最新李庆扬-数值分析第五版第5章与第7章习题答案.pdf

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1、精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢1 第 5 章 复习与思考题 1、用高斯消去法为什么要选主元？哪些方程组可以不选主元？答：使用高斯消去法时，在消元过程中可能出现0kkka 的情况，这时消去法无法进行；即时主元素0kkka，但相对很小时，用其做除数，会导致其它元素数量级的严重增长和舍入误差的扩散，最后也使得计算不准确。因此高斯消去法需要选主元，以保证计算的进行和计算的准确性。当主对角元素明显占优（远大于同行或同列的元素）时，可以不用选择主元。计算时一般选择列主元消去法。2、高斯消去法与 LU分解有什么关系？用它们解线性方程组 Ax=b有何不同？A 要满足什么

2、条件？答：高斯消去法实质上产生了一个将A分解为两个三角形矩阵相乘的因式分解，其中一个为上三角矩阵 U，一个为下三角矩阵 L。用 LU分解解线性方程组可以简化计算，减少计算量，提高计算精度。A 需要满足的条件是，顺序主子式（1,2，n-1）不为零。3、楚列斯基分解与 LU分解相比，有什么优点？楚列斯基分解是 LU 分解的一种，当限定下三角矩阵 L 的对角元素为正时，楚列斯基分解具有唯一解。4、哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？具有对称正定系数矩阵的线性方程可以使用平方根法求解。平方根法在分解过程中元素的数量级不会增长，切对角元素恒为正数，因此，是一个稳定的算法。5、什么样

3、的线性方程组可用追赶法求解并能保证计算稳定？对角占优的三对角方程组 6、何谓向量范数？给出三种常用的向量范数。向量范数定义见 p53，符合 3 个运算法则。正定性 齐次性 三角不等式 设x 为向量，则三种常用的向量范数为：（第 3 章 p53,第 5 章 p165）11|niix x 12221|()niix x 1|max|ii nx x 7、何谓矩阵范数？何谓矩阵的算子范数？给出矩阵 A=(ai j)的三种范数|A|1，|A|2，|精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2 A|，|A|1与|A|2哪个更容易计算？为什么？向量范数定义见 p162，需要满足四个

4、条件。正定条件 齐次条件 三角不等式 相容条件 矩阵的算子范数有 1|A|2|A|A|从定义可知，1|A|更容易计算。8、什么是矩阵的条件数？如何判断线性方程组是病态的？答：设A为非奇异阵，称数1(A)A Avvvcond（1,2,v）为矩阵 A 的条件数 当(A)1 cond时，方程是病态的。9、满足下面哪个条件可判定矩阵接近奇异？（1）矩阵行列式的值很小。（2）矩阵的范数小。（3）矩阵的范数大。（4）矩阵的条件数小。（5）矩阵的元素绝对值小。接近奇异阵的有（1）、（2）注：矩阵的条件数小说明 A 是良态矩阵。矩阵的元素绝对值小，不能说明行列式的值小等。10、判断下列命题是否正确：（1）只要

5、矩阵 A 非奇异，则用顺序消去法或直接 LU分解可求得线性方程组 Ax=b的解。答：错误，主元位置可能为 0，导致无法计算结果。（2）对称正定的线性方程组总是良态的。答：正确。（3）一个单位下三角矩阵的逆仍为单位下三角矩阵。答：正确。（4）如果 A 非奇异，则 Ax=b的解的个数是由右端向量 b 的决定的。答：正确。解释：若 A|b 与 A 的秩相同，则 A 有唯一解。若不同，则 A无解。（5）如果三对角矩阵的主对角元素上有零元素，则矩阵必奇异。（6）范数为零的矩阵一定是零矩阵。答：正确。（7）奇异矩阵的范数一定是零。精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3 答

6、：错误，可以不为 0。（8）如果矩阵对称，则|A|1=|A|。答：根据范数的定义，正确。（9）如果线性方程组是良态的，则高斯消去法可以不选主元。答：错误，不选主元时，可能除数为 0。（10）在求解非奇异性线性方程组时，即使系数矩阵病态，用列主元消去法产生的误差也很小。答：错误。对于病态方程组，选主元对误差的降低没有影响。（11）|A|1=|A T|。答：根据范数的定义，正确。（12）若 A 是 n n 的非奇异矩阵，则)(cond)(cond1 A A。答：正确。A 是 n n 的非奇异矩阵，则 A 存在逆矩阵。根据条件数的定义有：11 1 1 1 1 1cond()cond()()A A A

