中考数学辅导之—圆.pdf

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1、 2009 中考数学辅导之圆 _ _ 2009 中考数学辅导之圆 本次我们一起来复习几何的最后一章圆.该章是中考中考查知识点最多的一章之一.本章包含的知识的变化、所含定义、定理是其它章节中所不能比的.本章分为四大节:1.圆的有关性质;2.直线和圆的位置关系;3.圆和圆的位置关系;4.正多边形和圆.一、基本知识和需说明的问题:(一)圆的有关性质,本节中最重要的定理有 4 个.1.垂径定理:本定理和它的三个推论说明:在(1)垂直于弦（不是直径的弦）;(2)平分弦;(3)平分弦所对的弧;(4)过圆心(是半径或是直径)这四个语句中,满足两个就可得到其它两个的结论.如垂直于弦（不是直径的弦）的直径,平分

2、弦且平分弦所对的两条弧。条件是垂直于弦（不是直径的弦）的直径，结论是平分弦、平分弧。再如弦的垂直平分线,经过圆心且平分弦所对的弧。条件是垂直弦,、分弦,结论是过圆心、平分弦.应用:在圆中,弦的一半、半径、弦心距组成一个直角三角形,利用勾股定理解直角三角形的知识,可计算弦长、半径、弦心距和弓形的高.2.圆心角、弧、弦、弦心距四者之间的关系定理：在同圆和等圆中,圆心角、弧、弦、弦心距这四组量中有一组系圆和圆的位置关系正多边形和圆一基本知识和需说明的问题一圆的有关性质本节中最重要的定理有个垂径定理本定两个就可得到其它两个的结论如垂直于弦不是直径的弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧条件是垂直于弦不是直

3、径平分弦应用在圆中弦的一半半径弦心距组成一个直角三角形利用勾股定理解直角三角形的知识可计算弦长半径弦心距_ _ 量相等,则其它各组量均相等.这个定理证弧相等、弦相等、圆心角相等、弦心距相等是经常用的.3.圆周角定理：此定理在证题中不大用,但它的推论,即弧相等所对的圆周角相等；在同圆或等圆中,圆周角相等,弧相等.直径所对的圆周角是直角,90 的圆周角所对的弦是直径,都是很重要的.条件中若有直径,通常添加辅助线形成直角.4.圆内接四边形的性质:略.(二)直线和圆的位置关系 1.性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.(有了切线,将切点与圆心连结,则半径与切线垂直,所以连结圆心和切点,这条辅助线是常用的

4、.)2.切线的判定有两种方法.若直线与圆有公共点,连圆心和公共点成半径,证明半径与直线垂直即可.若直线和圆公共点不确定,过圆心做直线的垂线,证明它是半径(利用定义证)。根据不同的条件,选择不同的添加辅助线的方法是极重要的.3.三角形的内切圆:内心是内切圆圆心,具有的性质是:到三角形的三边距离相等,还要注意说某点是三角形的内心.连结三角形的顶点和内心,即是角平分线.系圆和圆的位置关系正多边形和圆一基本知识和需说明的问题一圆的有关性质本节中最重要的定理有个垂径定理本定两个就可得到其它两个的结论如垂直于弦不是直径的弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧条件是垂直于弦不是直径平分弦应用在圆中弦的一半半径弦

5、心距组成一个直角三角形利用勾股定理解直角三角形的知识可计算弦长半径弦心距_ _ 4.切线长定理:自圆外一点引圆的切线，则切线和半径、圆心到该点的连线组成直角三角形,还要注意,A 图形中有射影定理的基本图形.O D P B 5.弦切角是与圆有关的第三种角,当条件是切线时,往往找弦切角,看弦切角所对的弧,再找弧所对的圆周角得两角相等.6.和圆有关的比例线段：理解定理,会用.(三)圆和圆的位置关系 1.记住 5 种位置关系的圆心距 d 与两圆半径之间的相等或不等关系.会利用 d 与 R,r 之间的关系确定两圆的位置关系,会利用 d,R,r 之间的关系确定两圆的位置关系.2.相交两圆,添加公共弦,通过

6、公式弦将两圆连结起来.相切两圆,添加公切线,利用两圆的公切线将两圆连结起来.3.公切线的长的计算 A B L O1 O2 R-r 系圆和圆的位置关系正多边形和圆一基本知识和需说明的问题一圆的有关性质本节中最重要的定理有个垂径定理本定两个就可得到其它两个的结论如垂直于弦不是直径的弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧条件是垂直于弦不是直径平分弦应用在圆中弦的一半半径弦心距组成一个直角三角形利用勾股定理解直角三角形的知识可计算弦长半径弦心距_ _ d 外公切线：两圆半径差 R-r,公切线的长 L分别是 Rt的两直角边，圆心距 d 是斜边.内公切线：R+r l d 两圆半径和 R+r,内公切线 L 和圆

