最新高考数学理试题分类汇编：导数及其应用.pdf

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1、精品文档 精品文档 2017 年高考数学理试题分类汇编：导数及其应用 1.(2017 年新课标文)8函数sin21cosxyx的部分图像大致为 (C)2.(2017 年新课标卷理)11.若2x 是函数21()(1)xf xxaxe的极值点，则()f x的极小值为（）A.1 B.32e C.35e D.1【答案】A【解析】由题可得12121()(2)(1)(2)1xxxfxxa exaxexaxae 因为(2)0f ，所以1a ，21()(1)xf xxxe，故21()(2)xfxxxe 令()0fx，解得2x 或1x，所以()f x在(,2),(1,)单调递增，在(2,1)单调递减 所以()f

2、 x极小值(1)f1 1(1 1 1)1e ，故选 A。3.(2017 年新课标文)9已知函数()lnln(2)f xxx，则 (C)A()f x在（0,2）单调递增 B()f x在（0,2）单调递减 Cy=()f x的图像关于直线 x=1 对称 Dy=()f x的图像关于点（1,0）对称 4.(2017 年浙江卷)函数 y=f(x)的导函数()yfx的图像如图所示，则函数 y=f(x)的图像可能是 精品文档 精品文档【答案】D 【解析】原函数先减再增，再减再增，因此选 D.5.(2017 年新课标卷理)11已知函数211()2()xxf xxxa ee有唯一零点，则 a=A12 B13 C1

3、2 D1 【答案】C 6.(2017 年新课标卷理)21.已知函数 2lnf xaxaxxx，且 0f x。(1)求a；(2)证明：f x存在唯一的极大值点0 x，且2202ef x.【解析】（1）fx的定义域为 0，+设 gx=ax-a-lnx，则 fx=xgx,fx0等价于 0gx 因为 11=0，0,故1=0,而,1=1,得1ggxggxagaax 若 a=1，则 11 gx=x.当 0 x1 时，0,gxgx单调递减；当 x1 时，gx0，gx单调递增.所以 x=1是 gx的极小值点，故 1=0gxg 综上，a=1 知函数则在单调递增在单调递减的图像关于直线对称的图像关于点对称年浙江卷

4、函数的导函数的图像如图所示则函数案年新课标卷理已知函数且求证明存在唯一的极大值点且解析的定义域为设则等价于因为故而得若则当时单调递减当时因为所以是的唯一极大值点由得故由得因为是在的最大值点由得所以年新课标卷理若求的值已知函数设为整数且对精品文档 精品文档 又 210,0,102h ehh ，所以 h x在10,2有唯一零点 x0，在1,+2有唯一零点 1，且当 00,xx时，0h x；当 0,1xx时，0h x，当 1,+x时，0h x.因为 fxh x，所以 x=x0是 f(x)的唯一极大值点 由0000000得 ln2(1),故=(1)fxxxfxxx 由00,1x得014fx 因为 x=

5、x0是 f(x)在（0,1）的最大值点，由110,1,0efe得 120fxfee 所以2-202efx 21(2017 年新课标卷理)已知函数()f x=x1alnx（1）若()0f x ，求 a 的值；（2）设 m 为整数，且对于任意正整数 n，21111+1+)222nK()(1)(m，求 m 的最小值 解：（1）()1(0)afxxx 当0a 时，()0fx，0 x时()f x 不满足 当0a 时，()f x在(0,),(,)aa min()()1lnf xf aaaa 令 1lnyaaa 则 lnya y 在(0,1),(1,)max(1)0yy，即 0y 因此 1a 时min()0

6、f x，满足.（2）由（1）有 1lnxx 11ln(1)22nn 12111111ln(1)122222nnnni K min1m （21）(2017 年新课标文)设函数 f(x)=(1-x2)ex.（1）讨论 f(x)的单调性；（2）当 x0 时，f(x)ax+1，求 a 的取值范围.21.解 知函数则在单调递增在单调递减的图像关于直线对称的图像关于点对称年浙江卷函数的导函数的图像如图所示则函数案年新课标卷理已知函数且求证明存在唯一的极大值点且解析的定义域为设则等价于因为故而得若则当时单调递减当时因为所以是的唯一极大值点由得故由得因为是在的最大值点由得所以年新课标卷理若求的值已知函数设为整

