(完整版)等差等比数列练习题(含答案)以及基础知识点.pdf

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1、1 一、等差等比数列基础知识点（一）知识归纳：1概念与公式：等差数列：1.定义：若数列),(1nnnnadaaa则常数满足称等差数列；2.通项公式：;)()1(1dknadnaakn3.前 n 项和公式：公式：.2)1(2)(11dnnnaaanSnn 等 比 数 列 ： 1 . 定 义 若 数 列qaaannn1满足（ 常 数 ） ， 则na称 等 比 数 列 ； 2 . 通 项 公 式 ：;11knknnqaqaa3.前 n 项和公式：),1(1)1(111qqqaqqaaSnnn当 q=1 时.1naSn2简单性质：首尾项性质：设数列,:321nnaaaaa1 .若na是等差数列，则;2

2、3121nnnaaaaaa2 .若na是等比数列，则.23121nnnaaaaaa中项及性质：1 .设 a，A，b 成等差数列，则A 称 a、b 的等差中项，且;2baA2 .设 a,G,b 成等比数列，则G 称 a、b的等比中项，且.abG设 p、q、r、s 为正整数，且, srqp1 . 若na是等差数列，则;srqpaaaa2 . 若na是等比数列，则;srqpaaaa顺次 n 项和性质：1 .若na是公差为d 的等差数列，nknnknnkkkkaaa121312,则组成公差为n2d 的等差数列；2 . 若na是公差为 q 的等比数列，nknnknnkkkkaaa121312,则组成公差

3、为qn的等比数列 .（注意：当q=1，n 为偶数时这个结论不成立）若na是等比数列，则顺次 n 项的乘积：nnnnnnnaaaaaaaaa3221222121,组成公比这2nq的等比数列 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 2 若na是公差为d 的等差数列 , 1 .若 n 为奇数，则,:(21nnaaaaSSnaS中中中偶奇中即指中项注且而 S 奇、 S偶指所有奇数项、所有偶数项的和）；2 .若 n 为偶数，则.2ndSS奇偶（

4、二）学习要点：1学习等差、等比数列，首先要正确理解与运用基本公式，注意公差d0 的等差数列的通项公式是项n 的一次函数 an=an+b;公差 d0 的等差数列的前n 项和公式项数n 的没有常数项的二次函数Sn=an2+bn;公比 q1 的等比数列的前n 项公式可以写成“Sn=a(1-qn)的形式；诸如上述这些理解对学习是很有帮助的. 2解决等差、等比数列问题要灵活运用一些简单性质，但所用的性质必须简单、明确，绝对不能用课外的需要证明的性质解题 . 3巧设“公差、公比”是解决问题的一种重要方法，例如：三数成等差数列，可设三数为“a,a+m,a+2m （或a-m,a,a+m ）” 三 数 成 等

5、比 数 列 ， 可 设 三 数 为 “ a,aq,aq2( 或qa， a,aq)” 四 数 成 等 差 数 列 ， 可 设 四 数 为“);3,3(3,2,mamamamamamamaa或” 四 数成 等 比数 列， 可设 四 数 为“),(,3332aqaqqaqaaqaqaqa或”等等；类似的经验还很多，应在学习中总结经验. 例 1解答下述问题：（）已知cba1,1,1成等差数列，求证：（1）cbabacacb,成等差数列；（2）2,2,2bcbba成等比数列 . 解析 该问题应该选择“中项”的知识解决，.2,2,2,)2(4)(2)2)(2)(2(;,.)(2)()(2)()1 (),(

6、222112222222成等比数列成等差数列bcbbabbcabacbcbacbabacacbbcacabcaaccacabacabacbccbaacbcabacbaccabca评析 判断（或证明）一个数列成等差、等比数列主要方法有：根据“中项”性质、根据“定义”判断，. （）等比数列的项数n 为奇数，且所有奇数项的乘积为1024，所有偶数项的乘积为2128，求项数n. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 3 解析 设公比为24212

