最新高考数学总复习 立体几何 课时作业空间几何体的表面积与体积新人教A版.pdf

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1、 课时作业 空间几何体的表面积与体积 1(2019湖南五市十校联考)如图，小方格是边长为 1 的正方形，一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(D)A4 596 B(256)96 C(454)64 D(454)96 解析：由三视图知，该几何体为一个圆锥和一个正方体的组合体，正方体的棱长为 4，圆锥的高为 4，底面半径为 2，所以该几何体的表面积S642222 4222(454)96.2(2019福建质检)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，俯视图中的两条曲线均为圆弧，则该几何体的体积为(C)A64323 B648 C64163 D6483 解析：由三视图

2、可知该几何体是由棱长为 4 的正方体截去14个圆锥和14个圆柱所得到的，且圆锥的底面半径为 2，高为 4，圆柱的底面半径为 2，高为 4，所以该几何体的体积为 43 1434444 64163.故选 C.3(2015全国卷)已知A，B是球O的球面上两点，AOB90，C为该球面上的动点若三棱锥O-ABC体积的最大值为 36，则球O的表面积为(C)A36 B64 C144 D256 解析：SOAB是定值，且VO-ABCVC-OAB，当OC平面OAB时，VC-OAB最大，即VO-ABC最大 设球O的半径为R，则(VO-ABC)max1312R2R16R336，R6，球O的表面积S4R2462144.

3、4(2019河南濮阳一模)已知三棱锥A-BCD中，ABD与BCD是边长为 2 的等边三角形且二面角A-BD-C为直二面角，则三棱 锥A-BCD的外接球的表面积为(D)A.103 B5 C6 D.203 解析：如图，取BD中点M，连接AM，CM，取ABD，CBD的中心即AM，CM的三等分点P，Q，过P作平面ABD的垂线，过Q作平面CBD的垂线，两垂线相交于点O，则点O为外接球的球心，如图，其中OQ33，CQ2 33，连接OC，则外接球的半径ROC153，表面积为 4R2203，故选 D.5一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M是AB上的动点，记四面体EFMC的体积为V1，多面体ADF-BCE的

4、体积为V2，则V1V2(B)面半径为所以该几何体的表面积福建质检如图网格纸上小正方形的边长为粗线画出的是某几何体的三视图俯视图中的到的且圆锥的底面半径为高为圆柱的底面半径为高为所以该几何体的体积为全国卷已知是球的球面上两点为该球面上积河南濮阳一模已知三棱锥中与是边长为的等边三角形且二面角为直二面角则三棱锥的外接球的表面积为解析如图取 A.14 B.13 C.12 D.15 解析：由三视图可知多面体ADF-BCE是直三棱柱，其底面是等腰直角三角形(直角边长为a)，且四边形DFEC与四边形ABCD都是正方形，它们的边长均为a.M是AB上的动点，且易知AB平面DFEC，点M到平面DFEC的距离等于点

5、B到平面DFEC的距离，距离为a，V1VE-FMCVM-EFC1312aaaa36，又V212aaaa32，故V1V2a36a3213.6某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为 材料利用率新工件的体积原工件的体积(A)A.89 B.169 C.4213 D.12213 面半径为所以该几何体的表面积福建质检如图网格纸上小正方形的边长为粗线画出的是某几何体的三视图俯视图中的到的且圆锥的底面半径为高为圆柱的底面半径为高为所以该几何体的体积为全国卷已知是球的球面上两点为该球面上积河南濮阳一模已知三

6、棱锥中与是边长为的等边三角形且二面角为直二面角则三棱锥的外接球的表面积为解析如图取 解析：原工件是一个底面半径为 1，高为 2 的圆锥，依题意加工后的新工件是圆锥的内接长方体，且落在圆锥底面上的面是正方形，设正方形的边长为a，长方体的高为h，则 0a 2，0h2.于是h2122a1，h2 2a.令f(a)V长方体a2h2a2 2a3，f(a)4a3 2a2，当f(a)0 时，a2 23.易知f(a)maxf2231627.材料利用率1627312289，故选 A.7(2017全国卷)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则

7、该几何体的体积为(B)A90 B63 C42 D36 解析：由三视图可知两个同样的几何体可以拼成一个底面直径为 6，高为 14 的圆柱，所以该几何体的体积V12321463，故选 B.8已知三棱锥O-ABC的顶点A，B，C都在半径为 2 的球面上，O是球心，AOB120，当AOC与BOC的面积之和最大时，三棱锥O-ABC的体积为(B)A.32 B.2 33 C.23 D.13 解析：设球O的半径为R，面半径为所以该几何体的表面积福建质检如图网格纸上小正方形的边长为粗线画出的是某几何体的三视图俯视图中的到的且圆锥的底面半径为高为圆柱的底面半径为高为所以该几何体的体积为全国卷已知是球的球面上两点为

