最新微积分第七章无穷级数.pdf

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1、 微 积 分 第 七 章 无 穷 级 数 精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢16 第七章 无穷级数 一、本章的教学目标及基本要求：（1）理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质和收敛的必要条件。（2）掌握几何级数与 p级数的收敛性。（3）会用正项级数的比较审敛法、比值审敛法和根值审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。（4）会用交错级数的莱布尼茨定理。（5）了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。（6）了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。（7）掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。（8）了解幂级数在其

2、收敛区间内的一些基本性质，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。（9）了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。（10）掌握函数 Skip Record If.的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。（11）了解傅氏级数的概念以及函数展开成傅氏级数的狄利克雷定理，会将定义在 Skip Record If.上 的函数展开成傅氏级数，会将定义在 Skip Record If.上的函数展开成正弦级数与余弦级数，会写出傅氏级数的和的表达式。二、本章教学内容的重点和难点：重点：无穷级数的收敛与发散，正项级数的审敛法，幂级数的收敛半径与收敛区间的求法 难点：正项级

3、数的审敛法，幂级数展开，傅立叶级数展开 7.1 常数项级数的概念及性质 一、内容要点 1、常数项级数概念：常数项级数、部分和、级数的收敛与发散、余项；2、收敛级数的基本性质及收敛的必要条件：性质 1：若级数 Skip Record If.收敛于和 s，则级数 Skip Record If.也收敛，且其和为 ks(证明)性质 2：若级数 Skip Record If.、Skip Record If.分别收敛于和 s、，则级数 Skip Record If.也收敛，且其和为 s(证明)性质 3：在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性(证明)性质 4：若级数 Skip Record I

4、f.收敛，则对这级数的项任意家括号后所成的级数仍收敛，且其和不变(证明)；的比较审敛法比值审敛法和根值审敛法掌握正项级数的比值审敛法会用交错级数的莱布尼茨定理了解无穷级数绝对收 半径收敛区间及收敛域的求法了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质会求一些幂级数在收敛区间内的和函数并会 简单函数间接展开成幂级数了解氏级数的概念以及函数展开成氏级数的狄利克雷定理会将定义在上的函数展开成氏级精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢16 性质 5(级数收敛的必要条件)：若级数 Skip Record If.收敛，则它的一般项 un趋于零，即 Skip Record If.(证

5、明)；一、概念 定义:设已给定数列 Skip Record If.,Skip Record If.,Skip Record If.,称形式加法 Skip Record If.+Skip Record If.+Skip Record If.+为无穷项数项级数.简称数项级数,又称级数.记为 Skip Record If.,即 Skip Record If.=Skip Record If.+Skip Record If.+Skip Record If.+,其中称 Skip Record If.为一般项.将其前 Skip Record If.项的和:Skip Record If.=Skip Recor

6、d If.+Skip Record If.+Skip Record If.称为级数的前 Skip Record If.项的部分和,或简称部分和.注 1:由上我们便得到一个数列 Skip Record If.,Skip Record If.,Skip Record If.,从形式上不难知道 Skip Record If.=Skip Record If.,以前我们学过数列的收敛与发散,进而就不难得出级数的收敛与发散的概念.换而言之,有限个数相加为一数,无穷多个数相加是否仍为一个数呢?定义:当 Skip Record If.时,若部分和数列 Skip Record If.有极限 Skip Recor

7、d If.,即 Skip Record If.=Skip Record If.,就称常数项级数 Skip Record If.收敛,且称 Skip Record If.为其和,并记为:Skip Record If.=Skip Record If.+Skip Record 的比较审敛法比值审敛法和根值审敛法掌握正项级数的比值审敛法会用交错级数的莱布尼茨定理了解无穷级数绝对收 半径收敛区间及收敛域的求法了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质会求一些幂级数在收敛区间内的和函数并会 简单函数间接展开成幂级数了解氏级数的概念以及函数展开成氏级数的狄利克雷定理会将定义在上的函数展开成氏级精品好文档，推荐学

