2023年2021高考数学9 三角函数与解三角形 含解析.pdf

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1、 晨鸟教育 专题限时集训(九)三角函数与解三角形 1(2019全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.设(sin B sin C)2sin2A sin B sin C(1)求 A；(2)若 2ab2c，求 sin C 解(1)由已知得 sin2B sin2Csin2A sin B sin C，故由正弦定理得 b2c2 a2bc.b2c2a2 1 由余弦定理得 cos A .2bc 2 因为 0A 180，所以 A 60.(2)由(1)知 B 120C，由题设及正弦定理得 2sin A sin(120C)2sin C，6 3 1 2 即 cos C sin C2sin C，

2、可得 cos(C60).2 2 2 2 2 由于 0C120，所以 sin(C60)，2 故 sin Csin(C6060)sin(C60)cos 60cos(C60)sin 60 6 2 .4 2(2018全国卷)在平面四边形 ABCD 中，ADC 90，A 45，AB 2，BD 5.(1)求 cos ADB；(2)若 DC 2 2，求 BC BD AB 解(1)在ABD 中，由正弦定理得 ，sin A sin ADB 5 2 2 即 ，所以 sin ADB .sin 45 sin ADB 5 2 23 由题设知，ADB 90，所以 cos ADB 1 .25 5 Earlybird即所以由

3、题设知所以晨鸟教育由题设及知在中由余弦定理得所以全国卷的内角的对边分别为已知的面积为求若求的周求周长的最大值晨鸟教育解由正弦定理和已知条件得由余弦定理得由得因为所以由正弦定理及得从而故又所以当时周据余弦定理得由所以由得又由知所以晨鸟教育所以解得或者所以或者昆明模拟在中为边上一点求求的面积解因为所以 晨鸟教育 2(2)由题设及(1)知，cos BDC sin ADB .5 在BCD 中，由余弦定理得 BC2BD2DC22BD DC cos BDC 25 8252 2 2 5 25.所以 BC 5.3(2017全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知ABC a2 的面积为

4、.3sin A (1)求 sin B sin C；(2)若 6cos B cos C1，a3，求ABC 的周长 1 a2 解(1)由题设得 ac sin B ，2 3sin A 1 a 即 csin B .2 3sin A 1 sin A 由正弦定理得 sin Csin B .2 3sin A 2 故 sin B sin C.3 1(2)由题设及(1)得 cos B cos Csin B sin C，2 1 2 即 cos(B C).所以 B C，故 A .2 3 3 1 a2 由题意得 bc sin A ，a3，所以 bc 8.2 3sin A 即所以由题设知所以晨鸟教育由题设及知在中由余弦

5、定理得所以全国卷的内角的对边分别为已知的面积为求若求的周求周长的最大值晨鸟教育解由正弦定理和已知条件得由余弦定理得由得因为所以由正弦定理及得从而故又所以当时周据余弦定理得由所以由得又由知所以晨鸟教育所以解得或者所以或者昆明模拟在中为边上一点求求的面积解因为所以 由余弦定理得 b2c2bc 9，即(bc)23bc 9.由 bc 8，得 bc 33.故ABC 的周长为 3 33.4(2020全国卷)ABC 中，sin2A sin2B sin2Csin B sin C(1)求 A；(2)若 BC 3，求ABC 周长的最大值 Earlybird即所以由题设知所以晨鸟教育由题设及知在中由余弦定理得所以全

6、国卷的内角的对边分别为已知的面积为求若求的周求周长的最大值晨鸟教育解由正弦定理和已知条件得由余弦定理得由得因为所以由正弦定理及得从而故又所以当时周据余弦定理得由所以由得又由知所以晨鸟教育所以解得或者所以或者昆明模拟在中为边上一点求求的面积解因为所以 晨鸟教育 解(1)由正弦定理和已知条件得 BC2AC2AB2AC AB 由余弦定理得 BC2AC2AB22AC AB cos A 1 由得 cos A .2 2 因为 0 A，所以 A .3 AC AB BC(2)由正弦定理及(1)得 2 3，从而 sin B sin C sin A AC 2 3sin B，AB 2 3sin(A B)3cos B

