最新微积分同步辅导与考研指南3.pdf

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1、 微积分同步辅导与考研指南 3 精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢175 第五章 不定积分 一 内容提要：1.不定积分的概念、性质：原函数的定义：若定义在区间 I上的函数 Skip Record If.以及可导函数 Skip Record If.满足关系：对于任意 Skip Record If.，都有 Skip Record If.，则称 Skip Record If.为 Skip Record If.在区间 I上的一个原函数.原函数存在定理：如果 Skip Record If.在区间 I上连续，则在区间I上存在可导函数 Skip Record If.，使任

2、意 Skip Record If.，都有 Skip Record If.简单地说就是：连续函数一定有原函数.不定积分的定义：在区间I上，函数 Skip Record If.的全体原函数称为 Skip Record If.在区间 I上的不定积分，记作：Skip Record If.，则 Skip Record If.不定积分的几何意义：不定积分在几何上表示积分曲线族 不定积分的性质：Skip Record If.2.不定积分的求法：换元积分法：第一类换元积分法（又叫凑微分法）：设 Skip Record If.具有原函数 Skip Record If.，即 Skip Record If.Skip

3、 Record If.看和没有凑之前相等不相等，如果不相等也仅差一个符号或者常数.第二类换元积分法：设 Skip Record If.是单调的可导函数，并且 Skip Record If.，又设 Skip Record If.具有原函数，则有换元法：Skip Record If.其中 Skip Record If.是 Skip Record If.的反函数.区间上连续则在区间上存在可导函数使任意都有简单地说就是连续函数一定有原函数不定积分的定义在区间上函数的质不定积分的求法换元积分法第一类换元积分法又叫凑微分法设具有原函数即看和没有凑之前相等不相等如果不相等供学习与交流如有侵权请联系网站删除谢

4、谢精品好文档推荐学习交流也就是说给出的不定积分不会求这时我们引入变精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢175 也就是说，给出的不定积分 Skip Record If.不会求，这时我们引入变量代换 Skip Record If.，Skip Record If.化成 Skip Record If.就可以求出了，求出的原函数 Skip Record If.用 Skip Record If.的反函数 Skip Record If.代换即可.在第二换元积分法中最简单、最常见的是三角代换和倒代换，我们在典型例题中说明这两种情形.分部积分法：Skip Record If.降

5、次法：也就是被积函数由多项式与三角函数或者指数函数的积的形式出现，设多项式为 u.转换法：也就是被积函数是多项式与对数函数或者反三角函数的积的形式，设对数函数或者反三角函数为 u.循环法：也就是被积函数是指数函数与正弦(或余弦)函数的积时，两个函数任选一个作为 u，积分一次再积分一次，第一次选哪种类型数作为 u,第二次用分部积分法时还选那类函数作为 u，积分后移项即可.递推法：被积函数是某一简单函数的高次幂，利用一次分部积分法，使幂降一次，连续积分即可，这种方法叫递推法.有理函数的积分：被积函数是有理函数的形式，将被积函数分解成部分分式的形式，再积分.不定积分积分公式：Skip Record

6、If.Skip Record If.二 典型例子解析：例1.求下列不定积分：Skip Record If.例2.求下列不定积分：区间上连续则在区间上存在可导函数使任意都有简单地说就是连续函数一定有原函数不定积分的定义在区间上函数的质不定积分的求法换元积分法第一类换元积分法又叫凑微分法设具有原函数即看和没有凑之前相等不相等如果不相等供学习与交流如有侵权请联系网站删除谢谢精品好文档推荐学习交流也就是说给出的不定积分不会求这时我们引入变精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢175 Skip Record If.Skip Record If.例3.求下列不定积分：Ski

7、p Record If.例4.求下列不定积分：Skip Record If.Skip Record If.例5.利用到代换求：Skip Record If.Skip Record If.例6.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.例7.求下列不定积分：Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.三 本章习题全解 习题 5-1 1.求下列不定积分：Skip Record If.Skip Record If.区间

8、上连续则在区间上存在可导函数使任意都有简单地说就是连续函数一定有原函数不定积分的定义在区间上函数的质不定积分的求法换元积分法第一类换元积分法又叫凑微分法设具有原函数即看和没有凑之前相等不相等如果不相等供学习与交流如有侵权请联系网站删除谢谢精品好文档推荐学习交流也就是说给出的不定积分不会求这时我们引入变精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢175 Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.2.一曲线通过点 Skip Record If.,且在任意一点处的切线斜率等于该点横坐标的倒数，求曲线的方程。解：根据导数的几何意