7、A A A A A A A 精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢4 习题 1、设 A是对称阵且011 a，经过高斯消去法一步后，A约化为21 110 Aa aT，证明2A是对称矩阵。证明：设对称矩阵11 12 112 22 21 2.nnn n nna a aa a aAa a a，则经过 1 次高斯校区法后，有 11 12 11 1222 12 2 1211 11(1)1 12 12 1211 1111 12 112 1222 12 2 111 111 12 12 111 11.0.0.0.0.nnnn nn nnnn nn nn nn na a aa aa

8、 a a aa aAa aa a a aa aa a aa aa a a aa aa aa a a aa a 所以1 12 2.Tna a a 12 1222 12 2 111 1121 12 12 111 11.n nn nn nn na aa a a aa aAa aa a a aa a 所以 A2 为对称矩阵。2、设 A 是对称正定矩阵，经过高斯消去法一步后，A 约化为()ij nA a，其中()ij nA a，(2)2 1()ij nA a；证明：（1）A的对角元素0(1,2,)iia i n；（2）2A是对称正定矩阵；（1）依次取 n i xTii,2,1,)0,0,1,0,0,0(

9、，则因为 A 是对称正定矩阵，所以有 0 Ax x aTii。精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢5（2）2A 中的元素满足),3,2,(,111 1)2(n j iaa aa aj iij ij，又因为 A 是对称正定矩阵，满足 n j i a aji ij,2,1,，所以)2(111 1111 1)2(jij ijij iij ijaaa aaaa aa a，即2A 是对称矩阵。3、设kL为指标为k的初等下三角矩阵（除第k列对角元以下元素外，kL和单位阵I 相同），即 1,1.11.1kk kn kLmm 求证当,i j k 时，k ij k ijL I

10、L I 也是一个指标为 k 的初等下三角矩阵，其中ijI为初等置换矩阵。4、试推导矩阵A 的 Crout 分解 A=LU的计算公式，其中 L 为下三角矩阵，U 为单位上三角矩阵。本题不推导。参见书上例题。P147 页。5、设Ux d，其中U为三角矩阵。（1）就 U 为上及下三角矩阵推导一般的求解公式，并写出算法（2）计算解三角方程组Ux d 的乘除法次数（3）设U为非奇异矩阵，试推导求1U的计算公式 本题考查求解公式的一般方法，可从第 n 个元素开始，逐步计算 n-1,1 时对应的求解公式。解法，略。6、证明：（1）如果A是对称正定矩阵，则1A也是对称正定矩阵（2）如果A是对称正定矩阵，则A可

11、以唯一地写成TA L L，其中L是具有正对角元的下三角矩阵 均是对称正定矩阵的性质。应予以记住。7、用列主元消去法解线性方程组 精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢6 1 2 31 2 31 2 312 3 3 1518 3 156x x xx x xx x x 并求出系数矩阵 A 的行列式的值 12 3 318 3 11 1 1A 12 3 3 15|18 3 1 151 1 1 6A b 使用列主元消去法，有 12 3 3 15|18 3 1 151 1 1 6A b 18 3 1 1512 3 3 151 1 1 6 18 3 1 1570 1 537

12、17 3106 18 6 18 3 1 157 17 3106 18 670 1 53 18 3 1 157 17 3106 18 666 660 021 7 A 的行列式为-66 精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢7 方程组的解为 X1=1,x2=2,x3=3 8、用直接三角分解（Doolittle 分解）求线性方程组的解 1 2 31 2 31 2 31 1 194 5 61 1 183 4 512 82x x xx x xx x x 本题考查 LU分解。解：1 1 14 5 61 1 13 4 511 22A 1 0 011 0311 12L 1 1

13、14 5 611 13060 909570 0540U 9、用追赶法解三对角方程组b Ax，其中 2 1 0 0 01 2 1 0 00 1 2 1 00 0 1 2 10 0 0 1 2A，00001b。解：追赶法实际为 LU分解的特殊形式。设 U 为、单位上三角矩阵。有（1）计算i的递推公式 精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢8 1 1 1/1/2 0.5 c b 2 2 2 2 1/()1/(2(1)(0.5)2/3 c b a 3 3 3 3 2/()1/(2(1)(2/3)3/4 c b a 4 4 4 4 3/()1/(2(1)(3/4)4/5

