解密02常用逻辑用语.docx

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1、解密02：常用逻辑用语【考点解密】1 .充分条件、必要条件与充要条件的概念若p=q，则是q的充金条件，是的必要条件是q的充分不必要条件p0q 且 q#pp是q的必要不充分条件p/q 且 qnpP是q的充要条件pgq是夕的既不充分也不必要条件p#q 且 q#p2 .全称量词与存在量词（1）全称量词：短语“所有的” “任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号上”表示.（2）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“3”表示.3 .全称量词命题和存在量词命题名称全称量词命题存在量词命题结构将含有变量的语句用p（x）, q（x）,心），表示，变量x的 取值范围用M

2、表示对M中任意一个x, p（x）成立存在M中的元素x, p（x）成立简记VxWM, p(x)p(x)否定i p(x)【方法技巧】一、充要条件的两种判断方法（1）定义法：根据p=q，q=p进行判断.（2）集合法：根据使p, q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.二、充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：（1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（或 不等式组）求解.（2）要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决 定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或

3、增解的现象.（3）数学定义都是充要条件.【核心题型】题型一：充分不必要条件1. （2022四川宜宾市叙州区第二中学校模拟预测（理）“怆公做”是2“ 6：a6a 4若为假，9为真，必有/ =。4；a6或av4.18. (2022河南南阳中学模拟预测(理)已知aeR,命题：函数/(x) = V-2,-4仅有一个极值点；命题必函数g (X)=例2 ( d - 23+5)在(-8,1)上单调递减.(1)若为真命题，求a的取值范围；(2)若(八4)为真命题，()八夕为假命题，求的取值范围.【答案】(1) (-oo,-ll 1,-K)；(2) (-a),l)u(3,-K).【分析】(1)去掉绝对值号转化为

4、分段函数，由二次函数可知其极值点，分类讨论即可求解；(2)由复合函数的单调性求出q为真命题时。的取值范围，再根据复合命题的真假判断出q为假命题，即可得出的取值范围.八,/ 2 引 I h2-2x+Zxa,【详解】/(x) = x -2x-a = ,1x2 +2x-2a,xa.易知函数y = f -2x + 2a和)，=Y + 2x-2a分别在x = 1和x= 1处取得极小值.当al2-2t/xl + 50,:.a3（人夕）为真命题， 人为假命题，又二（力）八q为假命题，为假命题.由9为假命题可得a 3,的取值范围是（e,1）53，*）.19. （2021.上海市行知中学高三开学考试）若数列小满

5、足;且4为实常数），cN,则称数列4 为BQ）数列.（1）若数列%的前三项依次为4=2, a2=x，%=9,且%为8（3）数列，求实数x的取值范围； （2）已知是公比为4（# 1）的等比数列,且4（），记=1出-4I+K一引+ +1%*.若存在数列应为求实数，的取值范围;8（4）数列，使得lim写且40成立, 一8/（3）记无穷等差数列伍“的首项为q,公差为d,证明：“。工色工尤-1”是“4为次团数列”的充要条件. 4【答案】（1） 3,6；（2） （Lxo）；（3）证明见解析.【分析】（1）由题意可得; 吟 3,可得x的不等式组，解得x的范围； ,an（2）由题意可得;，竽=91或1%4,分

6、别讨论9的范围，结合等比数列的通项公式和数列极限的公式，即可得 n到所求范围；（3）先证充分性，讨论d是否为0,结合等差数列的通项公式和不等式的性质，以及数列的定义，可得证明;再证必要性，同样讨论d是否为0,结合等差数列的通项公式和首项与公差的符号，即可得证.【详解】（1）因为4为8（3）数列，所以:洌竽3, an:雕3则”:，解得3就k 6,WE 33 x即的取值范围是口, 6；(2)由数列4为8 (4)数列，可得;，乎=1或1许4, n当;,，an-afl=ayqn i(q-)。，(”1)0,所以1q+1-。”1=q+1-4.则 4 =/_4+/L4 = q+L4=47)，l-tq - i

7、 -所以 limlq/T、lim/ JJlimgL = “_/,o,即/.国，所以/i,- T, /- q _ I-xi7则，的取值范围是(i,y)；(3)先证充分性.因为。效E 27,所以4/0, 2为等差数列， “1所以当d=0时，/=qHO,此时由义1,所以;别手 =1 4成立，所以为8(/1)数列； “an。,川 _% + nd_ q+5-l)d + d _J d _1当 dw。时，an 4+(-1)4q+(-1)4 at +(n-)d幺 + _，d一因为阖9小,所以张力,所以.冒3 7+1.z(A-1)4-1(m-1)(2-1) + 1因为义1，所以n(A -1) + 1(/1 1)

8、(A -1) + (2 - 1) + 1(n-DU-D + l -(n-1)(2-1) + 1=1 += 1 +；-” 1 + ；- = 2(h-DU-D+i_+_!_ _L ，zl-l 2-1所以:刑 手？久恒成立，所以为BQ)数歹力4 af,综上可得，S”为5(数列;再证必要性.因为%为BQ)数列，所以;丘，恒成立，所以工0, / a”当=0时，K 4-1显然成立；a , 1当dwO时，因为谭一万。，所以4的每一项同号，所以卬与也同号, c(),命题9：-3(),等价于(x+3)(x解得xv3或xl,x-1所以.因为何一3KxK 1 0 x|-3xK 2,且乂-3 1鸣、是020.2”的(

9、) m nA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据指数函数和对数函数单调性分别化简02 0.2”和log,根据充分条件和必要条件的定义判 m n断两者关系.【详解】因为函数y=iog2x为（0，+8）上的单调递增函数，又iog,Liog,L，所以!（）,所以又 m n m n函数），=0.2*在（yo, + oo）上单调递减，所以020.2,所以“嗓2，嘎2，”是0.20.2”的充分条件，因为函 m n数y = 0.2，在（to,+ 8）上单调递减，又020.2,所以?log?3 m- m n不是“02” 0.2”的必要条件，所以“嘎1。8

10、,”是“0202的充分不必要条件，A正确， m n故选：A.23. （2022浙江绍兴一模）己知数列4为等差数列，前项和为S“，则”2S旬5. +兀2是数列电为单增数歹产的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【分析】先说明充分性，由2sMeS. + %2得到4为单调递增数列，设公差为d（d。），表达出结合对称轴得到-?时，此时邑=夕2+,-|先增后减，从而充分性不成立；再举出反例得到必要性不成立.【详解】若 2% S + Sn+2,故 S”.S. V s/2 F,即限 0），此时S”n 1,/7G N ,对称轴为I二4一2,当4-弓时，此时

11、对称轴xl,此时S” =42+（% 一4先增后减, 所以数列SJ不是单调数列, 充分性不成立, 若数列S,J为单增数列，设等差数列乩公差为小 若d=0,不妨设q=l,此时邑=，满足数列，为单增数列, 此时=1,5=23=3, 2S2=S1+53=4,故必要性不成立，故25川S + S2”是数列为单增数列”的既不充分也不必要条件.故选：D24. （2022福建福州三中模拟预测）如果对于任意实数K国表示不超过x的最大整数，那么“3=3”是“卜-31 成立”的（）.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据国的定义，结合已知条件，从充分性和必要性判

12、断即可.【详解】若卜二曰=，则a4xa + 1,aya + l ,故-a-l-y4-a则T 4一）, 1,则k一引1,故充分性满足；若卜一N1,取x = 0.5,y = 1.2,满足以一）|1,但凶=0,3=1,故必要性不满足.故“3 : 3”是“卜-乂1成立”的充分不必要条件.故选：A.2225. （2023,广西模拟预测（文）_3, 0【分析】根据椭圆的定义得到不等式组,3-60 ,解出其解集，再根据两集合的关系判定为必要不充分条件.? + 303 一机22m+ 3 0【详解】方程一匚+一=1表示椭圆，则-?0 所以-3机3且件0,m+ 3 3 - rn_ _/ + 3 工 3 - tn所