9、义：Skip Record If.将 Skip Record If.曲线的方程为 Skip Record If.3.已知某产品产量的变化率是时间 t 的函数 Skip Record If.(a,b 为常数)，设此产品的产量为函数 Skip Record If.，且 Skip Record If.，求 Skip Record If.解:根据题意：Skip Record If.Skip Record If.习题 5-2 1.求下列不定积分：Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.利用辅助三

10、角形 Skip Record If.Skip Record If.利用辅助三角形 Skip Record If.区间上连续则在区间上存在可导函数使任意都有简单地说就是连续函数一定有原函数不定积分的定义在区间上函数的质不定积分的求法换元积分法第一类换元积分法又叫凑微分法设具有原函数即看和没有凑之前相等不相等如果不相等供学习与交流如有侵权请联系网站删除谢谢精品好文档推荐学习交流也就是说给出的不定积分不会求这时我们引入变精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢175 Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Re

11、cord If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.2.用指定的换元法求下列不定积分：Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.习题 5-3 1.求下列不定积分：Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Ski

12、p Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.2.利用指定的变量代换求下列不定积分：Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.习题 5-4 区间上连续则在区间上存在可导函数使任意都有简单地说就是连续函数一定有原函数不定积分的定义在区间上函数的质不定积分的求法换元积分法第一类换元积分法又叫凑微分法设具有原函数即看和没有凑之前相等不相等如果不相等供学习与交流如有侵权请联系网站删除谢谢精品好文档推荐学习交流也就是说给出的不定积分不会求这时我们引入变精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交

13、流，如有侵权请联系网站删除 谢谢175 1.计算下列积分：Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.总复习五 1.求下列不定积分（其中 a、b 是常数）：Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip

14、 Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip

15、 Record If.2.设某商品的需求函数 Q 是单价 p 的函数，该商品的最大需求量为 1000（即 p=0 时区间上连续则在区间上存在可导函数使任意都有简单地说就是连续函数一定有原函数不定积分的定义在区间上函数的质不定积分的求法换元积分法第一类换元积分法又叫凑微分法设具有原函数即看和没有凑之前相等不相等如果不相等供学习与交流如有侵权请联系网站删除谢谢精品好文档推荐学习交流也就是说给出的不定积分不会求这时我们引入变精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢175 Q=1000）,已知需求量的变化率为 Skip Record If.，求需求量关于价格的弹性.Ski

16、p Record If.四 考研真题精选：1.（89.数四，3 分）下列等式中正确的结果是：（A）Skip Record If.Skip Record If.2.（89.数四，5 分）求不定积分 Skip Record If.Skip Record If.3.（90.5 分）求下列不定积分 Skip Record If.解：被积函数是幂函数与三角函数的乘积，因此在求不定积分时考虑用分部积分法.Skip Record If.4.（91.5 分）求不定积分 Skip Record If.解：本题和90年的题目类似，求不定积分时考虑用分部积分法.Skip Record If.5.（92.8 分）Sk

17、ip Record If.解:被积函数含有反三角函数，考虑用分部积分法.Skip Record If.6.（93 年，3 分）Skip Record If.Skip Record If.7.（94 年,6 分）Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.8.（95 年，6 分）求不定积分 Skip Record If.解:连续两次运用分部积分法：Skip Record If.9.（96 年，3 分）设 Skip Record If.Skip Record If.10.（98 年，3 分）Skip Record If.区

18、间上连续则在区间上存在可导函数使任意都有简单地说就是连续函数一定有原函数不定积分的定义在区间上函数的质不定积分的求法换元积分法第一类换元积分法又叫凑微分法设具有原函数即看和没有凑之前相等不相等如果不相等供学习与交流如有侵权请联系网站删除谢谢精品好文档推荐学习交流也就是说给出的不定积分不会求这时我们引入变精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢175 Skip Record If.11.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.S

19、kip Record If.12.（00 年，3 分）Skip Record If.Skip Record If.13.（02 年，6 分）设 Skip Record If.Skip Record If.14.(02 年，3 分)已知函数 Skip Record If.的一个原函数为 Skip Record If.，则 Skip Record If.Skip Record If.综上，考生在复习中要熟练掌握以下几点：熟练掌握不定积分的基本积分公式。熟练掌握不定积分的换元积分法，特别是第一类换元积分法（又叫凑微分法）凑微分比较灵活，需做大量的习题才行。特别是 各种类型题目做够做好，总结到位。分部

