2023年2021高考数学12 统计与概率.pdf

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1、晨鸟教育 Earlybird 专题限时集训(十二)统计与概率 1(2019 全国卷)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将 200 只小鼠随机分成 A，B 两组，每组 100 只，其中 A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比，根据试验数据分别得到如下直方图：记 C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于 5.5”，根据直方图得到P(C)的估计值为 0.70.(1)求乙离子残留百分比直方图中 a，b 的值；(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数

2、据用该组区间的中点值为代表)解(1)由已知得 0.70a0.200.15，故 a0.35.b10.050.150.700.10.(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为 20.1530.2040.3050.2060.1070.054.05.乙离子残留百分比的平均值的估计值为 晨鸟教育 Earlybird 30.0540.1050.1560.3570.2080.156.00.2(2017 全国卷)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：)有关如果最

3、高气温不低于 25，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间 20,25)，需求量为300 瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200 瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温 10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y(单位：元)当六月份这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时，写出 Y的所有可能值，并估计 Y大于零的

4、概率 解(1)这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶，当且仅当最高气温低于 25，由表格数据知，最高气温低于 25 的频率为21636900.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率的估计值为 0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时，若最高气温不低于 25，则 Y64504450900；若最高气温位于区间20,25)，则 Y63002(450300)4450300；若最高气温低于 20，则 Y62002(450200)4450100，所以，Y的所有可能值为 900,300，100.Y大于零当且仅当最高气温不低于 20，由表格数据知，最高气温不低于 20 的频率为362

5、574900.8，因此 Y大于零的概率的估计值为 0.8.3(2020 全国卷)某学生兴趣小组随机调查了某市 100 天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表(单位：天)：锻炼人次 空气质量等级 0,200 (200,400 (400,600 1(优)2 16 25 经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比根据试验数据分别得到如下直方图记为事件乙离留百分比的平均值同一组中的数据用该组区间的中点值为代表解由已知得故甲离子残留百分比的平均值的估计值为乙元售价每瓶元未售出的酸奶降价处理以每瓶元的价格当天全部处理完根据往年销售经验每天需求量与当天最高气温单晨

6、鸟教育 Earlybird 2(良)5 10 12 3(轻度污染)6 7 8 4(中度污染)7 2 0(1)分别估计该市一天的空气质量等级为 1,2,3,4 的概率；(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；(3)若某天的空气质量等级为 1 或 2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为 3 或 4，则称这天“空气质量不好”根据所给数据，完成下面的 22列联表，并根据列联表，判断是否有 95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次400 人次400 空气质量好 空气质量不好 附：K2n adbc2 abcdacbd

7、，P(K2k)0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 解(1)由所给数据，该市一天的空气质量等级为 1,2,3,4 的概率的估计值如下表：空气质量等级 1 2 3 4 概率的估计值 0.43 0.27 0.21 0.09(2)一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为 1100(100203003550045)350.(3)根据所给数据，可得 22 列联表：人次400 人次400 空气质量好 33 37 空气质量不好 22 8 根据列联表得 经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比根据试验数据分别得到如下直方图记为事件乙离留百分比的平均值同

8、一组中的数据用该组区间的中点值为代表解由已知得故甲离子残留百分比的平均值的估计值为乙元售价每瓶元未售出的酸奶降价处理以每瓶元的价格当天全部处理完根据往年销售经验每天需求量与当天最高气温单晨鸟教育 Earlybird K2100 33822372554570305.820.由于 5.8203.841，故有 95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关 4(2018 全国卷)如图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额 y(单位：亿元)的折线图 为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额，建立了 y 与时间变量 t 的两个线性回归模型根据 2000 年至

9、2016 年的数据(时间变量 t 的值依次为 1,2，17)建立模型：y30.413.5t；根据 2010 年至 2016 年的数据(时间变量 t 的值依次为 1,2，7)建立模型：y9917.5t.(1)分别利用这两个模型，求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值；(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由 解(1)利用模型，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为y30.413.519226.1(亿元)利用模型，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为y9917.59256.5(亿元)(2)利用模型 得到的预测值更可靠 理由如下：(i)从折线图可以看

10、出，2000 年至 2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线y30.413.5t 上下，这说明利用 2000 年至 2016 年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额的趋势.2010 年相对 2009 年的环境基础设施投资额有明显增加，2010 年至 2016 年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从 2010 年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用 2010 年至经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比根据试验数据分别得到如下直方图记为事件乙离留百分比的平均值同一组中的数据用该组区间的中点值为代表解由已知得故甲离子残留百分比的平均值的

11、估计值为乙元售价每瓶元未售出的酸奶降价处理以每瓶元的价格当天全部处理完根据往年销售经验每天需求量与当天最高气温单晨鸟教育 Earlybird 2016 年的数据建立的线性模型y9917.5t 可以较好地描述 2010 年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型得到的预测值更可靠()从计算结果看，相对于 2016 年的环境基础设施投资额 220 亿元，由模型得到的预测值 226.1 亿元的增幅明显偏低，而利用模型得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型得到的预测值更可靠(以上给出了 2 种理由，答出其中任意一种或其他合理理由均可)1(2020 大教育名校联盟第一次联考)我国在贵州省平塘县

12、境内修建的 500 米口径球面射电望远镜(FAST)是目前世界上最大单口径射电望远镜使用三年来，已发现 132 颗优质的脉冲星候选体，其中有 93 颗已被确认为新发现的脉冲星，脉冲星是上世纪 60 年代天文学的四大发现之一，脉冲星就是正在快速自转的中子星，每一颗脉冲星每两脉冲间隔时间(脉冲星的自转周期)是一定的，最小小到 0.001 4秒，最长的也不过 11.765 735 秒某一天文研究机构观测并统计了 93 颗已被确认为新发现的脉冲星的自转周期，绘制了如图所示的频率分布直方图 (1)在 93 颗新发现的脉冲星中，自转周期在 2 至 10 秒的大约有多少颗？(2)根据频率分布直方图，求新发现

13、脉冲星自转周期的平均值 解(1)第一到第六组的频率依次为 01,0.2,0.3,0.2,2a,0.05，其和为 1，所以 2a1()0.10.20.30.20.05，解得 a0.075，所以，自转周期在 2 至 10 秒的大约有 93()10.15 79.0579(颗)(2)新发现的脉冲星自转周期平均值为 0110.230.350.270.1590.05115.5(秒)故新发现的脉冲星自转周期平均值为5.5 秒 2(2020 滁州模拟)某机构为了了解不同年龄的人对一款智能家电的评价，随经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比根据试验数据分别得到如下直方图记为事件乙离留百分比

14、的平均值同一组中的数据用该组区间的中点值为代表解由已知得故甲离子残留百分比的平均值的估计值为乙元售价每瓶元未售出的酸奶降价处理以每瓶元的价格当天全部处理完根据往年销售经验每天需求量与当天最高气温单晨鸟教育 Earlybird 机选取了 50 名购买该家电的消费者，让他们根据实际使用体验进行评分(1)设消费者的年龄为 x，对该款智能家电的评分为 y.若根据统计数据，用最小二乘法得到 y 关于 x 的线性回归方程为y1.2x40，且年龄 x 的方差为 s2x14.4，评分 y 的方差为 s2y22.5.求 y 与 x 的相关系数 r，并据此判断对该款智能家电的评分与年龄的相关性强弱；(2)按照一定

15、的标准，将 50 名消费者的年龄划分为“青年”和“中老年”，评分划分为“好评”和“差评”，整理得到如下数据，请判断是否有 99%的把握认为对该智能家电的评价与年龄有关 好评 差评 青年 8 16 中老年 20 6 附：线性回归直线ybxa的斜率bi1n xi x yi y i1n xi x 2；相关系数 ri1n xi x yi y i1n xi x 2i1n yi y 2，独立性检验中 K2n adbc2 abacbdcd，其中 nabcd.临界值表：P(K2k)0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 解(1)相关系数 ri150 xi x yi y i

16、150 xi x 2i150 yi y 2 经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比根据试验数据分别得到如下直方图记为事件乙离留百分比的平均值同一组中的数据用该组区间的中点值为代表解由已知得故甲离子残留百分比的平均值的估计值为乙元售价每瓶元未售出的酸奶降价处理以每瓶元的价格当天全部处理完根据往年销售经验每天需求量与当天最高气温单晨鸟教育 Earlybird i150 xi xyi yi150 xi x2i150 xi x2i150 yi y2 b50s2x50s2y1.212150.96.故对该款智能家电的评分与年龄的相关性较强(2)由列联表可得 K250 86201622

17、42628229.6246.635.故有 99%的把握认为对该智能家电的评价与年龄有关 3(2020 长沙雅礼中学模拟)某市房管局为了了解该市市民2018 年1月至2019年 1 月期间买二手房情况，首先随机抽样其中 200 名购房者，并对其购房面积 m(单位：平方米，60m130)进行了一次调查统计，制成了如图 1 所示的频率分布直方图，接着调查了该市 2018 年 1 月至 2019 年 1 月期间当月在售二手房均价 y(单位：万元/平方米)，制成了如图 2 所示的散点图(图中月份代码 113 分别对应 2018年 1 月至 2019 年 1 月)(1)试估计该市市民的购房面积的中位数 m

18、0；(2)现采用分层抽样的方法从购房面积位于110，130 的 40 位市民中随机抽取4 人，再从这 4 人中随机抽取 2 人，求这 2 人的购房面积恰好有一人在120，130经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比根据试验数据分别得到如下直方图记为事件乙离留百分比的平均值同一组中的数据用该组区间的中点值为代表解由已知得故甲离子残留百分比的平均值的估计值为乙元售价每瓶元未售出的酸奶降价处理以每瓶元的价格当天全部处理完根据往年销售经验每天需求量与当天最高气温单晨鸟教育 Earlybird 的概率；(3)根据散点图选择yabx和ycdln x 两个模型进行拟合，经过数据处理得到