13、以-3/3且机，0能推出-30”是，V1”的充分不必要条件B.若给定命题：R,使得f+xizo,则p:VxeR,均有丁+工一10,所以x2或x0”是“xl”的必要不充分条件，故A错误；对于B,命题：女eR,使得/+%_的否定为,gR,均有J+x-ivO,故B正确；对于C,若八4为假命题p, 7至少有一个则为假命题，故C错误；对于D,命题“若Y_3x+2 = O,则x=2”的否命题为“若f-3x+2hO,则xw2”,故D错误：故选：B27. （2022.山东.汶上圣泽中学高三阶段练习）给出如下几个结论：命题BxwR.cos戈+sin.t = 2的否定是Hr c R,cosx + sinxw 2”

14、；命题 3Lr w R,cosx+-!-2 2 ”的否定是“ Vx e R,cos x + ! 2 ； 2） tan .r3xg R ,使 sin x + cos X = & .其中正确的是（）A.B.C.D.【答案】B【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题可判断，；利用基本 不等式判断;结合三角函数恒等变换以及性质判断，可得答案.【详解】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题，知不正确，命题“hw R,cosx+一之2 ”的否定是“Hrw R,8sx +一 2./tanxx! = 2 , 2Jtan a- v tanx当

15、且仅当ianx = 即x = f时取等号，正确；tan x 4 I 2 J由 sinx + cosx = V2sinx + e-/2,/2,比如 x时,Visin卜+ ；） = & ,故HvwR,使sinx + cosx = &，正确，故选：B二、多选题28. （2022海南模拟预测）已知命题:“太尺丁-2刀+。+ 6 = 0，夕Wx e氏丁 + 优+ 1 0”，则下列正确的是（）A. 的否定是“Vxe-2x+a + 6w。”B.，的否定是“太cR,f+a+i（）”C.若为假命题，贝M的取值范围是-5D.若“为真命题，则加的取值范围是-2/5, C 不正确；D 选项，Vxg R,x2 +/LV

16、+1 0,等价于 = “2-4v0,解得-21”成立的充分条件C.若随机变量 XA（,p）,且 E（X）= 4,O（X）= 2,则 p = gD.命题 p:/xe R,f （）,则的否定：R,x25 + 2/4 = 9 ,当且仅当二=二=x =三,），=不时等号成立，故 xyxyx yxy33A错误：对于B,能推出“1”,故B正确；对于 C, np = 4,np（-p） = 2,解得 =g,故 C 正确；对于D, 的否定：Bxe R,x2 0是Ft+S.“2SJ的充要条件【答案】AD【分析】根据等差数列前项公式及函数特征结合等差数列的定义即可判断ABC,再结合充分条件和必要条件的定 义即可判断

17、D.1 V1【详解】解：由 S“=q+7（T）d 知， = a +-（n-1）d ,2 n2则辿所以是等差数列，故A正确；+1 2In当=0时，S” = “6不是的二次函数，故B不正确；当d=0时，q=4，4=电】，则（,? + 1）4川-=4,所以皿“是等差数列，故C不正确；当d0时,S-+S/-0,故S”t+S.|2S“，Sn-+ S.+i 2Sn o Sn+i-Sn S 一S“T = an+l an = r+1-=0,所以“d0”是“Si+Sm 2S”的充要条件，故D正确.故选：AD.31.（2022.河北.石家庄二中模拟预测）命题“BrcR.2米2+右-：0”为真命题的一个充分不必要条

