最新高中数学数列放缩专题：用放缩法处理数列和不等问题.pdf

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1、最新精品资料推荐 最新精品资料推荐1 数列和不等问题（教师版）一先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理）例 1正数数列na的前n项的和nS，满足12nnaS，试求：（1）数列na的通项公式；（2）设11nnnaab，数列nb的前n项的和为nB，求证：21nB 解：（1）由已知得2)1(4nnaS，2n时，211)1(4nnaS，作差得：1212224nnnnnaaaaa，所以0)2)(11nnnnaaaa，又因为na为正数数列，所以21nnaa，即na是公差为 2 的等差数列，由1211 aS，得11a，所以12 nan（2）)121121(21)12)(12(111nnnnaabnnn，

2、所以 21)12(2121)1211215131311(21nnnBn 真题演练 1：(06 全国 1 卷理科 22 题)设数列na的前n项的和,14122333nnnSa，1,2,3,n （）求首项1a与通项na；（）设2nnnTS，1,2,3,n，证明：132niiT.解:()由 Sn=43an132n+1+23,n=1,2,3，,得 a1=S1=43a1134+23 所以 a1=2 再由有 Sn1=43an1132n+23,n=2,3，4,将和相减得:an=SnSn1=43(anan1)13(2n+12n),n=2,3,整理得:an+2n=4(an1+2n1),n=2,3,因而数列 an

3、+2n是首项为 a1+2=4,公比为 4 的等比数列,即:an+2n=44n1=4n,n=1,2,3,因而 an=4n2n,n=1,2,3,()将 an=4n2n代入得 Sn=43(4n2n)132n+1+23=13(2n+11)(2n+12)=23(2n+11)(2n1)Tn=2nSn=322n(2n+11)(2n1)=32(12n1 12n+11)所以,1niiT=321(ni12i1 12i+11)=32(1211 1121n)1）化简得：1122(1)nnnaa 2)1(2)1(11nnnnaa,32)1(232)1(11nnnnaa 故数列32)1(nna是以321 a为首项,公比为

4、2的等比数列.故1)2)(31(32)1(nnna 222(1)3nnna 数列na的通项公式为：222(1)3nnna.观察要证的不等式，左边很复杂，先要设法对左边的项进行适当的放缩，使之能够求和。而左边=2324511131112 21212(1)mmmaaa ，如果我们把上式中的分母中的1去掉，就可利用等比数列的前 n 项公式求和，由于-1 与 1 交错出现，容易想到将式中两项两项地合并起来一起进行放缩，尝试知：32322121121121，43432121121121，因此，可将1212保留，再将后面的项两两组合后放缩，即可求和。这里需要对m进行分类讨论，（1）当m为偶数)4(m时，m

5、aaa11154)11()11(11654mmaaaaa )212121(2321243m )211(4123214m 832187（2）当m是奇数)4(m时，1m为偶数，8711111111165454mmmaaaaaaaa 所以对任意整数4m，有maaa1115487。本题的关键是并项后进行适当的放缩。3.（07 武汉市模拟）定义数列如下：Nnaaaannn,1,2211 最新精品资料推荐 最新精品资料推荐6 求证：（1）对于Nn恒有nnaa 1成立；（2）当Nnn且2，有11211aaaaannn成立；（3）11112112006212006aaa 分析：（1）用数学归纳法易证。（2）由

6、121nnnaaa得：)1(11nnnaaa)1(111nnnaaa )1(1112aaa 以上各式两边分别相乘得：)1(111211aaaaaannn，又21a 11211aaaaannn （3）要证不等式11112112006212006aaa，可先设法求和：200621111aaa，再进行适当的放缩。)1(11nnnaaannnaaa111111111111nnnaaa 200621111aaa)1111()1111()1111(200720063221aaaaaa 111120071aa20062111aaa1又2006200612006212 aaaa 200620062121111

7、aaa原不等式得证。本题的关键是根据题设条件裂项求和。数列和不等问题（学生版）一先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理）例 1正数数列na的前n项的和nS，满足12nnaS，试求：（1）数列na的通项公式；最新精品资料推荐 最新精品资料推荐7（2）设11nnnaab，数列nb的前n项的和为nB，求证：21nB 真题演练 1：(06 全国 1 卷理科 22 题)设数列na的前n项的和,14122333nnnSa，1,2,3,n （）求首项1a与通项na；（）设2nnnTS，1,2,3,n，证明：132niiT.二先放缩再求和 1放缩后成等比数列，再求和 例 2等比数列na中，112a ，前n

8、项的和为nS，且798,SSS成等差数列 设nnnaab12，数列nb前n项的和为nT，证明：13nT 最新精品资料推荐 最新精品资料推荐8 真题演练 2：(06 福建卷理科 22 题)已知数列na满足*111,21().nnaaanN （I）求数列na的通项公式；（II）若数列nb滿足12111*444(1)()nnbbbbnanN，证明：数列nb是等差数列；（）证明：*122311.()232nnaaannnNaaa .2放缩后为“差比”数列，再求和 例 3已知数列na满足：11a，)3,2,1()21(1nanannn求证：11213nnnnaa 最新精品资料推荐 最新精品资料推荐9 3

9、放缩后成等差数列，再求和 例 4已知各项均为正数的数列na的前n项和为nS,且22nnnaaS.(1)求证：2214nnnaaS；(2)求证：112122nnnSSSSS 练习：1.（08南京一模 22 题）设函数213()44f xxbx，已知不论,为何实数，恒有(cos)0f且(2sin)0f.对于正数列na，其前 n 项和()nnSf a，*()nN.()求实数 b 的值；（II）求数列na的通项公式；（）若1,1nncnNa，且数列nc的前 n 项和为nT，试比较nT和16的大小并证明之.最新精品资料推荐 最新精品资料推荐10 2.（04 全国）已知数列na的前n项和nS满足：nnna

10、S)1(2，1n（1）写出数列na的前三项1a，2a，3a；（2）求数列na的通项公式；（3）证明：对任意的整数4m，有8711154maaa 3.（07 武汉市模拟）定义数列如下：Nnaaaannn,1,2211 求证：（1）对于Nn恒有nnaa 1成立；（2）当Nnn且2，有11211aaaaannn成立；（3）11112112006212006aaa 医院感染存在的问题及整改措施 2016 年 8 月 2 日北湖区卫生和计划生育局对我中心的医院感染管理进行督查，现就存在的问题进行整改：1.根据中心实际情况建立健全并完善各项管理组织与制度。建立和落实制度是搞好感染管理工作的重要保证，制定切实可行的制度，做到“制定我做的，做我制定的。”2.加强医务人员医疗废物的分类、收集、转运、处置、安全防护及紧急处理等知识的培训。3.在生活垃圾区张贴醒目标志的生活垃圾标识；对不同医疗废物处张贴不同的医疗垃圾标识。4.对搞卫生用的毛巾严格按清洁区、半污染区、污染区分类，并做好标最新精品资料推荐 最新精品资料推荐11 识，以防交叉感染。5.加强医务人员的手卫生知识培训并进行监督检查；各科室都配有洗手液、速干手消毒液，对使用量进行统计，以提高医务人员的手卫生的依从性和正确性。6.严格执行消毒隔离制度，对使用中的碘伏、酒精、棉签及快速手消毒液要写好开启时间并在有效时间内使用。