(完整版)第六章无穷级数(典型例题).pdf

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1、第六章无穷级数（ 3-4 道小题， 5 分一个题）例1、考察下述级数的敛、散性 (不用全部讲 ) （1）1nn； （2）.111nnn；（3）.81614121；（4）.71615141；（5）1ln 2124nnnn；（6）111111.3923nn；（7）.433221；（8）.cos.3cos2coscosn；（9）12nnnn例2、已知级数1nnu的部分和3nSn，则当2n时，求nu。例3、若级数1nnu收敛，记1nniiSu，则 B.lim0nnAS；limnnBS 存在；.limnnCS 可能不存在；.nDS是单调数列。例4、若级数1nnu收敛，则下列级数中收敛的是： （AE ）A

2、 110nnuB 1(10)nnuC 110nnuD 1(10)nnuE 110nnu例5、设1150100nnnnuv，则123nnnuv（D）A 发散 B 收敛，其和为 100 C 收敛，其和为 50 D 收敛，其和为 400 例6、下列条件中，使级数1nnnuv一定发散的是A1.nnAu发散且1nnv收敛；1.nnBu发散；1nnCv发散；1.nnDu和1nnv都发散。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 例7、设级数1(1)nn

3、u收敛，则lim1nxu。例8、判别下列级数的敛、散性。 （1）2111nnn（讲直接用极限形式的）（2）343111nnn n； （3）11sinnn（注意可推广1sin0)pnaan（） ；（4）12 sin3nnn; 例9、判别下列级数的敛散性 :、(1)12!nnn; (2)12!nnnnn;(3) 132nnnn. 例10、 下列正项级数收敛的是：A 1131nnB 21lnnnnC 221lnnnn（）D 21nnnn例11、 设nnavu(n=1,2,3,4 .) (a0),且1nnv收敛，则1nnu（D ）A.必定收敛B.必定发散C.收敛性与 a 有关D.以上三个结论都不对例1

4、2、 若)0(limkknunn，则正项级数1nnu的敛、散性为 _例13、 判别级数的敛散性 : 1111nnn（结论记住，稍后给出一个结论）例14、 下列级数中，绝对收敛的是（c）A 1( 1)21nnnB 13( 1) ()2nnnC 31211( 1)()nnnD 1( 1) (1)nnnn例15、 下列级数中，绝对收敛的是（c）A 1sinnnB 1( 1) sinnnnC 21( 1) sinnnnD 1cosnn例16、 下列结论正确的是（ C ）A 若1nnu，1nnv都收敛，则21()nnnuv也收敛精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - -

5、欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - - B若1nnu，1nnv都收敛，则221()nnnuv也收敛C若正项级数1nnu，1nnv都收敛，则21()nnnuv也收敛D若1nnnu v收敛，则1nnu，1nnv也收敛例17、 若幂 级数1nnna x在2x处 收 敛 ， 则 该 级 数在1x处 是（ ） （在2,3xx呢）A 发 B 条件收敛C 绝对收敛D 敛散性不确定例18、 若幂级数1nnna x在2x处条件收敛 ，则该级数在1x处是（）（在2,3xx呢）A 发 B 条件收敛C 绝对收敛 D 敛散性不确定例19、

6、 若幂级数03nnnxa在点1x处发散，在点5x收敛，则在点0 x，2x，4x，6x中使该级数发散的点的个数有A 0 个B1 个C 2 个D 3 个例20、 求下列幂级数的收敛半径和收敛区间（讨论端点）：（1）111nnnxn； （做题步骤）解：三步：先写出系数，求出收敛半径，讨论端点求收敛区间。（1）111lim | lim1,1nnnnanan所以，1R；（2）在端点111,1nnx发散；在端点1111,1nnxn收敛。故收敛域为1 , 1。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共

7、5 页 - - - - - - - - - - （2）0!nnxn；解：因为111 !lim | lim0,1!nnnnnaan所以，R；故收敛区间为,。（3）0!nnnx； （4）011( 3)nnnnx的收敛区间（不考虑端点）例21、 （05）求20121nnnxn的收敛半径及区间（考虑区间端点） 。例22、 （口述 ）求20(1)121nnnxn的收敛半径及区间（考虑区间段点） 。例23、 若幂级数0nnnxa的收敛半径为R ，则幂级数022nnnxa的收敛区间为ARR,BRR 2,2CRR,DRR 2,2例24、 幂级数02!nnnxn的和函数2( ).xS xe（若换为2121!nn

8、xnxen）例25、 幂级数110( 1)(1)2nnnnxn的和函数( )ln(1).2xS x例26、 级数02!nnn的和2.e例27、 将将函数211fxx展开成x幂级数例28、 （07）将224xx展开x的幂级数。例29、 （08）将212xx展开x的幂级数。例30、21( )(1)f xx展开为x的幂级数。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 例31、 将212xx展开1x的幂级数（即在点1x处展开成幂级数）。例32、 将2xfx展开成x幂级数。例33、 （06）函数2( )xf xe在0 x处展开的幂级数是 -。例34、 将( )lnf xx展开2x的幂级数。例35、 将xxf1ln展开成3x幂级数（即在点3x处展开成幂级数）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - - -