第一课时 集合的概念.docx

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1、数学文化了解数学文化的发展与应用康托尔与集合论翻开高中数学课本，首先映入眼帘的数学概念是集合.研究集合的、数学理论在现代数学中称为集合论，它不仅是数学的一个基本分4支，在数学中占据着一个极其独特的地位，而且其基本概念已渗透到数学的所有领域.如果把现代数学比作一座无比辉煌的大厦，那么集合论正是构成这座大厦的基石.其创始人康托尔也以其集合论的成就被誉 为对20世纪数学发展影响最深的学者之一.康托尔(Georg Cantor, 18451918),德国数学家，生于俄罗斯圣彼得堡，自幼 对数学有浓厚兴趣.1867年，22岁的康托尔获得博士学位，以后一直在哈雷大学 任教，从事数学教学与研究.读图探新发现

2、现象背后的知识一位渔民非常喜欢数学，但他怎么也想不明白集合的意义.于是，他请教数学家：“尊敬的先生，请你告诉我，集合是什么？ ”而 集合是不加定义的概念，数学家很难回答那位渔民.有一天，他来到渔民的船上，看到渔民撒下渔网，轻轻一拉，许多鱼在网中跳动. 数学家激动地喊：“找到了，找到了，这就是一个集合”.问题1：数学家说的集合是指什么？集合中的对象是什么？这些对象有完全一样 的吗？网中的“大鱼”能构成集合吗？问题2：渔民网中的鱼组成的集合和湖中的鱼组成的集合有怎样的关系？问题3：如果有两个渔民都在打鱼，他们各自渔网中的鱼的种类组成两个集合， 那么求这两个集合中的相同鱼的种类组成的新集合是集合的什

3、么运算？将两个 渔网中的鱼组成的集合中的鱼的种类合在一起的过程又是集合 的哪种运算？链接：数学家所说的集合是指渔网中的鱼，很显然渔网中的对象 都是确定的、无序的和互异的；渔网中的鱼组成的集合是湖中的 鱼组成集合的一部分，是湖中鱼构成集合的一个子集；两个渔网中相同鱼的种类 解析若则一不合题意，故34,当x=l时，2x=l,中的 两元素为1, 1,不合题意，故1用0.7.已知集合A是由0,加，加23m+2三个元素构成的集合，且24则实数相答案3解析 由题意知，m=2或加23z+2 = 2,解得m=2或m=0或相=3.经验证，当根=0或根=2时，不满足集合中元素的互异性，当m=3时，满足题意，故加=

4、3.8 .用,阵填空：(1)0 N*；(2)71 Q；小一爽 R；(4)716 Z.答案住(2)在(3) (4)e三、解答题9 .已知集合A中的元素为0, 2, 4, 2，若次一q+2A,求实数a 解(1)若。+2 = 0,无解；(2)若。2一+2 = 2,即 6z26z=0, .9.a=0或 1.但。=0时，24=2,不满足元素互异性，舍去，a=l满足；(3)若2+2=4,即/一2=0, =2 或 =1.但。=2时，2。=0,不满足元素互异性，舍去，a= -1满足；(4)若/+2=2，=0,由以上可知不满足题意.综上，4=1或一1.10 .已知集合A中的元素x满足加一3%+1=0, aR.(

5、1)若1A,求实数。的值；若A为单元素集合，求实数a的值；(3)若4为双元素集合，求实数。的取值范围.解 (1)V1 ex,123X1 + 1=0, ：.a=2.(2)当4=0时，方程。W3x+l=0变为一3x+1=0,解得x=? 满足题意；当aWO时，要使A为单元素集合，则方程加一3尤+1=0有两个相等的实数根,99 / = ( - 3)1-4。=0, =1.94z=o或时a为单兀素集合.若A为双元素集合，则方程加-3%+1=0有两个不相等的实数根，丁aWO 且 / = (-3)24。0,.9QW且W0.I能力提升IU.由实数%, -x, w，V?,一所组成的集合，最多含 个元素.答案2解析

6、 由于?=仅|, ?=%,并且x, 一九, |%|之中至少有两个相等，所以 最多含2个元素.12.若a,原R,且aWO,后0,则号+野的可能取值所组成的集合中元素的个 数为,所有元素的和为.答案3 0解析 当。,匕同正时,M+号=+=1 + 1=2. V-VCZl/v LX当，匕同负时，回+粤=。+m=1 1 = 2. a b a b当a,力异号时，+?=0.号+整的可能取值所组成的集合中元素共有3个， CzvLZ且3个元素的和为2+(-2)+0=0.13 .已知数集A满足条件：若。1,则占 A.1 -va(1)若2A，任意写出A中的两个元素;若A为单元素集合，求实数a解若狂A. 2T,则用当

