(完整版)第六节正弦定理和余弦定理(经典讲义).pdf

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1、1 第六节正弦定理和余弦定理【考纲下载 】掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. 1 正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容asin Absin Bcsin C2R(R 是 ABC 外接圆半径 ) a2b2c22bccos A，b2a2c22accos_B，c2a2b22abcos_C变形形式a2Rsin A，b2Rsin_B，c2Rsin_C；sin Aa2R，sin Bb2R，sin Cc2R；abcsin_Asin_Bsin_C；asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin Acos Ab2c2a22bc，cos Ba2c2b22ac，

2、cos Ca2 b2c22ab解决三角形的问题已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角已知三边，求各角；已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角2在 ABC 中，已知 a、b和 A 时，解的情况A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式absin Absin Aabababab解的个数一解两解一解一解无解3.三角形中常用的面积公式(1)S12ah(h 表示边 a 上的高 )；(2)S12bcsin A12acsin B12absin C；(3)S12r(abc)(r 为 ABC 内切圆半径 )精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - -

3、- - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 2 1在三角形ABC 中，“ AB”是“ sin Asin B”的什么条件？“AB”是“ cos Acos B”的什么条件？提示： “AB”是“sin Asin B”的充要条件， “A B”是“cos Acos B”的充要条件2 在三角形中，“a2b2c2”是“ ABC 为钝角三角形”的什么条件？“a2 b2 c2”是“ ABC 为锐角三角形”的什么条件？提示： “a2b2c2”是“ ABC 为钝角三角形 ”的充分不必要条件；“a2b2c2” 是“ ABC 为锐

4、角三角形 ”的必要不充分条件1(2013 北京高考 )在 ABC 中， a3，b5，sin A13，则 sin B() A.15B.59C.53D1 2在 ABC 中，若 a2，c4，B60 ，则 b 等于 () A2 3 B12 C27 D28 3 (2013 湖南高考 )在锐角 ABC 中，角 A， B 所对的边长分别为a，b.若 2asin B3b，则角 A 等于() A.3B.4C.6D.124在 ABC 中，a3 2，b2 3，cos C13，则 ABC 的面积为 _5在 ABC 中，若 a2，bc7，cos B14，则 b_. 考点一利用正、余弦定理解三角形例 1(1)(2013天

5、津高考 )在 ABC 中， ABC4，AB2，BC3，则 sin BAC() A.1010B.105C.3 1010D.55(2)(2013安徽高考 )设 ABC 的内角 A， B， C 所对边的长分别为a， b，c.若 b c2a,3sin A5sin B，则角 C_. (3)(2013浙江高考 )在 ABC 中， C90 ，M 是 BC 的中点，若sinBAM13，则 sinBAC_. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 3 1在

6、 ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c.若 asin Bcos Ccsin Bcos A12b，且 ab，则 B() A.6B.3C.23D.562已知锐角 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c,23cos2Acos 2A0，a7，c6，则 b() A10 B9 C8 D5 考点二利用正、余弦定理判断三角形的形状例 2在ABC 中， a，b，c 分别为内角A，B，C 的对边，且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C. (1)求 A 的大小；(2)若 sin Bsin C1，试判断 ABC 的形状【互动探究】若将本例 (2)中的条件改为“(a2b2)

7、sin(AB)(a2b2)sin(AB)”，试判断ABC 的形状(2013 陕西高考 )设 ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若 bcos C ccos Basin A，则 ABC 的形状为 () A直角三角形B锐角三角形C钝角三角形D不确定高频考点考点三与三角形面积有关的问题1正、余弦定理与三角形面积的综合问题是每年高考的重点内容，既有选择、 填空题，也有解答题，难度适中，属中档题2高考对此类问题的考查主要有以下两个命题角度：(1)求三角形的面积；(2)已知三角形的面积解三角形例 3(1)(2013新课标全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知b2

8、，B6，C4，则 ABC 的面积为 () A2 32B.3 1 C232 D.31 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 4 (2)(2013湖北高考 )在 ABC 中，角 A， B， C 对应的边分别是a， b， c.已知 cos 2A3cos(BC)1. 求角 A 的大小；若 ABC 的面积 S5 3，b5，求 sin Bsin C 的值与三角形面积有关问题的常见类型及解题策略(1)求三角形的面积对于面积公式S12absin C12

9、acsin B12bcsin A，一般是已知哪一个角就使用含哪个角的公式(2)已知三角形的面积解三角形与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化1已知 a，b，c 分别为 ABC 三个内角 A，B，C 的对边， acos C3asin Cbc0. (1)求 A；(2)若 a2， ABC 的面积为3，求 b，c. 2(2013 新课标全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知 a bcos Ccsin B. (1)求 B；(2)若 b2，求 ABC 面积的最大值答题模板 (三) 利用正、余弦定理解三角形典例 (2013 江西高考 )(12 分)在 ABC

10、 中，角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知 cos C(cos A3sin A)cos B0. (1)求角 B 的大小；(2)若 ac1，求 b 的取值范围全盘巩固 1 已知 ABC， sin Asin Bsin C112， 则此三角形的最大内角的度数是() A60B90C120D135精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 5 2(2013 山东高考 ) ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为a， b，c.若 B2A，a

11、1，b3，则 c() A2 3 B2 C.2 D1 3(2014 沈阳模拟 )在 ABC 中，AC7，BC 2，B60 ，则 BC 边上的高等于() A.32B.332C.362D.33944在 ABC 中，若 lg sin Alg cos Blg sin Clg 2，则 ABC 的形状是 () A直角三角形B等腰直角三角形C等边三角形D等腰三角形5 设 ABC 的内角 A，B， C 所对的边分别为a，b，c.若三边的长为连续的三个正整数，且 ABC,3b20acos A，则 sin Asin Bsin C 为() A432 B567 C543 D654 6在 ABC 中，AB3，AC1，B3

12、0 ，则 ABC 的面积等于 () A.32B.34C.32或3 D.32或347ABC 的三个内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c， 且 asin Asin Bbcos2A2a，则ba_. 8(2014 深圳模拟 )设 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，且 cos A35，cos B513，b3，则 c_. 9在 ABC 中，B60 ，AC3，则 ABC 的周长的最大值为_10在 ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，且 a2b2c23bc. (1)求 A；(2)设 a3，S为ABC 的面积，求S3cos Bcos C 的最大值，并指出此时B 的值11设

13、 ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且 ac6，b2，cos B79. (1)求 a，c 的值；(2)求 sin(AB)的值12(2013 重庆高考 )在 ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是a，b，c，且 a2b22abc2. (1)求 C；(2)设 cos Acos B3 25，cos A cos Bcos225，求 tan 的值精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 6 冲击名校 1在锐角 ABC 中，角

14、A，B，C 的对边分别为a，b，c，若baab 6cos C，则tan Ctan Atan Ctan B_. 2. (2013 福建高考 )如图，在等腰直角OPQ 中， POQ90 ，OP22，点 M 在线段 PQ 上(1)若 OM5，求 PM 的长；(2)若点 N 在线段 MQ 上，且 MON30 ，问：当 POM 取何值时， OMN 的面积最小？并求出面积的最小值高频滚动 1已知 sin xsin y23，cos xcos y23，且 x，y 为锐角，则tan(xy)() A.2145B2 145C2145D5 14282设 为锐角，若cos 645，则 sin 2 12的值为 _精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - - -