(完整版)第四讲导数与函数的零点讲义(非常好,有解析).pdf
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1、函数的零点【题型一】函数的零点个数【解题技巧 】用导数来判断函数的零点个数,常通过研究函数的单调性、极值后,描绘出函数的图象, 再借助图象加以判断。【例 1】已知函数3( )31,0f xxaxa求( )f x的单调区间;若( )f x在1x处取得极值,直线y=m 与( )yf x的图象有三个不同的交点,求m的取值范围。变式:已知定义在R上的奇函数)(xf,满足(4)( )f xf x,且在区间 0,2上是增函数,若方程( )(0)f xm m在区间 8 , 8上有四个不同的根1234,x xxx,则1234_.xxxx【答案 】 -8 【解析】 因为定义在R 上的奇函数,满足(4)( )f
2、xf x,所以(4)()f xfx,所以, 由)(xf为奇函数,所以函数图象关于直线2x对称且(0)0f, 由(4)( )f xf x知(8)( )f xf x,所以函数是以8 为周期的周期函数,又因为)(xf在区间 0,2上 是增函数,所以)(xf在区间 -2,0上也是增函数如图所示,那么方程f(x)=m(m0) 在区间8, 8上 有 四 个 不 同 的 根1234,xxxx, 不 妨 设1234xxxx,由 对 称 性 知1212xx,344xx所以12341248xxxx【题型二】 复合函数 的零点个数复合函数是由内层函数与外层函数复合而成的,在处理其零点个数问题时,应分清内层-8 -6
3、 -4 -2 0 2 4 6 y x f(x)=m 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页,共 12 页 - - - - - - - - - - 和外层函数与零点的关系。【解题技巧】函数( )( )h xff xc的零点个数的判断方法可借助换元法解方程的思想分两步进行。即令( )f xd,则( )( )h xf dc第一步:先 判断( )f dc的零点个数情况第二步:再 判断( )f xd的零点个数情况【例 2】 已知函数3( )3f xxx设( )( )h xff xc, 其中 22c,
4、求函数( )yh x的零点个数1 ( 江 苏 省 连 云 港 市2013届 高 三 上 学 期 摸 底 考 试 ( 数 学 ) 已 知 函 数322( )39(0)f xxaxa x a. 若方程2( )12169fxnxaxaa在 l,2恰好有两个相异的实根 , 求实数 a 的取值范围 ( 注:1n20.69):【题型三】 如何运用导数求证函数“存在、有且只有一个”零点【解题技巧】(1)要求证一个函数存在零点, 只须要用 “函数零点的 存在性定理” 即可证明。即:如果函数( )f x在区间ab,上是一条连续不断曲线,并且( )( )0f af b,则函数( )f x在区间ab,上至少有一个零
5、点。即存在一点0 xab, 使得0()0f x,这个0 x 也就是方程( )0f x的根 .(2)要求证一个函数“有且只有一个”零点,先要证明函数为单调函数,即存在零点;再用“函数零点的 存在性定理”求证函数零点的唯一性。其依据为:如果函数( )f x在区间ab,上是单调函数,并且( )( )0f af b,则函数( )f x在区间ab,上至多有一个零点。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页,共 12 页 - - - - - - - - - - 【例 3】设函数329( )62f xxx
6、xa(1)对于任意实数x,( )fxm恒成立,求m的最大值;(2)若方程( )0f x有且仅有一个实根,求a的取值范围变式:设函数( )lnfxx,( )ag xx,( )( )( )F xf xg x。 若方程( )fxmx在区间21 ,e上有唯一实数解,求实数m的取值范围;解析:方程( )f xmx在区间21 ,e上有唯一实数解等价于方程ln xmx在区间21 ,e上有唯一实数解。记2ln( )1 ,xh xxex,则21ln( )xh xx, 令( )0h x,得:xe,当1 ,xe时,( )0h x,( )h x递增;当2,xee时,( )0h x,( )h x递减。所以max1( )
7、( )h xh ee。易求得:(1)0h,222()h ee。为使方程ln xmx在区间21 ,e上有唯一实数解,则直线ym与函数ln( )xyh xx的图象有唯一交点,根据( )h x的图象可知:1me或220me。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页,共 12 页 - - - - - - - - - - 故m的取值范围是2210 ,eeU。【例 4】已知函数xfxemx在( 1,)上没有零点,求m的取值范围;【题型四】 如何运用导数来判断与求证含参函数的零点【例 5】 (2013江苏
8、卷) 设函数axxxfln)(,axexgx)(,其中a为实数 若)(xg在), 1(上是单调增函数,试求)(xf的零点个数,并证明你的结论基础练习:1己知( )lnxf xaxae,其中常数0a(1)当ae时,求函数( )f x的极值;2已知函数f(x)12m(x1)22x3lnx , m R当 m0 时,若曲线yf(x)在点 P(1,1)处的切线l 与曲线 yf(x)有且只有一个公共点,求实数m 的值精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页,共 12 页 - - - - - - - -
9、- - 3已知函数1( )1xf xxe(aR,e为自然对数的底数).若直线:1lykx与曲线( )yf x没有公共点 ,求k的最大值 . 4已知函数f(x)=13x3+1a2x2-ax-a,xR,其中 a0若函数f(x)在区间( -2,0)内恰有两个零点 ,求 a 的取值范围;5设1a,函数aexxfx)1()(2(1) 求)(xf的单调区间;(2) 证明:)(xf在,上仅有一个零点;参考答案与解析【例 1】解析:( 1)22( )333(),fxxaxa当0a时,对xR,有( )0,fx当0a时,( )f x的单调增区间为(,)当0a时,由( )0fx解得xa或xa;由( )0fx解得ax
10、a,当0a时 ,( )f x的 单 调 增 区 间 为(,),(,)aa;( )f x的 单 调 减 区 间 为(,)aa。(2)因为( )f x在1x处取得极大值,精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页,共 12 页 - - - - - - - - - - 所以2( 1)3( 1)30,1.faa所以32( )31,( )33,f xxxfxx由( )0fx解得121,1xx。由( 1)中( )f x的单调性可知,( )f x在1x处取得极大值( 1)1f,在1x处取得极小值(1)3f。
11、因 为 直 线ym与 函 数( )yf x的 图 象 有三 个 不 同 的交 点 , 又( 3)193f,(3)171f,结合( )f x的单调性可知,m的取值范围是( 3,1)。【例 2】令3( )3f xxxd,则:( )( )( )h xff xcf dc(1)先讨论关于d的方程( )=cf d即33ddc根的情况:2, 2cQ2( )333(1)(1)fdddd( )f d在区间, 1上单调递增,在区间1,1单调递减,在区间1,单调递增。( )(1)2f df极小值()( 1)2f df极大值描绘出函数的草图,并据草图可得:方程( )=cf d根的情况如下表所示:C 的取值范围根的个数
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