20、积分法在考研中经常用到，这种方法要熟练掌握，在利用分部积分法时，那个函数作为 u 是关键。第六章 定积分及其应用 一 内容提要 1.定积分的概念：定积分的定义：设函数 Skip Record If.在a,b上有界，在a,b中任意插入 n-1个分点：Skip Record If.把区间 Skip Record If.分成 n 个小区间 Skip Record If.，每个小区间的长度是 Skip Record If.，区间上连续则在区间上存在可导函数使任意都有简单地说就是连续函数一定有原函数不定积分的定义在区间上函数的质不定积分的求法换元积分法第一类换元积分法又叫凑微分法设具有原函数即看和没有凑

21、之前相等不相等如果不相等供学习与交流如有侵权请联系网站删除谢谢精品好文档推荐学习交流也就是说给出的不定积分不会求这时我们引入变精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢175 在每一个小区间上任取一点 Skip Record If.，Skip Record If.，做乘积 Skip Record If.（Skip Record If.做近似值 Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.可积的条件：Skip Record If.在区间a,b上连续一定可积；Skip Record If.在区间a,b上有界，且有有限个间断点

22、，则 Skip Record If.在区间a,b上一定可积.定积分的几点说明：定积分的值与区间有关；定积分与积分变量无关.即 Skip Record If.定积分的几何意义：当 Skip Record If.时，Skip Record If.当 Skip Record If.时，Skip Record If.当 Skip Record If.在a,b上既有正值又有负值时：Skip Record If.2.定积分的性质：性质 1：Skip Record If.性质 2：Skip Record If.性质 3：（定积分对区间具有可加性）设 Skip Record If.Skip Record If

23、.性质 4：Skip Record If.性质 5：Skip Record If.性质 6：Skip Record If.推论：Skip Record If.性质 7：设 M、m 分别是 Skip Record If.在区间a,b上的最大值和最小值，则 区间上连续则在区间上存在可导函数使任意都有简单地说就是连续函数一定有原函数不定积分的定义在区间上函数的质不定积分的求法换元积分法第一类换元积分法又叫凑微分法设具有原函数即看和没有凑之前相等不相等如果不相等供学习与交流如有侵权请联系网站删除谢谢精品好文档推荐学习交流也就是说给出的不定积分不会求这时我们引入变精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流

24、，如有侵权请联系网站删除 谢谢175 Skip Record If.这个式子叫定积分的估计式.性质 8：（定积分中值定理）Skip Record If.Skip Record If.存在一个 Skip Record If.使得 Skip Record If.3.微积分基本公式：积分上限的函数及其导数：设 Skip Record If.上也连续，从而可积，这时 Skip Record If.变化时，Skip Record If.在a,b上确定一个新的函数，称这个函数叫做积分上限的函数（或叫变上限的积分）记作 Skip Record If.，即 Skip Record If.并且函数 Skip R

25、ecord If.在a,b上可导，并有 Skip Record If.牛顿莱布尼茨公式：设 Skip Record If.在a,b上连续，Skip Record If.是 Skip Record If.在a,b上的一个原函数，则 Skip Record If.4.定积分的换元积分法：设 Skip Record If.在a,b上连续，函数 Skip Record If.满足：Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.在利用定积分的换元法时，应注意两点：在引入新的积分变量时，积分区间要跟着变，变成新的积分变量的变化区间；在求出 Skip Record

26、 If.的一个原函数 Skip Record If.后，只用将 Skip Record If.代入相减就可以，即 Skip Record If.5.定积分的分步积分法：区间上连续则在区间上存在可导函数使任意都有简单地说就是连续函数一定有原函数不定积分的定义在区间上函数的质不定积分的求法换元积分法第一类换元积分法又叫凑微分法设具有原函数即看和没有凑之前相等不相等如果不相等供学习与交流如有侵权请联系网站删除谢谢精品好文档推荐学习交流也就是说给出的不定积分不会求这时我们引入变精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢175 定积分的分部积分法公式：设If.在a,b上具有

27、Skip Record 连续的导数，则：Skip Record If.定积分递推公式：这个公式很重要，在计算定积分时，有时很简便.Skip Record If.6.广义积分：无穷限的广义积分：积分区间是无穷区间；瑕积分：被积函数具有无穷间断点，也叫具有无穷间断的广义积分.7.定积分的几何应用：平面图形的面积：Skip Record If.所围成的图形的面积 A 为 Skip Record If.如果是下图所示的情形先解方程组 Skip Record If.求出交点的横坐标，Skip Record If.、Skip Record If.，则平面图形的面积 A 为:Skip Record If.S