8、习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢16 If.+Skip Record If.+,若数列 Skip Record If.没有极限,就称 Skip Record If.发散.注 1:当级数收敛时,其部分和 Skip Record If.又可看成为 Skip Record If.的近似值.两者之差 Skip Record If.=Skip Record If.+Skip Record If.+称为级数 Skip Record If.的余项.用Skip Record If.代替 Skip Record If.所产生的误差就是它的绝对值,即 Skip Record If.注 2:到目

9、前为止,已了解的级数的基本概念,特别了解了级数 Skip Record If.的收敛与发散性(敛散性)是由其部分和数列 Skip Record If.的敛散性所决定的.确切地说,两者敛散性是相同的.为此,可把级数看成是数列的一种表现形式.如设 Skip Record If.为一数列,令 Skip Record If.=Skip Record If.,Skip Record If.=Skip Rec ord If.,Skip Record If.=Skip Record If.,Skip Record If.,则 Skip Record If.这样就由一数列产生一个级数.可见数列与级数可以相互转

10、化.例 1 讨论一个简单级数 几何级数(等比级数):Skip Record If.的敛散性.其中 Skip Record If.解:我们先考虑其部分和:Skip Record If.=Skip Record If.利用中学知识,得 Skip Record If.=Skip Record If.(Skip Record If.时)(I)当 Skip Record If.时,由于 Skip Record If.=Skip Record If.=Skip Record If.,故几何级数收敛,且收敛于 Skip Record If.的比较审敛法比值审敛法和根值审敛法掌握正项级数的比值审敛法会用交错级

11、数的莱布尼茨定理了解无穷级数绝对收 半径收敛区间及收敛域的求法了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质会求一些幂级数在收敛区间内的和函数并会 简单函数间接展开成幂级数了解氏级数的概念以及函数展开成氏级数的狄利克雷定理会将定义在上的函数展开成氏级精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢16(II)当 Skip Record If.时,由于 Skip Record If.=Skip Record If.不存在,故此时几何级数发散.(III)当 Skip Record If.时,此时几何级数为:Ski p Record If.,Skip Record If.Skip Re

12、cord If.=Skip Record If.Skip Record If.(Skip Record If.)此时级数发散.(IV)当 Skip Record If.时,级数为 Skip Record If.,Skip Record If.Skip Record If.=Skip Record If.,Skip Record If.不存在.故此时级数发散.Skip Record If.综上所述,几何级数在 Skip Record If.时收敛,在 Skip Record If.时发散.例 2 证明级数 Skip Record If.收敛.证:首先,由于 Skip Record If.Skip

13、 Record If.Skip Record If.=Skip Record If.Skip Record If.=Skip Record If.+Skip Record If.+Skip Record If.+Skip Record If.=Skip Record If.=Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.=Skip Record If.Skip Record If.原级数收敛,且收敛于 Skip Record If.例 3 证明调和级数 Skip Record If.发散.证:Skip Record If.=Skip Record I

14、f.=Skip Record If.+Skip Record If.+Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.+Skip Record If.+Skip Record If.=Skip Record If.=Skip Record If.=Skip Record If.当 Skip Record If.时,Skip Record If.显然 Skip Record If.不存在.故原级数发散.的比较审敛法比值审敛法和根值审敛法掌握正项级数的比值审敛法会用交错级数的莱布尼茨定理了解无穷级数绝对收 半径收敛区间及收敛域的求法了解幂级数在其收敛区间内

15、的一些基本性质会求一些幂级数在收敛区间内的和函数并会 简单函数间接展开成幂级数了解氏级数的概念以及函数展开成氏级数的狄利克雷定理会将定义在上的函数展开成氏级精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢16 一、性质 性质 1:(收敛的必要条件)收敛的级数的一般项极限为 0.即 Skip Record If.收敛,则 Skip Record If.证:设 Skip Record If.收敛于 Skip Record If.即 Skip Record If.=Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.注 1:若反之,则不一定

