2022年人教版高一数学必修一基本初等函数解析 .pdf

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1、基本初等函数一 【要点精讲】1指数与对数运算（1）根式的概念：定义：若一个数的n次方等于), 1(Nnna且，则这个数称a的n次方根。即若axn，则x称a的n次方根)1Nnn且，1）当n为奇数时，na的次方根记作na；2）当n为偶数时，负数a没有n次方根，而正数a有两个n次方根且互为相反数，记作)0(aan性质： 1）aann)(；2）当n为奇数时，aann；3）当n为偶数时，)0()0(|aaaaaan。（2） 幂的有关概念规定： 1）naaaan(N*；2）)0( 10aa； n个3）paapp(1Q ，4）maaanmnm, 0(、nN*且)1n性质： 1）raaaasrsr, 0(、s

2、Q） ；2）raaasrsr, 0()(、s Q） ；3）rbababarrr,0, 0()( Q） 。（注）上述性质对r 、sR均适用。（3） 对数的概念定义：如果) 1,0(aaa且的b次幂等于 N，就是Nab，那么数b称以a为底 N的对数，记作,logbNa其中a称对数的底， N称真数1）以 10 为底的对数称常用对数，N10log记作Nlg；2）以无理数)71828.2(ee为底的对数称自然对数，Nelog，记作Nln；基本性质：1）真数 N为正数（负数和零无对数）； 2）01loga；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 -

3、- - - - - - - - -第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 3）1log aa；4）对数恒等式：NaNalog。运算性质：如果,0,0,0,0NMaa则1）NMMNaaaloglog)(log；2）NMNMaaalogloglog；3）nMnMana(loglogR）换底公式：),0, 1,0, 0, 0(logloglogNmmaaaNNmma1）1loglogabba；2）bmnbanamloglog。2指数函数与对数函数（1）指数函数：定义：函数) 1,0(aaayx且称指数函数，1）函数的定义域为R；2）函数的值域为),0(；3）当10a时函数为

4、减函数，当1a时函数为增函数。函数图像：1）指数函数的图象都经过点（0，1） ，且图象都在第一、二象限；2）指数函数都以x轴为渐近线（当10a时，图象向左无限接近x轴，当1a时，图象向右无限接近x轴） ；3）对于相同的)1,0(aaa且，函数xxayay与的图象关于y轴对称函数值的变化特征：10a1a100yx时，10yx时，10yx时10yx时，10yx时，100yx时，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 15 页 - - - - - - - - - - （2）对数函数：定义：函

5、数)1, 0(logaaxya且称对数函数，1）函数的定义域为),0(；2）函数的值域为R；3）当10a时函数为减函数，当1a时函数为增函数；4）对数函数xyalog与指数函数)1, 0(aaayx且互为反函数函数图像：1）对数函数的图象都经过点（0，1） ，且图象都在第一、四象限；2）对数函数都以y轴为渐近线（当10a时，图象向上无限接近y轴；当1a时，图象向下无限接近y轴） ；4）对于相同的)1,0(aaa且，函数xyxyaa1loglog与的图象关于x轴对称。函数值的变化特征：（3）幂函数1）掌握 5 个幂函数的图像特点2）a0 时，幂函数在第一象限内恒为增函数，a0时过（ 0，0）4）

6、幂函数一定不经过第四象限10a1a01yx时，01yx时，010yx时. 01yx时，01yx时，100yx时. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 四 【典例解析】题型 1：指数运算例 1 （1）计算：25.02121325 .0320625.0)32.0()02.0()008.0()945()833(；（2）化简：5332332323323134)2(248aaaaabaaabbbaa。解： （1）原式 =41322132)10

7、000625(102450)81000()949()278(922)2917(211024251253794；（2）原式 =51312121323131231313123133133131)()(2)2()2()()2()(aaaaababbaabaa23231616531313131312)2(aaaaaabaabaa。点评：根式的化简求值问题就是将根式化成分数指数幂的形式，然后利用分数指数幂的运算性质求解， 对化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式保留；一般的进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时兼顾运算的顺序。例 2 （1）已知11223xx，求2

8、2332223xxxx的值解：11223xx，11222()9xx，129xx，17xx，12()49xx，2247xx，又331112222() (1)3 (71)18xxxxxx，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 223322247231833xxxx。点评：本题直接代入条件求解繁琐，故应先化简变形，创造条件简化运算。题型 2：对数运算（2）.( 江苏省南通市高三第二次调研考试) 幂函数( )yf x的图象经过点1( 2,)8

9、，则满足( )f x 27 的x的值是 . 答案13例 3计算（1）2(lg 2)lg 2 lg50lg 25； （2）3948(log 2log 2) (log 3log 3)；（3）1 .0lg21036.0lg21600lg)2(lg8000lg5lg23解： （1）原式22(lg2)(1 lg5)lg2lg5(lg2lg51)lg22lg5(1 1)lg 22lg52(lg 2lg5)2；（2）原式lg 2lg 2lg3lg3lg 2lg 2lg3lg3() ()() ()lg3lg9lg 4lg8lg32lg32lg 23lg 23lg 2 5lg352lg36lg 24；（3）分子

10、 =3)2lg5(lg2lg35lg3)2(lg3)2lg33(5lg2；分母 =41006lg26lg101100036lg)26(lg；原式 =43。点评：这是一组很基本的对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的各种技巧例 4设a、b、c为正数，且满足222abc（1）求证：22log (1)log (1)1bcacab；（2）若4log (1)1bca，82log ()3abc，求a、b、c的值。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归

11、纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 证明： （1）左边222logloglog ()abcabcabc abcabab22222222222()22loglogloglog 21abcaabbcabccababab；解： （2）由4log (1)1bca得14bca，30abc由82log ()3abc得2384abc由得2ba由得3cab，代入222abc得2 (43 )0aab，0a， 430ab由、解得6a，8b，从而10c。点评：对于含对数因式的证明和求值问题，还是以对数运算法则为主，将代数式化简到最见形式再来处理

12、即可。题型 3：指数、对数方程例 5( 江西师大附中高三数学上学期期中) 已知定义域为R的函数abxfxx122)(是奇函数 . （1）求a,b的值；（2）若对任意的Rt，不等式0)2()2(22ktfttf恒成立，求k的取值范围 . 解（1） 因为)(xf是 R上的奇函数，所以1, 021,0)0(babf解得即从而有.212)(1axfxx又由aaff1121412) 1() 1(知，解得2a（2）解法一：由（1）知,121212212)(1xxxxf由上式易知)(xf在 R上为减函数，又因)(xf是奇函数，从而不等式0)2()2(22ktfttf等价于).2()2()2(222ktfkt

13、fttf因)(xf是 R上的减函数，由上式推得.2222kttt即对一切,0232kttRt有从而31,0124kk解得解法二：由（ 1）知,2212)(1xxxf又由题设条件得0221222121221222222ktkttttt即0) 12)(22() 12)(22(2222212212ktttttkt整理得12232ktt，因底数 21，故0232ktt精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 上式对一切Rt均成立，从而判别式.31

14、,0124kk解得例 6 （2008 广东 理 7）设aR，若函数3axyex，xR有大于零的极值点，则（ B ）A3aB 3aC 13aD13a【解析】( )3axfxae，若函数在xR上有大于零的极值点，即( )30axfxae有正根。当有( )30axfxae成立时 , 显然有0a,此时13ln()xaa，由0 x我们马上就能得到参数a的范围为3a. 点评：上面两例是关于含指数式、对数式等式的形式，解题思路是转化为不含指数、对数因式的普通等式或方程的形式，再来求解。题型 4：指数函数的概念与性质例 7设1232,2( )(2)log (1)2.xexf xffxx ，则的值为，（）A0

15、B1 C2 D3 解：C；1)12(log)2(23f，eeff22)2(10。点评：利用指数函数、对数函数的概念，求解函数的值例 8已知) 1,0()(log1aaxxxfa且试求函数f(x) 的单调区间。解：令txalog，则x=ta，t R。所以taatf)(即xxaaxf)(， （xR） 。因为f( x)=f(x) ，所以f(x) 为偶函数，故只需讨论f(x) 在0 ，+）上的单调性。任取1x，2x，且使210 xx，则)()(12xfxf)()(1122xxxxaaaa212121)1)(xxxxxxaaaa（1）当a1 时，由210 xx，有210 xxaa，121xxa，所以0)

16、()(12xfxf，即f(x) 在0 ，+ 上单调递增。（2） 当 0a1时，由210 xx， 有210 xxaa，121xxa， 所以0)()(12xfxf，即f(x) 在0 ，+ 上单调递增。综合所述， 0 ，+ 是f(x) 的单调增区间， （， 0）是f(x) 的单调区间。点评：求解含指数式的函数的定义域、值域，甚至是证明函数的性质都需要借助指数函数的性质来处理。特别是分10, 1aa两种情况来处理。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 15 页 - - - - - - - -

17、 - - 题型 5：指数函数的图像与应用例 9若函数myx|1 |)21(的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是（）Am 1 B 1m0 Cm 1 D0m 1 解：) 1(2)1()21()21(11|1 |xxyxxx，画图象可知 1m1时，函数y=logax和y=(1 a)x的图象只可能是( ) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 15 页 - - - - - - - - - - A1oyxB1oyxC1oyxD1oyx解：当a1 时，函数y=logax的图象只能在A和C中选，

18、又a1时，y=(1a)x为减函数。答案：B点评：要正确识别函数图像，一是熟悉各种基本函数的图像，二是把握图像的性质，根据图像的性质去判断，如过定点、定义域、值域、单调性、奇偶性例 14设A、B是函数y= log2x图象上两点 , 其横坐标分别为a和a+4, 直线l: x=a+2与函数y= log2x图象交于点C, 与直线AB交于点D。（1）求点D的坐标；（2）当ABC的面积大于1 时, 求实数a的取值范围解： （1）易知D为线段AB的中点 , 因A(a, log2a ), B(a+4, log2(a+4) ，所以由中点公式得D(a+2, log2)4(aa ) 。（2）S ABC=S梯形 AA

19、 CC +S梯形 CCBB- S梯形 AA BB= log2)4()2(2aaa, 其中A,B,C为A,B,C在x轴上的射影。由 SABC= log2)4()2(2aaa1, 得 0 a222。点评：解题过程中用到了对数函数性质，注意底数分类来处理，根据函数的性质来处理复杂问题。题型 8：指数函数、对数函数综合问题例 15在xOy平面上有一点列P1(a1,b1),P2(a2,b2), ,Pn(an,bn) ，对每个自然数n点Pn位于函数y=2000(10a)x(0a1) 的图象上， 且点Pn, 点(n,0) 与点 (n+1,0) 构成一个以Pn为顶点的等腰三角形。(1) 求点Pn的纵坐标bn的

20、表达式；(2) 若对于每个自然数n，以bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形，求a的取值范围；(3) 设Cn=lg(bn)(nN*), 若a取(2) 中确定的范围内的最小整数，问数列 Cn前多少项的和最大？试说明理由解： (1) 由题意知：an=n+21, bn=2000(10a)21n。(2) 函数y=2000(10a)x(0abn+1bn+2。则以bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形的充要条件是bn+2+bn+1bn，即(10a)2+(10a) 10，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - -

21、 - - -第 10 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 解得a5(5 1) 。5(51)a10。(3) 5(51)a10，a=7 bn=2000(107)21n。数列 bn是一个递减的正数数列，对每个自然数n2,Bn=bnBn1。于是当bn1 时，BnBn 1，当bn1 时，BnBn1，因此数列 Bn 的最大项的项数n满足不等式bn1 且bn+11，由bn=2000(107)21n1 得：n20。n=20。点评：本题题设从函数图像入手，体现数形结合的优越性，最终还是根据函数性质结合数列知识，以及三角形的面积解决了实际问题。例 16已知函数1,0)(log)(aaxaxx

22、fa为常数）（1）求函数f(x) 的定义域；（2）若a=2，试根据单调性定义确定函数f(x) 的单调性（3）若函数y=f(x) 是增函数，求a的取值范围。解： （1）由axxxax得0a0，x0 22210axxaxxf(x)的定义域是),1(2ax。（2）若a=2，则)2(log)(2xxxf设4121xx， 则0 1)(2)()()( 2)2()2(212121212211xxxxxxxxxxxx)()(21xfxf故f(x) 为增函数。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 1