7、81024,142531nnaaaaaaaq)1(24211nqa.7,23525,2)2()1(,2)(2) 1(221281024235252352112353211235321nnqanqaaaaannnn得代入得将而（ ） 等 差 数 列 an 中 ， 公 差d 0 ， 在 此 数 列 中 依 次 取 出 部 分 项 组 成 的 数 列 ：,17,5, 1,32121kkkaaankkk其中恰为等比数列求数列.项和的前 nkn解析 ,171251751aaaaaa成等比数列.1313132, 132)1(2)1(323, 34,2,00)2()16()4(111111115111121

8、nnSnkkdkddkaadaaadaaaqadaddaddaadannnnnnnnknnkknnn项和的前得由而的公比数列评析 例 2 是一组等差、等比数列的基本问题，熟练运用概念、公式及性质是解决问题的基本功. 例 3解答下述问题：（）三数成等比数列，若将第三项减去32，则成等差数列；再将此等差数列的第二项减去4，又成等比数列，求原来的三数 . 解析 设等差数列的三项，要比设等比数列的三项更简单，设等差数列的三项分别为ad, a, a+d，则有.9338,926,9250,10,2,92610,388,06432316803232)()4()32)(22222或原三数为或得或addddda

9、adddadaaadada（）有四个正整数成等差数列，公差为10，这四个数的平方和等于一个偶数的平方，求此四数. 解析 设此四数为)15(15,5,5,15aaaaa, ，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 4 2521251,2551251125,125)(45004)()2()15() 5()5()15(2222222amamamamamamamamamammaNmmaaaa且均为正整数与解得),(1262不合或aa所求四数为47

10、，57，67，77 评析 巧设公差、公比是解决等差、等比数列问题的重要方法，特别是求若干个数成等差、等比数列的问题中是主要方法 . 二、等差等比数列练习题一、 选择题1、如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列（）（A）为常数数列（B）为非零的常数数列（C）存在且唯一（D）不存在2.、在等差数列na中，41a,且1a,5a,13a成等比数列，则na的通项公式为（）（A）13nan（B）3nan（C）13nan或4na（D）3nan或4na3、已知cba,成等比数列，且yx,分别为a与b、b与c的等差中项，则ycxa的值为（）（A）21（B）2（C）2（D） 不确定4、互不相等的三个正数

11、cba,成等差数列，x是 a,b 的等比中项，y是 b,c 的等比中项，那么2x，2b，2y三个数（）（A）成等差数列不成等比数列（B）成等比数列不成等差数列（C）既成等差数列又成等比数列（D）既不成等差数列，又不成等比数列5、已知数列na的前n项和为nS,nnSn24212,则此数列的通项公式为（）（A）22nan（B）28nan（C）12nna（D）nnan26、已知)(4)(2zyyxxz，则（）（A）zyx,成等差数列（B）zyx,成等比数列（C）zyx1,1,1成等差数列（D）zyx1,1,1成等比数列7、数列na的前n项和1nnaS，则关于数列na的下列说法中，正确的个数有（）一定

12、是等比数列，但不可能是等差数列一定是等差数列，但不可能是等比数列可能是等比数列，也可能是等差数列可能既不是等差数列，又不是等比数列可能既是等差数列，又是等比数列（A）4 （B）3 （C）2 （D）1 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 5 8、数列 1,1617 ,815,413 ,21,前 n 项和为（）（A）1212nn（B）212112nn（C）1212nnn（D）212112nnn9、若两个等差数列na、nb的前n项和分别为n

13、A、nB，且满足5524nnBAnn，则135135bbaa的值为（）（A）97（B）78（C）2019（D）8710、已知数列na的前n项和为252nnSn,则数列na的前 10 项和为（）（A）56 （B）58 （C）62 （D）60 11、已知数列na的通项公式5nan为, 从na中依次取出第3，9，27，3n, 项，按原来的顺序排成一个新的数列，则此数列的前 n 项和为（）（A）2)133(nn（B）53n（C）23103nn（D）231031nn12、下列命题中是真命题的是( ) A数列na是等差数列的充要条件是qpnan(0p) B已知一个数列na的前n项和为abnanSn2,如果