14、c b a（2）解 Ly=f 1 1 1/1/2 y f b 2 2 2 1 2 2 1()/()(0(1)(1/2)/(2(1)(0.5)1/3 y f a y b a 3 3 3 2 3 3 2()/()(0(1)(1/3)/(2(1)(2/3)1/4 y f a y b a 4 4 4 3 4 4 3()/()(0(1)(1/4)/(2(1)(3/4)1/5 y f a y b a 5 5 5 4 5 5 4()/()(0(1)(1/5)/(2(1)(4/5)1/6 y f a y b a（3）解 UX=y 5 51/6 x y 4 4 4 51/5(4/5)1/6 1/3 x y x

15、3 3 3 41/4(3/4)1/3 1/2 x y x 2 2 2 31/3(2/3)1/2 2/3 x y x 1 1 1 22(1/2)2/3 5/6 x y x 10、用改进的平方根法解方程组 6541 3 13 2 11 1 2321xxx。本题明确要求使用平方根法进行求解。实际考查的 LDU分解。见 P157 923,97,9103 2 1 x x x。11、下列矩阵能否分解为LU（其中 L 为单位下三角阵，U为上三角阵）？若能分解，那么分解是否唯一。7 6 41 4 23 2 1A，1 3 31 2 21 1 1B，46 15 615 5 26 2 1C。精品好文档，推荐学习交流

16、 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢9 LU分解存在的条件 一个可逆矩阵可以进行 LU 分解当且仅当它的所有子式都非零。如果要求其中的 L 矩阵（或U 矩阵）为单位三角矩阵，那么分解是唯一的。同理可知，矩阵的 LDU可分解条件也相同，并且总是唯一的。即使矩阵不可逆，LU 仍然可能存在。实际上，如果一个秩为 k 的矩阵的前 k 个顺序主子式不为零，那么它就可以进行 LU分解，但反之则不然。解：因为 A的一、二、三阶顺序主子式分别为 1，0，-10，所以 A不能直接分解为三角阵的乘积，但换行后可以。因为 B 的一、二、三阶顺序主子式分别为 1，0，0，所以 B 不能分解为三角阵的乘积。因

17、为 C 的一、二、三阶顺序主子式分别为 1，5，1，所以 C 能够分解为三角阵的乘积，并且分解是唯一的。12、设 3.0 1.05.0 6.0A，计算 A的行范数，列范数，2-范数及 F-范数。本题考查的是矩阵范数的定义及求法 行范数 0.6+0.5=1.1 列范数 0.5+0.3=0.8 2-范数的计算需要用到特征值，特征值的计算可以使用幂法进行计算，也可以直接求。TA A的最大特征值为 0.3690 所以 2-范数为 0.6074 F-范数 0.8426 13、求证：（a）x n x x1；（b）F FA A An 21。根据定义求证。x n x n x x x xin inii in i

18、 1111max max。22,11 1 nijFi jA an n 2max2()TA A A 14、设n nR P且非奇异，又设x为nR上一向量范数，定义Px xp。试证明px是精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢10 nR上向量的一种范数。根据向量范数的定义来证明：要求就有正定性，齐次性，三角不等式等性质。显然 0 Px xp，p px c Px c Pcx cx、p p px x Px Px Px Px x x P x x2 1 2 1 2 1 2 1 2 1)(，从而px 是nR上向量的一种范数。15、设n nR A为对称正定，定义 21),(x A

19、x xA，试证明Ax是nR上向量的一种范数。根据向量范数的定义来证明：要求就有正定性，齐次性，三角不等式等性质。显然12(,)0TAx Ax x x Ax，1 122 2(,c)()(,)TA Acx Acx x c x Ax c Ax x c x 121 2 1 2 1 2 1 2 1 21 1 2 2 1 2(),()()()TAT TA Ax x A x x x x x x A x xx Ax x Ax x x 16、设 A为非奇异矩阵，求证101minyAyyA。因为yAy Ayyx AAx Axx AAyx A yx x00110101min1max max max1，所以得证 10

