(完整版)第四讲最不利原则.pdf

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1、四年级数学思维训练之最不利原则20161106在国内外数学竞赛中，常出现一些在自然数范围内变化的量的最值问题，我们称之为离散最值问题。 解决这类非常规问题，尚无统一的方法， 对不同的题目要用不同的策略和方法，就具体的题目而言，大致可从以下几个方面着手：1.着眼于极端情形；2.分析推理确定最值；3.枚举比较确定最值；4.估计并构造。常常需要从最不利的情况出发分析问题，这就是最不利原则。例 1 口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球各20 个。问：一次最少摸出几个球，才能保证至少有4 个小球颜色相同？分析与解答：如果碰巧，可能你一次取出的4 个小球的颜色都相同。但显然，仅仅摸出4个小

2、球，并不能保证它们的颜色相同，因为它们的颜色也可能不相同。因此，为了“保证至少有4 个小球颜色相同”，我们就要从最“不利”的情况出发来考虑。如果最不利的情况都满足题目要求，那么其它情况必然也能满足题目要求。“最不利”的情况是什么呢？它就是我们俗话说的运气最差的情况，实际总是与所希望的相反。那么，在这里，什么样的情况最“惨”呢？那就是我们摸出了3 个红球、 3 个黄球和 3 个蓝球，此时三种颜色的球都是3 个，却无4 个球同色。为什么说这就是最不利的了呢？因为这时我们接着再摸出一个球的话，无论是红色还是黄色或者蓝色，都能保证有4个小球颜色相同。所以，一次最少摸出10 个球，才能保证至少有4 个小

3、球颜色相同。由此我们看到了，最不利原则就是从“极端糟糕” 、从“运气最差” 的角度来考虑问题。什么样的情况我们要用最不利原则来考虑呢？那就是题目中出现要“保证”时，这“保证”二字就要求我们必须从最不利的情况去分析问题。通过上面分析，列式为：例 2 一把钥匙只能开一把锁，现有10 把钥匙和10 把锁，最少要试验多少次就一定能使全部的钥匙和锁相匹配？分析与解： 从最不利的情形考虑。用10 把钥匙依次去试第一把锁，最不利的情况是试验了 9 次，前 8 次都没打开，第9 次无论打开或没打开，都能确定与这把锁相匹配的钥匙（若没打开，则第10 把钥匙与这把锁相匹配）。同理，第二把锁试验8 次 第九把锁只需

4、试验 1 次，第十把锁不用再试（为什么？）。通过上面分析，列式为：例 3 在一副扑克牌中，最少要取出多少张，才能保证取出的牌中四种花色都有？精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 分析与解： 一副扑克牌有大、小王牌各1 张， “ 红桃 ” 、 “ 黑桃 ” 、“ 方块 ” 、“ 梅花 ” 四种花色各 13 张，共计有54 张牌。最不利的情形是：取出四种花色中的三种花色的牌各13 张，再加上 2 张王牌。这41 张牌中没有四种花色。剩下的正

5、好是另一种花色的13 张牌，再抽1张，四种花色都有了。因此最少要拿出42 张牌，才能保证四种花色都有。例 4 口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球共18 个。其中红球 3 个、黄球 5 个、蓝球10 个。现在一次从中任意取出几个，为保证这几个小球至少有5 个同色，那么最少要取多少个？分析与解： 与上例类似，这也要从“最不利”的情况考虑。最不利的情况是什么呢？是取了3 个红球、 4 个黄球和4 个蓝球，共11 个。此时袋中只剩下黄球和蓝球，所以再取一个球，无论是黄球还是蓝球，都可以保证有5 个球颜色相同。因此，所求的最小值是12。热身操1.口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三

6、种颜色的小球各20 个。问：一次最少摸出几个，才能保证至少有5 个小球颜色相同？2.口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球共20 个，其中红球4 个、黄球 6 个、蓝球10 个。问：一次最少取出几个，才能保证至少有6 个小球颜色相同？3.口袋里有三种颜色的筷子各10 根。问：（1）至少取几根才能保证三种颜色的筷子都取到？（2）至少取几根才能保证有颜色不同的两双筷子？（3）至少取几根才能保证有颜色相同的两双筷子？4.一个布袋里有红色、黄色、黑色袜子各20 只。问：最少要拿多少只袜子才能保证其中至少有 2 双颜色不相同的袜子？精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - -

7、 - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 5 在一个口袋中有10 个黑球、 6 个白球、 4 个红球。问：至少从中取出多少个球，才能保证其中有白球？6 袋里有红、白、蓝、黑四种颜色的单色球，从袋中任意取出若干个球。问：至少要取出多少个球，才能保证有3 个球是同一颜色的？7 一只鱼缸里有很多条鱼，共有5 个品种。问：至少捞出多少条鱼，才能保证有5 条品种相同的鱼？8 有 10 件绿色衣服，6 件白色衣服， 7 件红色衣服， 2 件蓝色衣服，问至少取多少件才能保证取出的衣服至少有两件颜色是相同的？9

8、有 10 件绿色衣服， 6 件白色衣服， 7 件红色衣服， 2 件蓝色衣服，问至少取多少件才能保证取出的衣服至少有两件颜色是不同的？10 袋中有10 种不同的珠子各100 个，要想保证从袋中摸出三种不同颜色的珠子，并且每种至少 10 个，那么至少要摸出多少个珠子？11.袋中有 8 个白球， 5 个黄球， 15 个黑球。让你闭着眼睛从口袋中摸球，至少取出（）个球，才能保证取出的球中有黑球。12 中有红、白、蓝、黑四种颜色的球，从袋中任意取出若干个球。问：至少要取出（）个球，才能保证有四个球是同一种颜色的。13 袋内装有70 只球，其中20 只是红球， 20 只是绿球， 20 只是黄球，其余是黑球

