2022年人教版高一数学对数函数教案 .pdf
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1、学习好资料欢迎下载有关高一数学对数函数的概念以及一些常见的解题方法和延伸,基本的知识点及简单的例题,希望对高中生们有帮助。1 对数的概念如果 a(a0 ,且 a1) 的 b 次幂等于N,即 ab=N ,那么数b 叫做以 a 为底 N 的对数,记作:logaN=b, 其中 a 叫做对数的底数,N 叫做真数 . 由定义知:负数和零没有对数; a0 且 a1,N0; loga1=0,logaa=1,alogaN=N,logaab=b. 特别地,以 10 为底的对数叫常用对数,记作 log10N, 简记为 lgN; 以无理数 e(e=2.718 28 )为底的对数叫做自然对数,记作logeN ,简记为
2、 lnN. 2 对数式与指数式的互化式子名称 abN 指数式 ab=N( 底数 )(指数 )(幂值 )对数式 logaN=b( 底数 )(对数 )(真数 ) 3 对数的运算性质如果 a0,a1,M0,N0, 那么(1)loga(MN)=logaM+logaN. (2)logaM/N=logaM-logaN. (3)logaMn=nlogaM (nR). 问:公式中为什么要加条件a0,a1,M0,N0? logaan=? (n R) 对数式与指数式的比较.(学生填表 ) 式子 ab=NlogaN=b名称 a幂的底数bNa对数的底数bN运算性质 am an=am+n am an= (am)n= (
3、a0 且 a1,nR)logaMN=logaM+logaN logaMN= logaMn=(n R) (a0,a 1,M0,N0) 难点疑点突破对数定义中,为什么要规定a0,,且 a1? 理由如下:精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页,共 11 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载若 a0,则 N 的某些值不存在,例如log-若 a=0 ,则 N0时 b 不存在; N=0 时 b 不惟一,可以为任何正数若 a=1 时,则 N1 时 b 不存在; N=1 时 b
4、也不惟一,可以为任何正数为了避免上述各种情况,所以规定对数式的底是一个不等于1 的正数解题方法技巧1 (1)将下列指数式写成对数式:54=625 ; 2-6=164 ; 3x=27 ;(2)将下列对数式写成指数式:log1216=-4 ; log2128=7 ;log327=x ;lg0.01=-2 ;ln10=2.303 ;lg =k. 解析由对数定义:aN=b. 解答 (1)log5625=4. log2164=-6. log327=x. log135.73=m. 解题方法指数式与对数式的互化,必须并且只需紧紧抓住对数的定义:12-4=16.27=128. 3x=27. 10-2=0.01
5、. e2.303=10. 10k=. 2 根据下列条件分别求x 的值:(1)log8x=-23 ;(2)log2(log5x)=0;(3)logx27=31+log32;(4)logx(2+3)=-1. 解析 (1)对数式化指数式,得:x=8-23=? (2)log5x=20=1. x=? (3)31+log32=3 3log32=?27=x? (4)2+3=x-1=1x. x=? 解答 (1)x=8-23=(23)-23=2-2=14. (2)log5x=20=1,x=51=5. (3)logx27=3 3log32=3 2=6 ,x6=27=33=(3)6,故 x=3. (4)2+3=x-
6、1=1x,x=12+3=2-3. 解题技巧转化的思想是一个重要的数学思想,对数式与指数式有着密切的关系,在解决有关问题时,经常进行着两种形式的相互转化. 熟练应用公式:loga1=0,logaa=1,alogaM=M,logaan=n.3 已知 logax=4,logay=5,求 A=x 3x-1y2 12 的值 . 解析思路一,已知对数式的值,要求指数式的值,可将对数式转化为指数式,再利用指数式的运算求值;精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页,共 11 页 - - - - - - -
7、- - - 学习好资料欢迎下载思路二,对指数式的两边取同底的对数,再利用对数式的运算求值解答解法一 logax=4,logay=5, x=a4,y=a5, A=x512y-13=(a4)512(a5)-13=a53 a-53=a0=1. 解法二对所求指数式两边取以a 为底的对数得logaA=loga(x512y-13) =512logax-13logay=512 4-13 5=0, A=1. 解题技巧有时对数运算比指数运算来得方便,因此以指数形式出现的式子,可利用取对数的方法,把指数运算转化为对数运算.4 设 x,y 均为正数,且xy1+lgx=1(x 110), 求 lg(xy) 的取值范围
8、 . 解析一个等式中含两个变量x、y,对每一个确定的正数x 由等式都有惟一的正数y 与之对应,故 y 是 x 的函数,从而lg(xy) 也是 x 的函数 .因此求 lg(xy) 的取值范围实际上是一个求函数值域的问题,怎样才能建立这种函数关系呢?能否对已知的等式两边也取对数? 解答 x0,y0,x y1+lgx=1, 两边取对数得:lgx+(1+lgx)lgy=0. 即 lgy=- lgx1+lgx(x110,lgx -1). 令 lgx=t, 则 lgy=- t1+t(t-1). lg(xy)=lgx+lgy=t-t1+t=t21+t. 解题规律对一个等式两边取对数是解决含有指数式和对数式问
