2023年2021高考数学大题规范练4.pdf
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1、晨鸟教育 大题规范练(二)1.如图,在四边形 ABCD 中,AB AD,_,DC 2,在下 面给出的三个条件中任选一个,补充在上面的问题中,并加以解答(选 出一种可行的方案解答,若选出多个方案分别解答,则按第一个解答 2 记分)3AB 4BC;sin ACB ;tan ;3(BAC6)3 2BC cos ACB 2AC 3AB.(1)求DAC 的大小;(2)求ADC 面积的最大值 解:(1)若选,在ABC,由正弦定理可得:AB BC ,sin ACB sin BAC 2 1 又 3AB 4BC,sin ACB ,可 得:sin BAC ,所以BAC 3 2 .6 又 AB AD,所以BAD ,
2、DAC .2 3(2)在ACD 中,DC 2,由余弦定理可得:DC24AC2AD2AC AD AC AD,即 AC AD 4,1 1 3 所以 SADC AC AD sin DAC 4 3,2 2 2 当且仅当 AC AD 时取“”Earlybird又可得所以又所以在中由余弦定理可得即所以当且仅当时取晨鸟教育若选由可得又所以所以在中由余弦定理可得即所当且仅当时取江门模拟如图在梯形中平面平面求证平面平面若求与平面所成角的正弦值证明因为平面平面平面平面平面所以平面以为原点向量的方向分别为轴轴轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系则晨鸟教育设平面的一个法向晨鸟教育 若选,(1)由 tan(BAC6)
3、3可得:BAC ,6 又 AB AD,所以BAD ,所以DAC .2 3(2)在ACD 中,DC 2,由余弦定理可得:DC24AC2AD2AC AD AC AD,1 1 3 即 AC AD 4,所以 SADC AC AD sin DAC 4 2 2 2 3,当且仅当 AC AD 时取“”若选,(1)2 BC cos ACB 2AC 3AB,由正弦定理得:2sin BAC cos ACB 2sin ABC 3sin ACB,所以 2sin BAC cos ACB 2sin(ACB BAC)3sin ACB,所以 2sin BAC cos ACB 2sin ACB cos BAC 2cos ACB
4、 sin BAC 3sin ACB,即 2sin ACB cos BAC 3sin ACB,因为 sin ACB 0,3 所以 cos BAC ,因为BAC(0,),所以BAC ,2 6 又 AB AD,所以BAD ,所以DAC .2 3(2)在ACD 中,DC 2,由余弦定理可得:DC24AC2AD2AC AD AC AD,又可得所以又所以在中由余弦定理可得即所以当且仅当时取晨鸟教育若选由可得又所以所以在中由余弦定理可得即所当且仅当时取江门模拟如图在梯形中平面平面求证平面平面若求与平面所成角的正弦值证明因为平面平面平面平面平面所以平面以为原点向量的方向分别为轴轴轴的正方向建立如图所示的空间直
5、角坐标系则晨鸟教育设平面的一个法向即 AC AD 4,1 1 3 所以 SADC AC AD sin DAC 4 3,2 2 2 Earlybird又可得所以又所以在中由余弦定理可得即所以当且仅当时取晨鸟教育若选由可得又所以所以在中由余弦定理可得即所当且仅当时取江门模拟如图在梯形中平面平面求证平面平面若求与平面所成角的正弦值证明因为平面平面平面平面平面所以平面以为原点向量的方向分别为轴轴轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系则晨鸟教育设平面的一个法向晨鸟教育 当且仅当 AC AD 时取“”2.(2020江门模拟)如图,在梯形 ABCD 中,AD BC,AB CD,AC BD,平面 BDFE 平
6、面 ABCD,EF BD,BE BD.(1)求证:平面 AFC 平面 BDFE;(2)若 AB 2CD 2 2,BE EF 2,求 BF 与平面 DFC 所成角的 正弦值(1)证 明:因为平面 BDFE 平面 ABCD,平 面 BDFE 平面 ABCD BD,AC 平面 ABCD,AC BD,所以 AC 平面 BDFE.又 AC 平面 AFC,所以平面 AFC 平面 BDFE.(2)解:设 AC BD O,因为四边形 ABCD 为等腰梯形,AC BD,AB 2CD 2 2,所以 OD OC 1,OB OA 2,因为 FE OB 且 FE OB,所以四边形 FEBO 为平行四边形,所以 OF B