20、1minyAyyA 17、矩阵第一行乘以一数，成为21 1A，证明当23 时，()cond A有最小值。本题考查条件数的计算 1()cond A A A 首先计算 A的逆阵 精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢11 11112A 2|3|2|3|3|2A，当23，取得最小值为 2 112|A，当|取值越大，则最小值为 2 从而 11()(2)max 3,2 cond A A A，又当32 时，7 2)223(2,3 max)21()(A cond。当32 时，7 6 3 3)21(2,3 max)21()(A cond。综上所述，7)(A cond 时最小，这

21、时32，即32。18、设98 9999 100A，计算 A的条件数),2()(v A condv 由98 9999 100A 可知，100 9999 981A，从而 19801 1960219602 19405100 9999 98100 9999 98)()(1 1A AT，由 0 1 3920619801 1960219602 19405)()(2 1 1 A A IT，19405 1960219602 1980198 9999 10098 9999 100A AT，由 0 1 3920619405 1960219602 198012 A A IT，精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流

22、，如有侵权请联系网站删除 谢谢12 可得 384277608 19603212 A A，从而 39206 384277608 19603)(2212 A A A cond。1991A，199 A，从而 39601 199 199)(1 A A A cond。19、证明：如果A是正交矩阵，则2(A)1 cond 若 A 是 正 交 阵，则TA A 1，从 而 I A AT，I AA A AT 1 1 1)(，故1212 A A，1)(2212 A A A cond。20、设,n nA B R，且为n nR上矩阵的算子范数，证明：()()()cond AB cond A cond B)()()()

23、()(1 11 1 1 1 1B cond A cond B B A AB A A B AB A B AB AB AB cond 21、设Ax b，其中A为非奇异矩阵，证明：（1）TA A为对称正定矩阵；（2）22()()Tcond A A cond A 2()()0T Tx A A x Ax Ax b，所以TA A为对称正定矩阵。22max()()min()TTA Acond AAA 由于TA A为对称正定矩阵，所以T TA A AA 精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢13 则122 22222()()max()()min()()max()()min()(

24、)max()min()max()min()max()min()()T T TT T TT T TT T TT T TT TT TTTTTcond A A A A A AA A A AA A A AAA A AAA A AA AA AAA AAA AAAA AAAcond A 精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢14 第 7 章 复习与思考题 1.什么是方程的有根区间？它与求根有何关系？P213，若(),f x C a b 且()(b)0 f a f，根据连续函数性质可知()0 f x 在,a b内至少有一个实根，这时称,a b为()0 f x 的有根区间。2.

25、什么是二分法？用二分法求()0 f x 的根，f要满足什么条件？P213 一般地，对于函数()0 f x 如果存在实数 c,当 x=c 时，若()0 f c,那么把 x=c 叫做函数()0 f x 的零点。解方程即要求()0 f x 的所有零点。假定()0 f x 在区间（x，y）上连续，先找到 a、b 属于区间（x，y），使(a)(b)0 f f，说明在区间(a,b)内一定有零点，然后求(a b)/2)f,现在假设(a)0,(b)0,f f a b 果(a b)/2)0 f，该点就是零点，如果(a b)/2)0 f,则在区间(a b)/2),b 内有零点，从开始继续使用中点函数值判断。如果(

26、a b)/2)0 f，则在区间a,(a b)/2)内有零点，从开始继续使用中点函数值判断。这样就可以不断接近零点。通过每次把 f(x)的零点所在小区间收缩一半的方法，使区间的两个端点逐步迫近函数的零点，以求得零点的近似值，这种方法叫做二分法。从以上可以看出，每次运算后，区间长度减少一半，是线形收敛。3.什么是函数()0 x 的不动点？如何确定()x 使它的不动点等价于()f x的零点 P215.将方程()0 f x 改写成等价的形式()x x，若要求*x满足(*)0 f x，则*(*)x x；反之亦然，称*x为函数()x 的一个不动点。4.什么是不动点迭代法？()x 满足什么条件才能保证不动点

27、存在和不动点迭代序列收敛于()x 的不动点 P215 精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢15 求()0 f x 的零点就等价于求()x 的不动点，选择一个初始近似值0 x，将它代入()x x 的右端，可求得 1 0()x x，如此反复迭代有 1(),0,1,2,.k kx x k，()x 称为迭代函数，如果对任何0,x a b，由1(),0,1,2,.k kx x k 得到的序列 kx有极限 lim*kkx x，则 称 迭 代 方 程 收 敛，且*(*)x x 为()x 的 不 动 点，故 称1(),0,1,2,.k kx x k 为不动点迭代法。5.什 么