9、题的常用的有效方法;而变量替换可把较复杂问题转化为较简单的问题.设 S=t21+t, 得关于 t 的方程 t2-St-S=0 有实数解 . =S2+4S 0,解得 S-4 或 S0, 故 lg(xy) 的取值范围是 (-, -4 0,+). 5 求值:(1)lg25+lg2lg50+(lg2)2 ;(2)2log32-log3329+log38-52log53;(3)设 lga+lgb=2lg(a-2b),求 log2a-log2b的值; (4)求 7lg20 12lg0.7 的值 . 解析 (1)25=52,50=5 10.都化成 lg2 与 lg5 的关系式 . (2)转化为 log32
10、的关系式 . (3)所求 log2a-log2b=log2ab由已知等式给出了a,b 之间的关系,能否从中求出ab 的值呢 ? (4)7lg2012lg0.7 是两个指数幂的乘积,且指数含常用对数,设 x=7lg20 12lg0.7 能否先求出lgx ,再求 x? 解答 (1)原式 =lg52+lg2 lg(10 5)+(lg2)2 =2lg5+lg2 (1+lg5)+(lg2)2 =lg5 (2+lg2)+lg2+(lg2)2 =lg102 (2+lg2)+lg2+(lg2)2 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - -
11、 - - - - -第 3 页,共 11 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载=(1-lg2)(2+lg2)+lg2+(lg2)2 =2-lg2-(lg2)2+lg2+(lg2)2=2. (2)原式 =2log32-(log325-log332)+log323-5log59 =2log32-5log32+2+3log32-9 =-7. (3)由已知 lgab=lg(a-2b)2 (a-2b0), ab=(a-2b)2, 即 a2-5ab+4b2=0. ab=1 或 ab=4 ,这里 a0,b0. 若 ab=1 ,则 a-2b0,a1,c0,c 1,N0) ;(2)lo
12、gablogbc=logac ;(3)logab=1logba(b0,b1);(4)loganbm=mnlogab. 解析 (1)设 logaN=b 得 ab=N, 两边取以 c 为底的对数求出b 就可能得证 . (2)中 logbc 能否也换成以a 为底的对数 . (3)应用 (1)将 logab 换成以 b 为底的对数 . (4)应用 (1)将 loganbm换成以 a 为底的对数 . 解答 (1)设 logaN=b ,则 ab=N, 两边取以 c 为底的对数得:b logca=logcN, b=logcNlogca.logaN=logcNlogca. (2)由(1)logbc=logac
13、logab. 所以 logab logbc=logab logaclogab=logac. (3)由(1)logab=logbblogba=1logba. 解题规律(1)中 logaN=logcNlogca叫做对数换底公式,(2)(3)(4) 是(1)的推论,它们在对数运算和含对数的等式证明中经常应用. 对于对数的换底公式,既要善于正用,也要善于逆用.(4)由(1)loganbm=logabmlogaan=mlogabnlogaa= mnlogab. 7 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4
14、 页,共 11 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载已知 log67=a,3b=4,求 log127. 解析依题意a,b 是常数,求log127 就是要用 a,b 表示 log127 ,又 3b=4 即 log34=b ,能否将 log127 转化为以 6 为底的对数,进而转化为以3 为底呢 ? 解答已知 log67=a,log34=b, log127=log67log612=a1+log62. 又 log62=log32log36=log321+log32, 由 log34=b, 得 2log32=b. log32=b2, log62=b21+b2=b2+b. lo
15、g127=a1+b2+b=a(2+b)2+2b. 解题技巧利用已知条件求对数的值,一般运用换底公式和对数运算法则,把对数用已知条件表示出来,这是常用的方法技巧已知 x,y,z R+ ,且 3x=4y=6z. (1)求满足 2x=py 的 p 值;(2)求与 p 最接近的整数值;(3)求证: 12y=1z-1x. 解析已知条件中给出了指数幂的连等式,能否引进中间量m,再用 m 分别表示x,y,z? 又想,对于指数式能否用对数的方法去解答? 解答( 1)解法一p=log316. 解法二设 3x=4y=m, 取对数得:x lg3=lgm ,ylg4=lgm, x=lgmlg3,y=lgmlg4,2x
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