23、5 页 - - - - - - - - - - （3）设1121221xaxaaxx则0 1)()()()()()(212121212211xxaxxxxxxaxaxxax2211xaxxaxf(x)是增函数，f(x1) f(x2) 即)(log)(log2211xaxxaxaa联立、知a1，a(1，+)。点评：该题属于纯粹的研究复合对函数性质的问题，我们抓住对数函数的特点，结合一般函数求定义域、单调性的解题思路，对“路”处理即可题型 9：课标创新题例 17对于在区间nm,上有意义的两个函数f(x) 与g(x) ，如果对任意的xnm,，均有1)()(xgxf，则称f(x) 与g(x) 在nm,

24、上是接近的，否则称f(x) 与g(x) 在nm,上是非接近的， 现有两个函数)3(log)(1axxfa与)1,0(1log)(2aaaxxfa，给定区间3, 2 aa。（1）若)(1xf与)(2xf在给定区间3,2 aa上都有意义，求a的取值范围；（2）讨论)(1xf与)(2xf在给定区间3,2 aa上是否是接近的。解： （1）两个函数)3(log)(1axxfa与)1,0(1log)(2aaaxxfa在给定区间3, 2 aa有意义，因为函数axy3给定区间3, 2 aa上单调递增，函数在axy1给定区间3,2 aa上恒为正数，故有意义当且仅当1003)2(10aaaaa；（2）构造函数)3

25、)(log)()()(21axaxxfxfxFa，对于函数)3)(axaxt来讲，显然其在2 ,(a上单调递减，在),2 a上单调递增。且tyalog在其定义域内一定是减函数由于10a，得2220aa精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 所以原函数在区间 3,2aa内单调递减，只需保证1|)23(3log|) 3(|1|)1 (4log|)2(|aaFaaFaaaaaaa1)23(31)1(4当125790a时，)(1xf与)(2x

26、f在区间3, 2 aa上是接近的；当12579a时，)(1xf与)(2xf在区间3, 2 aa上是非接近的点评：该题属于信息给予的题目，考生首先理解“接近”与“非接近”的含义，再对含有对数式的函数的是否“接近” 进行研究， 转化成含有对数因式的不等式问题，解不等式即可。例 18设1x，1y，且2log2log30 xyyx，求224Txy的最小值。解：令logxty，1x，1y，0t。由2log2log30 xyyx得2230tt，22320tt，(21)(2)0tt，0t，12t，即1log2xy，12yx，222244(2)4Txyxxx，1x，当2x时，min4T。点评：对数函数结合不等

27、式知识处理最值问题，这是出题的一个亮点。同时考察了学生的变形能力。例 19.（2009 陕西卷文）设曲线1*()nyxnN在点（ 1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为nx, 则12nxxx的值为A.1n B.11n C. 1nn D.1 答案 B 解析对1*()(1)nnyxnNynx求导得, 令1x得在点 （1，1）处的切线的斜率精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 1kn, 在点（1，1）处的切线方程为1(1)(1)(1)n

28、nyk xnx, 不妨设0y,1nnnx则1212311.23411nnnxxxnnn, 故选 B. 五 【思维总结】1bNNaaNabnlog,（其中1,0,0aaN）是同一数量关系的三种不同表示形式， 因此在许多问题中需要熟练进行它们之间的相互转化，选择最好的形式进行运算.在运算中，根式常常化为指数式比较方便，而对数式一般应化为同应化为同底；2要熟练运用初中学习的多项式各种乘法公式；进行数式运算的难点是运用各种变换技巧，如配方、因式分解、有理化（分子或分母）、拆项、添项、换元等等，这些都是经常使用的变换技巧，必须通过各种题型的训练逐渐积累经验；3解决含指数式或对数式的各种问题，要熟练运用指

29、数、对数运算法则及运算性质，更关键是熟练运用指数与对数函数的性质，其中单调性是使用率比较高的知识；4指数、对数函数值的变化特点（上面知识结构表中的12 个小点）是解决含指数、对数式的问题时使用频繁的关键知识，要达到滚瓜烂熟，运用自如的水平，在使用时常常还要结合指数、对数的特殊值共同分析；5含有参数的指数、对数函数的讨论问题是重点题型，解决这类问题的最基本的分类方案是以“底”大于1 或小于 1 分类；6在学习中含有指数、对数的复合函数问题大多数都是以综合形式出现，如与其它函数（特别是二次函数）形成的复合函数问题，与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等，因此要努力提高综合能力精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 15 页 - - - - - - - - - -