505220(个)白球，A、B两个盒子里应有 502030(个)白球，而 A、B两个盒子里的白球总数正好等于一盒球数，所以每个盒子里的球数应是30 个。再求全部黑球的个数，最后求全部黑球的个数占球总个数的几分之几。解答：505220(个)50 2030(个)(30350)(30 3)94 答：全部黑球的

10、个数占球总个数的94。【例 5】学校五年级三班男生人数占全班人数的85，这个学期转来了 3 个女生，男生人数占全班人数的74，这个班现在有多少人?(用方程解)解析：“男生人数占全班人数的85”，是把原来的全班人数看作单位“1”；“男生人数占全班人数的74”是把“转来了 3 个女生”也就是总人数增加了 3 人后的全班人数看作单位“1”；而前后男生人数没有发生变化，根据原来男生人数+增加 3 人后男生人数，用方程解答。解答：设：这个班现在有人。38574 563815 35 答：这个班现在有多少人。第三单元 观察物体【例 1】一个立体图形，从上面看到的形状是，从左面看到的形状是。(1)这个立体图形

11、有几种摆法?（画出来）(2)按要求搭这个立体图形，最少需要几个小正方体?最多可以有几个小正方体?解析：由从上面看到的形状是，可以推出 至少有 4 个小正方体摆成了前后两排；由从左面 看到的形状是，可以推出右面有一排，左面 至少有 3 个小正方摆成了上下三排，其中第一、第二排的后面还有可能被遮住住的小正方体。所以这个立体图形有 5 种摆法。(2)根据上面搭成的立体图形，就可知道最少需要 6 个小正方体，最多可以有 8一点以这一点到点或点的距离为半径画圆这样的圆能画出无数个观察这些圆圆心所在的直线垂直于线段且平分线段解的圆解析正方形和圆都足轴对称图形正方形对称轴的交点就是其内部最大圆的对称轴的交点

12、即正方形对角线的交点是轴的交点半径是正方形边长的一半例张师傅用铁丝把根直径均为的圆柱捆在一起接头处忽略不计把根圆柱捆一周要用要点提示：视线经过障碍物落在物体上的点是看到物体最低(或最近)的点，调整视线，还可以看到更广(或更大)的区域。要点提示：在判断连续拍摄的一组照片的先后顺序时，首先要弄清游览路线与旁边的景物。然后通过想象创设情境，想象自己会依次看到哪些景物，得出结论。个小正方体。解答：有 5 种摆法。最少需要 6 个小正方体，最多可以有 8 个小正方体。【例 2】小明能看见小刚在向他招手吗?解析：要想判断小明能看见小刚在向他招手，应将小明的眼睛看成一个“点”，从这个点画一条经过树（障碍物）

13、顶端的直线看到地面上的一点，从树到这点区域内的物体是看不到的，所以小明是看不见小刚在向他招手的。解答：小明看不见小刚在向他招手。【例 3】下面是洋洋同学沿着小河游览的风景图，在船上他连续拍摄了四张照片，请你在四张照片下面的()里用、标出拍摄的先后顺序。解析：洋洋同学沿着小河游览刚出发时：观察 原图，洋洋乘船游览从 A点处出发，他正好看 见左面的小山和松树，所以这时洋洋看到的是 图。然后看到：船继续前进，洋洋渐渐地看 见远处的塔，所以这时淘气看到的是图。接 着看到：随后，洋洋看见了塔的后面的山峰，所以这时洋洋看到的是图。最后看到：最后，洋洋看见了亭子，所以这时洋洋看到的是图。解答：第四单元 百分