16、成立.即 Skip Record If.,原级数 Skip Record If.不一定收敛.如调和级数 Skip Record If.发散,但 Skip Record If.注 2:收敛的必要条件常用来证明级数发散.即若 Skip Record If.,则原级数 Skip Record If.一定不收敛.性质 2:在级数前增加或去掉有限项,不改变级数的敛散性.但在级数收敛时,其和可能改变.证:Skip Record If.+Skip Record If.+Skip Record If.+的部分和序列为 Skip Record If.Skip Record If.+Skip Record If.

17、+Skip Record If.+的部分和序列为 Skip Record If.则 Skip Record If.,由于 Skip Record If.为有限数,则 Skip Record If.为一个有限数.则 Skip Record If.与 Skip Record If.同敛散.若原级数收敛,则 Skip Record If.=Skip Record If.=Skip Record If.则 Skip Record If.收敛.即 Skip Record If.+Skip Record If.+Skip Record If.+收敛 的比较审敛法比值审敛法和根值审敛法掌握正项级数的比值审敛

18、法会用交错级数的莱布尼茨定理了解无穷级数绝对收 半径收敛区间及收敛域的求法了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质会求一些幂级数在收敛区间内的和函数并会 简单函数间接展开成幂级数了解氏级数的概念以及函数展开成氏级数的狄利克雷定理会将定义在上的函数展开成氏级精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢16 若原级数发散,则 Skip Record If.不存在,故 Skip Record If.也不存在.则 Skip Record If.发散.即 Skip Record If.+Skip Record If.+Skip Record If.+发散.性质 3:若级数 Ski

19、p Record If.收敛于 Skip Record If.,则它的各项都乘以一常数 Skip Record If.所得的级数 Skip Record If.收敛于Skip Record If.即 Skip Record If.=Skip Record If.Skip Record If.性质 4:若级数 Skip Record If.和 Skip Record If.分别收敛于 Skip Record If.和 Skip Record If.,则级数 Skip Record If.收敛于Skip Record If.注 1:Skip Record If.称为级数 Skip Record I

20、f.与 Skip Record If.的和与差.注 2:若级数 Skip Record If.和 Skip Record If.之中有一个收敛,另一个发散,则 Skip Record If.发散.若两个都发散,情况又如何呢?思考.性质 5:收敛级数加括号后(不改变各项顺序)所产生的级数仍收敛于原来级数的和.注 1:这里所谓加括号,就是在不改变各项的顺序的情况下,将其某 Skip Record If.项放在一起作为新的项,而产生的级数.当然,加括号的方法是有无穷多种的.注 2:若级数在加括号后所得的级数发散,那么原级数发散.但是,某级数在加括号后所得的级数收敛,则原级数未必收敛.也就是说:发散的

21、级数加括号后可能产生收敛的级数.例如:Skip Record If.是发散的,但 Skip Record If.是收敛的.的比较审敛法比值审敛法和根值审敛法掌握正项级数的比值审敛法会用交错级数的莱布尼茨定理了解无穷级数绝对收 半径收敛区间及收敛域的求法了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质会求一些幂级数在收敛区间内的和函数并会 简单函数间接展开成幂级数了解氏级数的概念以及函数展开成氏级数的狄利克雷定理会将定义在上的函数展开成氏级精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢16 注 3:由此知,级数加括号与不加括号时的敛散性是不尽相同的,后面我们要讲它们有相同敛散性时的