18、件是（）OA. （3,0）B. （-3,0C. （3, 1）D. （-3,+8）【答案】AC【分析】先求命题VxeR,2依一?（）”为真命题的等价条件，再结合充分不必要的定义逐项判断即可.O【详解】因为日2+日一0为真命题，8k一3440, K + 3k 0所以（-3。）是命题“DxwR.2履?+去一0为真命题充分不必要条件，a对，所以（-3,0是命题“立凡22+h-=0”为真命题充要条件，B错，所以是命题“立凡22+h-：0”为真命题充分不必要条件，C对，O所以（-3, + 8）是命题“WxeR,2米2十米-?0”是真命题,当4-1 = 0=/ = 1时，易得? = -1时命题成立;当62i

19、v0 = me(11)时，由抛物线开口向下，命题不成立：当4 _ 0 =6(,-1) (1,+co)时、则命题等价于 A = (i+1)2 4(?？ - 1)= -3/+2/ + 5 0 = ? *3故答案为：区一1或加34. (2022吉林省实验中学模拟预测(理)已知?，是两条不重合的直线，。是一个平面, ua,贝广机_La” 是“ m1 ”的 条件.【答案】充分不必要【分析】由线面垂直的性质可知满足充分性，由线面垂直的判定可知不满足必要性.C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据指对、数函数的单调性结合充分、必要条件分析判断.【详解】y=igx在（0,+8）上单调递增,/

20、. Ig n IgZ? 0 a b ,又），= 2、在R上单调递增，:.2a 2h ab,由Ova可得a 8,但由不能得至iJOa v，例如a = -L =。，故Iga电”是“2。2力,的充分不必要条件.故选：A.2. （2022山东济南模拟预测）设P： -2x|,则是4成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】求出q中工范围，再根据充分性和必要性的概念得答案.【详解】由夕：5m 4得尸5，.X+l,，：.X-2 J即 q ： x-2是4成立的充分不必要条件.故选：A3. （2022四川资阳一模（理）已知命题：1；命题小函数/（x） =

21、 ar+cosx单调递增“，则是4的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不必要又不充分条件【答案】A【分析】通过导数研究/（ =奴+cosx的单调性，以此判断命题与Q的关系即可.【详解】当 al 时，/r（A）= a-sinx,因一 14sinxl,则/X）。，得/（x） = ar+cosx单调递增，有即是4的充分条件.当函数/（x） = g+cosx单调递增，有/（x） = a-sinx20恒成立，得aZkinHnwUl,有4不能推出（。可以等于1）.即不是4的必要条件.综上：是4的充分不必要条件.【详解】若z_La，且有ua,根据线面垂直的性质，可得出?_!_；

22、若，工,且有ua,根据线面垂直的判定，直线，不定与平面。垂直. 所以“ml a”是“z _L，?”的充分不必要条件.故答案为：充分不必要35. （2022全国高三专题练习）设命题:a2；命题9：关于x的方程V-3以+3-=0的两个实根均大于0.若命题“旦4”为真命题，求”的取值范围为【答案】2a0则 X, +x2 = 3a0xx2 =3-a0解得中a2所以一2 + 4万，得2a3.a39故答案为：2a3.36. （2021安徽省定远中学模拟预测（文）设人=引0丁,记命题：“N A”,命题叫“yeB”，若是的必要不充分条件，则，的取值范围为.【答案】生【分析】求出集合8,根据题意可得8是A的真子

23、集，根据集合的真包含关系列出不等式组即可求解.【详解】由题意知A = （O,l）, B=，一 g,， + g ,因为是9的必要不充分条件，所以8是A的真子集，m 0312所以 ；解得：m+-333所以阳的取值范围为I）,故答案为：（!，1.四、解答题37. （2022.黑龙江齐齐哈尔三立高级中学有限公司高三期中）设函数/（力=7m +皿（4-”的定义域为人，集合8 = X， +1 4 x W 2m -1求集合A；（2）若p： xeA, q： xe B ,且是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.【答案】（l）A = x|_2G0【详解】由题意得：，解得：一230所以 A = X 24xv4：