14、数 一点以这一点到点或点的距离为半径画圆这样的圆能画出无数个观察这些圆圆心所在的直线垂直于线段且平分线段解的圆解析正方形和圆都足轴对称图形正方形对称轴的交点就是其内部最大圆的对称轴的交点即正方形对角线的交点是轴的交点半径是正方形边长的一半例张师傅用铁丝把根直径均为的圆柱捆在一起接头处忽略不计把根圆柱捆一周要用要点提示：百分数表示两个数量之间的倍比关系；带有单位名称、表示具体数量的分数不能用百分数表示。【例 1】下列哪些分数可以用百分数表示?(1)预计到 2050 年，我国 60 岁及 60 岁以上的老年人口约占总人口的10031。(2)1 袋盐的质量是10050kg。(3)空气中的氧气含量约占

15、10021。解析：因为百分数表示两个数量之间的倍比关系。所以：10031表示我国60 岁及 60 岁以上的老年人口与我国 人口总数之间的倍比关系，能用百分数表示。10050kg 表示 l 袋盐的质量，不能用百分数表示。10021表示氧气含量与空气总量之间的倍比关系，能用百分数表示。解答：（1）和(3)中的分数，可以用百分数表示。【例 2】有甲、乙两杯糖水，甲杯糖水为100 克，含糖 20 克；乙杯糖水为 300克，含糖42 克，哪杯糖水更甜些?解析：要知道哪杯糖水更甜些，就要比较那杯水的 2010010020，4230030042，把30042都化成分母是100 的分数进行比较。3004210

16、014 因为1002010014，所以1002030042。由此得出：甲杯糖水更甜些。解答：甲杯糖水更甜些。【例 3】实验一小的优秀教师人数占全校教师人数的10，实验二小的优秀教师人数占全校教师人数的 15。哪个学校的优秀教师人数多?解析：假设两个学校的教师人数都是 100 人，那么实验一小有 10 人是优秀教师，实验二小有 15 人是优秀教师，所以实验二小的优秀教师人数多。假设实验一小有教师 200 人，实验二小有教师 100 人，那么实验一小有 20 人是优秀教师，实验二小有 15 人是优秀教师，所以实验一小的优秀教师人数多。同理，还有两个学校优秀教师人数相等的可能。解答:在没有具体给出两

17、个学校的教师总人数时，无法判断哪个学校的优秀教师人数多，哪个学校的优秀教师人数少。【例 4】把百分数，m(m 是小于 100 且不为。的自然数)化成分数，且不经约分就是最简分数，分子是什么样的数?这样的分数有多少个?解析：把百分数 m化成分数是100m(m 是小于 100 且不为 0 的自然数)，且揣不经约分就是最简分数，也就是说分子和分母只有公因数 1。把 100 分解质因数为1002X2X5X5，因为分母 100 含有质因数 2 和 5，所以分子就不能含有因数 2 和5，即分子个位上的数不能是 0、2、4、6、8、5。由此可知，分子是小于 100 且个位上不足 5 的奇数。从 1 到 10

18、0 共有 50 个奇数，个位上是 5 的奇数有 10 个，即 5、15、95。解答:分子是小于 100 且个位上不是 5 的奇数，这样的分数有 40 个。【例 5】一个百分数，把百分号去掉，就比原来增加 49.5，这个百分数是多少?一点以这一点到点或点的距离为半径画圆这样的圆能画出无数个观察这些圆圆心所在的直线垂直于线段且平分线段解的圆解析正方形和圆都足轴对称图形正方形对称轴的交点就是其内部最大圆的对称轴的交点即正方形对角线的交点是轴的交点半径是正方形边长的一半例张师傅用铁丝把根直径均为的圆柱捆在一起接头处忽略不计把根圆柱捆一周要用解析：一个百分数去掉百分号后，就扩大到原来的 100 倍。若设

19、这个百分数是，则变化后的数就是 100，根据数量关系式：变化后的数一原数49.5，列方程解答。解答:解：设这个百分数是。10049.5 9949.5 0.5 50 答：这个百分数是 50。【例 6】甲数比乙数多 25，乙数比甲数少百分之几?解析：甲数比乙数多 25，应把乙数看作单位“1”，甲数是乙数的 1+251+4145，由此可知，把单位“1”平均分成 4 份，甲数有这样的 5 份。求乙数比甲数少百分之几，用乙数比甲数少的份数除以 甲数的份数即可。解答:1+251+4145 (54)520 答：乙数比甲数少 20。【例 7】小刚的课外书本数的专与小强的课外书本数的51相等。小强的课外书本数比