28、 是 迭 代 法 的 收 敛 阶？如 何 衡 量 迭 代 法 收 敛 的 快 慢？如 何 确 定1()(0,1,2,.)k kx x k 的收敛阶 P219 设 迭 代 过 程1()k kx x 收 敛 于()x x 的 根*x，如 果 当k 时，迭 代 误 差*k ke x x 满足渐近关系式 1,0 kpkeC C conste 则称该迭代过程是 p 阶收敛的，特别点，当 p=1 时称为线性收敛，P1 时称为超线性收敛，p=2 时称为平方收敛。以收敛阶的大小衡量收敛速度的快慢。6.什么是求解()0 f x 的牛顿法？它是否总是收敛的？若(*)0 f x，*x是单根，f是光滑，证明牛顿法是局

29、部二阶收敛的。牛顿法：1()()kk kkf xx xf x 当|()|1kf x 时收敛。7.什么是弦截法？试从收敛阶及每步迭代计算量与牛顿法比较其差别。在牛顿法的基础上使用 2 点的的斜率代替一点的倒数求法。就是弦截法。收敛阶弦截法 1.618 小于牛顿法 2 计算量弦截法 牛顿法（减少了倒数的计算量）精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢16 8.什么是解方程的抛物线法？在求多项式全部零点中是否优于牛顿法？P229 设已知方程()0 f x 的三个近似根，1 2,k k kx x x，以这三点为节点构造二次插值多项式 p（x），并适当选取 p2（x）的一个

30、零点1 kx作为新近似根，这样确定的迭代过程称为抛物线法。抛物线法的收敛阶 1.840 大于弦截法 1.618，小于牛顿法 2 可用于所想是的实根和复根的求解。9.什么是方程的重根？重根对牛顿法收敛阶有何影响？试给出具有二阶收敛的计算重根方法。10.什么是求解 n 维非线性方程组的牛顿法？它每步迭代要调用多少次标量函数（计算偏导数与计算函数值相当）11.判断下列命题是否正确：（1）非线性方程（或方程组）的解通常不唯一（正确）（2）牛顿法是不动点迭代的一个特例（正确）（3）不动点迭代法总是线性收敛的（错误）（4）任何迭代法的收敛阶都不可能高于牛顿法（正确）（5）求多项式()p x 的零点问题一定

31、是病态的问题（错误）（7）二分法与牛顿法一样都可推广到多维方程组求解（错误）（8）牛顿法有可能不收敛（正确）（9）不动点迭代法1()k kx x，其中*(*)x x，若|(*)|1 x 则对任意处置 x0 迭代都收敛。（对）（10）弦截法也是不动点迭代法的特例（正确）精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢17 习题 1、用二分法求方程 0 12 x x 的正根，要求误差 05.0。解 令 1)(2 x x x f，则 1)0(f，1)2(f，所以有根区间为 2,0；又因为 1)1(f，所以有根区间为 2,1；25.0 1 5.1 5.1)5.1(2 f，所以有根

32、区间为 2,5.1；01651 75.1 75.1)75.1(2 f，所以有根区间为 75.1,5.1；06411 625.1 625.1)625.1(2 f，所以有根区间为 625.1,5.1；02563111691)1691()1691(2 f，所以有根区间为625.1,1691；取 59375.132191)8511691(21*x，这时它与精确解的距离 05.0321)1691 625.1(21。2.为求方程 0 12 3 x x 在 5.10 x 附近的一个根，设将方程改写成下列等价形式，并建立相应的迭代公式：1）2/1 1 x x，迭代公式21/1 1k kx x；2）2 31 x

33、 x，迭代公式 3211k kx x；3）112xx，迭代公式 1/11 k kx x；试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种公式求出具有四位有效数字的近似值。解 1）设211)(xx，则32)(xx，从而 127165.12)5.1(3，所以迭代方法局部收敛。2）设3 21)(x x，则 322)1(32)(x x x，从而 116916)5.1 1(5.132)5.1(3322，所以迭代方法局部收敛。3）设11)(xx，则 23)1(21)(x x，从而 1 2)5.0(21)5.1(23，精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢18 所以迭代方法发散。4）设