7、心距 d 构成直角三角形.可围绕这个三角形的三边进行计算.(四)正多边形和圆 注意:公式的应用 1.已知 R,求边长nRan0180sin2,求边心距nRrn0180cos 若已知边长,求边心距,可先利用nRan0180sin2求出半径,再利用nRrn0180cos,求边心距.如已知正三角形的边长是a,求边心距.解:3180sin20 Ran aanRraR632133180cos,330 系圆和圆的位置关系正多边形和圆一基本知识和需说明的问题一圆的有关性质本节中最重要的定理有个垂径定理本定两个就可得到其它两个的结论如垂直于弦不是直径的弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧条件是垂直于弦不是直径平

8、分弦应用在圆中弦的一半半径弦心距组成一个直角三角形利用勾股定理解直角三角形的知识可计算弦长半径弦心距_ _ 2.同圆的内接正 n 边形和外切正 n 边形的边长、半径、边心距、周长之比是 cos200)180(cos,180nn面积之比是.如同圆内接正六边形和外切正六边形的面积之比是43)23()6180(cos220.3.弧长公式180Rnl 扇形面积公式lRSRnS213602或 要求熟练应用公式,如怎样利用圆心角、半径求弧长或扇形面积,怎样利用弧长和圆心角求半径.二、本次练习:(一)填空题:1.已知 OC是半径,AB 是弦,ABOC于 E,CE=1,AB=10,则OC=_.2.AB是弦,O

9、A=20cm,AOB=120,则 SAOB=_.3.在O 中,弦 AB,CD互相垂直于 E,AE=2,EB=6,ED=3,EC=4,则O的直径是_.4.在O中弦 AB,CD互相平行,AB=24cm,CD=10cm,且 AB与CD之间的距离是 17cm,则O的半径是_cm.5.圆的半径是 6cm,弦 AB=6cm,则劣弧 AB的中点到弦 AB的中点的距离是_cm.6.在O中,半径长为 5cm,ABCD,AB=6,CD=8,则 AB,CD之间的距离是_cm.系圆和圆的位置关系正多边形和圆一基本知识和需说明的问题一圆的有关性质本节中最重要的定理有个垂径定理本定两个就可得到其它两个的结论如垂直于弦不是

10、直径的弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧条件是垂直于弦不是直径平分弦应用在圆中弦的一半半径弦心距组成一个直角三角形利用勾股定理解直角三角形的知识可计算弦长半径弦心距_ _ 7.圆内接四边形 ABCD 中,A:B:C=2:3:6,则四边形的最大角是_度.8.在直径为 12cm的圆中,两条直径 AB,CD互相垂直,弦 CE交 AB于 F,若 CF=8cm,则 AF的长是_cm.9.已知 PA切O于点 A,PA=4cm,PCD是割线,PC=CD,若 CD垂直平分半径 OF,则O的半径 OF=_.D F O C P A 10.已知 CD切O于 D,割线 CBA交O于 B,A,且 CBA过 O点,切线

11、BE交 CD于 E点,若 DE:EC=1:2,则 AC:CD=_.E D C B O A 11.已知:AB 是O的直径,P 是 AB延长线上一点,PC 切O于 C,CDAB于 D,PB=4,AB=12,sin APC=53,则 CD=_.12.已知 PA,PB分别切O于 A,B 两点,AC 是O的直径,PC 交O于 D点,APB=60 AB=3cm,则AC=_cm,PD=_cm.系圆和圆的位置关系正多边形和圆一基本知识和需说明的问题一圆的有关性质本节中最重要的定理有个垂径定理本定两个就可得到其它两个的结论如垂直于弦不是直径的弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧条件是垂直于弦不是直径平分弦应用在圆

12、中弦的一半半径弦心距组成一个直角三角形利用勾股定理解直角三角形的知识可计算弦长半径弦心距_ _ 13.两圆半径分别是 4,12,外公切线长是 15,两圆的位置关系是_.14.两圆相交于 A,B,外公切线与两圆切于 C,D,则CAD+CBD=_ 度.15.两圆半径分别是 R,r,(Rr)内公切线互相垂直,则内公切线长是_,圆心距是_.16.两圆半径长是方程035122 xx的两根,圆心距是 2,则两圆的位置关系是_.17.如图:PT 切O于 T,PAB是过圆心 O的割线,如果PT=4,PA=2,则 cosBPT 等于_.O B A P T 18.已知 CD是半圆的直径,ABCD于 B,设AOB=