20、小刚少百分之几?解析：如下图所示小刚的课外书本数的81与小强的课外书本数的51相等，说明两人的一份量是相等的，可以设两人课外书的一份量为，则小刚有些本，小强有5本。再根据“求一个数比另一个数少百分之几”的方法进行解题。在解题的过程中，可以约掉未知数。解答：设小刚有 8本课外书，小强有 5本课外书。(8一 5)8375 答：小强的课外书本数比小刚少 375。【例 8】实验小学六(1)班今天没有到校的人数是到校人数的191。求六(1)班今天的出勤率。解析：此题中没有给出具体数量，可以考虑通过份数或分率来计算出勤率。思路一 利用份数求出勤率。由“六“)班今天没有到校的人数是到校人数 的191”可知，

21、到校人数是19 份，没有到校的人数是 要点提示：在计算百分率时，如果题中没有给出具体的数量，可以根据题中所给的分率，通过份数或分率来求百分率。要点提示：通过线段图可以直观地呈现题中的数量关系，体现了数形结合思想。数形结合思想就是借助图形使抽象的数、复杂的数量关系变得直观、形象、简单的思想方法。要点提示：一个百分数去掉百分号后，就扩大到原来的 100 倍；一个数添上百分号后，就缩小到原来的1001。要点提示：找准单位“1”、比较量和单位“1”与比较量之间的差量是解决此类问题的关键。一点以这一点到点或点的距离为半径画圆这样的圆能画出无数个观察这些圆圆心所在的直线垂直于线段且平分线段解的圆解析正方形

22、和圆都足轴对称图形正方形对称轴的交点就是其内部最大圆的对称轴的交点即正方形对角线的交点是轴的交点半径是正方形边长的一半例张师傅用铁丝把根直径均为的圆柱捆在一起接头处忽略不计把根圆柱捆一周要用要点提示：计算个人所得税，要分清各个数据分别在哪个范围内，把工资总额分段计算。要点提示：在解决百分数应用题时，要抓住问题的实质，找出隐含的条件，尤其是要找准单位“1”。l 份，全班人数应是 11920(份)。用到校数人所 占的份数除以全班人数所占的份数，可以求出出勤率。思路二 利用分率求出勤率。由“六(1)班今天没有到校的人数是到校人数的191”可知，把到校人数看作单位“1”，则没有到校的人数是191，全班

23、人数是 11911920。用到校人数对应的单位“1”除以全班人数所对应的分率1920，可以求出出勤率。解答：方法一：19(1 19)0.95 95 方法二：l(1 191)0.9595 答：六(1)班今天的出勤率是95。【例 9】2011年 9 月 1 日，个人所得税起征标准上调至3500元。下面是个人所得税税率表。级数 全月应纳税所得额 税率 1 不超过 1500 元 3 2 超过 1500 元至 4500 元 10 3 超过 4500 元至 9000 元 20 销售部李经理今年 5 月份的工资总额是 8245 元，按规定，李经理这个月纳税后能得到多少元工资?解析：根据题意可知，王叔叔的工资

24、总额中 3500 元的部分不用纳税；超过 3500元的部分按不同的税率纳税。解决此题时可将李经理的工资分成几段，分别计算应缴纳的税款。8245 元可分为四部分：3500 元不纳税 1500 元税率 3纳税 45 元 3000 元税率 10纳税 300 元 245 元税率 20纳税 49 元 解答：8245 元3500 元1500 元3000 元245 元 1500345(元)300010300(元)2452049(元)8245(45 30049)7851(元)答：李经理这个月纳税后能得到 7851 元工资。【例 10】小玉和小月到文化用品商店各买了一支钢笔，都花了 19.8 元。商店老板说这两