8、该球面上积河南濮阳一模已知三棱锥中与是边长为的等边三角形且二面角为直二面角则三棱锥的外接球的表面积为解析如图取 因为SAOCSBOC12R2(sin AOCsin BOC)，所以当AOCBOC90时，SAOCSBOC取得最大值，此时OAOC，OBOC，又OBOAO，OA，OB平面AOB，所以OC平面AOB，所以V三棱锥O-ABCV三棱锥C-OAB 13OC12OAOBsin AOB 16R3sin AOB2 33，故选 B.9某组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为 343.解析：如图所示，该组合体由一个四棱锥和四分之一个球组成，球的半径为 1，四棱锥的高为球的半径，四棱锥的底面为等腰梯形

9、，上底为 2，下底为 1，高为32，所以该组合体的体积V1312(21)321144313343.10(2018全国卷)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为 30.若SAB的面积为 8，则该圆锥的体积为 8.解析：设圆锥底面半径为r，母线长为l，高为h，面半径为所以该几何体的表面积福建质检如图网格纸上小正方形的边长为粗线画出的是某几何体的三视图俯视图中的到的且圆锥的底面半径为高为圆柱的底面半径为高为所以该几何体的体积为全国卷已知是球的球面上两点为该球面上积河南濮阳一模已知三棱锥中与是边长为的等边三角形且二面角为直二面角则三棱锥的外接球的表面积为解析如图取 因为母线

10、SA与底面所成的角为 30，所以l2 33r.由SAB的面积为 8 得12l28，即1243r28，所以r212，h33r2.所以圆锥的体积为13r2h131228.11(2019江西南昌二中模拟)在三棱锥S-ABC中，ABC是边长为 3 的等边三角形，SA 3，SB2 3，二面角S-AB-C的大小为120，则此三棱锥的外接球的表面积为 21.解析：根据题意得SA2AB2SB2，即SAAB.取AB的中点为D，SB的中点为M，连接CD、MD，得CDM为二面角S-AB-C的平面角，MDC120.如图，设三角形ABC的外心为O1，则O1在CD上，连接BO1，则CO1 3BO1，DO132.设外接球半

11、径为R，易知球心为过M垂直面ABS的垂线与过O1垂直面ABC的垂线的交点O.在四边形MDO1O中，二面角S-AB-C的平面角MDC120，且MOMD，O1ODO1，MDO1D32，ODO160，OO1O1Dtan6032，连接OB，R2OB2OO21O1B2943214，球的表面积S4R221.12如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，ABBC12AD，面半径为所以该几何体的表面积福建质检如图网格纸上小正方形的边长为粗线画出的是某几何体的三视图俯视图中的到的且圆锥的底面半径为高为圆柱的底面半径为高为所以该几何体的体积为全国卷已知是球的球面上两点为该球面上积河南

12、濮阳一模已知三棱锥中与是边长为的等边三角形且二面角为直二面角则三棱锥的外接球的表面积为解析如图取 BADABC90.(1)证明：直线BC平面PAD；(2)若PCD的面积为 2 7，求四棱锥P-ABCD的体积 解：(1)证明：在平面ABCD内，因为BADABC90，所以BCAD.又BC 平面PAD，AD平面PAD，故BC平面PAD.(2)取AD的中点M，连接PM，CM.由ABBC12AD及BCAD，ABC90得四边形ABCM为正方形，则CMAD.因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以PMAD，PM底面ABCD.因为CM底面ABCD，所以PMCM.设BCx

13、，则CMx，CD 2x，PM 3x，PCPD2x.取CD的中点N，连接PN，则PNCD，所以PN142x.因为PCD的面积为 2 7，面半径为所以该几何体的表面积福建质检如图网格纸上小正方形的边长为粗线画出的是某几何体的三视图俯视图中的到的且圆锥的底面半径为高为圆柱的底面半径为高为所以该几何体的体积为全国卷已知是球的球面上两点为该球面上积河南濮阳一模已知三棱锥中与是边长为的等边三角形且二面角为直二面角则三棱锥的外接球的表面积为解析如图取 所以12 2x142x2 7，解得x2(舍去)或x2.于是ABBC2，AD4，PM2 3.所以四棱锥P-ABCD的体积V1322422 34 3.13 九章算

14、术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊柱的楔体，下底面宽 3 丈，长 4 丈；上棱长 2 丈，高一丈，问它的体积是多少？”已知 1 丈为 10 尺，现将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为 1 丈，则该楔体的体积为(A)A5 000 立方尺 B5 500 立方尺 C6 000 立方尺 D6 500 立方尺 解析：该楔体的直观图如图中的几何体ABCDEF.取AB的中点G，CD的中点H，连接FG，GH，HF，则该几何体的体积为四棱锥F-GBCH与三棱柱ADE-GHF的体积之

15、和 又可以将三棱柱ADE-GHF割补成高为EF，底面积为S123132平方丈的一个直棱柱，故该楔体的体积V322132315 立方丈5 000 立方尺 14(2019深圳调研)如图所示，在平面四边形ABCD中，ABADCD1，BD 2，BDCD，将其沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD平面BCD，若四面体ABCD的顶点在同一个球面上，则该球的体积为(A)面半径为所以该几何体的表面积福建质检如图网格纸上小正方形的边长为粗线画出的是某几何体的三视图俯视图中的到的且圆锥的底面半径为高为圆柱的底面半径为高为所以该几何体的体积为全国卷已知是球的球面上两点为该球面上积河南濮阳一模已知三棱锥中与是边

16、长为的等边三角形且二面角为直二面角则三棱锥的外接球的表面积为解析如图取 A.32 B3 C.23 D2 解析：如图，取BD的中点为E，BC的中点为O，连接AE，OD，EO，AO.因为ABAD，所以AEBD.由于平面ABD平面BCD，所以AE平面BCD.因为ABADCD1，BD 2，所以AE22，EO12.所以OA32.在 RtBDC中，OBOCOD12BC32，所以四面体ABCD的外接球的球心为O，半径为32.所以该球的体积V4332332.15(2017全国卷)如图，圆形纸片的圆心为O，半径为 5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，DBC，ECA，FAB分别

17、是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起DBC，ECA，FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥当ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为 4 15.面半径为所以该几何体的表面积福建质检如图网格纸上小正方形的边长为粗线画出的是某几何体的三视图俯视图中的到的且圆锥的底面半径为高为圆柱的底面半径为高为所以该几何体的体积为全国卷已知是球的球面上两点为该球面上积河南濮阳一模已知三棱锥中与是边长为的等边三角形且二面角为直二面角则三棱锥的外接球的表面积为解析如图取 解析：解法一：由题意可知，折起后所得三棱锥为正三棱锥，设ABC的边长为a(a0)

18、cm，则ABC的面积为34a2 cm2，点O到ABC三边的距离都为36a cm，DBC的高为536acm，则正三棱锥的高为 536a236a2 255 33a cm，255 33a0，0a5 3，所得三棱锥的体积V1334a2 255 33a312 25a45 33a5 cm3.令t25a45 33a5，则t100a32533a4，由t0，得a4 3(满足 0a5 3)，易知此时所得三棱锥的体积最大，为 4 15 cm3.解法二：由题意知折起以后所得三棱锥的直观图如图所示，连接CO并延长交AB于H，连接DO、DH.则DO平面ABC.令OHx cm，则OC2x cm，DH(5 x)cm，面半径为

19、所以该几何体的表面积福建质检如图网格纸上小正方形的边长为粗线画出的是某几何体的三视图俯视图中的到的且圆锥的底面半径为高为圆柱的底面半径为高为所以该几何体的体积为全国卷已知是球的球面上两点为该球面上积河南濮阳一模已知三棱锥中与是边长为的等边三角形且二面角为直二面角则三棱锥的外接球的表面积为解析如图取 得OD5x2x2 2510 x cm，AB2 3x cm.则VD-ABC13122 3x3x 2510 x 3x2 2510 x 15x252x cm3，令f(x)15x252x，则f(x)152x52xx2152x 1510 x5x252x，则当x(0,2)时，f(x)单调递增，当x(2,2.5)

20、时，f(x)单调递减，所以当x2 时，体积取最大值，为 1544 15 cm3.16(2019贵阳质检)如图，ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，DC平面ABC，AB2，EB 3.(1)求证：DE平面ACD；(2)设ACx，V(x)表示三棱锥B-ACE的体积，求函数V(x)的解析式及最大值 解：(1)证明：四边形DCBE为平行四边形，CDBE，BCDE.DC平面ABC，BC平面ABC，DCBC.AB是圆O的直径，BCAC，且DCACC，DC，AC平面ADC，BC平面ADC.DEBC，DE平面ADC.(2)DC平面ABC，BE平面ABC.在 RtABE中，AB2，EB

21、 3.在 RtABC中，ACx，BC 4x2(0 x2)，SABC12ACBC12x 4x2，面半径为所以该几何体的表面积福建质检如图网格纸上小正方形的边长为粗线画出的是某几何体的三视图俯视图中的到的且圆锥的底面半径为高为圆柱的底面半径为高为所以该几何体的体积为全国卷已知是球的球面上两点为该球面上积河南濮阳一模已知三棱锥中与是边长为的等边三角形且二面角为直二面角则三棱锥的外接球的表面积为解析如图取 V(x)V三棱锥E-ABC36x 4x2(0 x2)x2(4 x2)x24x2224，当且仅当x24x2，即x 2时取等号，当x 2时，体积有最大值33.面半径为所以该几何体的表面积福建质检如图网格纸上小正方形的边长为粗线画出的是某几何体的三视图俯视图中的到的且圆锥的底面半径为高为圆柱的底面半径为高为所以该几何体的体积为全国卷已知是球的球面上两点为该球面上积河南濮阳一模已知三棱锥中与是边长为的等边三角形且二面角为直二面角则三棱锥的外接球的表面积为解析如图取