最新高考数学必考题型解答策略：函数与导数.pdf

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1、精品文档 精品文档 函数与导数解答策略 命题趋势 函数与导数是高考数学的重点内容之一,函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程,在近几年的高考中,函数类试题在试题中所占分值一般为 22-35分.一般为 2 个选择题或 2 个填空题,1 个解答题,而且常考常新。在选择题和填空题中通常考查反函数、函数的定义域、值域、函数的单调性、奇偶性、周期性、函数的图象、导数的概念、导数的应用以及从函数的性质研究抽象函数。在解答题中通常考查函数与导数、不等式的综合运用。其主要表现在:1.通过选择题和填空题,全面考查函数的基本概念,性质和图象。2.在解答题的考查中,与函数有关的试题常常是以综合题的形式出现。3

2、.从数学具有高度抽象性的特点出发,没有忽视对抽象函数的考查。4.一些省市对函数应用题的考查是与导数的应用结合起来考查的。5.涌现了一些函数新题型。6.函数与方程的思想的作用不仅涉及与函数有关的试题,而且对于数列,不等式,解析几何等也需要用函数与方程思想作指导。7.多项式求导(结合不等式求参数取值范围),和求斜率(切线方程结合函数求最值)问题。8.求极值,函数单调性,应用题,与三角函数或向量结合，预计 2012 年基本上还是这个考查趋势，具体为：(1)以选择题或者填空题的形式考查集合的基本关系和基本运算，考查中涉及函数的定义域、不等式的解、方程的解等问题，要特别注意一些新定义试题(2)以选择题或

3、者填空题的方式考查逻辑用语的知识，其中重点是充要条件的判断和含有一个量词的命题的否定(3)以选择题或者填空题的方式考查基本初等函数及其应用，重点是函数定义域、值域，函数的单调性和奇偶性的应用，指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质的应用，函数的零点判断，简单的函数建模，导数的几何意义的应用，定积分的计算及其简单应用(4)以解答题的方式考查导数在函数问题中的综合应用，重点是使用导数的方法研究函数的单调性和极值以及能够转化为研究函数的单调性、极值、最值问题的不等式和方程等问题，考查函数建模和利用导数解模 备考建议 基本初等函数和函数的应用：在掌握好基本知识的前提下重点解决函数性质在解决问题中的综合

4、应用、函数性质在判断函数零点中的应用，指数函数、对数函数的图象和性质的应用，数形结合思想的应用 导数及其应用：要掌握好导数的几何意义、导数的运算、导数和函数的单调性与极值的关系，由于函数的极值和最值的解决是以函数的单调性为前提的，因此要重点解决导数在研究函数单调性中的应用，特别是含有字母参数的函数的单调性(这是高考考查分类与整合思想的一个主要命题点)，在解决好上述问题后，要注意把不等式问题、方程问题转化为函数的单调性、极值、最值进行研究性训练，这是高考命制压轴题的一个重要考查点 解答策略 1讨论函数的性质时，必须坚持定义域优先的原则.对于函数实际应用问题，注意挖掘隐含在实际中的条件，避免忽略实

5、际意义对定义域的影响.2运用函数的性质解题时，注意数形结合，扬长避短.3对于含参数的函数，研究其性质时，一般要对参数进行分类讨论，全面考虑.如对二次项含参数的精品文档 精品文档 二次函数问题，应分 a 0 和 a0 两种情况讨论，指、对数函数的底数含有字母参数 a 时，需按 a 1 和 0 a 1 分两种情况讨论.4解答函数性质有关的综合问题时，注意等价转化思想的运用.5在理解极值概念时要注意以下几点：极值点是区间内部的点，不会是端点；若()f x在（a，b）内有极值，那么()f x在（a，b）绝不是单调函数；极大值与极小值没有必然的大小关系；一般的情况，当函数()f x在 a，b上连续且有有

6、限个极值点时，函数()f x在 a，b内的极大值点和极小值点是交替出现的；导数为 0 的点是该点为极值点的必要条件，不是充分条件（对于可导函数而言）.而充分条件是导数值在极值点两侧异号.6求函数的最值可分为以下几步：求出可疑点，即/()f x 0 的解 x0；用极值的方法确定极值；将（a，b）内的极值与()f a，()f b比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值；当()f x在（a，b）内只有一个可疑点时，若在这一点处()f x有极大（小）值，则可以确定()f x在该点处了取到最大（小）值.7利用求导方法讨论函数的单调性，要注意以下几方面：()f x 0 是()f x递增的充分条件而非必要条

7、件（()f x 0 亦是如此）；求单调区间时，首先要确定定义域；然后再根据()f x 0（或()f x 0）解出在定义域内相应的 x 的范围；在证明不等式时，首先要构造函数和确定定义域，其次运用求导的方法来证明.8函数、导数的综合问题往往以压轴题的形式出现，解决这类问题要注意：(1)综合运用所学的数学思想方法来分析解决问题；(2)及时地进行思维的转换，将问题等价转化；(3)不等式证明的方法多，应注意恰当运用，特别要注意放缩法的灵活运用；(4)要利用导数这一工具来解决函数的单调性与最值问题.典型例题 考点一.函数的解析式、定义域、值域求法 例函数2ln(1)3 4xyx x 的定义域为 A(4,

8、1)B(4,1)C(1,1)D(1,1 解：由21 011 14 13 4 0 xxxxx x.故选 C【名师点睛】：函数的定义域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一.这里主要帮助考生灵活掌握求定义域的各种方法，并会应用用函数的定义域解决有关问题.例用 mina,b,c 表示 a,b,c 三个数中的最小值，设()f x=min2x,x+2,10-x(x 0),则()f x的最向东走与向北走转盘逆时针转圈与顺时针转圈下列每组数中相等的是和和和和在个个下列说法正确的是中整式有个个 长度为或或下列说法没有绝对值最小的有理数分数一定是有理数有理数的绝对值一定是正数一个分数不是正的就是负 有理数在数轴

9、上对应的点如图所示正确的是将一列有理数按如图所示的方式进行排列则应排在位置位置位置位置二填精品文档 精品文档 大值为（A）4（B）5（C）6（D）7【解析】：利用数形结合，画出函数的大致图象，如图所示，很容易的得到函数的最大值是当4 x 时，f x的最大值为 6【名师点睛】：解决本题的最好方法是数形结合，本题考查学生对函数知识的灵活运用和对新定义问题的快速处理 考点二.函数的零点 例函数2x+2x-3,x 0 x)=-2+lnx,x0f（的零点个数为()A.0 B.1 C.2 D.3 解:当0 x 时，令22 3 0 x x 解得3 x；当0 x 时，令2 ln 0 x 解得100 x，所以已

10、知函数有两个零点，选 C。【名师点睛】：求函数)(x f y 的零点：（代数法）求方程0)(x f的实数根；（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y 的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点 例设 a 为常数，试讨论方程)lg()3 lg()1 lg(x a x x 的实根的个数。解：原方程等价于 x a x xx axx)3)(1(00 30 1即 3 13 52xx x a构造函数)3 1(3 52 x x x y和a y，作出它们的图像，易知平行于 x 轴的直线与抛物线的交点情况可得：当3 1 a或413 a时，原方程有一解；当4133 a时，原方程有两解；当1

11、a或413 a时，原方程无解。【名师点睛】：图象法求函数零点，考查学生的数形结合思想。数形结合，要在结合方面下功夫。不仅要通过图象直观估计，而且还要计算0 x的邻近两个函数值，通过比较其大小进行判断。例已知 a 是实数，函数 2()2 2 3 f x ax x a，如果函数()y f x 在区间-1，1上有零点，求实数 a 的取值范围。解：当 a=0 时，函数为()f x=2x-3，其零点 x=23不在区间-1，1 上。当 a 0 时，函数()f x 在区间-1，1 分为两种情况：函数在区间 1，1 上只有一个零点，此时4 8(3)0(1)(1)(5)(1)0a af f a a 或 1211

12、0)3(8 4aa a解得 1 a 5 或 a=27 3 向东走与向北走转盘逆时针转圈与顺时针转圈下列每组数中相等的是和和和和在个个下列说法正确的是中整式有个个 长度为或或下列说法没有绝对值最小的有理数分数一定是有理数有理数的绝对值一定是正数一个分数不是正的就是负 有理数在数轴上对应的点如图所示正确的是将一列有理数按如图所示的方式进行排列则应排在位置位置位置位置二填精品文档 精品文档 函数在区间 1，1 上有两个零点，此时 208 24 4 011 121 01 0aa aaff 或 208 24 4 011 121 01 0aa aaff 解得 a5 或 a0 恒成立 00 a；f(x)0)