25、支钢 笔一支盈利 10，另一支亏损 10。小玉说老板正好不赚不赔，小玉说得对吗?解析：要想判断小玉说得对不对，就要将两支钢笔的成本价和卖出价进行比较。一支钢笔盈利 10，是指比成本价多 10；一支钢笔亏损 10，是指比成本价少 10。第一支钢笔的卖出价是成本价的(1 10)，第二支钢笔的卖出价是成本价的(1 10)，可先求 出成本价，再和卖出价进行比较。一点以这一点到点或点的距离为半径画圆这样的圆能画出无数个观察这些圆圆心所在的直线垂直于线段且平分线段解的圆解析正方形和圆都足轴对称图形正方形对称轴的交点就是其内部最大圆的对称轴的交点即正方形对角线的交点是轴的交点半径是正方形边长的一半例张师傅用

26、铁丝把根直径均为的圆柱捆在一起接头处忽略不计把根圆柱捆一周要用解答：19.8(1 10)19.8（110)19.8 11 19.8 90 18(元)22(元)19.82396(元)182240(元)39.640，卖出价低于成本价，老板赔钱，所以小玉说得不对。第五单元 数据处理【例 1】下面是王阿姨家养的观赏鱼种类的扇形统计图，其中虎头鱼有 8 条，你能算出每种鱼各有多少条吗?解析：根据扇形统计图明确虎头鱼占养鱼总数40，并且有 8 条，据此可求出王阿姨家养观赏鱼的总条数，在根据各种鱼与总量的关系求出每种鱼的条数。解答：虎头鱼 84020(条)珍珠鱼：20204(条)红帽鱼：20255(条)其他

27、：20153(条)答：虎头鱼 20 条、珍珠鱼 4 条、红帽鱼 5 条、其他 3 条。【例 2】张老师把五年级的一次数学测试成绩分别制成了统计表和统计图，但不小心把统计表和统计图弄脏了(如下图)，请你根据能看清的信息帮张老师计算出被弄脏的信息。解析：统计图中四种成绩的百分比的和是 100，但获得及格和优的百分比都是未知的，所以不能根据已知的百分比直接求出，可以根据待及格的人数和对应的百分比，根据统计表待及格 10 人，结合统计图待及格人数占 5%可求出总人数。根据优秀人数，求出占总人数的百分率；根据良好人数所占百分率求出良好人数，根据统计图求出及格人数所占百分比，在求出及格人数。解答：五年级总

28、人数：105200(人)获得良的人数：2004080(人)获得优的百分比：4820024 获得及格的百分比：1005402431 获得及格的人数：2003l 62(人)【例 3】左图是一位病人的体温记录折线统计图，从中可以看出什么?要点提示：抓住题中的不变量，结合已学的相关知识解决问题。一点以这一点到点或点的距离为半径画圆这样的圆能画出无数个观察这些圆圆心所在的直线垂直于线段且平分线段解的圆解析正方形和圆都足轴对称图形正方形对称轴的交点就是其内部最大圆的对称轴的交点即正方形对角线的交点是轴的交点半径是正方形边长的一半例张师傅用铁丝把根直径均为的圆柱捆在一起接头处忽略不计把根圆柱捆一周要用请你谈

29、谈自己的看法。(至少要说出：三点看法)解析：该病人每 6 小时测量一次体温。该病人在 4 月 7 日 4 月 9 日的最高体温是 39.5 摄氏度，最低体温是 36.8 摄氏度。该病人体温在 4 月 7 日 6 时到 12 时下降得最快。从体温来看，该病人的病情逐渐好转。解答：(答案不唯一)【例 4】下面是某晶牌电脑在两个连锁店的销售情况统计图。(1)从 2009 年到 2010 年，第()连锁店的销售额增长得快；从 2010 年到2012 年，第()连锁店的销售额增长得快。(2)对比两个连锁店的销售情况，第()连锁店发展得比较好。解析：这是一幅复式折线统计图，用“”表示第一连锁店的销售情况，

