中国海洋大学数学分析历年考研试题.pdf

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1、中 国海洋大学2009-2020 年 真题 汇总12.中 国海洋大学 2009 年 研究生入 学 考试试题 数学分 析一.(30分)求极 限(要 求有 计算过程)(2)r 沟 lim-.n-8 Tl(3)r 赤史 Jo 1+(1+)lim(cosa?)ln1+!c2).lim sin a?da:.n8 J。(15分)叙 述与举例(要 求有讨论过程)(1)用肯 定 语 气写出f(x)在 a,6 上不一 致连续的充 要 条件.(2)举出函 数/(%)满足条件:在=0 时可 导，但在0 的任何 邻 域内不可 导.(3)举出函 数f(x,y)满 足 条件:在(0,0)处 连续，两个偏 导数存在(并求出

2、)，但 在(0,0)不可 微.三.(24分)证 明不 等 式(1)当0 V 宓2Vq 时，有xi sin X2 0,0)的交 线，从2 轴的 正向 看去，是 逆 时 针 a h23六.(15分)讨论下列 积分 在指定区 间的一 致 收敛性：f xa sin-dx,a e(0,2).Jo x七(13分)设f(x)在(-co,+co)上可 导，且/蚂/(宓)=a,求 证:/(%)至 少存在一个 零 点.A.(15分)考 察函 数 项级 数oonx 乙1 1+n4x2 n=l(1)讨论该函 数 项级 数在(-co,+co)是否一 致 收敛.(2)求出 该函 数 项级 数 的一 致 收敛区 间.(3)

3、求出 该函 数 项级 数 的和函 数 的连续区 间.2413.中 国海洋大学 2010 年 研究生入 学 考试试题 数学分 析一.计算题(要 有 计算过程)(1).cos(sinN)cosc nm-.6-0(2)严 1I=n-5dx.Ji e1+x+e3-x 其中e 是 自 然对数 的 底.(3)设z=z(x,y)是 由 方 程F(xyz,x2+y2+z2)=0所 确 定 的可 微 的隐函 数，其中F具 有 连续的偏 导数，求gradz(gradz为z 的 梯度向 量).二.判 断 题(正 确的给予 证 明，错误的举出反例)(1)若函 数/在(a,6)上可 微，且lim/=oo,则 有lim/

4、=8.()rc-a+xa+(2)若函 数/在 a,b 上可积，则/(乃 在 a,6 上一 定存在原函 数.()(3)对于任 意 的两个 数列。个和bn,有 supan+bn W supan+sup6n.()三.设r1+_In=yl+xndx.(1)证 明：lim In=0.(2)证 明极 限lim nln 存在，并求出 此极 限值.n00四.证 明：(1)当0 立 0)中，求一 条曲 线使 得沿 该 曲 线从 点O到A 的积 分J(1+y3)dx+(22+y)dy的值 最小.25七.设/(a?)在 a,b 上 有定义,g e a,b.若 对任 意 的e 0,存在6 0,当-0)|6 时，有f(

5、x)f(x0)+e,则 称/(乃 在点g 处上半 连续.若/(乃 在 a,b 上 的 每一 点 都上半 连续，则 称/(乃为 a,6 上 的一个上半 连 续函 数.证 明：a,b 上 的上半 连续函 数一 定有 界.八.求椭 球面y 京与锥面所围 立体 的体 积.九.设f(x,y)在/+/1上二 次 连续可 微，且 满 足1+1=e-濯+/)，证 明:2614.中 国海洋大学 2011 年 研究生入 学 考试试题 数学分 析一.(24分)计算题(要求有计算过程)-0+Lsinz/cos 设即)=会计算(3)求数 项级 数的和.(18分)判 断 题(正 确的给予 证 明，错误的举出反例)(1)若

6、函 数f 在点g可 微，则/在点 阳 的 某个 邻 域内 连续.()00 8 1(2)对于收敛的交错级数X(-l)nun(un 0),且 数列 un 单 调减 少，则 级 数-必收敛.()n=l n=l I1+Un(3)若在 a,b 上 有尸(*)=f,则函 数fQ)在 a,b 上可 积.()三.(12分)设/(x)在 a,b 上 非负连续,证 明：/n(a?)da?=max/(a?)|x e a,6.四.讨论如下含参 量 广义 积分 的一 致 收敛区 间:(1)对任 意 的6 0,证 明它在(8,2-5 上一 致 收敛.(2)对任 意 的77 V 2,证 明它在 77,2)上 非一 致 收敛

7、.五.(16分)设/(0为 定义 在有 限区 间I上 的函 数，对I内 的任何 柯 西列fM 也 是柯 西列.(柯 西列 a?n 是指：V e 0,3 N e N+,V n,m AT,W xn xm l,证 明不 等 式：1 1 一-2ne e 一 ne七.(18分)设/=才 cos 0 cos(sin。)(1仇27(1)求/(i),r(),n 为 正整数).(2)写出/的麦克劳 林公 式.(3)证 明：f(t)=27r.八.(15分)计算I=jj 4xzdydz 2yzdzdx+(1 z2)dxdy.其中S 是曲 线z=e?(0 g q)绕z 轴 旋 转生 成 的 旋 转面，取下侧.九.(1

8、5分)椭 球面r2 2号+5+/=1o Z被通过原 点 的 平 面2x+y+z=Q 截成一个 椭圆I,求此椭圆 的面积.2815.中 国海洋大学 2012 年 研究生入 学 考试试题 数学分 析一.(40分)计算(要求有计算过程)(l n而+Vb+枚、-,a 6 c 0.3/(2)设9=/Q)的三 阶 导数存在，r(工)0,用/(X)的各 阶 导数 表示其反函 数4=夕3)的三 阶 导数”3).(3)求定 积分J l(2)d，.其中 n e Z+,/(%)=(x2-l)n,pn_i(x)=a0+4%H-F an_ixn-1,e R,z=1,2,-,n-l.(4)_rrJJ W s其中 S:X2

9、+y2+z-R)2=R2 的 外侧,T=(x,y,z).设击，a?0:/=0,x=Q.求/(0).(40分)判 断 题(正 确的给予 证 明，错误的加以 说 明)8(1)若交 错级 数y(-l)na,阳 0 满 足lirn an=0,则 级 数收敛.()ncon=l+8(2)若含参变 量 广义 积分1包)=f(x,y)dx 在(a,6)的任 意 闭区 间上一 致 收敛，则 有I(y)在(a,6)上 连 Jo续.()(3)如果fx0+0)存在，则/；(x0)存在，且二 者相等.()(4)/()在(1,+8)上二 阶可 导，且 lim/(%)=lim，=0,则 lim/(乃=0.()m+oo 必一

10、+8+oo三.证明题(15分)设/在 0,2 上具 有二 阶 导数，且 在 0,2 上 有。(叫W 1,|r(叫W 1,求 证:在 0,2 上,/(叫 2.+8(20分)若f x 在 a,+oo)上一 致连续，fdx 收敛，证 明lim/(*)=0.Ja T+8J、+oof(x)dx 收敛，是否有lim f(x)=0?说 明 理由.a+00(15分)对于n 阶行列 式A=用 求条件 极值 的Lagrange乘 数法，证 明:Hadamard不 等 式：n n网2 w n x 碣.i=l J=129(4)(20分)证 明：黎 曼函 数x 为 有 理 数，x=-,(p,q)=1,p 0;r=q q

11、0,X为 无 理 数.在任何 有 理 点不 连续，在任何 无 理 点 连续；并 证 明在任何 有 限闭区 间 a,b 上 黎 曼函 数均可 积.且 积分值 为0.3016.中 国海洋大学 2013 年 研究生入 学 考试试题 数学分 析一.计算题(要 求有 计算过程)(1)cos(sinc)cosc lim-.X-0(2)设f(x)=x+In x(x 0).求的反函 数x=我妨 的一 阶及二 阶 导数.(3)Jo 1+COS2 产，.判 断 题(正 确的给予 证 明，错误的加以 说 明或举出反例)公、V/C 宓2 宓1 1 2 宓2 一(1)V 0 22,成乂-In X2 Xi Xi(2)一元

12、函 数f(x)在x0 的 导数?(工)的符号 大于0,则/(x)在叼 的一个充分 小 的邻 域内单 调.(3)二元函 数/(%g)在点(g,优)可 微，偏 导数(gg),在点(g,go)连续.(4)设Z,B 是两个 有上 界的 数 集，数 集C=%+g|a?e力，g e B,则sup。=sup A+supB.三.叙 述魏 尔斯 特 拉斯 致 密性定 理内 容.四.若/是 a,b 上 的连续函 数，且 对数列 外e a,b,有fM|/(xn_i)|.n=2,3一，证 明：/(工)在 a,b 存在零 点.五.假 设 数列 时 满 足下列 条件：0 an(九=1,2,).证 明：q单 调递 增且 1

13、hm an=n 0,=1,2,3,)单 调递减且X(-l)nan发 散，则71=1收敛.七.若P(n)与Q(n.)分别 是关于口 的p 次与q 次多 项 式，且Q(n)0,则 级 数V 如)M丽收敛 的充 要 条件 是q-p 2 2.p+ooA.无 穷 广义 积分 f(x)dx 收敛且/(x)在 a,+8)严 格单减，则(1)/31上 国力=SCO 00 00九.设X Qn(%)是 a,b 上可 微函 数 项级 数，且X afM 的部分和函 数列 在 a,b 上一 致 有 界，证:若X厮 n=l n=l n=l在 a,b 上 收敛，则 必在 a,b 上一致 收敛.十.椭 球面X2 2 Z2T+

14、y+5=1被通过原 点 的 平 面2x+y+z=Q 截成一个 椭圆C,求此椭圆的面积.十一.求JJ f(x,y,z)ds.s其中 S=(宓0 Z)|/+/+z2c、X2+y2,Z2，a?2+/；=1,_0,z y/x2+y2.3217.中 国海洋大学 2014 年 研究生入 学 考试试题 数学分 析一.(24分)计算题(要求有计算过程)1.lim 浮.71-00 的1!2.f+G0 arctan 6a:arctan aa:,小-dg(ba 0).Jo x3.Iim(7+g2)-2x0。一0(40分)判 断 题(正 确的给予 证 明，错误的加以 说 明)(1)若 lim an=oo,则 lim

15、即+。2+-+On=8.()n00 nco Tl(2)函 数/Q)在 a,b 上 有定义，并且 对 q 血内 的任何g 存在)的 某 邻 域O,使 得/(工)在0/内 有 界，则/在 a,6 上 有 界.()(3)函 数/(乃 在(a,b)内 处处有导数/,则可 能 有 第一 类不 连续 点.()(4)设 每一函 数SnQ),n=1,2,均在点c右 连续，并且 数列 S/c)发 散，则 在开区 间(c,c+6)(其中8 0)内，函 数列%(a)必不一 致 收敛.()三.(15分)设/(x)在 a,b 上 有定义，的e a,5,若 对任 意 的 0,存在 0,当忸 如|5 时，有/Q)/(3)+

16、,则 称/(%)在点加 处上半 连续.若f(x)在 a,b 上 每一 点 都上半 连续，则 称f为 a,b 上 的一个上半 连续函 数.证 明：a,6 上 的上半 连续函 数一 定有 界.四.（16分）(1)讨论函 数/=In(l)一:在(0,1)上 的单 调 性.(2)补充(1)中 的函 数在7=0 点 的函 数值，使之 在 这 点 连续，求/(0 在 0,1 上 的 最大值和 最小值.(3)求最小 的B和 最大 的。，使 得对任 意 的 正整数n,成 立不 等 式：1+-J+行).五.(10分)设以为，以为 都 有 连续的二 阶 导数.证 明：函 数=B(|)+碗(|)满 足 方 程2 d

17、2 d2U 2 d2 卞+2%嬴+而=0.oo六.(15分)设 正 项级 数X an 收敛，和为S.71=1 求Q1+2。2+TlG,n lim-moo33(2)判 断 级 数、+2a2+nan乙in=l的 敛散性.七.(15分)设q 0,c 0,ac-匕2 0,则 方 程a/2+2b/y+cy2=1 表示 椭圆，利 用 拉格朗日乘 子法 证 明 该 椭圆 的面积为y/ac-b2A.(15分)计算 封 闭 曲 面(a:2+y2+z2)2=a3z(a 0)所围成 立体 的体 积.3418.中 国海洋大学 2015 年 研究生入 学 考试试题 数学分 析一.(24分)计算题(要求有计算过程)(1)