7、数且对精品文档 精品文档（1）f(x)=(1-2x-x2)ex 令 f(x)=0得 x=-1-2，x=-1+2 当 x（-，-1-2）时，f(x)0；当x（-1-2，+）时，f(x)3a.知函数则在单调递增在单调递减的图像关于直线对称的图像关于点对称年浙江卷函数的导函数的图像如图所示则函数案年新课标卷理已知函数且求证明存在唯一的极大值点且解析的定义域为设则等价于因为故而得若则当时单调递减当时因为所以是的唯一极大值点由得故由得因为是在的最大值点由得所以年新课标卷理若求的值已知函数设为整数且对精品文档 精品文档 7.(2017 年全国卷文)函数2sin1xyxx 的部分图像大致为（）答案：D 12

8、.(2017 年全国卷文)已知函数)(2)(112xxeeaxxxf有唯一零点，则a（）A 21 B 31 C 21 D 1【解析】0)(22)(11xxeeaxxf 得1x 即1x为函数的极值点，故0)1(f 则0221a，21a 21.(2017 年全国卷文)设函数2()ln(21)f xxaxax.（1）讨论()f x的单调性；（2）当0a 时，证明3()24f xa.解：（1）由2()ln(21),(0)f xxaxax x 有1()221fxaxax 22(21)1axaxx.2 当0a 时，()10,()fxf x 单增 知函数则在单调递增在单调递减的图像关于直线对称的图像关于点对

9、称年浙江卷函数的导函数的图像如图所示则函数案年新课标卷理已知函数且求证明存在唯一的极大值点且解析的定义域为设则等价于因为故而得若则当时单调递减当时因为所以是的唯一极大值点由得故由得因为是在的最大值点由得所以年新课标卷理若求的值已知函数设为整数且对精品文档 精品文档 当0a 时，令()0fx，即22(21)10axax 解得1211(,2xxa 舍)2()2(21)1g xaxax .当0a 时，()g x开口向上，102a,()0g x,即()0fx，()f x单增.当0a 时，()g x开口向上，102a，此时，在1(0,)2a上，()0g x，即()0fx，()f x单减 在1(,)2a上

10、，()0g x，即()0fx，()f x单增6 （2）由（1）可得：max111()()ln()1224f xfaaa 故要证3()24f xa 即证113ln()12244aaa 即证11ln()1022aa 即证ln10(0)ttt 令()ln1g ttt 则1()1g tt 令()0g t，得1t max()(1)0g tg ()0g t.12 故原命题得证.（15）(2017 年山东卷理)若函数 xe f x（2.71828e L是自然对数的底数）在 f x的定义域上单调递增，则称函数 f x具有M性质.下列函数中所有具有M性质的函数的序号为 .2xf x 3xf x 3fxx 22f

11、 xx【答案】【解析】22xxxxee f xe 在R上单调递增，故 2xf x具有性质；33xxxxee f xe 在R上单调递减，故 3xf x不具有性质；3xxe f xex，令 3xg xex，则 32232xxxgxexexx ex ，当2x 时，0gx，当2x 时，0gx，3xxe f xex 在,2 上单调递减，在2,上单调递增，故 3f xx不具有性质；22xxe fxex，令 22xg xex，则 2222110 xxxgxexexex ，知函数则在单调递增在单调递减的图像关于直线对称的图像关于点对称年浙江卷函数的导函数的图像如图所示则函数案年新课标卷理已知函数且求证明存在唯

12、一的极大值点且解析的定义域为设则等价于因为故而得若则当时单调递减当时因为所以是的唯一极大值点由得故由得因为是在的最大值点由得所以年新课标卷理若求的值已知函数设为整数且对精品文档 精品文档 22xxe fxex在R上单调递增，故 22f xx具有性质（10）(2017 年天津卷文)已知a R，设函数()lnf xaxx的图象在点（1，(1)f）处的切线为 l，则 l 在 y 轴上的截距为_【答案】1 （20）(2017 年山东卷理)已知函数 22cosf xxx，cossin22xg xexxx，其中2.71828e L是自然对数的底数.（）求曲线 yf x在点,fx处的切线方程；（）令 h x

13、g xafxaR，讨论 h x的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.【答案】（）222yx.（）综上所述：当0a 时，h x在,0上单调递减，在0,上单调递增，函数 h x有极小值，极小值是 021ha ；当01a 时，函数 h x在,lna和0,lna和0,上单调递增，在ln,0a上单调递减，函数 h x有极大值，也有极小值，极大值是 2lnln2lnsin lncos ln2haaaaaa 极小值是 021ha ；当1a 时，函数 h x在,上单调递增，无极值；当1a 时，函数 h x在,0和ln,a 上单调递增，知函数则在单调递增在单调递减的图像关于直线对称的图像关于点对称年浙江卷函