30、用“”表示第二连锁店的销售情况。把两个连锁店销售额的变化情况画在一张图上，便于对比发现数据的变化趋势，并能更好地进行判断和预测。观察上图中 2009 年到 2010 年这两段折线，第一连锁店上升陡峭，第二连锁店上升平缓，说明第一连锁店的销售额增长得快。观察上图中2010 年到 2012 年这两段折线，第二连锁店上升陡峭，第一连锁店上升平缓，说明第二连锁店的销售额增长得快。全面观察两个连锁店的折线，虽然都呈上升趋势，但第二连锁店相对陡峭，并由 2009 年低于第一连锁店的销售额，发展到 2013 年高于第一连锁店的销售额，所以第二连锁店发展得比较好。解答：(1)一 二 (2)二【例 5】下面是向

31、阳小学六(1)班学生为希望工程捐款的金额，其中漏写了一个学生的捐款钱数。请你根据六(1)班平均每人捐款 78 元，算出漏写的这个学生的捐款钱数并填写统计表。(单位：元)50 100 120 50 80 100 96 30 20 120 5 80 65 120 150 30 30 30 40？50 50 88 36 180 90 100 100 72 58 向阳小学六(1)班学生为希望工程捐款金额分段情况统计表 要点提示：复式折线统计图能同时体现两组数据的增减变化情况，便于对比分析，得出结论。一点以这一点到点或点的距离为半径画圆这样的圆能画出无数个观察这些圆圆心所在的直线垂直于线段且平分线段解的

32、圆解析正方形和圆都足轴对称图形正方形对称轴的交点就是其内部最大圆的对称轴的交点即正方形对角线的交点是轴的交点半径是正方形边长的一半例张师傅用铁丝把根直径均为的圆柱捆在一起接头处忽略不计把根圆柱捆一周要用捐款金额段元 0 50 51 100 101 150 151 200 人数 解析：先用总人数乘平均每人捐款钱数，求出捐款 的总钱数。然后分别减去没有漏写的学生的捐款钱 数，所得的差就是漏写的这个学生的捐款钱数。最 后按要求完成统计表。解答：3078(504100412038029630420565150408836180907258)200(元)答：漏写的这个学生捐款 200元。向阳小学六(1)

33、班学生为希望工程捐款金额分段情况统计表 捐款金额段元 050 51100 101150 151200 人数 12 12 4 2 第六单元 比的认识【例 1】白菜和芹菜的单价比是 3：7，数量比是 5：4，那么白菜和芹菜的总价比是多少?解析：题中存在两种量，分别是单价和数量，要求总价的比。根据“总价单价数量”，可以用 35 表示白菜的总价，用 74 表示芹菜的总价。所以白菜和芹菜的总价比是(3 5)：(7 4)。解答：(3 5)：(7 4)15：28 答：白菜和芹菜的总价比是 15：28。【例 2】实验小学一年级与二年级的人数比是 7：6，二年级与三年级的人数比是 5；4，写出三个年级人数的最简

34、整数比。解析：“7：6”和“5：4”中都含有二年级的人数，所以把这两个比化成连比的关键是使两个单比中二年级的人数所占的份数相同。6和5的最小公倍数是30，根据比的基本性质，可以将两个单比化成如下形式：7：6(7 5)：(6 5)35：30 5：4(5 6)：(4 6)30：24 两个比中，二年级的人数都占 30 份，在两个比中 每份表示的人数相同，所以将两个单比写成连比 就是 35：30：24。解答：三个年级人数的最简整数比为 35：30：24。【例 3】甲数与乙数的比是 4：5，乙数是丙数的321倍。甲数与丙数的比是多少?解析：首先设乙数是 60。甲数就是乙数的54，即甲数605448；丙数