22、情况.例 4 判别级数 Skip Record If.的敛散性.解:因级数 Skip Record If.与级数 Skip Record If.均收敛,由性质4 可知 Skip Record If.=Skip Record If.+Skip Record If.收敛.7.2 常数项级数的审敛法 一、内容要点 正项级数及其审敛法：1正项级数的概念；2基本定理：正项级数 Skip Record If.收敛的充分必要条件是：它的部分和数列 sn 有界(证明)3比较审敛法：设 Skip Record If.和 Skip Record If.都是正项级数，且un vn(n=1,2,)若级数 Skip R

23、ecord If.收敛，则级数 Skip Record If.收敛；反之，若级数 Skip Record If.发散，则级数 Skip Record If.发散(证明)推论：设 Skip Record If.和 Skip Record If.都是正项级数，如果级数 Skip Record If.收敛，且存在自然数 N，使当 n N 时有 un kvn(k 0)成立，则级数 Skip Record If.收敛；如果级数 Skip Record If.发散，且当 n N 时有 un kvn(k 0)成立，则级数 Skip Record If.发散 4比较审敛法的极限形式：设 Skip Record

24、 If.和 Skip Record If.都是正项级数，(1)如果 Skip Record If.，且级数 Skip Record If.收敛，则级数 Skip Record If.收敛；(2)如果 Skip Record If.或 Skip Record If.，且级数 Skip Record If.发散，则级数 Skip Record If.发散(证明)5比值审敛法(达朗贝尔判别法)：设 Skip Record If.为正项级数，如果 Skip Record If.，则当 1(或 Skip Record If.)时级数发散；=1 时级数可能收敛也可能发散(证明)；6根值审敛法(柯西判别法)

25、：设 Skip Record If.为正项级数，如果 Skip Record If.，则当 1(或 Skip Record If.)时级数发散；=1 时级数可能收敛也可能发散(证明)；的比较审敛法比值审敛法和根值审敛法掌握正项级数的比值审敛法会用交错级数的莱布尼茨定理了解无穷级数绝对收 半径收敛区间及收敛域的求法了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质会求一些幂级数在收敛区间内的和函数并会 简单函数间接展开成幂级数了解氏级数的概念以及函数展开成氏级数的狄利克雷定理会将定义在上的函数展开成氏级精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢16 7极限审敛法：设 Skip R

26、ecord If.为正项级数，(1)如果 Skip Record If.(或 Skip Record If.)，则级数 Skip Record If.发散；(2)如果 p1，而 Skip Record If.，则级数 Skip Record If.收敛(证明)交错级数及其审敛法:1交错级数的概念：2莱布尼茨定理：如果交错级数 Skip Record If.满足条件：(1)un un+1(n=1,2,3,)；(2)Skip Record If.则级数收敛，且其和 s u1，其余项 rn的绝对值 rn un+1(证明)绝对收敛与条件收敛：1.绝对收敛与条件收敛的概念；2.定理：如果级数 Skip

27、Record If.绝对收敛，则级数 Skip Record If.必定收敛(证明)一、教学要求和注意点（略）前面所讲的常数项级数中,各项均可是正数,负数或零.正项级数是其中一种特殊情况.如果级数中各项是由正数或零组成,这就称该级数为正项级数.同理也有负项级数.而负项级数每一项都乘以 Skip Record If.后即变成正项级数,两者有着一些相仿的性质,正项级数在级数中占有很重要的地位.很多级数的敛散性讨论都会转为正项级数的敛散性.设 Skip Record If.为一正项级数,Skip Record If.为其部分和.显然部分和序列 Skip Record If.是一个单调上升数列.由此不

28、难得下面的定理.定理:正项级数 Skip Record If.收敛 Skip Record If.Skip Record If.有界.的比较审敛法比值审敛法和根值审敛法掌握正项级数的比值审敛法会用交错级数的莱布尼茨定理了解无穷级数绝对收 半径收敛区间及收敛域的求法了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质会求一些幂级数在收敛区间内的和函数并会 简单函数间接展开成幂级数了解氏级数的概念以及函数展开成氏级数的狄利克雷定理会将定义在上的函数展开成氏级精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢16 证:“Skip Record If.”Skip Record If.收敛 Ski