7、 3sin B 故 BCACAB3 3sin B3cos B32 3sin(B 3).又 0 B ，所以当 B 时，ABC 周长取得最大值 32 3.3 6 bc 1(2020安庆二模)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且 ac sin A .sin B sin C(1)求角 B 的大小；15 3(2)若ABC 的周长等于 15，面积等于，求 a，b，c 的值 4 bc sin A 解(1)由 ，ac sin B sin C 根据正弦定理得 bc a 即所以由题设知所以晨鸟教育由题设及知在中由余弦定理得所以全国卷的内角的对边分别为已知的面积为求若求的周求周长的最大值晨鸟

8、教育解由正弦定理和已知条件得由余弦定理得由得因为所以由正弦定理及得从而故又所以当时周据余弦定理得由所以由得又由知所以晨鸟教育所以解得或者所以或者昆明模拟在中为边上一点求求的面积解因为所以 b2c2a2ac a2c2b2ac，ac bc a2c2b2 1 根据余弦定理得 cos B ，2ac 2 2 由 0 B 0，所以 3sin B cos B 2.所以 2sin(B 6)2，B(0，)2 所以 B ，所以 B.6 2 3 3ac (2)依题意得 3，所以 ac 4.4 所以 ac2 ac 4，当且仅当 ac2 时取等号 即所以由题设知所以晨鸟教育由题设及知在中由余弦定理得所以全国卷的内角的对

9、边分别为已知的面积为求若求的周求周长的最大值晨鸟教育解由正弦定理和已知条件得由余弦定理得由得因为所以由正弦定理及得从而故又所以当时周据余弦定理得由所以由得又由知所以晨鸟教育所以解得或者所以或者昆明模拟在中为边上一点求求的面积解因为所以 又由余弦定理得 b2a2c22ac cos B a2c2ac 3ac 12.b2 3，当且仅当 ac2 时取等号 所以ABC 的周长最小值为 42 3.2结构不良试题已知锐角ABC，同时满足下列四个条件中的三个：1 A ；a13；c15；sin C.3 3(1)请指出这三个条件，并说明理由；Earlybird即所以由题设知所以晨鸟教育由题设及知在中由余弦定理得所

10、以全国卷的内角的对边分别为已知的面积为求若求的周求周长的最大值晨鸟教育解由正弦定理和已知条件得由余弦定理得由得因为所以由正弦定理及得从而故又所以当时周据余弦定理得由所以由得又由知所以晨鸟教育所以解得或者所以或者昆明模拟在中为边上一点求求的面积解因为所以 晨鸟教育(2)求ABC 的面积 解(1)ABC 同时满足.理由：若ABC 同时满足，1 1 因为是锐角三角形，所以 sin C sin，C.3 2 6 6 3 2 与题设矛盾故ABC 同时满足不成立 所以ABC 同时满足.因为 ca，所以 CA若满足，则 A C，与题设矛盾，故此时不 6 2 满足.ABC 同时满足.(2)因为 a2b2c22b

11、c cos A，1 所以 132b21522b15 .2 解得 b8 或 7.72132152 当 b7 时，cos C 0，C 为钝角，与题设矛盾所以 b8，SABC 2 7 13 1 bc sin A 30 3.2 3.如图，在ABC 中，C，ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D，且 tan CBD 4 1 .2(1)求 sin A；(2)若 CA CB 28，求 AB 的长 即所以由题设知所以晨鸟教育由题设及知在中由余弦定理得所以全国卷的内角的对边分别为已知的面积为求若求的周求周长的最大值晨鸟教育解由正弦定理和已知条件得由余弦定理得由得因为所以由正弦定理及得从而故又所以当时周据余弦

12、定理得由所以由得又由知所以晨鸟教育所以解得或者所以或者昆明模拟在中为边上一点求求的面积解因为所以 1 5 解(1)设CBD，因为 tan ，又 ，故 sin ，cos 2(0，2)5 2 5.5 Earlybird即所以由题设知所以晨鸟教育由题设及知在中由余弦定理得所以全国卷的内角的对边分别为已知的面积为求若求的周求周长的最大值晨鸟教育解由正弦定理和已知条件得由余弦定理得由得因为所以由正弦定理及得从而故又所以当时周据余弦定理得由所以由得又由知所以晨鸟教育所以解得或者所以或者昆明模拟在中为边上一点求求的面积解因为所以 晨鸟教育 5 2 5 4 则 sin ABC sin 2 2sin cos 2

13、 ，5 5 5 4 3 cos ABC cos 2 2cos212 1，5 5 故 sin Asin(2)sin(2)4 4 2 2 4 3 7 2 (sin 2 cos 2)2(5).2 5 10 BC AC BC AC(2)由正弦定理 ，即 ，sin A sin ABC 7 2 4 10 5 7 2 所以 BC AC 8 2 又 CA CB|CA|CB|28，2 所以|CA|CB|28 2，AB AC AB AC 所以 AC 4 2，又由 ，得 ，sin C sin ABC 2 4 2 5 所以 AB 5.asin B 4已知在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 3

14、.bcos A (1)若 a2 5，b2，求 c 的大小；(2)若 b2，且 C 是钝角，求ABC 面积的取值范围 即所以由题设知所以晨鸟教育由题设及知在中由余弦定理得所以全国卷的内角的对边分别为已知的面积为求若求的周求周长的最大值晨鸟教育解由正弦定理和已知条件得由余弦定理得由得因为所以由正弦定理及得从而故又所以当时周据余弦定理得由所以由得又由知所以晨鸟教育所以解得或者所以或者昆明模拟在中为边上一点求求的面积解因为所以 asin B 解(1)在ABC 中，3，bcos A 由正弦定理，得 sin A sin B 3sin B cos A 0 B，sin B 0，sin A 3cos A，sin

15、 A tan A 3.cos A 又0 A，A .3 在ABC 中，由余弦定理，得 Earlybird即所以由题设知所以晨鸟教育由题设及知在中由余弦定理得所以全国卷的内角的对边分别为已知的面积为求若求的周求周长的最大值晨鸟教育解由正弦定理和已知条件得由余弦定理得由得因为所以由正弦定理及得从而故又所以当时周据余弦定理得由所以由得又由知所以晨鸟教育所以解得或者所以或者昆明模拟在中为边上一点求求的面积解因为所以 晨鸟教育 1 a2b2c22bc cos A，即 20 4c24c，2 解得 c1 17(舍去)，c1 17.c1 17.(2)由(1)知 A ，3 1 3 SABC bc sin A c.

16、2 2 c b 由正弦定理，得 ，sin C sin B 2 2sin(B)bsin C 3 3 c 1.sin B sin B tan B A ，C 为钝角，0 B ，3 6 3 0tan B 4，3 SABC2 3.即ABC 面积的取值范围是(2 3，)即所以由题设知所以晨鸟教育由题设及知在中由余弦定理得所以全国卷的内角的对边分别为已知的面积为求若求的周求周长的最大值晨鸟教育解由正弦定理和已知条件得由余弦定理得由得因为所以由正弦定理及得从而故又所以当时周据余弦定理得由所以由得又由知所以晨鸟教育所以解得或者所以或者昆明模拟在中为边上一点求求的面积解因为所以 Earlybird 即所以由题设知所以晨鸟教育由题设及知在中由余弦定理得所以全国卷的内角的对边分别为已知的面积为求若求的周求周长的最大值晨鸟教育解由正弦定理和已知条件得由余弦定理得由得因为所以由正弦定理及得从而故又所以当时周据余弦定理得由所以由得又由知所以晨鸟教育所以解得或者所以或者昆明模拟在中为边上一点求求的面积解因为所以