13、在区间 8,8 上有四个不同的根1 2 3 4,x x x x,则1 2 3 4_.x x x x 解：因为定义在 R上的奇函数，满足(4)()f x f x,所以(4)()f x f x,所以,由)(x f为奇函数,所以函数图象关于直线2 x 对称且(0)0 f,由(4)()f x f x 知(8)()f x f x,所以函数是以 8 为周期的周期函数,又 因 为)(x f在 区 间 0,2 上 是 增 函 数,所 以)(x f 在区间-2,0 上也是增函数.如图所示,那么方程)(x f=m(m0)在区间 8,8 上有四个不同的根1 2 3 4,x x x x,不妨设1 2 3 4x x x

14、 x 由对称性知1 212 x x 3 44 x x 所以1 2 3 412 4 8 x x x x 答案:-8【名师点睛】：本题综合考查了函数的奇偶性,单调性,对称性,周期性,以及由函数图象解答方程问题,运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题 向东走与向北走转盘逆时针转圈与顺时针转圈下列每组数中相等的是和和和和在个个下列说法正确的是中整式有个个 长度为或或下列说法没有绝对值最小的有理数分数一定是有理数有理数的绝对值一定是正数一个分数不是正的就是负 有理数在数轴上对应的点如图所示正确的是将一列有理数按如图所示的方式进行排列则应排在位置位置位置位置二填精品文档 精品文档 例已知函数224,

15、0()4,0 x x xf xx x x 若2(2)(),f a f a 则实数a的取值范围是 A(,1)(2,)B(1,2)C(2,1)D(,2)(1,)解：由已知，函数在整个定义遇上单调递增的故)()2(2a f a f，等价于0 22 a a，解得1 2 a答案 C【名师点睛】：在处理函数单调性时，可以充分利用基本函数的性质直接处理，显得更加简单、方便 例已知以4 T 为周期的函数21,(1,1()1 2,(1,3m x xf xx x，其中0 m。若方程3()f x x 恰有 5 个实数解，则m的取值范围为（）A 15 8(,)3 3 B15(,7)3 C 4 8(,)3 3 D 4(

16、,7)3 解：21,1,1 y m x x 的图象为椭圆上半部分，1 2,1,3 y x x 的图象为两条线段 根据()f x的周期 T=4 可知其图象，由方程3()f x x 恰有 5 个实数解，则23 1(4)m x x 有两解 即 2 2 2 2(9 1)72 135 0 m x m x m 有两解，所以2 2 2 2(72)4(9 1)135 0 m m m 解得153m；23 1(8)m x x 无解即2 2 2 2(9 1)144 63 9 0 m x m x m 无解，所以 2 2 2 2(144)4(9 1)63 9 0 m m m 解得7 m。故1573m【名师点睛】：函数的

17、图象从直观上很好地反映出了函数的性质，所以在研究函数时，注意结合图象，在解方程和不等式等问题时，借助图象能起到十分快捷的作用，但要注意，利用图象求交点个数或解的个数问题时，作图要十分准确，否则 容易出错.考点四.函数的图象 例单位圆中弧AB长为x，()f x表示弧AB与弦AB所围成弓形面积的 2 倍。则函数()f x的图像是（）解：法一：定量分析。可列出()sin f x x x，知0 x 时，()f x x，()f x图像在y x 下方；C 向东走与向北走转盘逆时针转圈与顺时针转圈下列每组数中相等的是和和和和在个个下列说法正确的是中整式有个个 长度为或或下列说法没有绝对值最小的有理数分数一定

18、是有理数有理数的绝对值一定是正数一个分数不是正的就是负 有理数在数轴上对应的点如图所示正确的是将一列有理数按如图所示的方式进行排列则应排在位置位置位置位置二填精品文档 精品文档 2 x 时，()f x x，()f x图像在y x 上方。选 D 法二：定性分析。当x从0增至2时，()f x变化经历了从慢到快，从快到慢的过程，选 D 法三：观察()f x满足：()()2()f t f t f，故()f x图像以,为对称中心。选 D【名师点睛】：函数的图象与性质是高考考查的重点内容之一，它是研究和记忆函数性质的直观工具，利用它的直观性解题，可以起到化繁为简、化难为易的作用.因此，读者要掌握绘制函数图

19、象的一般方法，掌握函数图象变化的一般规律，能利用函数的图象研究函数的性质.此类题目还很好的考查了数形结合的解题思想.考点五.函数综合问题 例 设a为实数，函数2()2()|f x x x a x a.(1)若(0)1 f，求a的取值范围；(2)求()f x的最小值；(3)设函数()(),(,)h x f x x a，直接写出(不需给出演算步骤)不等式()1 h x 的解集.解：（1）若(0)1 f，则20|1 11aa a aa（2）当x a 时，2 2()3 2,f x x ax a 22min(),0 2,0()2(),0,033f a a a af xaaf aa 当x a 时，2 2(

20、)2,f x x ax a 2min2(),0 2,0()(),02,0f a a a af xf a aa a 综上22min2,0()2,03a af xaa（3）(,)x a 时，()1 h x 得2 23 2 1 0 x ax a，2 2 24 12(1)12 8 a a a 当6 62 2a a 或时，0,(,)x a；当6 62 2a 时，0,得：2 23 2 3 2()()03 3a a a ax xx a 讨论得：当2 6(,)2 2a 时，解集为(,)a;当6 2(,)2 2a 时，解集为2 23 2 3 2(,)3 3a a a aa;当2 2,2 2a 时，解集为23 2

21、,)3a a.【名师点睛】：函数综合问题是历年高考的热点和重点内容之一，一般难度较大，考查内容和形式灵活多样.例设二次函数 20 f x ax bx c a，方程的两个根满足.当 10,x x 时，证明.证明：由题意可知)()(2 1x x x x a x x f.ax x x102 1，0)(2 1 x x x x a，当 10,x x 时，x x f)(.向东走与向北走转盘逆时针转圈与顺时针转圈下列每组数中相等的是和和和和在个个下列说法正确的是中整式有个个 长度为或或下列说法没有绝对值最小的有理数分数一定是有理数有理数的绝对值一定是正数一个分数不是正的就是负 有理数在数轴上对应的点如图所示

22、正确的是将一列有理数按如图所示的方式进行排列则应排在位置位置位置位置二填精品文档 精品文档 又)1)()()(2 1 1 2 1 1 ax ax x x x x x x x x a x x f，,0 1 1,02 2 1 ax ax ax x x 且 1)(x x f，综上可知，所给问题获证.【名师点睛】：在已知方程两根的情况下，根据函数与方程根的关系，可以写出函数 x x f 的表达式，从而得到函数)(x f的表达式.例 已知函数1()(),3xf x x-1，1，函数 g(x)=f（x）2-2af(x)+3 的最小值为 h(a).（1）求 h(a);(2)是否存在实数 m，n,同时满足以下

23、条件：mn3;当 h(a)的定义域为 n,m 时，值域为2 2,n m？若存在，求出 m，n 的值，否则，说明理由.解：（1）因为-1 x 1,21(),()()2 3,3xt g x u t t at 设 则 2 21,3,()()3.3t u t t a a 其中min min2min1 1 28 2 1()(),(),3()(),3 3 9 3 3()3,3()(3),()12 6,a y h a u h a a a y h a u ah a a a y h a u h a a 若 时则 若 时则若 时则 228 2 1()9 3 31:()3(3).312 6(3)aah a a aa

24、 a 综合得（2）因为 mn3,故 h(a)=12-6a,且 h(a)在(3,+)上单调递减，假设 h(a)定义域为 n，m，值域为2 2,n m，则有2 22 2()12 6,.()12 6h n m n mh m n m n 即 两式相减得 6（m-n)=(m-n)(m+n),又 mn3,所以 m+n=6.这与“mn3 m+n6”矛盾，故满足条件的实数 m,n 不存在.【名师点睛】：（1）复合函数.可设 t=f(x)并求出 t 的范围，将 g(x)化为关于新元 t 的二次函数，再求 h(a).（2）探索性问题，往往先假设成立，并依此探求，如能求出合适的值 m,n，说明“假设成立”是正确的，

25、否则，不成立.例设a为实数，函数2()1 f x x x a，x R（1）讨论()f x的奇偶性；（2）求()f x的最小值 解：（1）当0 a 时，函数2()()1()f x x x f x，此时()f x为偶函数；当0 a 时，2()1 f a a，2()2 1 f a a a，()()f a f a，()()f a f a 此时函数()f x既不是奇函数，也不是偶函数；向东走与向北走转盘逆时针转圈与顺时针转圈下列每组数中相等的是和和和和在个个下列说法正确的是中整式有个个 长度为或或下列说法没有绝对值最小的有理数分数一定是有理数有理数的绝对值一定是正数一个分数不是正的就是负 有理数在数轴上

26、对应的点如图所示正确的是将一列有理数按如图所示的方式进行排列则应排在位置位置位置位置二填精品文档 精品文档（）当x a 时，函数2 21 3()1()2 4f x x x a x a 若12a，则函数()f x在 a,上单调递减，从而，函数()f x在 a,上的最小值为2()1 f a a；若12a，则函数()f x在 a，上的最小值为1 3()2 4f a，且1()()2f f a；当x a 时，函数2 21 3()1()2 4f x x x a x a；若12a，则函数()f x在 a，上的最小值为1 3()2 4f a，且1()()2f f a 若12a，则 函 数()f x在 a，上

27、单 调 递 增，从 而，函 数()f x在 a，上 的 最 小 值 为2()1 f a a 综上，当12a 时，函数()f x的最小值是34a，当1 12 2a 时，函数()f x的最小值是21 a，当12a 时，函数()f x的最小值是34a【名师点睛】：函数奇偶性的讨论问题是中学数学的基本问题，如果平时注意知识的积累，对解此题会有较大帮助.因为 x R，(0)f=|a|+10，由此排除()f x是奇函数的可能性.运用偶函数的定义分析可知，当 a=0 时，()f x是偶函数，第 2 题主要考查学生的分类讨论思想、对称思想。考点六 抽象函数 例：已知函数()f x是定义在实数集R上的不恒为零的

28、偶函数，且对任意实数x都有(1)xf x(1)()x f x，则5()2f f的值是 A.0 B.12 C.1 D.52 解：当12x 时有1 1 1 1(1)(1)()2 2 2 2f f，即1 1()()2 2f f 又 f x是偶函数 1 1()()2 2f f 1()02f 当12x 时有1 1 1 1(1)(1)()02 2 2 2f f，3()02f 当32x 时有3 3 3 3(1)(1)()02 2 2 2f f，5()02f，又当0 x 时有 0(0 1)(1 0)(0)f f，(0)0 f，5()=(0)02f f f，故选（A）【名师点睛】：所谓抽象函数问题，是指没有具体

29、地给出函数的解析式，只给出它的一些特征或性质。解决这类问题常涉及到函数的概念和函数的各种性质，因而它具有抽象性、综合性和技巧性等特点。例：定义在 R上的单调函数()f x满足(3)f=log23 且对任意 x，y R都有()f x y=()f x+()f y(1)求证()f x为奇函数；(2)若 f(k 3x)+f(3x-9x-2)0 对任意 x R恒成立，求实数 k 的取值范围 解：(1)：()f x y=()f x+()f y(x，y R)，令 x=y=0，代入式，得 f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0 令向东走与向北走转盘逆时针转圈与顺时针转圈下列每组数中相等的是和和和和

30、在个个下列说法正确的是中整式有个个 长度为或或下列说法没有绝对值最小的有理数分数一定是有理数有理数的绝对值一定是正数一个分数不是正的就是负 有理数在数轴上对应的点如图所示正确的是将一列有理数按如图所示的方式进行排列则应排在位置位置位置位置二填精品文档 精品文档 y=-x，代入式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又 f(0)=0，则有 0=f(x)+f(-x)即 f(-x)=-f(x)对任意 x R 成立，所以 f(x)是奇函数(2)：f(3)=log23 0，即 f(3)f(0)，又 f(x)在 R 上是单调函数，所以 f(x)在 R 上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数 f(k 3

31、x)-f(3x-9x-2)=f(-3x+9x+2)，k3x-3x+9x+2，32 x-(1+k)3x+2 0 对任意 xR 成立令 t=3x 0，问题等价于 t2-(1+k)t+2 0 对任意 t 0 恒成立 R 恒成立【名师点睛】：利用抽象条件，通过合理赋值(赋具体值或代数式)、整体思考、找一个具体函数原型等方法去探究函数的性质。如奇偶性、周期性、单调性、对称性等，再运用相关性质去解决有关问题，是求解抽象函数问题的常规思路。其中合理赋值起关键性的作用。对抽象函数问题的考查在近几年高考中有逐年增加数量的趋势。考点七：利用导数研究曲线的切线 例：曲线2xyx在点 1,1 处的切线方程为（）（A）