7、E,且 OF BE 2,又因为 BE 平面 ABCD,所以 OF 平面 ABCD.以 O 为原点,向量 OA,的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴的 OB OF 正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则 B(0,2,0),D(0,1,0),F(0,0,2),C(1,0,0),DF Earlybird又可得所以又所以在中由余弦定理可得即所以当且仅当时取晨鸟教育若选由可得又所以所以在中由余弦定理可得即所当且仅当时取江门模拟如图在梯形中平面平面求证平面平面若求与平面所成角的正弦值证明因为平面平面平面平面平面所以平面以为原点向量的方向分别为轴轴轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系则晨鸟教育设平面的一
8、个法向晨鸟教育 (0,1,2),CD(1,1,0),(0,2,2),BF 设平面 DFC 的一个法向量为 n(x,y,z),DF n0,y2z0,有n0,)即 xy0.)CD 不妨设 z1,得 xy2,得 n(2,2,1)42 2 于是 cos n,BF .8 9 2 设 BF 与平面 DFC 所成角为,2 则 sin|cos n,BF|.2 2 所以 BF 与平面 DFC 所成角的正弦值为.2 3(2020中山模拟)已知数列an的各项均为正数,其前 n 项和 Sn an(an1),nN*.2(1)求数列an的通项公式 an;an2(2)设 bnlog2;若称使数列bn的前 n 项和为整数的正
9、整数 n an1 为“优化数”,试求区间(0,2 020)内所有“优化数”的和 S.an(an1)解:(1)由数列an的前 n 和 Sn 知:2 a1(a11)又可得所以又所以在中由余弦定理可得即所以当且仅当时取晨鸟教育若选由可得又所以所以在中由余弦定理可得即所当且仅当时取江门模拟如图在梯形中平面平面求证平面平面若求与平面所成角的正弦值证明因为平面平面平面平面平面所以平面以为原点向量的方向分别为轴轴轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系则晨鸟教育设平面的一个法向当 n1 时,S1,a1S1,所以 a1(a11)0,又 2 a10,所以 a11.an(an1)an1(an11)当 n1 时,an
10、SnSn1 ,整理 2 2 得:Earlybird又可得所以又所以在中由余弦定理可得即所以当且仅当时取晨鸟教育若选由可得又所以所以在中由余弦定理可得即所当且仅当时取江门模拟如图在梯形中平面平面求证平面平面若求与平面所成角的正弦值证明因为平面平面平面平面平面所以平面以为原点向量的方向分别为轴轴轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系则晨鸟教育设平面的一个法向晨鸟教育(anan1)(anan11)0,因为 anan10,所以有 anan11,所以数列an是首项 a11,公差 d1 的等差数列,数列an的通项公式为 ana1(n1)dn.an2 n2(2)由 ann 知,bnlog2 log2,an1
11、 n1 数列bn的前 n 项和为 3 4 5 n2 b1b2b3bnlog2 log2 log2 log2 log2 2 3 4 n1 3 2(4 3 5 4 n2 n1)log2(n2)1,令 b1b2b3bnk(kZ),则有 log2(n2)1k,n 2k12,由 n(0,2 020),kZ 知 k10 且 kN*,所以区间(0,2 020)内所有“优化数”的和为 S(222)(232)(242)(2102)(222324210)22(129)18 18 21122 2 026.12 4(2020汕尾模拟)法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人,他每 天都会购买一个面包,面包师声称自己出售的每
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