7、 =2A 时,1 17+2=3eA当出=2,即a=-3时,2QA综上，可知人中还有的两个元素为一J和!（答案不唯一）. 乙 J（2）:A为单元素集合，则必有。=:七， 1十。即 /+-1=0,蒯 ,日ly5 1+小解传=2或。= 2 .I创新拓展14.对于任意两个自然数m, n,定义运算如下：当m, n都为奇数或偶数时， mn=m+n；当2,川中一个为偶数,另一个为奇数时，mn=mn,则在此定义 下，集合M中满足皿=18, N, bN的元素（，。）个数为.答案23解析。勖=18,Z?N,若q和人一奇一偶，则。=18,满足此条件的有1X18 = 2X9 = 3X6,故（m份有6个；若和。都为奇数

8、或偶数，则+。= 18,满足此条件的有1 + 17 = 2+16 = 3 + 15=4+14= = 17+1,故（,份有 17个，所以集合M中满足到?=18, N,的元素（，b）个数为6+17 =23.组成的集合是两个集合的交集，两个渔网中的鱼的种类合在一起就构成了两个集 合的并集.1.1集合的概念与表示第一课时集合的概念课标要求素养要求1 .通过实例了解集合的含义；理解元素 与集合的属于关系.2 .记住常用数集的表示符号，并会应用.通过集合概念及元素与集合关系的学 习，培养数学抽象素养，提升数学运算 素养.课I前预I习r知识探究自主梳理1 .集合与元素(1)一般地，一定范围内某些确定的、不同

9、的对象的全体组成一个集合,常用大 写字母A, 3等表示集合.集合中的每一个对象称为该集合的元素,简称元，常用小写字母m人等表示元素.集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性.2 .元素与集合的关系知识点关系概念记法读法元素与属于如果。是集合A中的元 素，就说a属于AA“a属于A”集合的 关系不属于如果。不是集合A中的 元素，就说。不属于A。由4“。不属于A”3 .常用数集及表示符号名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法NN* 或 N+ZQRO点睛对元素与集合的关系的理解(1)qA与aA这两种有且只有一种成立.集合具有两方面的意义，即凡是符合条件的对象都是它的元素；只要是它的 元素必须符合

10、条件.自主检验1 .思考辨析，判断正误(1)漂亮的花可以组成集合.(X)提示“漂亮的花”具有不确定性，故不能组成集合.(2)元素1, 2, 3和元素3, 2, 1组成的集合不是同一集合.(X)提示 集合中的元素具有无序性，所以元素1, 2, 3和元素3, 2, 1组成的集合 是同一集合.(3)若直线y=x+l上的所有点构成集合A,则点(1, 2)eA(V)(4)若 qQ,则一定有 aR.(J)2 .考察下列每组对象，能构成集合的是()中国各地的美丽乡村；直角坐标系中横、纵坐标相等的点；不小于3的自然数；截止到2020年1月1日，参加“一带一路”的国家.A.B.C.D.答案B解析 中“美丽”标准

11、不明确，不符合确定性，中的元素标准明确，均 可构成集合，故选B.3 .已知1, x, x2三个实数构成一个集合，则%满足的条件是()A.xW0BaWlC.xWlD.%WO 且答案D解析根据集合中元素的互异性，1 Wx,得 xWx2,解得WO 且XWl.4 .用或“阵”填空.30且N；啦学Q；一 3且Z；(4)占R.-Q课堂互动题型剖析题型一集合概念的理解【例1考察下列每组对象能否构成一个集合.(1)不超过20的非负数；(2)方程X29=0在实数范围内的解；(3)某班的所有高个子同学；(4)，的近似值的全体.解(1)对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能构成集 合；能构成集合

12、；(3) “高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此 不能构成一个集合；(4) “小的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它 的近似值，所以不能构成集合.思维升华 判断给定的对象能不能构成集合，关键在于是否给出一个明确的标 准，使得对于任何一个对象，都能按此标准确定它是不是给定集合的元素.【训练11 (1)下列说法中正确的有(填序号).单词book的所有字母组成的集合的元素共有4个；集合M中有3个元素a, b, c,如果a, b, c是ABC的三边长，贝/ABC 不可能是等腰三角形；将小于10的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列分

13、别得到 不同的两个集合.(2)下列各组对象可以组成集合的是()A.数学必修第一册课本中所有的难题B.小于8的所有素数C.直角坐标平面内第一象限的一些点D.所有小的正数答案(2)B解析(1)不正确上ook的字母o有重复，共有3个不同字母，元素个数是3.正确.集合M中有3个元素a, b, c,所以m b, c互不相等，它们构成的三 角形三边互不相等，故不可能是等腰三角形.不正确.小于10的自然数不管按哪种顺序排列，里面的元素都是0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9这10个数，集合是相同的，和元素的排列顺序无关.(2)A中“难题”的标准不确定，不能构成集合；B能构成集合；C中“一