29、p Record If.Skip Record If.收敛 Skip Record If.Skip Record If.有界.“Skip Record If.”Skip Record If.有界,又 Skip Record If.是一个单调上升数列 Skip Record If.Skip Record If.存在Skip Record If.Skip Record If.收敛.定理 1(比较审敛法)设 Skip Record If.与 Skip Record If.是两个正项级数,且 Skip Record If.Skip Record If.那么 1)如果 Skip Record If.收敛

30、,则 Skip Record If.收敛.2)如果 Skip Record If.发散,则 Skip Record If.发散.证:设 Skip Record If.和 Skip Record If.分别表示 Skip Record If.和 Skip Record If.的部分和,显然由 Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.(1)Skip Record If.收敛 Skip Record If.Skip Record If.有界Skip Record If.Skip Record

31、 If.有界 Skip Record If.Skip Record If.也收敛.(2)Skip Record If.发散 Skip Record If.Skip Record If.无界Skip Record If.Skip Record If.无界 Skip Record If.Skip Record If.也发散.推论:设两个正项级数 Skip Record If.与 Skip Record If.,如果对于Skip Record If.(Skip Record If.为某一自然数)的 Skip Record 的比较审敛法比值审敛法和根值审敛法掌握正项级数的比值审敛法会用交错级数的莱布尼

32、茨定理了解无穷级数绝对收 半径收敛区间及收敛域的求法了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质会求一些幂级数在收敛区间内的和函数并会 简单函数间接展开成幂级数了解氏级数的概念以及函数展开成氏级数的狄利克雷定理会将定义在上的函数展开成氏级精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢16 If.,恒成立不等式 Skip Record If.(Skip Record If.的常数),则利用级数的性质及定理 1 的证明方法仍可得定理 1 的结论.例 1:讨论 Skip Record If.-级数 Skip Record If.的敛散性.其中常数 Skip Record If.解(

33、1)当 Skip Record If.时,因 Skip Record If.,而 Skip Record If.发散,Skip Record If.Skip Record If.=Skip Record If.发散(2)当 Skip Record If.时,对于任意实数 Skip Record If.,总存在自然数 Skip Record If.,使得 Skip Record If.Skip Record If.,因此 Skip Record If.,Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.,于是 Skip Record If.=Skip Re

34、cord If.Skip Record If.=Skip Record If.=Skip Record If.Skip Record If.这表明 Skip Record If.有上界,又 Skip Record If.单调上升,故 Skip Record If.存在 Skip Record If.Skip Record If.-级数 Skip Record If.收敛.综上所述,当 Skip Record If.时,Skip Record If.-级数发散;当 Skip Record If.时 Skip Record If.-级数收敛.例 2 若正项级数 Skip Record If.收敛,

35、则(1)Skip Record If.收敛,(2)Skip Record If.收敛,(3)Skip Record If.收敛.证:(1)由 Skip Record If.,由于正项级数 Skip Record If.收敛,则由比较审敛法,知 Skip Record If.收敛 的比较审敛法比值审敛法和根值审敛法掌握正项级数的比值审敛法会用交错级数的莱布尼茨定理了解无穷级数绝对收 半径收敛区间及收敛域的求法了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质会求一些幂级数在收敛区间内的和函数并会 简单函数间接展开成幂级数了解氏级数的概念以及函数展开成氏级数的狄利克雷定理会将定义在上的函数展开成氏级精品好文档

36、，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢16(2)Skip Record If.,由于正项级数 Skip Record If.收敛,Skip Record If.收敛,则 Skip Record If.收敛,(3)由于 Skip Record If.收敛,则 Skip Record If.,则 Skip Record If.,当 Skip Record If.时,Skip Record If.,从而 Skip Record If.,则由比较审敛法,则 Skip Record If.收敛.比较审敛法的极限形式:设两个正项级数 Skip Record If.与 Skip Rec