13、,则22tgBDBC的值是_.A C O B D 19.正三角形的边长是a,则内切圆与外接圆组成的环形面积是_.系圆和圆的位置关系正多边形和圆一基本知识和需说明的问题一圆的有关性质本节中最重要的定理有个垂径定理本定两个就可得到其它两个的结论如垂直于弦不是直径的弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧条件是垂直于弦不是直径平分弦应用在圆中弦的一半半径弦心距组成一个直角三角形利用勾股定理解直角三角形的知识可计算弦长半径弦心距_ _ 20.在 RtABC中,C=90,O是ABC的内切圆,切点是 D,E,F.AD 交 BC交于 G,若 AC=3,CG=1,则O的半径是_.C D E G O A F B 21

14、.已知扇形的圆心角是 120,扇形弧长是 20,则扇形=_.22.边长是32的正三角形的边心距是_.23.已知正六边形的半径是 6,则该正六边形的面积是_.(二)证明题:1.已知 AB是O的直径,AC 是弦,直线 CE切O于 C,ADCE,垂足是 D,求证:AC 平分BAD.B O A E C D 系圆和圆的位置关系正多边形和圆一基本知识和需说明的问题一圆的有关性质本节中最重要的定理有个垂径定理本定两个就可得到其它两个的结论如垂直于弦不是直径的弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧条件是垂直于弦不是直径平分弦应用在圆中弦的一半半径弦心距组成一个直角三角形利用勾股定理解直角三角形的知识可计算弦长半径

15、弦心距_ _ 2.已知 AB是O的直径,P 是O外一点,PCAB于 C,交O于 D,PA交O于 E,BE交 PC于 F点 求证:CD2=CF CP P E D F A O C B 3.在ABC中,AB=AC,以 AB为直径做O,交 BC于 D,过 D点做O的切线交 AC于 E,连结 BE交O于 F 求证:(1)OE AC;(2)AEEC=BE EF A O F E B D C 4.已知 PA是ABC外接圆珠笔的切线,P 是 BC延长线上一点,求证:PB:PC=AB2:AC2.A P C 系圆和圆的位置关系正多边形和圆一基本知识和需说明的问题一圆的有关性质本节中最重要的定理有个垂径定理本定两个就

16、可得到其它两个的结论如垂直于弦不是直径的弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧条件是垂直于弦不是直径平分弦应用在圆中弦的一半半径弦心距组成一个直角三角形利用勾股定理解直角三角形的知识可计算弦长半径弦心距_ _ B 5.已知 AB是大圆直径,CE 切O于 C,BC是小圆直径 求证:(1)DE AC;(2)DEAC=2CD2;C (3)DE=36,cosCDE=53 O E 求O的半径.A O D B 6.已知O1和O2外切于点 P,BH切O2于 B,求证:(1)BCP HAP H (2)若 AP:PB=3:2,且 C为 B HB中点,求 HA:BC的值.O1 O2 A 7.如图:O和O1,内切于 P

17、,PA,PB 交 P O1于 A,B,AB 切O于 D,AD交O1 1 2 C 系圆和圆的位置关系正多边形和圆一基本知识和需说明的问题一圆的有关性质本节中最重要的定理有个垂径定理本定两个就可得到其它两个的结论如垂直于弦不是直径的弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧条件是垂直于弦不是直径平分弦应用在圆中弦的一半半径弦心距组成一个直角三角形利用勾股定理解直角三角形的知识可计算弦长半径弦心距_ _ 于 E,AG切O1于 A,AG,AD的延长线交于 G,M O N 证明:(1)1=2;O1 D B (2)PAPB=PD PE;A (3)PAPB=PD2+AD BD;E (4)AB=2AH;H (5)BE

18、ABBAG22cos.G 8.如图:AB 是O的直径,PB 切O B 于 B,PA交O于 C,APB的平分 线分别交 BC,AB于点 D,E.交O 于点 F,A=60 且线段 AE,BD 的长 F E D P 是方程)(,0322是常数的两根kkxx C 求证:(1)PA BD=PB AE;A (2)O的直径长为常数k;(3)tgFPA的值.系圆和圆的位置关系正多边形和圆一基本知识和需说明的问题一圆的有关性质本节中最重要的定理有个垂径定理本定两个就可得到其它两个的结论如垂直于弦不是直径的弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧条件是垂直于弦不是直径平分弦应用在圆中弦的一半半径弦心距组成一个直角三角形