28、kip Record If.Skip Record If.Skip Record If.区间上连续则在区间上存在可导函数使任意都有简单地说就是连续函数一定有原函数不定积分的定义在区间上函数的质不定积分的求法换元积分法第一类换元积分法又叫凑微分法设具有原函数即看和没有凑之前相等不相等如果不相等供学习与交流如有侵权请联系网站删除谢谢精品好文档推荐学习交流也就是说给出的不定积分不会求这时我们引入变精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢175 立体的体积：旋转体的体积：由平面图形 S 绕 Skip Record If.轴旋转一周所生成的立体的体积 Skip Record

29、 If.(图 1)由平面图形 Skip Record If.绕 Skip Record If.轴旋转一周所生成的立体的体积(图 2)Skip Record If.平行截面面积为已知的立体的体积：夹在两个平面 Skip Record If.截立体 的截面面积 Skip Record If.为已知的，则该立体的体积为 Skip Record If.8.定积分的经济应用：已知边际函数求总函数：Skip Record If.、Skip Record If.、Skip Record If.；Skip Record If.,Skip Record If.,Skip Record If.则 Skip Rec

30、ord If.;Skip Record If.;区间上连续则在区间上存在可导函数使任意都有简单地说就是连续函数一定有原函数不定积分的定义在区间上函数的质不定积分的求法换元积分法第一类换元积分法又叫凑微分法设具有原函数即看和没有凑之前相等不相等如果不相等供学习与交流如有侵权请联系网站删除谢谢精品好文档推荐学习交流也就是说给出的不定积分不会求这时我们引入变精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢175 Skip Record If.收益流的现值和将来值：设一笔收益流的收益量为 Skip Record If.（每年元）Skip Record If.Skip Record

31、 If.其中 r为连续复利的利率.二 典型例子解析：例1.求下列极限：Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.例2.求下列变限积分的导数 Skip Record If.，其中 Skip Record If.连续.Skip Record If.例3.设 Skip Record If.，求证：在(a,b)内至少存在一点 Skip Record If.，使 Skip Record If.Skip Record If.Skip Rec

32、ord If.例4.设 Skip Record If.求证：Skip Record If.Skip Record If.例5.用牛顿莱布尼茨公式计算下列积分：Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.例6.用换元积分法计算下面各题：Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.区间上连续则在区间上存在可导函数使任意都有简单地说就是连续函数一定有原函数不定积分的定义在区间上函数的质不定积分的求法换元积分法第一类换元积分法又叫凑微分法设具有原函数即看和没有凑之前相等不相等如果不

33、相等供学习与交流如有侵权请联系网站删除谢谢精品好文档推荐学习交流也就是说给出的不定积分不会求这时我们引入变精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢175 Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.例7.用分部积分法计算下列各题：Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.例8.判断下列广义积分的敛散性，如果收敛，计算其值：Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.S

34、kip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.例9.求由下列各曲线所围成的图形的面积：Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.例10.计算旋转体的体积：Skip Record If.区间上连续则在区间上存在可导函数使任意都有简单地说就是连续函数一定有原函数不定积分的定义在区间上函数的质不定积分的求法换元积分法第一类换元积分法又

35、叫凑微分法设具有原函数即看和没有凑之前相等不相等如果不相等供学习与交流如有侵权请联系网站删除谢谢精品好文档推荐学习交流也就是说给出的不定积分不会求这时我们引入变精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢175 Skip Record If.Skip Record If.（如图）Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.例11.已知某农药厂生产某种农药的边际成本 Skip Record If.Skip Record If.(其中 Skip Record If.为

36、产量，单位吨)，若固定成本为 1 万元 Skip Record If.。解：本题应先求总成本函数，即由 Skip Record If.求 Skip Record If.，应用定积分可求总成本函数.Skip Record If.例12.已知某商品的边际需求 Skip Record If.为价格，该商品的最大需求量为 80，试求需求与价格的函数关系和收入函数.Skip Record If.例13.某商品加工厂每周生产 Skip Record If.件某商品，其总费用变化率是 Skip Record If.（单位：元/件）初始费用为零。该商品的销售单价是20 元，求每一周生产多少件时才能获得最大利润

37、，其最大利润是多少？解：总费用函数的初始条件为 Skip Record If.，故得总费用函数：图 4 区间上连续则在区间上存在可导函数使任意都有简单地说就是连续函数一定有原函数不定积分的定义在区间上函数的质不定积分的求法换元积分法第一类换元积分法又叫凑微分法设具有原函数即看和没有凑之前相等不相等如果不相等供学习与交流如有侵权请联系网站删除谢谢精品好文档推荐学习交流也就是说给出的不定积分不会求这时我们引入变精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢175 Skip Record If.例14.某企业新建一个项目投资 800 万元，年利率为 5，设在 20 年中的均匀