37、ord If.,如果存在极限:Skip Record If.(1)当 Skip Record If.,则级数 Skip Record If.与 Skip Record If.同时收敛或同时发散.(2)当 Skip Record If.时,如果 Skip Record If.收敛,则级数 Skip Record If.必收敛.(3)当 Skip Record If.,如果 Skip Record If.发散,则 Skip Record If.必发散.证:1)因 Skip Record If.,根据极限的定义,对于 Skip Record If.,必存在正整数 Skip Record If.,当

38、Skip Record If.时,恒成立不等式 Skip Record If.,即 Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.由比较审敛法的推论可知两级数同时收敛,或同时发散.2)Skip Record If.,即 Skip Record If.,则存在 Skip Record If.,当 Skip Record If.时,Skip Record If.,得 Skip Record 的比较审敛法比值审敛法和根值审敛法掌握正项级数的比值审敛法会用交错级数的莱布尼茨定理了解无穷级数绝对收 半径收敛区间及收敛域的求法了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性

39、质会求一些幂级数在收敛区间内的和函数并会 简单函数间接展开成幂级数了解氏级数的概念以及函数展开成氏级数的狄利克雷定理会将定义在上的函数展开成氏级精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢16 If.,由比较审敛法知,如果级数 Skip Record If.收敛,则级数 Skip Record If.必收敛.3)Skip Record If.,即 Skip Record If.,则存在 Skip Record If.,当 Skip Record If.时,Skip Record If.,得 Skip Record If.,比较审敛法知,当 Skip Record If

40、.发散,则 Skip Record If.必发散.例 3 证明 Skip Record If.收敛.证:由 Skip Record If.,又 Skip Record If.收敛,则由比较审敛法的极限形式 Skip Record If.Skip Record If.收敛 定理 2:(达朗贝尔 D Alembert 判别法)设正项级数 Skip Record If.,如果极限 Skip Record If.,则 1)当 Skip Record If.时,级数收敛;2)当 Skip Record If.或 Skip Record If.时,级数发散.3)当 Skip Record If.时,法则失

41、效.(证明略)注 1:习惯上,我们也称达朗贝尔判别法为比值审敛法.例 4 证明 Skip Record If.收敛.证:Skip Record If.,由达朗贝尔判别法知,原级数收敛.例 5 讨论 Skip Record If.(Skip Record If.)的敛散性.解:Skip Record If.当 Skip Record If.时,由比值审敛法知,原级数收敛.当 Skip Record If.时,由比值审敛法知,原级数发散.的比较审敛法比值审敛法和根值审敛法掌握正项级数的比值审敛法会用交错级数的莱布尼茨定理了解无穷级数绝对收 半径收敛区间及收敛域的求法了解幂级数在其收敛区间内的一些基

42、本性质会求一些幂级数在收敛区间内的和函数并会 简单函数间接展开成幂级数了解氏级数的概念以及函数展开成氏级数的狄利克雷定理会将定义在上的函数展开成氏级精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢16 当 Skip Record If.时,判别法失效.但此时原级数 Skip Record If.=Skip Record If.发散.Skip Record If.Skip Record If.时,原级数收敛.;Skip Record If.时,原级数发散.定理 3:(Cauchy 判别法)设 Skip Record If.为正项级数,如果 Skip Record If.,则

43、 1)当 Skip Record If.时,级数收敛;2)当 Skip Record If.(或为 Skip Record If.)时,级数发散.3)当 Skip Record If.时,法则失效.(证明略)注 1:习惯上,我们称 Cauchy 判别法为根值审敛法.例 6 证明 Skip Record If.收敛.证:Skip Record If.,故由根值审敛法知,原级数收敛.任意项级数的敛散性 一、交错级数及其审敛法 交错级数又称莱布尼兹级数,它具有下列形式:Skip Record If.或 Skip Record If.,其中 Skip Record If.Skip Record If.

44、定理 1:(莱布尼兹判别法)若交错级数 Skip Record If.满足:1)Skip Record If.,2)Skip Record If.则级数 Skip Record If.收敛,其和 Skip Record If.,余项 Skip Record If.的绝对值 Skip Record If.证:先考察交错级数 Skip Record If.前 Skip Record If.项的和Skip Record If.,并写成 的比较审敛法比值审敛法和根值审敛法掌握正项级数的比值审敛法会用交错级数的莱布尼茨定理了解无穷级数绝对收 半径收敛区间及收敛域的求法了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性

45、质会求一些幂级数在收敛区间内的和函数并会 简单函数间接展开成幂级数了解氏级数的概念以及函数展开成氏级数的狄利克雷定理会将定义在上的函数展开成氏级精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢16 Skip Record If.,或 Skip Record If.根据条件(1)可知:Skip Record If.是单调增加的,且 Skip Record If.,即 Skip Record If.有界,故 Skip Record If.再考察级数的前 Skip Record If.项的和 Skip Record If.,显然Skip Record If.,由条件(2),得

46、Skip Record If.最后,由于 Skip Record If.,得 Skip Record If.,即交错级数Skip Record If.收敛于 Skip Record If.,且 Skip Record If.,其余项 Skip Record If.的绝对值仍为收敛得交错级数,所以 Skip Record If.例 1 证明交错级数 Skip Record If.收敛.证:(1)Skip Record If.,(2)Skip Record If.由上述定理知,交错级数 Skip Record If.收敛.且其和 Skip Record If.一、任意项级数的绝对收敛与条件收敛 定

47、义 1:设有级数 Skip Record If.,其中 Skip Record If.(Skip Record If.)为任意实数,这样的级数称为任意项级数.定义 2:设 Skip Record If.为任意项级数,其各项的绝对值组成的级数Skip Record If.收敛,就称 Skip Record If.绝对收敛;若 Skip Record If.收敛,但 Skip Record If.不收敛,就称 Skip Record If.为条件收敛.定理 2:若任意项级数 Skip Record If.绝对收敛,则 Skip Record If.收敛.的比较审敛法比值审敛法和根值审敛法掌握正项级

48、数的比值审敛法会用交错级数的莱布尼茨定理了解无穷级数绝对收 半径收敛区间及收敛域的求法了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质会求一些幂级数在收敛区间内的和函数并会 简单函数间接展开成幂级数了解氏级数的概念以及函数展开成氏级数的狄利克雷定理会将定义在上的函数展开成氏级精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢16 证:因 Skip Record If.,且级数 Skip Record If.收敛,由正项级数的比较判别法知,级数 Skip Record If.收敛,再由级数的性质 4 知级数 Skip Record If.=Skip Record If.收敛.注 1:定

49、理 2 反之则不一定成立.如:Skip Record If.收敛,但 Skip Record If.为调和级数是发散的.例 2 证明 Skip Record If.=Skip Record If.对 Skip Record If.都是绝对收敛的.证:下面我们莱证明 Skip Record If.是收敛的.事实上,对 Skip Record If.,Skip Record If.=Skip Record If.由比值判别法知,Skip Record If.是收敛的,所以 Skip Record If.对 Skip Record If.都是绝对收敛的.例 3 证明 Skip Record If.在

50、 Skip Record If.时为条件收敛,而在Skip Record If.时为绝对收敛.证:首先,我们知道 Skip Record If.为一个莱布尼兹级数,且有当 Skip Record If.时,Skip Record If.单调下降趋于零.故对 Skip Record If.,原级数 Skip Record If.总是收敛的.其次,考虑其绝对值级数 Skip Record If.,也就是 Skip Record If.-级数.由上一节的例 1 的结果知,当 Skip Record If.时发散,Skip Record If.时收敛.综上所述,Skip Record If.在 Ski