32、2 1 y x（B）2 1 y x（C）2 3 y x（D）2 2 y x 解：因为 22(2)yx，所以，在点 1,1 处的切线斜率1222(1 2)xk y，所以，切线方程为1 2(1)y x，即2 1 y x，故选 A.【名师点睛】求曲线切线方程的步骤：（1）求出函数()y f x 在点0 x x 的导数，即曲线()y f x 在点0 0(,()P x f x处切线的斜率；（2）在已知切点坐标0 0(,()P x f x和切线斜率的条件下，求得切线方程为0 0 0()()y y f x x x。注：当曲线()y f x 在点0 0(,()P x f x处的切线平行于y轴（此时导数不存在）

33、时，由切线定义可知，切线方程为0 x x；当切点坐标未知时，应首先设出切点坐标，再求解。考点八：利用导数研究导数的单调性 向东走与向北走转盘逆时针转圈与顺时针转圈下列每组数中相等的是和和和和在个个下列说法正确的是中整式有个个 长度为或或下列说法没有绝对值最小的有理数分数一定是有理数有理数的绝对值一定是正数一个分数不是正的就是负 有理数在数轴上对应的点如图所示正确的是将一列有理数按如图所示的方式进行排列则应排在位置位置位置位置二填精品文档 精品文档 例：已知函数1()ln 1()af x x ax a Rx（1）当1 a 时，求曲线()y f x 在点(2,(2)f处的切线方程；（2）当12a

34、时，讨论()f x的单调性.解（1）当 1()a f x 时，),0(,12ln xxx x所以 222 x xf xx 因此 2 1 f,即曲线()2(2)1.y f x f 在点（，处的切线斜率为，又,2 2 ln)2(f所以曲线()2(2)(ln 2 2)2,y f x f y x 在点（，处的切线方程为 ln 2 0.x y 即（2）因为11ln)(xaax x x f,所以21 1)(xaaxx f 221xa x ax),0(x,令,1)(2a x ax x g),0(x当0 a 时，()1,0,g x x x 所以 当 0,1 x 时，g x0，此时 0 f x，函数 f x单调

35、递减；当 1,x 时，g x0，此时 0 f x，函数 f x单调递增.当0 a 时，由 0 f x，即21 0 ax x a，解得1 211,1 x xa.当12a 时，1 2x x，0 g x 恒成立，此时 0 f x，函数 f x在（0，+）上单调递减;当102a 时，11 1 0a，0,1 x 时，0 g x,此时 0 f x,函数 f x单调递减 11,1 xa 时，g x0,此时 0 f x,函数 f x单调递增11,xa 时，0 g x，此时 0 f x，函数 f x单调递减 当0 a 时，由于11 0a,0,1 x 时，0 g x,此时 0 f x,函数 f x单调递减：1,x

36、 时，g x0,此时 0 f x,函数 f x单调递增.综上所述：当0 a 时，函数 f x在 0,1上单调递减;函数 f x在 1,上单调递增 当12a 时,函数 f x在 0,上单调递减当102a 时，函数 f x在 0,1上单调递减；函数 f x 在11,1a 上单调递增；函数 f x在11,a 上单调递减.【名师点睛】利用导数研究函数单调性的一般步骤。（1）确定函数的定义域；（2）求导数()f x；（3）若求单调区间（或证明单调性），只需在函数()f x的定义域内解（或证明）不等式()f x 0 或()f x 0。向东走与向北走转盘逆时针转圈与顺时针转圈下列每组数中相等的是和和和和在个

37、个下列说法正确的是中整式有个个 长度为或或下列说法没有绝对值最小的有理数分数一定是有理数有理数的绝对值一定是正数一个分数不是正的就是负 有理数在数轴上对应的点如图所示正确的是将一列有理数按如图所示的方式进行排列则应排在位置位置位置位置二填精品文档 精品文档 若已知()f x的单调性，则转化为不等式()f x 0 或()f x 0 在单调区间上恒成立问题求解。考点九：利用导数研究函数的极值与最值 例：请你设计一个 LED霓虹灯 灯箱。现有一批 LED霓虹灯箱材料 如图所示，ABCD 是边长为 60cm的正方形LED散片，边 CD上有一以其中点 M为圆心，半径为 2cm的半圆形缺损，因此切去阴影部

38、分（含 半圆形缺损）所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 ABCD 四个点重合于空间一点P，正好形成一个正四棱柱形状有盖的 LED霓虹灯 灯箱，E、F 在 AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设 AE=FB=xcm.（1）用规格长宽高=cm cm cm 75 145 145 外包装盒来装你所设计的 LED霓虹灯 灯箱，灯箱彼此间隔空隙至多 0.5cm，请问包装盒至少能装多少只 LED霓虹灯 灯箱（每只灯箱容积 V最大时所装灯箱只数最少）?（2）若材料成本 2 元/cm2,霓虹灯 灯箱销售时 以霓虹灯 灯箱侧面积 S（cm2）为准，售价为 2.4 元/cm2.试问每售出一

39、个 霓虹灯 灯箱可获最大利润是多少？解（1）)2 2 30 0)(30(2 4)2 60(22)2(2 2 x x x x x V，所以，)20(2 12 x x V，当20 0 x时，V递增，当30 20 x时，V递减，所以，当 x=20 时，V最大.此时正四棱柱形灯箱底面边长）（cm 3.28 2 20，高为）（cm 2.14 2 10.用规格为cm cm cm 75 145 145 外包装盒来装灯箱，彼此间隔空隙至多 0.5cm，至少装下5 5 5=125 个灯箱.答：至少装下 125 个灯箱.（2）2 2 2 28 240)2 60(4 60 x x x x S（2 2 30 0 x）

40、,所以 x=15cm时侧面积最大，最大值是1800 15 8 15 2402（cm2）此时获利最大，最大利润为720 1800)2 4.2(（元）.答：每个灯箱最大利润 720 元.【名师点睛】1 利用导数研究函数的极值的一般步骤：（1）确定定义域。（2）求导数()f x。（3）或求极值，则先求方程()f x=0 的根，再检验()f x在方程根左右值的符号，求出极值。（当根中有参数时要注意分类讨论）若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程()f x=0 的根的大小或存在情况，从而求解。2 求函数()y f x 的极值与端点处的函数值(),()f a f b比较，其中最大的一个是最大值，最小的

41、一个是最小值。考点十：利用导数研究函数的图象 例：()已知函数()f x=x3-x，其图像记为曲线 C.（i）求函数()f x的单调区间；(ii)证明：若对于任意非零实数 x1，曲线 C 与其在点 P1（x1,f(x1）处的切线交于另一点 P2（x2,f(x2).曲线 C 与其在点 P2处的切线交于另一点 P3（x3 f(x3)），线段 P1P2,P2P3与曲线 C 所围成封闭图形的面积分别记为 S1,S2，则12ss为定值：（）对于一般的三次函数()g x=ax3+bx2+cx+d(a0)，请给出类似于()(ii)的正确命题，并予以证明。【命题立意】本小题主要考查函数、导数、定积分等基础知识

42、，考查抽象概括、推理论证、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归转化思想、特殊与一般的思想。向东走与向北走转盘逆时针转圈与顺时针转圈下列每组数中相等的是和和和和在个个下列说法正确的是中整式有个个 长度为或或下列说法没有绝对值最小的有理数分数一定是有理数有理数的绝对值一定是正数一个分数不是正的就是负 有理数在数轴上对应的点如图所示正确的是将一列有理数按如图所示的方式进行排列则应排在位置位置位置位置二填精品文档 精品文档 解（)(i)1 3)(1 3(1 3)(2 x x x x f，令0)(x f得 到3131 x x 或，令0)(x f有3131 x，因此原函 数的单调递增区间为

43、)31,(和),31(；单调递减区间为)31,31(；(ii)1 3)(2 x x f，),(131 1 1x x x P，1 3)(21 1 x x f，因此过点1P的切线方程为：2 31 1 1 13 1 y x x x x x，即 2 31 13 1 2 y x x x，由 2 31 133 1 2 y x x xy x x得 3 2 31 13 1 2 x x x x x，所以1 x x或12 x x，故2 12 x x，进而有 1123 2 31 1 13 2 xxS x x x x dx1 4 2 2 3 41 1 1121 3 2724 2 4 xx x x x x xx，用2x

44、代替1x，重复上面的计算，可得3 22 x x和42 2274 S x，又2 12 0 x x，42 127 1604 S x，因此有16121 SS。（）【命题】若对于任意函数d cx bx ax x g 2 3)(的图像为曲线 C，其类似于(I)(ii)的命题为：若对任意不等于ab3的实数1x，曲线与其在点)(,(1 1 1x g x P处的切线交于另一点)(,(2 2 2x g x P，曲线 C与其在点)(,(2 2 2x g x P处的切线交于另外一点)(,(3 3 3x g x P，线段2 1P P、3 2P P与曲线 C所围成面积为2 1S S、，则16121 SS。【证明】对于曲

45、线d cx bx ax y 2 3，无论如何平移，其面积值是恒定的，所以这里仅考虑cx bx ax y 2 3的情形，c bx ax y 2 3 2，),(12131 1 1cx bx ax x P，c bx ax x f 121 12 3)(，因此过点1P的切线方程为：2131 1212)2 3(bx x x c bx ax y，联立 cx bx ax ybx x x c bx ax y2 32131 1212)2 3(，得到：0 2 2 33121 1212 3 x bx x bx ax bx ax，化简：得到从而0)2()(121 ax b ax x x所以)6 4 2,2(1212 2

46、12aac abx x a baax bP 同样运用(i)向东走与向北走转盘逆时针转圈与顺时针转圈下列每组数中相等的是和和和和在个个下列说法正确的是中整式有个个 长度为或或下列说法没有绝对值最小的有理数分数一定是有理数有理数的绝对值一定是正数一个分数不是正的就是负 有理数在数轴上对应的点如图所示正确的是将一列有理数按如图所示的方式进行排列则应排在位置位置位置位置二填精品文档 精品文档 中方法便可以得到2 1 32 42x xabx 所以16121 SS。【名师点睛】函数导数的内容在历届高考中主要切线方程、导数的计算，利用导数判断函数单调性、极值、最值等问题，试题还与不等式、三角函数、数列、立几

47、、解几等知识的联系，类型有交点个数、恒成立问题等,其中渗透并充分利用构造函数、分类讨论、转化与化归、数形结合等重要的思想方法，主要考查导数的工具性作用。突破训练 1、已知函数 3 2()3(3 6)12 4 f x x ax a x a a R()证明：曲线()y f x 0 x 在 的切线过点（2，2）；（）若0 0()f x x x x 在 处取得最小值，（1，3），求 a 的取值范围。【解析】()3 2()3(3 6)12 4 f x x ax a x a，2()3 6 3 6 f x x ax a，故 x=0 处切线斜率3 6 k a，又(0)12 4,12 4(3 6)f a y a

48、 a x 切线方程为即(3 6)12 4 0 a x y a，当2,2 x y 时，(3 6)2 2 12 4 6 12 2 12 4 0 a a a a 故曲线()0(2,2)y f x x 在 处的切线过点（）0 x Q 处取极小值，令2()3 6 3 6,()g x x ax a g x 由题意知 在(1,3)有解 0 0)0;)0 x x x x x x 且 时 g(时 g(，故2(6)4 3(3 6)0(1)0(3)0a agg 2(6)4 3(3 6)0(1)0 2 1(3)0a ag ag 或 2、设函数2 2()ln(0)f x a x x ax a（）求()f x单调区间（）

49、求所有实数a，使21()e f x e 对1,x e 恒成立，注：e为自然对数的底数【解析】：（）因为2 2()ln(0)f x a x x ax a 所以2()(2)()2a x a x af x x ax x 由于0 a 所以()f x的增区间为(0,)a，减区间为(,)a。（）由题意得(1)1 1 f a e 即a e。由（）知()f x在1,e单调递增，要使21()e f x e 向东走与向北走转盘逆时针转圈与顺时针转圈下列每组数中相等的是和和和和在个个下列说法正确的是中整式有个个 长度为或或下列说法没有绝对值最小的有理数分数一定是有理数有理数的绝对值一定是正数一个分数不是正的就是负

50、有理数在数轴上对应的点如图所示正确的是将一列有理数按如图所示的方式进行排列则应排在位置位置位置位置二填精品文档 精品文档 对1,x e 恒成立，只要2 2 2(1)1 1()f a ef e a e ae e 解得a e 3、设()f x=3 22 1 x ax bx 的导数为()f x,若函数y=()f x的图象关于直线x=12对称，且(1)f=0.()求实数a,b的值;()求函数()f x的极值.【解析】()()f x=26 2 x ax b,若函数y=()f x 的图象关于直线x=12对称，且(1)f=0,212a=12且26 1 2 1 0 a b，解得a=3，b=12.()由()知(