【教育资料】学案解直角三角形的应用学习专用.pdf

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1、教育资源 教育资源 26 4 解直角三角形的应用(第 1 课时)一学习目标 1了解仰角、俯角的概念，能根据直角三角形的知识解决实际问题，逐步培养分析问题、解决问题的能力 2.在运用锐角三角函数的知识解决实际问题的过程中，体会数形结合及建立锐角三角函数模型的数学思想.二、重点、难点 重点：能根据有关仰角、俯角的实际问题建立锐角三角函数模型，然后运用锐角三角函数的知识解决问题.难点：将某些实际问题中的数量关系，转化为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题 三课前预习（初步感知）阅读课本第 117 页观察与思考，完成下面问题：1.如图，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线 _的角叫做仰角，视线在

2、水平线 _的角叫做俯角 2.在图 31-14 中，仰角 AOC包含于 _中，俯角 BOC包含于 _中，旗杆的高正好是上述直角三角形的两条 _边，所以旗杆的高 AB=_，即问题的关键是分别在两个直角三角形中求出 _与 _，就可求出旗杆的高.三课中导学（反思提升）合作探究 1 问题 1.如图，小勇想估测家门前的一棵树的高度，他站在窗户C处，观察到树顶端A正好与C处在同一水平线上，小勇测得树底B的俯角为60，并发现B点距墙脚D之间恰好铺设有六块边长为 0.5 米的正方形地砖，因此测算出B点到墙脚之间的距离为米，请你帮助 小 勇 算 出 树 的 高 度AB约 为 多 少 米？（结 果 保 留 位 小

3、数；参 考 数 据：2 1.414，3 1.732）分析：1.把实际问题抽象为数学问题，即在 Rt ABC中，已知 _，AC=_=_,求树的高度 _AB.2.已知边、角和要求的未知边之间构成了 _关系.解答过程：体会：把实际问题转化为数学问题，建立相应的锐角三角函数模型，问题便得以解决.问题 2.某数学兴趣小组在学习了锐角三角函数以后，开展测量物体高度的实践活动，他们在河边的一点A测得河对岸小山顶上一座铁塔的塔顶C的仰角为66、塔底B的仰角为60，已知铁塔的高度BC为 20m，你能根据以上数据求出小山的高BD吗？若不能，请说明理由；若能，请求出小山的高BD（精确到 0.1m）分析：在 Rt _

4、和 Rt _中，利用三角函数和直角三角形的边角关系，分别用 BD和含 BD的代数式表示 _,然后建立方程解答.解：能求出小山的高 设小山的高BD为xm，在Rt ABD 中，tan BAD=_，则 AD=60 tanx，同理，在Rt ACD 中，tan CAD=_，则 AD=66 tanCD=66 tan20 x，所以，得方程 _=_，眼睛 CBD6066 A 教育资源 教育资源 解得20 tan 60 20 367.4tan 66 tan 60tan 66 3x 答：小山的高BD约为 67 4m.体会：熟练掌握直角三角形的常用关系，根据题意合理选择直角三角形，把实际问题转化为数学问题，从而准确

5、、迅速找出解决问题的方案.这是 _思想和 _数学思想的体现.合作探究 2 问题 1.（2019 天门）如图，A、B 两地被一大山阻隔，汽车从 A地到 B 须经过 C 地中转.为了促进 A、B 两地的经济发展，现计划开通隧道，使汽车可以直接从 A地到 B 地.已知A=30，B=45，BC=2 15千米.若汽车的平均速度为 45 千米/时，则隧道开通后，汽车直接从 A地到 B 地需要多长时间？(参考数据：7.1 3,4.1 2)分析：已知汽车的平均速度，要求汽车直接从 A地到 B 地需要的时间，须知 _但是所求元素不在直角三角形中，在这里可以过点 C 作 CD _，从而把 ABC转化成两个 _三角

6、形.解：过点 C 作 CDAB 交 AB于点 D，则 在 Rt BCD 中，BD=BC cos45=_，CD=BD=_，在 RtACD 中，AD=3 530 tanCD,所以 AB=_，所以 t=_ _.答：汽车直接从 A 地到 B 地需要_.体会：把实际问题转化为数学问题，当所求的元素不在直角三角形中时，应通过作 _，构造适当的 _三角形，选择 _，计算无法测量的高度或距离.问题 2.如图，在直角坐标平面内，O为原点，点A的坐标为(10 0)，点B在第一象限内，5 BO，3sin5BOA 求：（1）点B的坐标；（2）cos BAO 的值 分析：作BH OA 于H，就出现了直角三角形，再利用

7、Rt _的边角关系求出 _、_即得点B的坐标；在 Rt _中求cos BAO.解：四课堂反馈 基础演练 1.（2019 钦州市）如图，为测量一幢大楼的高度，在地面上距离楼底 O点 20 m的点 A处，测得楼顶 B 点的仰角OAB65，则这幢大楼的高度为（）（结果保留 3 个有效数字）A 42.8 m B 42.80 m C 42.9 m D 42.90 m 2.如图，在离铁塔 150 米的 A处，用测角仪测得塔顶的仰角为 30，又知测角仪高 1 50米，则塔高 BE为（）A 76.5 米 B 75 米 C（753 1.5）米（503 1.5）米 3.如图，从热气球 C 上测定建筑物 A、B 底

8、部的俯角分别为 30和60，如果这时气球的高度 CD为 150 米，且点 A、D、B 在同一直线A y H O x B ABO65 教育资源 教育资源 上，建筑物 A、B 间的距离为（）A 1503米 B 1803米 C 2003米 D 2203米 能力提升 4.如图，在C处用高1.20米的测角仪测得塔AB顶端B的仰角30，向塔的方向前进 20 米到E处，又测得塔顶端B的仰角=45求塔AB的高（精确到0.1米）五我的收获 六、课后巩固（分层测评）1.如图，小明要测量河内小岛 B 到河边公路 l 的距离，在 A点测得 A=300，在C 点测得 BCD=600，又测得50 AC 米，则小岛 B 到

9、公路 l 的距离为（）米 A 25 B 25 3 C100 33 D 25 25 3 2.如图，小明站在 A处放风筝，风筝飞到 C 处时的线长为 20 米，这时测得CBD=60，若 牵 引 底 端 B 离 地 面 1.5 米，求 此 时 风 筝 离 地 面 高 度 是_.(计算结果精确到 0.1 米，3 1.732)3.如图，张华同学在学校某建筑物的 C 点处测得旗杆顶部 A点的仰角为 30，旗杆底部 B 点的俯角为 45若旗杆底部 B 点到建筑物的水平距离 BE=9米，旗杆台阶高 1 米，则旗杆顶点 A离地面的高度为 米（结果保留根号）4.（2019 年梧州市）如图，某飞机于空中探测某座山的

10、高度，此时飞机的飞行高度是 AF 37 米，从飞机上观测山顶目标 C 的俯角是 30，飞机继续以相同的高度飞行 3 千米到 B 处，此时观测目标 C 的俯角是 60，求此山的高度 CD.（精确到 01 千米）（参考数据：2 1414,3 1732）参考答案 二课前预习 1.上方，下方；2.Rt OAC，Rt OBC，直角，AC+BC，AC,BC.三课中导学 合作探究 1 问题 1：ACB=60，BD，3，正切 解：由题意可知，3 AC BD 在60 3 tan 60ABABC ACB ACAC Rt 中，AB=AC tan60=33=3 3 5.2（米）答：树高AB约为 5.2 米 问题 2：

11、ABD，ACD，AD.ADBD，ADCD，60 tanx，66 tan20 x，数形结合，转化.合作探究 2 E A B C D F 60 30 B C A D l 教育资源 教育资源 问题 1：A、B 两地的距离，AB，直角，15，15，53+15，4515 3 5，0.52，0.52 小时.辅助线或垂线，直角，正确的关系式.问题 2：OHB，OH，BH，AHB，解：（1）如图，作BH OA，垂足为H，在Rt OHB 中，5 BO，3sin5BOA，点B的坐标为(4 3)，（2）10 OA，4 OH，6 AH 在Rt AHB 中，3 BH，3 5 AB 四课堂反馈 1C；2D；3C；4.解：在 RtBGF中，45，BG FG 在 Rt BGD中，28.5 AB AG BG（米）答：塔AB的高约为 28.5 米 六课后巩固 1B；2.18.8 米；3.10 3 3；4.解：RtACE 中，EAC30，则ACE60,tanACECEAE,AE CEtan603CE RtBCE 中，CBE60，则BCE30,tanBCECEBE,BE CEtan3033 CE,AB AE-BE,即：3CE-33CE 3，CE23 326（千米）CD AF-CE 37-2611（千米）