14、些点” 无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面 内第一象限的一些点”不能构成集合；D中“小”没有明确的标准，所以不能构 成集合.题型二元素与集合的关系【例2】 用符号或“住”填空：(1)设集合A是由正整数的全体构成的集合，则0 A,6A，(-D0A；(2)设集合6是由小于仃的实数的全体构成的集合，贝IJ B,1+2 B.答案在在E (2)4解析(1)0不是正整数，也不是整数，(一1)=1是正整数，故依次填空，住，班=皿而，,.,(1+的2=3+2&11,：1十巾故依次填阵，G.思维升华 符号“G” “在”仅可用来表示元素与集合的关系，有且只有其中的 一种情况成立

15、，还是演A取决于“是不是集合A中的元素.【训练2】(1)给出下列关系：*R；| 3悻N；|一，5|Q；04N.其中 正确的个数为()A.lB.2C.3D.4已知集合M是由平面直角坐标系中所有第二象限的点组成的集合，则 2(-2, 1)(1, 3)%(填“在”或 “0”) 答案(1)A (2)6 e在 解析(1)正确；不正确.(2)集合M中的元素是第二象限的点，而2是实数，故24M.点(一2, 1)是第二象 限内的点，故(一2, 1)跖而(1，3)在第一象限，(1, 3)就f 题型三集合中元素的性质及应用【例3】 已知集合A有三个元素：a3,2a1, +i,集合B也有三个元素: 0, 1, X.

16、(1)若一34,求。的值；(2)若fGB,求实数的值；(3)是否存在实数”，,使集合A与集合3中元素相同？解(1)由一3A 且/+121,可知 a3 3 或 2一1 3,当 一3 3 时，=0；当 2。一 1 3 时，a 1.经检验，0与一1都符合要求.二 = ()或一1.(2)由得 f=0 或 1 或.%=0, 1, 1.但考虑到集合元素的互异性，Xwo且%W1,故= 1.(3)显然/+1W0.由集合元素的无序性，只可能a3=0或2611=0.若-3=0,则。=3, A包含的元素为0, 5, 10,与集合5中元素不相同.若2-1=0,则=；,A包含的元素为0, T,与集合3中元素不相同. 乙

17、乙I故不存在实数4，,使集合A与集合8中元素相同.思维升华 集合中的元素是确定的、互异的、没有顺序的.其中互异性主要体现 在求出参数后要代入检验，同一集合中的元素要互不相等.元素的无序性主要体 现在：给出元素属于某集合，它可能表示集合中的任一元素.【训练3】 由三个数1 1组成的集合与由。2, a+h,。组成的集合中的元 素相同，求。2。21+62。21的值.h解 由m -，1组成一个集合，可知WO,21r 2a I,a a,由题意可得或+=1, bb-=0-=0,a= .a=.解得7八 或：八(不满足集合元素的互异性，舍去). W=o w=o所以 2。21 +庐。21 =(-1)2 021

18、+。= 1课堂小结1 .记牢3个知识点(1)元素与集合的概念，元素与集合的关系.(2)常用数集的表示.(3)集合中元素的特性及应用.2 .掌握2种方法(1)元素与集合关系的判定方法.(2)解答含有字母的元素与集合关系的问题时，要有分类讨论意识.3 .注意1个易错点集合中的元素具有三个特性，求解与集合有关的字母参数值(范围)时，需借助元 素的互异性来检验所求参数是否符合要求.-Q分层训练，素养提升I基础达标一、选择题1.以下各组对象不能组成集合的是()A.中国古代四大发明B.地球上的小河流C.方程x27=0的实数解D.周长为10 cm的三角形答案B解析因为没有明确的标准确定什么样的河流称为小河流

19、，故地球上的小河流不 能组成集合.2若。是R中的元素，但不是Q中的元素，则。可以是()A.3.14B.-5C.1D.小答案D解析 由题意知。应为无理数，故a可以为木.3.（多选题）下列说法正确的是（）A.N中最小的元素是1B.由单词“banana”中的所有字母组成的集合中有3个元素C.若N,则满足2%50的元素组成的集合中的所有元素之和为3D.在直角坐标系中，在坐标轴上的所有点组成一个集合答案BCD解析N表示自然数集，最小的元素是0,故A错；B正确，元素分别为字母乩 a, n； C中，由2x50且N,知=0, 1, 2,故所有元素之和为3,正确; D正确.4 .若a, b, c, d为集合A的四个元素，则以a, b, c, d为边长构成的四边形可 能是（）A.矩形B.平行四边形C.菱形D.梯形答案D解析由集合中的元素具有互异性可知a, b, c, d互不相等，而梯形的四条边 可以互不相等，故选D.5 .由。2, 2a,4组成一个集合A,且集合A中含有3个元素，则实数。的取值 可以是（）A.lB.-2C.-lD.2答案C解析 由题意知。2/4, 2aN4, a22a,解得aW2,且aWl,结合选项知 C正确，故选C.二、填空题6 .已知集合”中有2个元素九，2%,若一则3 M,1 叫（用,在填空）答案在建