34、 1)(3 x x，则 213 2)1(23)(x x x，从而 1389)819(5.123)5.1(21，所以迭代方法发散。3.比较求 0 2 10 x ex的根到三位小数所需的计算量：1）在区间 1,0 内用二分法；2）用迭代法 10/)2(1kxke x，取初值 00 x。解 1）使用二分法，令 2 10)(x e x fx，则 1)0(f，8)1(e f，有根区间为 1,0；0 3)5.0(5.0 e f，有根区间为 5.0,0；0 5.0)25.0(25.0 e f，有根区间为 25.0,0；0 75.0)125.0(125.0 e f，有根区间为 125.0,0；0 5605.0

35、813)161(161 e f，有根区间为81,161；0 03578.01617)323(323 e f，有根区间为323,161；03239)645(645 e f，有根区间为323,645；06473)12811(12811 e f，有根区间为323,12811；0128141)25623(25623 e f，有根区间为323,25623；0256277)51247(51247 e f，有根区间为51247,25623；0512559)102493(102493 e f，有根区间为102493,25623；从而 090332.02048185)10249325623(21*x，共二分 1

36、0 次。精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢19 2）使用迭代法1021kxkex，则 1.010201ex，0894829.01021.02ex，0906391.01020894829.03ex，0905126.01020906391.04ex，即 0905126.04*x x，共迭代 4 次。4.给定函数)(x f，设对一切 x，)(x f 存在且 M x f m)(0，证明对于范围M/2 0 内的任意定数，迭代过程)(1 k k kx f x x 均收敛于()0 f x 的根*x。证明 由)(1 k k kx f x x 可知，令)()(x f x x，

37、则)(1)(x f x，又因为 M x f m)(0，M20，所以 1)(1 x，即 1)(x，从而迭代格式收敛。5.用斯特芬森迭代法计算第 2 题中（2）和（3）的近似根，精确到510。斯特芬森迭代法是一种加速的方法。是埃特金加速方法与不动点迭代结合。6.设2()()()()()x x p x f x q x f x，试确定函数()p x 和()q x，使求解()0 f x 且以()x 为迭代函数的迭代法至少三阶收敛。7.用 下 列 方 法 求 0 1 3)(3 x x x f 在 20 x 附 近 的 根。根 的 准 确 值 87938524.1*x，要求计算结果准确到四位有效数字。（1）

38、牛顿法（2）弦截法，取0 12,1.9 x x（3）抛物线法，取0 1 21,3,2 x x x 解 1）3 31 23 31 3)()(23231 kkkk kkkkk kxxxx xxx fx fx x，20 x，888889.19173 2 31 2 2231 x，87945.15616105553)917(31)917(2232 x，迭代停止。精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢20 2）31)()()1 3()1 3(1 3)()()()(21 121 1113133111 k k k kk k k kk kk k k kk kkk kk kkk k

39、x x x xx x x xx xx x x xx xxx xx f x fx fx x，20 x，9.11 x，881094.1841158241.882.153 2 2 9.1 9.11)2 9.1(2 9.12 22 x 879411.15462043211026542442841 61.0 841 9.1 1582 1582841 42.95581433 9.1 9.18411582)8411582(1)9.18411582(9.184115822 222 23 x，迭代停止。3）,)(4)(2 121 k k k kkk kx x x f x fx fx x，其中)(,1 2 1 1

40、 k k k k k k kx x x x x f x x f，2,3,12 1 0 x x x，故 3)(0 x f，17)(1 x f，1)(2 x f，101 3)3(17)()(,0 10 11 0 x xx f x fx x f，163 217 1)()(,1 21 21 2x xx f x fx x f，61 210 16,0 21 0 2 12 1 0 x xx x f x x fx x x f，10)3 2(6 16，9465745.176 10126 1 4 10 101223 x，下略。8.分别用二分法和牛顿法求 0 tan x x 的最小正根。解：0 是函数的一个根，02

41、时，x 单调递增，tanx 单调递减，趋于负无穷。在此区间内，函数没有根。所以，最小正根大于2.当 x 接近且大于2时，函数值为正，当 x 接近且大于32时，函数值为负。因此，最小正根区间为（2,32）,选择 x1=2,函数值为-0.1850 按二分法计算，略，493424.4*x。精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢21 按牛顿迭代法，其迭代公式为 1tan()()tan 1k kkk k kk kx xf xx x xf x x c，取初始值 x=4.6，得493424.4*x 9.研究求 a 的牛顿公式 0),(210 1 xxax xkk k，证明对一

42、切,2,1 k，a xk 且序列,2 1x x 是递减的。证：显 然，0 kx，又 因 为 02)()(2121 kkkk kxa xaxax a x，所 以,2,1,k a xk，又 02)(2121 kkkkk k kxx axxax x x，所以序列是递减的。10.对于 0)(x f 的牛顿公式)(/)(1 k k k kx f x f x x，证明 22 1 1)/()(k k k k kx x x x R 收敛到)(2/()(*x f x f，这里*x 为 0)(x f 的根。证：21 1 21 122 2()/()()/()()/()k k k k kk kk kR x x x x

43、f x f xf x f x 21 1 121 1()/()()/()()/()k k k k kk kk kR x x x xf x f xf x f x 1 112 21 1 2 2()/()()/()()/()()/()k k k kk kk k k kf x f x f x f xR Rf x f x f x f x 11.用牛顿法（4.13）和求重根迭代法（4.14）计算方程2()sin 02xf x x 的一个近似根，准确到510，初始值02x。牛顿法（4.13），m=2。12sin21sin cos2 2()()kkkk k kkkk kxxf xx x m xxf xx x 精

44、品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢22 需要计算到510，取3.1415926。(7)*1.8955 x x 求重根迭代法（4.14）22212sin 0.5 2 sin 0.5 cos 0.52 sin 0.5 cos 0.5 sin 0.5 2sin cos 0.()()()()(5)k kk kk k kx x x x xx x x x x xf x f xx xf x f x fxx 需要计算到510，取3.1415926。(13)*1.8955 x x。注：matlab 编程计算得出的结果。12.应用牛顿法于方程 03 a x，导出求立方根 3 a

45、的迭代公式，并讨论其收敛性。312 2()12()3 3k kk k k kk k kf x x a ax x x xf x x x 1232 2()12()33 3 3kk k k k k kk kk kk kf x ax x x x x xf x xx a x ax x 当30 x a 时，31203kk kka xx xx，说明迭代数列递增。当30 x a 时，31203kk kka xx xx，说明迭代数列递减。因此，迭代公式312 2()12()3 3k kk k k kk k kf x x a ax x x xf x x x 是收敛的。13.应用牛顿法于方程 0 1)(2 xax

46、f，导出求 a 的迭代公式，并求 115 的值。2132 3331()()23 1 32 232 2k kk k kk kk k kkkkaf x xx x xf x axax ax xax axxa 精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢23 令012341010.652210.723110.723810.7238xxxxx 14.应用牛顿法于方程 0)(a x x fn和 0 1)(nxax f，分别导出求 n a 的迭代公式，并求21)/()(limknknkx a x a。0)(a x x fn的迭代公式：1111()()(1)1nk kk k knk

47、knknkknkf x x ax x xf x nxn x anxn axn nx n n nknknknknnkknk knnkkknnkknkknknkana n a nnx n a nnx n x a n nx n nnx x ax a nx anxaxnnax ax a21)1(2)1()1(2)1(lim)1(2)1(lim)(2)(1(lim)()1(lim)(lim112121 0 1)(nxax f的迭代公式 1111()1()(1)11nk kk k knk knknknkkf x axx x xf x naxn axnaxx nxn na 精品好文档，推荐学习交流 仅供学习

48、与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢24 nnnnkkknnkkknnkkknnk knkknnk k nkknknkanaa nnanx nx a naa x nx a nax n a nx a nax ax n a nax anax ax nax ax a212)1(2)1(lim)(2)(1(lim)(2)1()1(lim)()1(lim)()1(lim)(lim11212121 15.证明迭代公式a xa x xxkk kk2213)3(是计算 a 的三阶方法。假定初值0 x 充分靠近*x，求21)/()(limk kkx a x a。解：aa aa xa x x ax aa x x

49、aa x x a x ax aa xa x xax ax akkk kkkk kk k kkkkk kkkkk41)(3131lim)3()()(lim)3()()3()3(lim)(3)3(lim)(lim222 332 32 232231 16.用抛物线法求多项式4 3 2()4 10 1.25 5 1.5 p x x x x x 的两个零点，再利用降阶求出全部零点。17.非线性方程组2 21 22 31 2 13 03 1 0 x xx x x 在(0.4,0.7)T 附近有一个解，构造一个不动点迭代法，使它能收敛到这个解，并计算精确到510（按）。18.用牛顿法解方程组2 22 211x yx y 取(0)1.6,1.2Tx。