24、（2）因为是4的必要不充分条件，所以A是A的真子集，当3 = 0时,m+l2m-l,解得：m2,m+1 -2,2m 14解得：2wm-3对xeR恒成立；/函数=V + 0）的最小值不小于2.（1）若。为真命题，求?的取值范围；（2）若八“为假命题，为真命题，求利的取值范围.【答案】（1） l,+co）;（2） （0,I）u3,-ko）.【分析】（1）由均值不等式可得丁+22而，根据条件可得2而22,从而可得答案. X（2）先求出为真命题时参数，”的范围，根据条件，4一真一假，可得答案.【详解】解：（1）因为机为正数，x0,所以力=/+22血，X当且仅当f =，即1=匹时，等号成立.X若q为真命

25、题，则2诟之2,解得此1, 即加的取值范围为1,+8）.，一 30(2)若为真命题，则 八，解得0z0因为八4为假命题，为真命题，所以，。一真一假.若真夕假，则0m00/10,“h10”是“产10”的必要不充分条件.故选：A.5. （2022四川泸州一模（文）已知直线?，及平面a，?ua,?ua,则”是“a力”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【分析】由充分条件与必要条件求解即可【详解】由题意可知：当?/?,尸时，a与可能平行，也可能相交，故充分性不成立；当a/时，切氏 /?成立，故必要性成立；所以“切反 尸”是“a 夕”的必要不充分条件，

26、故选：B6. （2022全国清华附中朝阳学校模拟预测）已知向量。= （sin2acos0） = （l-sina2cose）,且夕0,可，则7力”是“。=台的（） OA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据向量平行的坐标运算以及三角函数的性质可得当时夕=或者。或者。=学，即可判断必要 266不充分条件.【详解】若 Z?，则满足280方行。=8$。（1一0而。），进而得8$。（$口1。+1）（2S111。-1）=。，故85。= 0或0116+1=0或 2sin0l=O,由于6e（）,可，所以。=1或者。或者6 = 9, 2oo因此“ a 尸是“

27、。的必要不充分条件，0故选：B题型三：充要条件7. （2022河北模拟预测）已知乂BC中，NB = j? = 2,则乙4 =的充要条件是（） 66A. A8C是等腰三角形B. AB = 2j3C. BC = 4D. S abc=J3,13C/32. /3_当46 = 2石时，当=空，即标W，所以NC = J或NC = = ,则NA =弓或4 = ；当 sinC smBsin332666时，NC = ,根据正弦定理可得AA = 2G，所以是4 = 1的必要不充分条件，所以选项B不正确； 364 _ 2当3c = 4时，一丹，即而 =G,解得sinA = l,Z4 = m，所以8c = 4不是NA

28、 = ?的充分条件，所以选项 sinA sinBsin266C不正确；当乙4=2时，S械=6 当s 的=6时，即:8CB4 sin8 = E.8C84 = 45根据余弦定理BC2+BA2-2BC BAcosB = 4,解得 BC:+.？ =16, 8C v8C = 2,8A = 2/J ,则 4 =，所以oS八腕=,BC时时，/。”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【分析设等差数列q的公差为d,则4工0,利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可 得出结论.【详解】设等差数列q的公差为d,则dwo,记卜为不超过”的最大

29、整数.若叫为单调递增数列，则40,若6 20,则当22时，若 0 可得，取 乂= +1，则当 乂 时，/0，aL 。_所以，“是递增数列”=“存在正整数N,当，N。时，%0；若存在正整数N。，当乂时，（），取ZeN,且AN。，,0,假设d0,令a” =氏+（鹿-k）d 0可得k -与且左-当吟 +1时，“0,即数列q是递增数列.所以，“”是递增数列”=存在正整数乂，当心乂时，见0”.所以，”%是递增数列是存在正整数N。，当乂时，/ 0”的充分必要条件.故选：C.题型四：简单的逻辑联结词10. (2023陕西西安高三期末(理)已知命题P：过直线外一定点，且与该直线垂直的异面直线只有两条；命题 qxeR,2、+ 2-*22,则下列命题中为真命题的是()A. PMB. (-/?)八4C. 八(r)D. -i(pv(y)【答案】B【分析】判