35、乙数3216032136。甲数：丙数48：364：3。解答：设乙数是 60。要点提示：全班人数平均每人捐款钱数一没有漏写的学生的捐款钱数和漏写学生的捐款钱数。要点提示：解答此类题可以先设其中的一个数是具体数，然后分别求出另外两个数，最后求比。要点提示：根据比的基本性质不仅可以进行比的化简，还可以把几个单比写成连比的形式。要点提示：利用题中存在的数量关系求比。一点以这一点到点或点的距离为半径画圆这样的圆能画出无数个观察这些圆圆心所在的直线垂直于线段且平分线段解的圆解析正方形和圆都足轴对称图形正方形对称轴的交点就是其内部最大圆的对称轴的交点即正方形对角线的交点是轴的交点半径是正方形边长的一半例张师

36、傅用铁丝把根直径均为的圆柱捆在一起接头处忽略不计把根圆柱捆一周要用 甲数：605448 丙数：6032136 甲数：丙数48：364：3【例 4】甲、乙两班共有 81 人，其中甲班人数的41与乙班人数的51相等。甲、乙两班各有多少人?解析：要求甲、乙两班各有多少人，根据题意画示意图如下。由上图可知，甲、乙两班的人数比是 4：5。那么甲班人数占总人数的：544 乙班人数占总人数的：545，由此可求出甲、乙两班各是多少人。解答：甲班人数：8154436(人)乙班人数：8154545(人)【例 5】蓝天小学和新世纪小学学生人数的比是 3：5。如果从蓝天小学转入新世纪小学 150 人，则蓝天小学与新世

37、纪小学学生人数的比是 3：7，求原来蓝天小学和新世纪小学各有多少人。解析：原来两所小学学生人数的比是 3：5，蓝天小学学生人数占两所小学学生总人数的83，新世纪小学学生人数占两所小学学生总人数的85。变化后两所小学学生人数的比是 3：7，蓝天小学学生人数占两所小学学生总人数的103，新世纪小学学生人数占两所小学学生总人数的107。无论是变化前还是变化后，两所小学学生总人数是不变的，蓝天小学学生人数在变化前占学生总人数的83，变化后占学生总人数的103，变化前后减少了(83103)，是因为蓝天小学转入新世纪小学 150 人。由此可以求出两所小学学生的总人数，再分别求出每所小学的学生人数。解答：学

38、生总人数：150(83103)2000(人)原来蓝天小学学生人数：200083750(人)原来新世纪小学学生人数：2000851250(人)答：原来蓝天小学有750 人，新世纪小学有1250人。要点提示：根据两所小学学生的总人数不变来分析问题是解决此题的关键。一点以这一点到点或点的距离为半径画圆这样的圆能画出无数个观察这些圆圆心所在的直线垂直于线段且平分线段解的圆解析正方形和圆都足轴对称图形正方形对称轴的交点就是其内部最大圆的对称轴的交点即正方形对角线的交点是轴的交点半径是正方形边长的一半例张师傅用铁丝把根直径均为的圆柱捆在一起接头处忽略不计把根圆柱捆一周要用【例 6】一批零件，已经加工完的零

39、件个数与未加工的零件个数之比是 1：3，再加工 150 个，已加工的零件个数与未加工的零件个数之比为2：3，则这批零件一共有多少个?解析：已加工的零件个数：未加工的零件个数1：3，所以已加工的零件个数占总数的41，未加工的零件个数占总数的43。再加工 150 个，已加工的零件个数：未加工的零件个数2：3，所以已加工的零件个数占总数的52，未加工的零件个数占总数的53。解答：150（5241）1000（个）答：这批零件一共有 1000 个。数学好玩【例 1】蚂蚁去大树下乘凉，它从家到大树下的行程如下图。蚂蚁经过()分钟到达大树下。蚂蚁前20分钟的平均速度是多少?最后10分钟的平均速度是多少?哪个

40、时间段内蚂蚁的速度最快?解析：观察上图，横轴表示时间，纵轴表示速度，纵轴上的 10，20，30分别表示 1 厘米分，2 厘米分，3 厘米分 从 8：:0 开始，蚂蚁经过几分钟到达大树下，要根据这点的位置联系横轴的对应点找到所在位置的时刻（9:00），9:00 8:00 1 时60 分。因为横轴表示时间，纵轴表示速度，首先从纵轴 8:00 开始，在 8:20 的位置沿纵轴方向向上找到纵轴与表示速度的线段的交点，得出此时所行路程 40（厘米），然后根据：“路程时间速度”求出；同理求出最后 10 分钟的平均速度；要知道哪个时间段内蚂蚁的速度最快，就要看图中折线中那部分最陡（8:108:20）。解答：

41、60 40202(厘米分)(8060)102(厘米分)8：10 到 8：20【例 2】从甲地到乙地共有 18 个火车站，铁路应为这条线路准备多少种不同的火车票?解析：可以采用画图找规律的方法，用点表示不同火车站，用两点之间的连线表示两个火车站之间的距离，通过数连线条数的方法来寻找需要火车票张数的规律。从甲地到乙地（单程）：画图可知2 个火车站时，只有 1 条线，既需要 1种火车票；3 个火车站时，增加了 2 条线，需要 1+23 种火车票；4 个火车站时，又增加了 3 条线，需要 1+2 十 36 种火车票；5 个火车站时，再增加 4 条线，需要 l+2+3+410 种火车票。从而发现规律：5

42、 个火车站时，火车票张数为 1 到4 四个数的和；6 个火车站时，火车站张数为 l 到 5 五个数的和，依此类推，18一点以这一点到点或点的距离为半径画圆这样的圆能画出无数个观察这些圆圆心所在的直线垂直于线段且平分线段解的圆解析正方形和圆都足轴对称图形正方形对称轴的交点就是其内部最大圆的对称轴的交点即正方形对角线的交点是轴的交点半径是正方形边长的一半例张师傅用铁丝把根直径均为的圆柱捆在一起接头处忽略不计把根圆柱捆一周要用个火车站时，火车票张数为 l 到 17 十七个数的和，即：12341617（117）89153（张），那么 18 个火车站从甲地到乙地，应为这条线路准备 153 张。同理：从乙

43、地返回到甲地也许相同的张数。所以从甲地到乙地应为这条线路准备 1532306 种不同的火车票。解答：18(18 1)22306(种)答：应为这条线路准备 306 种不同的火车票。【例 3】在一次象棋选拔赛中，共有 10 名选手参赛，每个参赛选手和其他选手都要进行一场比赛，那么一共要进行多少场比赛？解析：分别给每位选手进行编号，分别是：、，号选手要分别与其他 9 名选手进行一场比赛，共 9 场；号选手也要进行 9 场比赛，但与号的比赛前面计过，不需再与号选手进行比赛，因此号选手只能与其他 8 位选手进行比赛，也就是还需 8 场比赛；同理，号选手还需 7 场，还需 6 场，还需 5 场，还需 4

44、场，还需 3 场，还需 2 场，只需 1 场，而号选手与其他选手的比赛都计在前面的数中了。因此 10 名选手一共进行的比赛场数就是9871。从列出的式子中可以看出，这一列数正好成等差数列，那么就可用等差数列和公式（首项末项）项数 2 进行计算。解答：把 10 名参赛选手编号后，不重复计数时，从到分别进行的比赛场次是 9、8、7、6、5、4、3、2、1，所以一共进行的场次是：987654321 （91）92 45（场）答：一共要进行 45 场比赛。第七单元 百分数的应用【例 1】一瓶含糖率为 10的糖水，加入与糖水质量相同的水以后，这时糖水的含糖率是百分之几?解析：在本题中糖与糖水的质量都没有告

45、诉，因为糖水和加入水的质量相同，因此不妨设糖水和加入水的质量均为10（任何部位 0 数均可）。解答：1010(10 10)1 205【例 2】小明从家去学校逆风用了 15 分，从学校回家顺风用了 12 分，回家时的速度提高了百分之几?解析：题中已知条件较少，无法计算出准确速度，但可以假设一个具体数来表示速度。设小明家与学校的距离为 600 米，根据“速度路程时间”可以用“时间600”来表示速度，然后求出速度提高了百分之几。解答：设小明家与学校的距离为600 米。去学校时的速度：6001540(米分)回家时的速度：6001250(米分)(5040)40104025 答：回家时的速度提高了 25。