9、和白球。为确保取出的球中至少包含有10 只同色的球，问：至少必须从袋中取出（）个球。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 14 红色、白色、黄色的筷子各有8 根，混杂地放在一起，黑暗中想从这些筷子中取出颜色不同的两双筷子，至少取（）根才能保证达到要求。15.把钥匙只能开一把锁，现有10 把钥匙和其中的8 把锁，要保证将这8 把钥匙都配上锁，至少需要试验（）次。16.把钥匙只能开一把锁，现有8 把钥匙和其中的10 把锁，要保证将这8 把钥

10、匙都配上锁，至少需要试验（）次。17有红、黄、蓝三种颜色的小珠子各4 颗混放在口袋里,为了保证一次能取到2 颗颜色相同的珠子 ,一次至少要取多少颗？如果要保证一次取到两种不同颜色的珠子各2 颗,那么一定至少要取出多少颗？18 一付扑克牌共有54 张(包括大王、小王),至少从中取多少张牌,才能保证其中必有3 种花色？19 在一付扑克牌中 （54 张） ，最少要拿出多少张，才能保证在拿出的牌中四种花色都有？20在一个口袋中有9 个黑球、7 个白球、 5 个红球。问：至少从中取出多少个球，才能保证其中有红球？21 某小学五年级的学生身高（按整数厘米计算） ，最矮的是 138 厘米，最高的是160 厘

11、米。如果任意从这些学生中选出若干人，那么，至少要选出多少人， 才能保证有5 人的身高相同？22要把 61 个乒乓球分装在若干个乒乓球盒子中，每个盒子最多可以装5 个乒乓球。 证明：至少有 5 个盒子中的乒乓球数目相同。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 最不利原则练习题集1、肉包子7 个，素包子6 个，至少吃几个，才能吃到两种馅？2、白球 7个，黑球8 个，至少摸几个，才能保证：1）有 2 个相同颜色的球？2）有 2 个不同颜色的球？

12、3） 、有 2 个黑球？4） 、有 2 个白球？5） 、有 1 个黑， 1 个白？6） 、每种颜色都有5 个球？7） 、保证有5 球同色？3、黄球 10 个，白球7 个，黑球8 个，至少摸多少个，才能保证：1）有 3 种颜色的球？2） 、一定会有黑球？3） 、一定会有黄球？4） 、有 3 球同色？4、黄球 3个，白球7 个，黑球8 个，至少摸几个，才能保证5 个球同色？5、在一副扑克牌种，最少取出多少张，才能保证：1） 、四种花色都有？2）取出 2 张红桃？3）有 1 张 10？4）有 1 张红桃 10？5）有 2 张花色相同？6、口袋里有足够多的红，白，蓝，黑四种颜色的单色球，从口袋中任意取

13、出若干个球，至少要取出多少个球才能保证有9个球是同一颜色的？7、一排椅子只有27 个座位，部分座位已有人就座，东东来后一看，他无论坐哪个座位，都将与已就座得人相邻。在东东来之前就已就座的最少有几人？8、一排椅子只有35 个座位，部分座位已有人就座，乐乐来后一看，她无论坐在那个座位，都将与已就座的人相邻，在乐乐来之前就已就座的最少有几人？9、一排椅子只有22 个座位，部分座位已有人就座，乐乐来后一看，她无论坐在那个座位，都将与已就座的人相邻，在乐乐来之前就已就座的最少有几人？10、一个布袋里有大小相同，颜色不同的一些小球，其中红的10 个，白的 9 个，黄的 8 个，蓝的 2 个，一次至少取多少

14、个球，才能保证有4 个相同颜色的？精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 11、将 3 支红筷子， 9 支黄筷子， 18 支绿筷子， 2 支白筷子和1 支黑筷子放在一个布袋里，至少摸多少支才能保证有两双颜色相同的筷子？12、口袋中放有红，黄，白，黑四种颜色的袜子各10 只，只许用手摸，不许用眼看，至少要从口袋中取出多少只袜子才能保证配成5 双， （一双指同颜色的袜子两只）13、参加学校歌咏比赛的学生中，最小的9 岁，最大的13 岁，那么从

15、这些学生中任选( )位就一定能保证其中有两位队员的年龄相同。14、桃、梨、苹果、草莓四种水果各若干个混放在一起，每个人取出两个，那么至少需要( )个人才能保证有两人取出的水果是完全相同的。15 有布娃娃、书包、文具盒三种礼品各若干个。每个小朋友任意拿两个，需要( )个小朋友才能保证至少有两人选的礼品相同。16、文具盒中有5 枝黑笔和3 支蓝笔混合放在一起，那么一次至少摸出( )枝笔才能保证至少有一枝蓝笔“一同一和十”速算法请你运用前面介绍的“首同末和十”和“ 末同首和十”的速算方法来推理“一同一和十”的速算方法。1）尝试笔算下面的题目，仔细观察有什么样的规律。33 19 6682 3744 7

16、746 91882）说说你发现的速算规律。3）和老师一起总结速算方法：积的末两位数是“ 尾 尾” ，前面是 “ 同 （头 +1）”仍注意： 如果“尾 尾”只有一位则在前面补“0”。4）速算高手擂台22 37 9964 2855 9144 734491 33 7782 3755 8244 286622 64 7344 2811 9188 739955 64 1944 3711 4688 289956 56= 8684= 7333= 6367= 2787= 29 21= 3676= 8783= 9515= 7674= 38 78= 5654= 6242= 7377= 4767= 93 97= 2989= 2624= 8323= 4545= 0.62 0.68= 0.387.8= 610690= 530530=精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - - -