【教育资料】分层训练：4-4学习专用.pdf

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1、教育资源 教育资源 4.4 生活中的优化问题举例 一、基础达标 1方底无盖水箱的容积为 256，则最省材料时，它的高为 A 4 B 6 C 4.5 D 8 答案 A 解析 设底面边长为 x，高为 h，则 V(x)x2 h 256，h256x2，S(x)x2 4xh x2 4x256x2 x24 256x，S(x)2x4 256x2.令 S(x)0，解得 x 8，h25682 4.2某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为 k(k0)已知贷款的利率为 0.0486，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去设存款利率为 x，x(0,0.0486)，若使银行获得最大

2、收益，则 x 的取值为 A 0.016 2 B 0.032 4 C 0.024 3 D 0.048 6 答案 B 解析 依题意，得存款量是 kx2，银行支付的利息是 kx3，获得的贷款利息是0.048 6kx2，其中 x(0,0.048 6)所以银行的收益是 y 0.048 6kx2 kx3(0 x0.048 6)，则 y 0.097 2kx 3kx2.令 y 0，得 x 0.032 4 或 x 0(舍去)当 0 x0；当 0.032 4x0.048 6 时，y 0.所以当 x 0.032 4 时，y 取得最大值，即当存款利率为 0.032 4 时，银行获得教育资源 教育资源 最大收益 3如果

3、圆柱轴截面的周长 l 为定值，则体积的最大值为 A.l63 B.l33 C.l43 D.14l43 答案 A 解析 设圆柱的底面半径为 r，高为 h，体积为 V，则 4r 2h l，hl 4r2，V r2hl2 r2 2 r30 r 0，rl6是其唯一的极值点 当 rl6时，V 取得最大值，最大值为l63.4 用边长为 120 cm 的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转 90 角，再焊接成水箱，则水箱最大容积为 A 120 000 cm3 B 128 000 cm3 C 150 000 cm3 D 158 000 cm3 答案 B 解析 设水箱底边长为 x

4、cm，则水箱高 h 60 x2(cm)水箱容积 V V(x)x2h 60 x2x32(0 x120)V(x)120 x32x2.令 V(x)0，得 x 0(舍去)或 x 80.可判断得 x 80 cm时，V 取最大值为 128 000 cm3.5做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是 27，且用料最省，则圆柱的底面半径为 _ 答案 3 解析 设圆柱的底面半径为 R，母线长为 L，则 V R2L 27，L27R2，要教育资源 教育资源 使用料最省，只须使圆柱表面积最小，由题意，S表 R2 2 RL R2 227R，S(R)2 R54R2 0，R 3，则当 R 3 时，S表最小 6电动自行车的耗电

5、量 y 与速度 x 之间的关系为 y13x3392x2 40 x(x 0)，为使耗电量最小，则其速度应定为 _ 答案 40 解析 由题设知 y x2 39x 40，令 y 0，解得 x 40，或 x 1，故函数 y13x3392x2 40 x(x 0)在 40，)上递增，在(0,40 上递减当 x 40 时，y 取得最小值 由此得为使耗电量最小，则其速度应定为 40.7学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为 128 dm2，上、下两边各空 2 dm，左、右两边各空 1 dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？解 设版心的高为

6、 x dm，则版心的宽为 128x dm，此时四周空白面积为 S(x)(x 4)128x 2 128 2x512x 8，x0.求导数，得 S(x)2512x2.令 S(x)2512x2 0，解得 x 16(x 16舍去)于是宽为128x12816 8.当 x(0,16)时，S(x)0.教育资源 教育资源 因此，x 16 是函数 S(x)的极小值点，也是最小值点 所以，当版心高为 16 dm，宽为 8 dm 时，能使四周空白面积最小 二、能力提升 8把长为 12 cm 的细铁丝截成两段，各自摆成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积之和的最小值是 A.323 cm2 B 4 cm2 C 3 2

7、cm2 D 2 3 cm2 答案 D 解析 设一个正三角形的边长为 xcm，则另一个正三角形的边长为(4 x)cm，则这两个正三角形的面积之和为 S34x234(4 x)232(x 2)2 4 2 3(cm2)，故选 D.9某公司生产一种产品，固定成本为 20 000 元，每生产一单位的产品，成本增加 100 元，若总收入 R 与年产量 x 的关系是 R(x)x3900 400 x，0 x 390，90 090，x390，则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是 A 150 B 200 C 250 D 300 答案 D 解析 由题意得，总利润 P(x)x3900 300 x 20 000，0

8、x 390，70 090 100 x，x390，令 P(x)0，得 x 300，故选 D.10.为 处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为 2米的无盖长方体沉淀箱，污水从 A孔流入，经沉淀后从 B孔流出，设箱体的长为 a米，高为 b米已知流出的水中该杂质的质量分数与 a，b 的乘积 ab 成反比，现有制箱材料 60平方米，问当 a _，b _时，经沉淀后流出的水中该杂质的质教育资源 教育资源 量分数最小(A，B 孔的面积忽略不计)答案 6 3 解析 设 y 为流出的水中杂质的质量分数，则 ykab，其中 k(k0)为比例系数 依题意，即所求的 a，b 值使 y 值最小，根据题设，4b 2ab

9、2a 60(a0，b0)得 b30 a2 a.于是 ykabk30a a22 ak 2 a30a a2.(0a30)令 y a2k 4ak 60k 30a a22 0，得 a 6 或 a 10(舍去)只有一个极值点，此极值点即为最值点 当 a 6 时，b 3，即当 a 为 6 米，b 为 3 米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小 11某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距 m 米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩经测算，一个桥墩的工程费用为 256 万元；距离为 x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2 x)x 万元假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余

10、下工程的费用为 y 万元(1)试写出 y 关于 x 的函数关系式；(2)当 m 640 米时，需新建多少个桥墩才能使 y 最小？解(1)设需新建 n 个桥墩，则(n 1)x m，即 nmx 1.所以 y f(x)256n(n 1)(2 x)x 256mx 1 mx(2 x)x 256mx m x 2m 256.教育资源 教育资源(2)由(1)知，f(x)256mx2 令 f(x)0，得 512，所以 x 64.当 0 x64 时，f(x)0，f(x)在区间(0,64)内为减函数；当 64x0，f(x)在区间(64,640)内为增函数，所以 f(x)在 x 64处取得最小值 此时 nmx 164

11、064 1 9.故需新建 9 个桥墩才能使 y 最小 12 一火车锅炉每小时煤消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为20 km/h 时，每小时消耗的煤价值 40 元，其他费用每小时需 200 元，火车的最高速度为 100 km/h，火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？解 设速度为 x km/h，甲、乙两城距离为 a km.则总费用 f(x)(kx3 200)ax a(kx2200 x)由已知条件，得 40 k 203，k1200，f(x)a1200 x2200 x(0 x 100)令 f(x)a x3 20 000100 x2 0，得 x 10320.当 0 x1032

12、0时，f(x)0；当 10320 x0.当 x 10320时，f(x)有最小值，教育资源 教育资源 即速度为 10320 km/h 时，总费用最少 三、探究与创新 13.某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为803立方米，且 l 2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关 已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元，半球形部分每平方米建造费用为 c(c3)千元设该容器的建造费用为 y 千元(1)写出 y 关于 r 的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的 r.解(1)设容器的容积为 V

13、，由题意知 V r2l43 r3，又 V803，故 lV43 r3 r2803r24r34320r2 r.由于 l 2r，因此 0r 2.所以建造费用 y 2 rl 3 4 r2c 2 r4320r2 r 3 4 r2c，因此 y 4(c 2)r2160r，0r 2.(2)由(1)得 y 8(c 2)r160r28 c 2r2(r320c 2)，03，所以 c 20.教育资源 教育资源 当 r320c 2 0 时，r320c 2.令320c 2 m，则 m0，所以 y 8 c 2r2(r m)(r2 rm m2)当 0m92时，令 y 0，得 r m.当 r(0，m)时，y 0，所以 r m 是函数 y 的极小值点，也是最小值点 当 m 2，即 3c92时，当 r(0,2 时，y 0，函数单调递减，所以 r 2是函数 y 的最小值点 综上所述，当 392时，建造费用最小时 r320c 2.