19、利用勾股定理解直角三角形的知识可计算弦长半径弦心距_ _ 三、本期答案(一)填空题:1.13 2.3100 3.65 4.13cm 5.336 6.1或7cm 7.135 8.726726或 9.632 10.1:3 11.524 12.773 13.外离 14.180 15.R+r,2(R+r)16.内切 17.54 18.1 19.24a 20.43 21.300 22.1 23.543(二)证明题:1.略 2.连结 AB,BD,由射影定理得 CD2=AC CB,再证BCF APC.3.(1)连结 OD,则 OD DE,OBD是等腰三角形,OBD=ODB=C,OD AC,OD AC.(2)

20、由切割线定理得 ED2=BE EF,连结 AD,由射影定理得DE2=AE EC,AE EC=BE EF.4.ACP BAP 2222,PAPBACABPAPBACAB PBPCPA2 PCPBPBPCPBACAB222 5.(1)ACB和CDB都 Rt CAD=BCD=EDB DEAC 系圆和圆的位置关系正多边形和圆一基本知识和需说明的问题一圆的有关性质本节中最重要的定理有个垂径定理本定两个就可得到其它两个的结论如垂直于弦不是直径的弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧条件是垂直于弦不是直径平分弦应用在圆中弦的一半半径弦心距组成一个直角三角形利用勾股定理解直角三角形的知识可计算弦长半径弦心距_ _

21、(2)ACD CDF DEACDFACCDCDDFACCD21,2 DEACCD22.6.(1)略 (2)设 BP=x2,AP=x3,由割线定理得:ABBPBHBC BH=2BC 2BC2=210 x xBC5.由ABHAHP ABAPAHAHABAPAH2,xxAH532 xAH15 1:3:BCAH 7.(1)(2)(3)略.(4)连结 O,E 交 AB于 F 1=2 AE=BE,则 O1EAB,O1E平分 AB AB=2AF 且AFE=Rt AEF AEH AH=AF AB=2AH (5)FAE=2BAG BEABBEABAEAGBAG2212cos 8.(1)略.(2)AE,BD是方程

22、0322 kxx的根,AE+BD=k,BED=A+APE,BDE=DAP+BPE BDE=BED BD=BE AE+BE=k AB=k AB 是直径.(3)32 BDAE ABP是 Rt,APBPAsin APBP23 由(1)题结论AEPABDPA23 3223,23AEAEAEBD 2,42 AEAE,BD=3 3BE 332)32(3,BPABBPtgA 323323BPBEtgBPEtgFPA 冀教版六年级数学下册期末试卷 一、选择题(每空 1 分，共 20 分)系圆和圆的位置关系正多边形和圆一基本知识和需说明的问题一圆的有关性质本节中最重要的定理有个垂径定理本定两个就可得到其它两个的

23、结论如垂直于弦不是直径的弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧条件是垂直于弦不是直径平分弦应用在圆中弦的一半半径弦心距组成一个直角三角形利用勾股定理解直角三角形的知识可计算弦长半径弦心距_ _ 1、已知小圆的半径是 2cm，大圆的直径是 6cm,小圆和小圆的周长之比为()，面积的比是()。2、12 的因数有()个，选 4 个组成一个比例是()。3、一幅地图的比例尺是 1:40000000，把它改成线段比例尺是()，已知AB 两地的实际距离是 24 千米，在这幅地图上应画()厘米。4、3 时整，分针和时针的夹角是()，6 时整，分针和时针的夹角是()。5、一个比例的两个内项分别是 4 和 7，那么这

24、个比例的两个外项的积是()。6、用圆规画一个直径是 8cm 的圆，圆规两脚尖的距离是()cm,这个圆的位置由()决定。7、一个数，如果用 2、3、5 去除，正好都能被整除，这个数最小是()，如果这个数是两位数，它最大是()。8、如果一个长方体，如果它的高增加 2cm 就成一个正方体，而且表面积增加 24cm2,原来这个长方体的表面积是()。9、一个三位小数四舍五入取近似值是 2.80，这个数最大是()，最小是()。10、打一份稿件，甲单独做需要 10 小时，乙单独做需要 12 小时，那么甲、乙的工效之比是()，时间比是()。11、一个正方体的棱长总和是 24cm，这个正方体的表面积是()cm2,体积是()cm3。二、判断题(每题 1 分，共 10 分)系圆和圆的位置关系正多边形和圆一基本知识和需说明的问题一圆的有关性质本节中最重要的定理有个垂径定理本定两个就可得到其它两个的结论如垂直于弦不是直径的弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧条件是垂直于弦不是直径平分弦应用在圆中弦的一半半径弦心距组成一个直角三角形利用勾股定理解直角三角形的知识可计算弦长半径弦心距