14、数的导函数的图像如图所示则函数案年新课标卷理已知函数且求证明存在唯一的极大值点且解析的定义域为设则等价于因为故而得若则当时单调递减当时因为所以是的唯一极大值点由得故由得因为是在的最大值点由得所以年新课标卷理若求的值已知函数设为整数且对精品文档 精品文档 在0,lna上单调递减，函数 h x有极大值，也有极小值，极大值是 021ha ；极小值是 2lnln2lnsin lncos ln2haaaaaa.【解析】解：（）由题意22f又 22sinfxxx，所以2f，因此 曲线 yf x在点,f处的切线方程为 222yx，即 222yx.（）由题意得 22cossin222cosh xexxxa x

15、x，因为 cossin22sincos222sinxxhxexxxexxaxx 2sin2sinxexxa xx 2sinxeaxx，令 sinm xxx 则 1cos0m xx 所以 m x在R上单调递增.所以 当0 x 时，m x单调递减，当0 x 时，0m x 当 a0e0 xa 时，(2)当0a 时，ln2sinxah xeexx 由 0h x得 1lnxa，2=0 x 当01a 时，ln0a，知函数则在单调递增在单调递减的图像关于直线对称的图像关于点对称年浙江卷函数的导函数的图像如图所示则函数案年新课标卷理已知函数且求证明存在唯一的极大值点且解析的定义域为设则等价于因为故而得若则当时

16、单调递减当时因为所以是的唯一极大值点由得故由得因为是在的最大值点由得所以年新课标卷理若求的值已知函数设为整数且对精品文档 精品文档 当,lnxa 时，ln0,0 xaeehx，h x单调递增；当ln,0 xa时，ln0,0 xaeehx，h x单调递减；当0,x时，ln0,0 xaeehx，h x单调递增.所以 当lnxa时 h x取得极大值.极大值为 2lnln2lnsin lncos ln2haaaaaa，当0 x 时 h x取到极小值，极小值是 021ha ；当1a 时，ln0a，所以 当,x 时，0h x，函数 h x在,上单调递增，无极值；极小值是 2lnln2lnsin lncos

17、 ln2haaaaaa.综上所述：当0a 时，h x在,0上单调递减，在0,上单调递增，函数 h x有极小值，极小值是 021ha ；当01a 时，函数 h x在,lna和0,lna和0,上单调递增，在ln,0a上单调递减，函数 h x有极大值，也有极小值，极大值是 2lnln2lnsin lncos ln2haaaaaa 知函数则在单调递增在单调递减的图像关于直线对称的图像关于点对称年浙江卷函数的导函数的图像如图所示则函数案年新课标卷理已知函数且求证明存在唯一的极大值点且解析的定义域为设则等价于因为故而得若则当时单调递减当时因为所以是的唯一极大值点由得故由得因为是在的最大值点由得所以年新课标

18、卷理若求的值已知函数设为整数且对精品文档 精品文档 极小值是 021ha ；当1a 时，函数 h x在,上单调递增，无极值；当1a 时，函数 h x在,0和ln,a 上单调递增，在0,lna上单调递减，函数 h x有极大值，也有极小值，极大值是 021ha ；极小值是 2lnln2lnsin lncos ln2haaaaaa.（10）(2017 年山东卷文)若函数 exf x(e=2.71828L是自然对数的底数)在 f x的定义域上单调递增,学科网则称函数 f x具有 M 性质.下列函数中具有 M 性质的是（A）2xf x （B）2f xx （C）3xf x （D）cosf xx 【答案】A

19、【解析】对于 A,令()e2xxg x,11()e(22ln)e 2(1ln)022xxxxxg x,则()g x在 R 上单调递增,故()f x具有 M 性质,故选 A.（20）(2017 年山东卷文)已知函数 3211,32fxxaxaR.（）当 a=2 时,求曲线 yf x在点 3,3f处的切线方程；（）设函数 cossing xf xxaxx,讨论 g x的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.【答案】（）390 xy ,（）见解析.3x-y-9=0 知函数则在单调递增在单调递减的图像关于直线对称的图像关于点对称年浙江卷函数的导函数的图像如图所示则函数案年新课标卷理已知函数且求证明存

20、在唯一的极大值点且解析的定义域为设则等价于因为故而得若则当时单调递减当时因为所以是的唯一极大值点由得故由得因为是在的最大值点由得所以年新课标卷理若求的值已知函数设为整数且对精品文档 精品文档 （20）(2017 年天津卷理)设aZ，已知定义在 R 上的函数432()2336f xxxxxa在区间(1,2)内有一个零点0 x，()g x为()f x的导函数.（）求()g x的单调区间；知函数则在单调递增在单调递减的图像关于直线对称的图像关于点对称年浙江卷函数的导函数的图像如图所示则函数案年新课标卷理已知函数且求证明存在唯一的极大值点且解析的定义域为设则等价于因为故而得若则当时单调递减当时因为所以

21、是的唯一极大值点由得故由得因为是在的最大值点由得所以年新课标卷理若求的值已知函数设为整数且对精品文档 精品文档（）设001,)(,2mxxU，函数0()()()()h xg x mxf m，求证：0()()0h m h x；（）求证：存在大于 0 的常数A，使得对于任意的正整数,p q，且001,)(,2,pxxqU 满足041|pxqAq.【答案】（1）增区间是(,1)，1(,)4，减区间是1(1,)4.（2）（3）证明见解析 【解析】（）由432()2336f xxxxxa，可得32()()8966g xfxxxx，进而可得2()24186g xxx.令()0g x，解得1x ，或14x.

22、当 x 变化时，(),()g x g x的变化情况如下表：x(,1)1(1,)4 1(,)4 ()g x +-+()g x 所以，()g x的单调递增区间是(,1)，1(,)4，单调递减区间是1(1,)4.（）证明：由0()()()()h xg x mxf m，得0()()()()h mg m mxf m，000()()()()h xg xmxf m.（III）证明：对于任意的正整数p，q，且001)(,2pxxqU，知函数则在单调递增在单调递减的图像关于直线对称的图像关于点对称年浙江卷函数的导函数的图像如图所示则函数案年新课标卷理已知函数且求证明存在唯一的极大值点且解析的定义域为设则等价于因

23、为故而得若则当时单调递减当时因为所以是的唯一极大值点由得故由得因为是在的最大值点由得所以年新课标卷理若求的值已知函数设为整数且对精品文档 精品文档 令pmq，函数0()()()()hgmxxxmf.由（II）知，当01),mx时，()h x在区间0(,)m x内有零点；当0(,2mx时，()h x在区间0(),x m内有零点.1110 x,)()()()0ppg xxfqq不妨设为 则 h(x 所以041|2|()pxqgq.所以，只要取()2Ag，就有041|pxqAq.（19）(2017 年天津卷文)设,a bR，|1a 已知函数32()63(4)f xxxa axb，()e()xg xf

24、 x（）求()f x的单调区间；（）已知函数()yg x和exy 的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（i）求证：()f x在0 xx处的导数等于 0；（ii）若关于 x 的不等式()exg x 在区间001,1xx上恒成立，求 b 的取值范围【解析】（）由324()63()fxxaxxab，可得 2()3123()3()(44)f xxaxaaxxa ，令()0f x，解得xa或4xa 由|1a，得4aa 当x变化时，()f x，()f x的变化情况如下表：x(,)a(),4aa(4,)a 知函数则在单调递增在单调递减的图像关于直线对称的图像关于点对称年浙江卷函数的导函数的图像如图所

25、示则函数案年新课标卷理已知函数且求证明存在唯一的极大值点且解析的定义域为设则等价于因为故而得若则当时单调递减当时因为所以是的唯一极大值点由得故由得因为是在的最大值点由得所以年新课标卷理若求的值已知函数设为整数且对精品文档 精品文档()f x ()f x Z Z 所以，()f x的单调递增区间为(,)a，(4,)a，单调递减区间为(),4aa（）（i）因为()e()()xxxgff x，由题意知0000()e()exxxxgg，所以0000000()eee()()exxxxfffxxx，解得00()1()0fxxf 所以，()f x在0 xx处的导数等于 0（ii）因为()exg x，0011,xxx，由e0 x，可得()1f x 又因为0()1f x，0()0f x，故0 x为()f x的极大值点，由（）知0 xa 另一方面，由于|1a，故14aa ，知函数则在单调递增在单调递减的图像关于直线对称的图像关于点对称年浙江卷函数的导函数的图像如图所示则函数案年新课标卷理已知函数且求证明存在唯一的极大值点且解析的定义域为设则等价于因为故而得若则当时单调递减当时因为所以是的唯一极大值点由得故由得因为是在的最大值点由得所以年新课标卷理若求的值已知函数设为整数且对