46、【例 3】甲数比乙数少 20，乙数比甲数多百分之几?解析：题中没有直接给出具体数量，可以用百分数表示数量的多少。甲数比乙数要点提示：在求比赛场次时，列出式子后，应对数据进行仔细的观察，找出这组数的规律，然后用等差数列和公式（首项末项）项数2 进行计算就比较简便了。要点提示：本题中设陶陶家与学校的距离是行走时间的公倍数时，解题比较简便。一点以这一点到点或点的距离为半径画圆这样的圆能画出无数个观察这些圆圆心所在的直线垂直于线段且平分线段解的圆解析正方形和圆都足轴对称图形正方形对称轴的交点就是其内部最大圆的对称轴的交点即正方形对角线的交点是轴的交点半径是正方形边长的一半例张师傅用铁丝把根直径均为的圆

47、柱捆在一起接头处忽略不计把根圆柱捆一周要用少 20，两个量相比，乙数是单位“1”的量，即 100。甲数是 1002080，20是两个数的差量。求乙数比甲数多百分之几，就是求差量 20占甲数的百分之几。解答：20(100 20)2080 25 答：乙数比甲数多 25。【例 4】海河小学去年有女生 200 人，男生人数比女生人数多 80 人。今年女生人数比去年增加了 20，比今年男生人数多 30 人，今年男生人数比去年减少了百分之几?解析：海河小学去年有女生 200 人，今年女生人数比去年增加了 20，那么今年女生人数是去年的(1 20)，即今年女生人数为 200(1 20)=240(人)。由此得

48、出今年男生人数为 24030210(人)，因此可求出今年男生人数比去年减少的百分比。解答：200X(120)240(人)(20080)(240 30)(200 80)25 答：今年男生人数比去年减少了百分之二十五。【例 5】“六一”儿童节期间，书店搞促销活动。儿童书店所有图书一律按原价的 70销售；新华书店所有图书一律“买四送一”。张老师要买 20 本趣味数学，到哪家书店买比较便宜?解析：两家书店的优惠方案不同，为了便于比较，可将“买四送一”换算成按原价的百分之几十销售。到新华书店买(4+1)本只要 4 本的钱，20 本正好 是(4 1)本的倍数，也就是 4(4 1)80，8070，因此到儿童

49、书店买比较便宜。解答：4(4 1)80 8070 到儿童书店买比较便宜。【例 6】水果店购进了两批水果。第一批水果热销，高于成本价 20卖出；第二批水果滞销，低于成本价 20卖出。两批水果售出的总钱数相同，水果店赔了还是赚了?解析：第一批水果售出的总价是成本价的(1 20)；第二批水果售出的总价是成本价的(1 20)。两批水果售出的钱数相同，为了便于计算，可把每批水果售出的总价设为 240 元。比较：480500 水果店赔了。解答：设每批水果售出的总价为 240 元。第一批水果成本：240(1 20)200(元)第二批水果成本：240(1 20)300(元)两批水果的总成本：200300500

50、(元)两批水果售出的总价：240240480(元)480500 水果店赔了。【例 7】某商场同时售出了两台电视机，售价都是 960 元，一台是高科技新产品，赚了 20，另一台是旧型号，亏损了 20，售出的这两台电视机，商场赚了还是赔了?赚了或赔了多少元?解析：根据两台电视机售价都是 960 元，分别求出新产品与旧型号电视机的进价；高科技新产品，赚了 20也就是进价（120），是与进价相比较，因此进价是单位“1”的量，求单位“1”的量是多少用方程或除法；旧型号，亏损了 20要点提示：已知甲数比乙数少(或多)百分之几，少(或多)的百分数就是两个数的差量。求乙数比甲数多(或少)百分之几，可直接用差量