14、此数列是等差数列,那么此数列也是等比数列C数列na是等比数列的充要条件1nnabaD如果一个数列na的前n项和cabSnn)1,0, 0(bba,则此数列是等比数列的充要条件是0ca二、填空题13、各项都是正数的等比数列na，公比1q875,aaa,成等差数列，则公比q= 14、已知等差数列na，公差0d,1751,aaa成等比数列，则18621751aaaaaa= 15、已知数列na满足nnaS411,则na= 16、在 2 和 30 之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的这两个数的等比中项为二、 解答题17、已知数列na是公差d不为零的等差数列，数列nba是公

15、比为q的等比数列，46,10, 1321bbb，求公比q及nb。18、已知等差数列na的公差与等比数列nb的公比相等， 且都等于d) 1,0(dd,11ba，333ba,555ba,求nnba ,。19、有四个数，其中前三个数成等比数列，其积为216，后三个数成等差数列，其和为36，求这四个数。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 6 20、已知na为等比数列，324202,3aaa，求na的通项式。21、数列na的前n项和记为11,1

16、,211nnnS aaSn（）求na的通项公式；（）等差数列nb的各项为正，其前n项和为nT，且315T，又112233,ab abab成等比数列，求nT22、已知数列na满足*111,21().nnaaanN（I）求数列na的通项公式；（II）若数列nb满足121114.4.4(1) ()nnbbbbnanN，证明：nb是等差数列；数列综合题一、选择题题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BDCAAACADDDD二、 填空题13. 25114. 292615. n)31(3416. 63三、解答题17.a1b=a1,a2b=a10=a1+9d,a3b=a46=a1+4

17、5d由abn为等比数例，得（a1+9d）2=a1(a1+45d)得 a1=3d,即 ab1=3d,ab2=12d,ab3=48d. q=4 又由 abn是an中的第 bna 项，及 abn=ab1 4n-1=3d 4n-1,a1+(bn-1)d=3d 4n-1 bn=3 4n-1-2 18. a3=3b3 , a1+2d=3a1d2 ,a1(1-3d2)=-2da5=5b5, a1+4d=5a1d4 , a1(1-5d4)=-4d,得243151dd=2，d2=1 或 d2=51,由题意， d=55,a1=-5。 an=a1+(n-1)d=55(n-6) bn=a1dn-1=-5 (55)n-

18、1 19.设这四个数为aaqaqaqa2,则36)3(216aaqaqaaqaqa由，得a3=216,a=6 代入，得3aq=36,q=2 这四个数为3，6，12，18 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 7 20.解: 设等比数列 an 的公比为q, 则 q0, a2=a3q= 2q, a4=a3q=2q所以2q+ 2q=203, 解得 q1=13, q2= 3, 当 q1=13, a1=18.所以an=18 (13)n1=183n

19、1= 2 33n. 当 q=3 时, a1= 29, 所以 an=29 3n1=2 3n3. 21.解： (I)由121nnaS可得1212nnaSn，两式相减得112,32nnnnnaaaaan又21213aS213aa故na是首项为1，公比为3得等比数列13nna（）设nb的公差为d由315T得，可得12315bbb，可得25b故可设135,5bd bd又1231,3,9aaa由题意可得2515953dd解得122,10dd等差数列nb的各项为正，0d2d213222nn nTnnn22（I） ：*121(),nnaanN112(1),nnaa1na是以112a为首项， 2 为公比的等比数

20、列。12 .nna精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 8 即2*21().nanN（II ）证法一：1211144.4(1) .nnbbbbna12(.)42.nnbbbnnb122(.),nnbbbnnb12112(.)(1)(1).nnnbbbbnnb，得112(1)(1),nnnbnbnb即1(1)20,nnnbnb21(1)20.nnnbnb，得2120,nnnnbnbnb即2120,nnnbbb*211(),nnnnbbbbnNnb是等差数列。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - - -