最新数形结合思想在高中数学的应用.pdf

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1、最新精品资料推荐 最新精品资料推荐 1 数形结合思想在高中数学的应用 青冈一中 李钊“数形结合”思想是研究高中数学问题的重要思想方法，在高中学数学中有着广泛的应用，恰当地运用数形结合思想可以使我们在解决数学问题的过程中化难为易，从而将复杂问题变为简单问题，抽象问题变为具体问题，找到解决问题的金钥匙。数形结合作为一种重要的数学思想，更是一种典型的数学解题方法。它是将知识转化为能力的手段和桥梁，随着新课改的不断进行，信息技术得到广泛的应用，课堂上多媒体应用更有利于体现数形结合的数学思想方法，是将抽象的数学语言和图象结合起来，是代数和几何有机的互相转化。本文主要从以下五个方面进行研究：一、运用数学结

2、合思想解决函数值域问题 例 1.求函数5 3 x x y值域.含有两个绝对值的函数问题是高中数学的一个重要内容，主要体现在高考选修 4-4 上，研究值域或最值得问题，我们可以利用数形结合的思想，通过函数的图象非常直观地体现函数的最值问题。这样使问题得到更好的解决.引导学生如何去绝对值符号，把函数写成分段函数的形式，让学生自己动手画函数的图象。首先将函数进行化简，使其变成分段函数的形式 5,85 3,23,8 2x xxx xy 最新精品资料推荐 最新精品资料推荐 2 在做很多题目时，当我们把图像画出来，从图像中非常直观地就可以看出本题的值域了。利用数和形之间的转化它具有直观性，数与形的完美结合

3、，往往起到事半功倍的效果。二、运用数形结合思想解决对数不等式问题 例 2.使不等式1)(log2 x x成立的x的取值范围。分析：对于此不等式，不是我们所研究的不等式的形式，运用我们学过的方法根本无法解出来。如果将它与函数联系起来，设1 log)()(2 x x fx，如果不利用计算机根本无法画出它的图像，所以我们想到将其转化为两个函数的图像的交点的问题。如右图，在同一坐标系中，作出函数)(log2x y 和1 x y 的图像，其中)(log2x y 与x y2log 的图像关于y轴对称。由图像知，当 1 x时，函数)(log2x y 的图像在直线1 x y 的上方，故使1)(log2 x x

4、成立的的x取值范围是)1,(。三、数形结合思想在方程根的分布方面的应用 例 3.已知二次方程)0,(0 1 2 22 a R a a x ax，有两个正根，求a的取值范围。x y o 8 2 杂问题变为简单问题抽象问题变为具体问题找到解决问题的金钥匙数形结合作为一种重要的数学思想更是一种典型的 应用更有利于体现数形结合的数学思想方法是将抽象的数学语言和图象结合起来是代数和几何有机的互相转化本文主 数学的一个重要内容主要体现在高考选修上研究值域或最值得问题我们可以利用数形结合的思想通过函数的图象非常最新精品资料推荐 最新精品资料推荐 3 分析：设)0(0 1 2 2)(2 a a x ax x

5、f，由题设可知，二次函数)(x f的图象与x轴的交点落在x轴的正半轴上。如图：所以有 020 1)0(0)1(4)2 2(02aa fa aa或 020 1)0(0)1(4)2 2(02aa fa aa，解不等式组可得a的取值范围是2 1 a。变式训练：已知函数kx x g x x f)(,1 3)(，若方程)()(x g x f 有两个不相等的实根，则实数 k 的取值范围是（）)31,0.(A)1,31.(B)3,1.(C),3.(D 分析：将)(x f写成分段函数的形式，3,43,2)(x xx xx f如图，作出)(x f y 的图象，其中)1,3(A，则31oAk关键是准确地作出函数的

6、图象 x y 0 A(3,1)杂问题变为简单问题抽象问题变为具体问题找到解决问题的金钥匙数形结合作为一种重要的数学思想更是一种典型的 应用更有利于体现数形结合的数学思想方法是将抽象的数学语言和图象结合起来是代数和几何有机的互相转化本文主 数学的一个重要内容主要体现在高考选修上研究值域或最值得问题我们可以利用数形结合的思想通过函数的图象非常最新精品资料推荐 最新精品资料推荐 4 要使方程)()(x g x f 有两个不相等的实根，则函数)(x f与)(x g的图象有两个不同的交点，由图可知，131 k.当方程与基本初等函数有关时，可以通过研究函数图象来研究方程的根，方程)(x f=0 的根就是函

7、数)(x f的图象与x轴的交点的横坐标，方程)()(x g x f 的根就是函数)(x f与)(x g图象交点的横坐标。四、数形结合思想在解三角不等式方面的应用 当不等式问题不能用代数的方法解决时，如果对应的函数比较容易作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的交点问题，进而利用数形结合求解.例 4解不等式 2,0,sin cos x x x 分析:从不等式的两边 表达式我们可以看成两个 函数x y x y sin,cos2 1.在 2,0上作出它们的图像,得到四个不同的交点,横坐标分别为:47,45,43,4,而当x在区间 2,47,45,43,4,0内时,x y cos1的图像都在x y s

8、in2的图像上方所以可得到原不等式的解集为：247454340|x x x x 或 或 变式训练.解不等式1 cos)1 3(cos sin)1 3(sin 22 2 x x x x 分析:原不等式进行适当的变形后可得到：0 cos 3 cos sin)1 3(sin2 2 x x x x 2 0 x y 1 x y cos1 x y sin2 2 23 杂问题变为简单问题抽象问题变为具体问题找到解决问题的金钥匙数形结合作为一种重要的数学思想更是一种典型的 应用更有利于体现数形结合的数学思想方法是将抽象的数学语言和图象结合起来是代数和几何有机的互相转化本文主 数学的一个重要内容主要体现在高考选

9、修上研究值域或最值得问题我们可以利用数形结合的思想通过函数的图象非常最新精品资料推荐 最新精品资料推荐 5 又0 cos2 x,不等式两边同时除以x2cos可得：0 3 tan)1 3(tan2 x x 3 tan 1 x 下面关键分析如何求3 tan 1 x的解集我们可以联想正切函数 x y tan 的图像,在区间2,2 内作出x y tan 的函数 图像，再作出两平行 于x轴的直线1 y和 3 y与x y tan 的图 像相交于点2 1,P P 2 1,P P两点对应的横坐标分别 为3,42 1 x x 又因为正切函数x y tan 的周期为,故可求得所求不等式的解集为:Z k k x k

10、 x,3 4|五、数形结合思想在“距离”问题方面的应用 例 5 设2 a，0 b，试求2 2 2)92()(ba b a 的最小值。分析：观察可知)2,(2a a 是圆22 2 y x上的 一点，)9,(bb是等轴双曲线9 xy上一点，而解析式 2 2 2)92()(ba b a 表示分别在两曲线上动点)2,(2a a 与)9,(bb间距离的平方.如图从对称性 知：直线x y 与两曲线交点 1,1 A，)3,3(B间距离 x A（1,1）y B（3，3）x 1 y=1 3 y 0 y 3 1 1P2P 4 2 3 2 杂问题变为简单问题抽象问题变为具体问题找到解决问题的金钥匙数形结合作为一种重

11、要的数学思想更是一种典型的 应用更有利于体现数形结合的数学思想方法是将抽象的数学语言和图象结合起来是代数和几何有机的互相转化本文主 数学的一个重要内容主要体现在高考选修上研究值域或最值得问题我们可以利用数形结合的思想通过函数的图象非常最新精品资料推荐 最新精品资料推荐 6 最短，因此最小值为82 AB。参考文献：1 郭会利.浅析高中数学常用的几种数学思想.山西煤炭管理干部学院学报,2009,2.2 陈波.中学数学中数形结合思想的应用.陕西玉溪师范学报，2001.3 许更生.论数形结合思想在中学数学中的应用.数学学习与研究，2011.中国近年来的自然灾害事件 2008 年度中国十大自然灾害事件

12、1、5.12 汶川特大地震导致重大人员伤亡和财产损失 2、南方雪灾：年初特大低温雨雪冰冻灾害影响 21 省（区、市、兵团）3、台风“黑格比”严重影响两广地区 4、6 月上中旬华南、中南地区发生严重洪涝灾害 5、新疆出现历史上第二个严重干旱年 6、长江沿线及江南地区发生严重秋涝 7、四川攀枝花-会理地震导致川滇两省损失严重 8、9 月下旬四川发生严重暴雨洪涝和泥石流灾害 9、宁夏严重干旱致夏秋粮减产 10、10 月末西藏发生强降雪，10 万余人受灾 2008 年度中国十大自然灾害事件 1、南方雪灾：年初特大低温雨雪冰冻灾害影响 21 省（区、市、兵团）1 月 10 日至 2 月 2 日我国南方大

13、部分地区发生低温雨雪冰冻灾害，降温幅度之大多年少有、降水之多历史同期罕见、持续时间之长多年未遇、灾害损失之重远超常年。经核定，此次灾害造成 21 个省（区、市、兵团）受灾，因灾死亡 132人，失踪 4 人，紧急转移安置 166 万人；农作物受灾面积 11874.2 千公顷，绝收面积 1690.6 千公顷；倒塌房屋 48.5 万间，损坏房屋 168.6 万间；因灾直接经济损失 1516.5 亿元。其中，湖南、贵州、江西、安徽、湖北、广西、四川、云南等省（区）受灾较重。由于灾害发生时恰逢春运高峰时段，灾害的波及面之广、影响程度之深、社会影响之大，均为历史罕见。1 月 21 至 28 日，国家减灾委

14、、杂问题变为简单问题抽象问题变为具体问题找到解决问题的金钥匙数形结合作为一种重要的数学思想更是一种典型的 应用更有利于体现数形结合的数学思想方法是将抽象的数学语言和图象结合起来是代数和几何有机的互相转化本文主 数学的一个重要内容主要体现在高考选修上研究值域或最值得问题我们可以利用数形结合的思想通过函数的图象非常最新精品资料推荐 最新精品资料推荐 7 民政部分别针对湖南、湖北、贵州、广西、江西、安徽等 6 省（区）的灾情，启动四级应急响应，1 月 29 日，根据上述 6 省的灾情发展，将响应级别提升至二级。1 月 31 日，针对四川省灾情，又再次启动二级应急响应。2、5.12 汶川特大地震导致重

15、大人员伤亡和财产损失 5 月 12 日 14 时 28 分，四川省汶川县（北纬 31 度、东经 103.4 度）发生里氏8 级地震，此后地震灾区还发生了上万次余震，最高震级达 6.4 级。此次地震属浅源地震，是新中国成立以来灾害性最为严重的地震，其伤亡人数仅次于 1976年唐山 7.8 级地震，经济损失和救灾难度之大为历史罕见。四川、甘肃、陕西、重庆、河南、湖北、云南、贵州、湖南、山西等省（市、区）共有 417 个县、4667个乡镇、48810 个村受灾，受灾人口 4625.6 万人，紧急转移安置 1510.6 万人，因灾死亡 69227 人，失踪 17923 人，受伤 37.4 万人；倒塌房

16、屋 796.7 万间，损坏房屋 2454.3 万间，直接经济损失 8523.09 亿元。5 月 12 日 15 时 40 分，国家减灾委、民政部启动二级应急响应，5 月 12 日 22 时 15 分提升为一级。3、台风“黑格比”严重影响两广地区 2008 年第 14 号强台风“黑格比”（HAGUPIT）于 9 月 19 日 20 时在菲律宾以东的西北太平洋洋面上生成，9 月 21 日 11 时加强为强热带风暴，9 月 21 日下午加强为台风，9 月 22 日 14 时加强为强台风。“黑格比”于 9 月 24 日早上 6 时45 分在广东省电白县陈村镇沿海登陆，登陆时中心最大风力 15 级（48

17、m/s）。台风“黑格比”具有强度强、移动快、影响范围广等特点，共造成广东、广西、海南、云南四省 1501.9 万人（次）不同程度受灾，死亡 47 人（含失踪人口），紧急转移安置 157.2 万人；农作物受灾面积 879.1 千公顷；倒塌房屋 4.1 万间；因灾直接经济损失 133.3 亿元。4、6 月上中旬华南、中南地区发生严重洪涝灾害 杂问题变为简单问题抽象问题变为具体问题找到解决问题的金钥匙数形结合作为一种重要的数学思想更是一种典型的 应用更有利于体现数形结合的数学思想方法是将抽象的数学语言和图象结合起来是代数和几何有机的互相转化本文主 数学的一个重要内容主要体现在高考选修上研究值域或最值得问题我们可以利用数形结合的思想通过函数的图象非常