19、两个回归方程，分别为y0.936 90.028 5 x和y0.955 40.030 6ln x，并得到一些统计量的值如下表所示：y0.936 9 0.028 5x y0.955 40.030 6ln x i113()yiyi2 0.000 591 0.000 164 i113()yi y2 0.006 050 请利用相关指数 R2判断哪个模型的拟合效果更好，并用拟合效果更好的模型预测出 2021 年 6 月份的二手房购房均价(精确到 0.001)(参考数据：ln 20.69，ln 31.10，ln 142.64，ln 192.94，21.41，31.73，103.16，194.36.参考公式：

20、R21i1n()yiyi2i1n yi y2)解(1)由频率分布直方图可得，前三组频率和为 0.050.10.20.35，前四组频率和为 0.050.10.20.250.6，故中位数出现在第四组，且 m090100.150.2596.(2)设从位于)110，120 的市民中抽取 x 人，从位于120,130的市民中抽取 y人，由分层抽样可知：440 x30y10，则 x3，y1 在抽取的 4 人中，记 3 名位于110,120)的市民为 A1，A2，A3，位于120，130的市民为 B，则所有抽样情况为：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B)，(A2，A3)，(A2，B)，(A3，B)共

21、 6 种 经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比根据试验数据分别得到如下直方图记为事件乙离留百分比的平均值同一组中的数据用该组区间的中点值为代表解由已知得故甲离子残留百分比的平均值的估计值为乙元售价每瓶元未售出的酸奶降价处理以每瓶元的价格当天全部处理完根据往年销售经验每天需求量与当天最高气温单晨鸟教育 Earlybird 而其中恰有一人在120,130的情况共有 3 种，故所求概率 P3612.(3)设模型y0.936 90.028 5 x和y0.955 40.030 6ln x 的相关指数分别为R21，R22，则 R2110.000 5910.006 050，R2210

22、.000 1640.006 050，显然 R21R22，故模型y0.955 40.030 6ln x 的拟合效果更好 由2021年6月份对应的代码为42，则y0.955 40.030 6ln 420.955 40.030 6(ln 3ln 14)1.070 万元/平方米 4(2020 华南师大附中等三校联考)已知某保险公司的某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出 险次数 0 1 2 3 4 保费(元)0.9a a 1.5a 2.5a 4a 随机调查了该险种的400 名续保人在一年内的出险情况，得到下表：出险次

23、数 0 1 2 3 4 频数 280 80 24 12 4 该保险公司这种保险的赔付规定如下：出险序次 第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次及以上 赔付金(元)2.5a 1.5a a 0.5a 0 将所抽样本的频率视为概率(1)求本年度续保人保费的平均值的估计值；(2)按保险合同规定，若续保人在本年度内出险 3 次，则可获得赔付(2.5a1.5aa)元；若续保人在本年度内出险 6 次，则可获得赔付(2.5a1.5aa0.5a)元；依此类推，求本年度续保人所获赔付金额的平均值的估计值；(3)续保人原定约了保险公司的销售人员在上午 10：3011：30 之间上门签合同，因为续

24、保人临时有事，外出的时间在上午 10：4511：05 之间，请问续保人在离开前见到销售人员的概率是多少？解(1)由题意可得：经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比根据试验数据分别得到如下直方图记为事件乙离留百分比的平均值同一组中的数据用该组区间的中点值为代表解由已知得故甲离子残留百分比的平均值的估计值为乙元售价每瓶元未售出的酸奶降价处理以每瓶元的价格当天全部处理完根据往年销售经验每天需求量与当天最高气温单晨鸟教育 Earlybird 保费(元)0.9a a 1.5a 2.5a 4a 概率 0.7 0.2 0.06 0.03 0.01 本年度续保人保费的平均值的估计值为：0

25、9a0.7a0.21.5a0.062.5a0.034a0.011.035a.(2)由题意可得：赔偿金额(元)0 2.5a 4a 5a 5.5a 概率 0.7 0.2 0.06 0.03 0.01 本年度续保人所获赔付金额的平均值的估计值：00.72.5a0.24a0.065a0.035.5a0.010.945a.(3)设保险公司销售人员到达的时间为 x，续保人离开的时间为 y，()x，y 看成平面上的点，全部结果所构成的区域为()x，y 10.5x11.5，1034y11112，则区域 的面积 S()11313.事件 A表示续保人在离开前见到销售人员，所构成的区域为 A()x，y yx，10.5x11.5，1034y11112，即图中的阴影部分，其面积 S()A121471213536.所以 P()A53613512，即续保人在离开前见到销售人员的概率是512.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比根据试验数据分别得到如下直方图记为事件乙离留百分比的平均值同一组中的数据用该组区间的中点值为代表解由已知得故甲离子残留百分比的平均值的估计值为乙元售价每瓶元未售出的酸奶降价处理以每瓶元的价格当天全部处理完根据往年销售经验每天需求量与当天最高气温单