18、lim V 2n n-co-K=1(2)Hm 73y+*y4+Fy强,(3)fe da;Ji xy/1-(Ina;)2(40分)判 断 题(正 确的给予 证 明，错误的加以 说 明)1.设/Q)在(a,b)上 连续,且lim/=lim/(%)=0,则/在(a,b)内 存在最大值 或最小值.()xq+xb,27r2.设/(%)在(-co,+co)上 连续，则 积分 夕=f(x+y)dx与y 无关 当且仅 当/(工)为周 期是27r 的 Jo周 期函 数.()3.设函 数/在 0,1 上 有三 阶 导数，且/(0)=0,/(I)=:r C)=0,则 存在e e(0,1),使 得 ir(e)i 12

19、.()-4.设人(乃 在 a,b 上可 积，/+1(乃=f fn(t)dt,n=1,2,则函 数列%(7)在 a,b 上不一 致 收敛 Ja于 零.()三.(15分)设函 数f 在 a,b 上 连续，在(a,6)上二 阶可 导，且/(a)=/(b)=0,/；(a)0,fL(b)0,证 明：(1)存在(e 6),使 得产=0.(2)存在小，%e(a,6),使 得一仇)0.四.(15分)设变 换”=+逐 把方 程v=x+2/y器_啮_=(其中Z具 有 连续的二 阶偏 导数)化为 言=0,求常数a 的值.OUCV五.(15分)在椭 球面2/+2/+/=1上 求一 点，使函数f(x,y,z)=a?2+

20、/+/在 该 点处沿方向，=(1,-1,0)的 方向 导数最大.六.(15分)证 明函 数8,z Sinnx71=1在(-8,+00)内连续，并且 有 连续 导函 数.35七.(13分)计算 曲 线积分f 唱2dg 12gdiJ+PL其中L为 圆周x2+y2=a2(a 0)沿 逆 时 针 方向.A.(13分)计算 曲 面积分J yzdydz+(x2+z2)ydzdx+xydxdy.s其中S为 曲 面4-g=/+z2上g20 的部分，取右侧.3619.中 国海洋大学 2016 年 研究生入 学 考试试题 数学分 析一.（24分）计算题（要 求有 计算过程）1.蚂 ln（l+sin2%）4sin2

21、引 2.lim_ y/n（n+l）（n+2）（n+n）.3.rf.J、+QO,Sm X da;=o x 2二.（30分）判 断 题（正 确的给予 证 明，错误的举出反例）1.如果定 积分=0,则函 数/（乃在 a,b 上 或 者 恒 等于0,或者存在为此e a,b,使 得/（叫）0,/向 00 n=l三.1.（10分）设 an 为任一 数列，现 为 趋于+00 的单 调 增加 数列，且1.-a”cini lim-=I.8 bn-bn-i，为 有 限 数，证 明：lim兽=/.n-co 0n7T2.（20 分）对数列 x0=a,Q a-,xn=sinxn-1,n=1,2,.（1）证 明:数列 与

22、 存在极 限 并求出 此极 限值.（2）利 用1 题的结论，证 明：lim nx1=3.四.（10分）若/（x）在 a,b 上可 导，且/；（a）1 四（b）.证 明：至 少存在一 点 e（a,b）,使 得/=1.（其中（a）表示 在点a 的右 导数,忆 表示 在点b 的 左导数）u=x+aa五.（10分）选取 适 当 的Q,8（即 确 定 的a,8 的值），使 得变 换 J 将方程v=x+/3y0 石+dxdy+C2=,（a,c 都 是常数62-ac=0,c 0）作代 换后 的 方 程 有 简单 的 形式.8六.（16分）对于函 数 项级 数X re-.n=l1.求其 收敛域.2.证 明：其

23、和函 数SQ）在收敛域上 连续.七.（15分）求椭圆抛 物面亮+卷=2z与2 5=2（2-z）所围成 的立体Q 的体 积.J.Z 50 0 J.Z八.（15分）求函 数f（x,y,z）=/+,4+/在条件xyz=i下 的 极值，并判 断 这个 极值 是极大值 还 是极小值？为 什么？3720.中 国海洋大学 2018 年 研究生入 学 考试试题 数学分 析一.问答题(共3 题，每题10分，共30分)1.以下两个 集合 的内 部，边界与 聚 点 集分别 是什么？(给出 答 案，无 需说 明 理由)S1=(2,y)e 肽2|(/+y2)(y2 一2+1)w 0;$2=(X,y)e IR2|0 0,

24、q 0.四.(10分)设立i=l,xn+1=V4+3xn,九=1,2,3,，证 明此数列 是收敛 的，并求极 限值.五.(15分)设f(x),g(x)均为 0,1 上 的连续函 数，且f(x)与gQ)在 0,1 上 有 相同 的上 确界，证 明存在。1 使 得，()=9().六.(15分)设f(x)在区 间(0,1)上 非负且三 阶可 导，若 存在Xi,x2 e(0,1)且为i v x2使 得/Qi)=f3)=0,证 明存在a e(0,1),使 得1na)=0.七.(15分)证 明Ilim Vtsin tdt-0.Z-+8 x Jo八.(15分)设。=(x,y,z)e 暧也 0,?/0,z 0

25、,f(x,y,z):Q-R 是 连续可 导 的.若 对任 意 的 方 0以 及任 意 的(/,明z)e Q 均有f(tx,ty,tz)=t2 f(x,y,z),证 明：对Q中任 意 的光 滑 闭 曲 面S,都 有JJ xf(x,y,z)dydz+yf(x,y,z)dzd2+zf(x,y,z)dxdy=0.s3821.中 国海洋大学 2019 年 研究生入 学 考试试题 数学分 析一.计算题(要 求有 计算过程，共4 题，每 题10分，共40分)1.已 知其中 Qi,。2,。3,2.求极 限3.求极 限研+H-1 埸n/=%为R个 正数.求lim/(a?).8一 0i 2n lim=V-j=5

26、A 正r xyli m;=-ax+u+1 ig0若 极 限不 存在，说 明 理由.CO Q 4.求基 级 数X/的和函 数.n=0 问答题(给出 答 案并 说 明 理由，共3 题，每题10分，共30分)1.设/(%)在(-CO,+C0)上可 导,f(x)0,且满足(x2+1)/(7)=4+3.Jo求函 数/(x)的表达 式.2.求常数人使 得曲 线积分对上半 平 面内任何光 滑 闭 曲 线L 成 立，其中r=3.设 生.yx3 sm,力 W 0;/(gg)=xo,%=o.试确 定fQ,y)在平 面中 的 所有可 微点与不可 微点.三.(10分)证 明二元函 数z=(1+ey)cos/-y4 有

27、无 穷 多个 极大值 点，而 没有任何 极小值 点.四.(10分)若函 数/Q)在区 间I上可 导，且 尸(乃 在I上 有 界，则f(x)在I上一 致连续.五.(15分)请判 断下列命 题 是否 成 立？若 成 立，请给出 证 明，若不 成 立，请给出反例.(1)若函 数/在g取 极值，且右 导数fig)存在，则f+M=0;(2)若函 数于 在x0取 极值，且右 导数/1(g)在g 连续，则=0.六.(15分)设U1=2,un+1=-un-,Un)九为 正整数.证 明：(1)lim un 存在；n8CO/级数 4-1 收敛.39七.(15分)已 知函 数f(x,y)具 有二 阶连续偏 导数，且

28、/(l,u)=0,/Q,l)=0,f(x,y)dxdy=DD=(与力|0 W 1,0 W g W 计算二 重积分I=zyfx,y)dxdy.D八.(15分)计算 曲 面积分I=JJ xy2dydz+yz2dzdx+zx2dxdy,sr2 2 2其中 S+=1另中 a2 b2 c2a,其中4022.中 国海洋大学 2020 年 研究生入 学 考试试题 数学分 析一.计算题.1.lim lim(cos x-cos cos=cos z 0 Tl-8、2 22 2n二.判 断下列命 题 是否 正 确，正 确的给予 证 明，错误的给出反例.1.若函 数 f(x)在 a,b 上 连续,且 对 Va?e a,b,都 有/(a?)0,则 Br 0,V e a,b,有 f(x)r.2.若函 数/(乃可 导，则其 导函 数/(为不 存在 第二 类间 断点.8 CO3.若级 数y(fl2n-l+fl2n)收敛，且lim an=0,则V an 收敛.n-oo三.设函 数/(%)在(a,+8)内可 导，且lim/(a?)=lim/(%)=4,证 明：在(a,+co)内 至 少存在一 点使 得 Xa+。一+8/()=0.四.若石 是 非空 有上 界的 实数 集，设supE=a，且a 0 艮证 明：存在数列 与 E,使 得xn 0)所围 立体 的体 积.41