38、收入率为 200（万元/年），求投资回收期.解：所谓投资回收期就是使总收入的现值等于投资额的期限数，设为 T 年，则 T 年的总收入现值为 Skip Record If.所以投资回报期为近 4 年半.三 本章习题全解 习题 61 1.利用定积分的定义计算下列定积分：Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.2.利用定积分的几何意义说明下列等式：Skip Record If.Skip Record If.区间上连续则在区间上存在可导函数使任意都有简单地说就是连续函数一定有原函数不定积分的定义在区间上函数的质不定积分的求

39、法换元积分法第一类换元积分法又叫凑微分法设具有原函数即看和没有凑之前相等不相等如果不相等供学习与交流如有侵权请联系网站删除谢谢精品好文档推荐学习交流也就是说给出的不定积分不会求这时我们引入变精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢175 3.讨论狄里克雷函数 Skip Record If.解:函数 Skip Record If.在0,1上，当 Skip Record If.取有理数时函数值为 1，当 Skip Record If.取无理数时函数值为 0，所以函数在0,1上处于跳动状态，不连续，因此函数在该区间上不可积，在其它区间上也不可积。4.用定积分表示下列极限

40、：Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.习题 62 1.估计下列积分的值：Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.2.比较下列各题中两个积分的大小：Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.3.Skip Record If.Skip Record If.习题 63 1.计算下列导数：区间上连续则在区间上存在可导函数使任意都有简单地说就是连续函数一定有原函数不定积分的定义在区间上函数的质不定积分的求法换元积分法第一类换

41、元积分法又叫凑微分法设具有原函数即看和没有凑之前相等不相等如果不相等供学习与交流如有侵权请联系网站删除谢谢精品好文档推荐学习交流也就是说给出的不定积分不会求这时我们引入变精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢175 Skip Record If.2.计算下列各积分：Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.3.求下列极限：Skip Record If.4.设 Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.5.求由

42、方程 Skip Record If.Skip Record If.6.Skip Record If.Skip Record If.7.设 Skip Record If.在 Skip Record If.证明：由于 Skip Record If.由积分中值定理，Skip Record If.Skip Record If.习题 64 1.计算下列定积分:Skip Record If.Skip Record If.2.利用函数的奇偶性计算下列各题：Skip Record If.3.证明下列各题：Skip Record If.习题 65 1.计算下列积分：Skip Record If.区间上连续则在区

43、间上存在可导函数使任意都有简单地说就是连续函数一定有原函数不定积分的定义在区间上函数的质不定积分的求法换元积分法第一类换元积分法又叫凑微分法设具有原函数即看和没有凑之前相等不相等如果不相等供学习与交流如有侵权请联系网站删除谢谢精品好文档推荐学习交流也就是说给出的不定积分不会求这时我们引入变精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢175 Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.2.利用递推公式计算：Skip Record If.习题 66 1.判别下列各广义积分的收敛性，如果收敛计算广义

44、积分的值：Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.2.当 k 为何值时广义积分 Skip Record If.收敛？k 为何值时这广义积分发散？k 为何值时这广义积分取得最小值？Skip Record If.Skip Record If.3.用 Skip Record If.函数表示下列积分，计算积分值（已知 Skip Record If.Skip Record If.习题 66 1.求由下列各曲线所围成的图形的面积：Skip Record If.Skip Record If.Skip

45、 Record If.Skip Record If.Skip Record If.区间上连续则在区间上存在可导函数使任意都有简单地说就是连续函数一定有原函数不定积分的定义在区间上函数的质不定积分的求法换元积分法第一类换元积分法又叫凑微分法设具有原函数即看和没有凑之前相等不相等如果不相等供学习与交流如有侵权请联系网站删除谢谢精品好文档推荐学习交流也就是说给出的不定积分不会求这时我们引入变精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢175 2.3.4.区间上连续则在区间上存在可导函数使任意都有简单地说就是连续函数一定有原函数不定积分的定义在区间上函数的质不定积分的求法换元积分法第一类换元积分法又叫凑微分法设具有原函数即看和没有凑之前相等不相等如果不相等供学习与交流如有侵权请联系网站删除谢谢精品好文档推荐学习交流也就是说给出的不定积分不会求这时我们引入变