最新高考文科数学全国新课标卷1试题与答案word解析版.pdf

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1、精品文档 精品文档 2013 年普通高等学校招生全国统一考试(新课标全国卷 I)数学（文科）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分 150 分，考试时间 120 分钟。第卷（选择题 共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1(2013 课标全国，文 1)已知集合 A 1,2,3,4，B x|x n2，n A，则 A B()A 1,4 B 2,3 C 9,16 D 1,2【答案】A【考点】本题主要考查集合的基本知识。【解析】B x|x n2，n A 1,4,9,16，A B 1,4 2(2013 课标全国，

2、文 2)21 2i1 i()A.1 12 B 11+i2 C 1+12 D 1 12【答案】B【考点】本题主要考查复数的基本运算。【解析】21 2i 1 2i 1 2i i 2 i1 i 2i 2 2 11+i2.3(2013 课标全国，文 3)从 1,2,3,4 中任取 2 个不同的数，则取出的 2 个数之差的绝对值为 2 的概率是()A 12 B 13 C 14 D 16【答案】B【考点】本题主要考查列举法解古典概型问题的基本能力。【解析】由题意知总事件数为 6，且分别为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，满足条件的事件数是 2，所以所求的概率为13.4

3、(2013 课标全国，文 4)已知双曲线 C：2 22 2=1x ya b(a 0，b 0)的离心率为52，则 C 的渐近线方程为()A y=14 B y=13 C 12y x D y=【答案】C【考点】本题主要考查双曲线的离心率、渐近线方程。精品文档 精品文档【解析】52e，52ca，即2254ca.c2 a2 b2，2214ba.12ba.双曲线的渐近线方程为by xa，渐近线方程为12y x.故选 C.5(2013 课标全国，文 5)已知命题 p：x R,2x 3x；命题 q：x R，x3 1 x2，则下列命题中为真命题的是()A p q B p q C pq D pq【答案】B【考点】

4、本题主要考查常用逻辑用语等基本知识。【解析】由 20 30知，p 为假命题令 h(x)x3 1 x2，h(0)1 0，h(1)1 0，x3 1 x2 0 在(0,1)内有解 x R，x3 1 x2，即命题 q 为真命题由此可知只有p q 为真命题故选 B.6(2013 课标全国，文 6)设首项为 1，公比为23的等比数列 an 的前 n 项和为 Sn，则()A=2 1 B=3 2 C=4 3 D=3 2【答案】D【考点】本题主要考查等比数列前 n 项和公式。【解析】1 1211321 113nnnnaa a q a qSq q 3 2an，故选 D.7(2013 课标全国，文 7)执行下面的程

5、序框图，如果输入的 t 1,3，则输出的 s 属于()A 3,4 B 5,2 C 4,3 D 2,5【答案】A【考点】本题主要考查程序框图的认识、分段函数求值域及水性结合的思想。【解析】当1 t 1 时，s 3t，则 s 3,3)当 1 t 3 时，s 4t t2.该函数的对称轴为 t 2，该函数在 1,2 上单调递增，在 2,3 上单调递减 精品文档 精品文档 smax 4，smin 3.s 3,4 综上知 s 3,4 故选 A.8(2013 课标全国，文 8)O为坐标原点，F 为抛物线 C：y24 2x的焦点，P 为 C上一点，若|PF|4 2，则 POF 的面积为()A 2 B 2 2

6、C 2 3 D 4【答案】C【考点】本题主要考查抛物线的定义、数形结合思想及运算能力。【解析】利用|PF|2 4 2Px，可得 xP3 2.yP2 6.S POF12|OF|yP|2 3.故选 C.9(2013 课标全国，文 9)函数 f(x)(1 cos x)sin x 在，的图像大致为()【答案】C【考点】本题主要考查数形结合思想及对问题的分析判断能力。【解析】由 f(x)(1 cos x)sin x 知其为奇函数可排除 B当 x0,2 时，f(x)0，排除 A.当 x(0，)时，f(x)sin2x cos x(1 cos x)2cos2x cos x 1.令 f(x)0，得23x.故极值

7、点为23x，可排除 D，故选 C.10(2013 课标全国，文 10)已知锐角 ABC 的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c,23cos2A cos 2A 0，a 7，c 6，则 b()A 10 B 9 C 8 D 5【答案】D【考点】本题主要考查三角函数的化简，考查利用余弦定理解三角形以及方程思想。【解析】由 23cos2A cos 2 A 0，得 cos2A 125.A 0,2，cos A 15.cos A 236 492 6bb，b 5 或135b(舍)故选 D.11(2013 课标全国，文 11)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()精品文档 精品文档 A 168 B

8、88 C 1616 D 816【答案】A【考点】本题主要考查三视图。简单组合体的体积。【解析】该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体 V半圆柱122248，V长方体422 16.所以所求体积为 168.故选 A.12(2013 课标全国，文 12)已知函数 f(x)22,0,ln(1),0.x x xx x 若|f(x)|ax，则 a 的取值范围是()A(，0 B(，1 C 2,1 D 2,0【答案】D【考点】本题主要考查数形结合思想、函数与方程思想、利用导数研究函数间关系，对分析能力有较高要求。【解析】可画出|f(x)|的图象如图所示 当 a 0 时，y ax 与 y|f(x)|恒

9、有公共点，所以排除 B，C；当 a0 时，若 x 0，则|f(x)|ax 恒成立 若 x0，则以 y ax 与 y|x2 2x|相切为界限，由2,2,y axy x x 得 x2(a 2)x 0.(a 2)2 0，a 2.a 2,0 故选 D.第卷（选择题 共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13(2013 课标全国，文 13)已知两个单位向量 a，b 的夹角为 60，c t a(1 t)b.若 b c 0，则 t _.【答案】2【考点】本题主要考查向量的基本知识及运算。【解析】b c 0，|a|b|1，a，b60，a b1 11 12 2.b c t a(1 t)b

10、 b 0，即 t a b(1 t)b2 0.12t 1 t 0.t 2.14(2013 课 标 全 国，文 14)设 x，y 满 足 约 束 条 件精品文档 精品文档 1 3,1 0,xx y 则 z 2x y 的最大值为 _【答案】3【考点】本题主要考查简单的线性规划问题。【解析】画出可行域如图所示 画出直线 2x y 0，并平移，当直线经过点 A(3,3)时，z 取最大值，且最大值为 z23 3 3.15(2013 课标全国，文 15)已知 H是球 O的直径 AB上一点，AH HB 1 2，AB 平面，H为垂足，截球 O所得截面的面积为，则球 O的表面积为 _【答案】92【考点】本题主要考

11、查球及基本几何体的基本知识。【解析】如图，设球 O的半径为 R，则 AH 23R，OH 3R.又 EH2，EH 1.在 Rt OEH 中，R222+13R，R298.S球4 R292.16(2013 课标全国，文 16)设当 x 时，函数 f(x)sin x 2cos x 取得最大值，则 cos _.【答案】2 55【考点】本题主要考查三角函数的化简与求值。【解析】f(x)sin x 2cos x5sin(x)，其中 sin 2 55，cos 55.当 x 2k2(k Z)时，f(x)取最大值 即 2k2(k Z)，2k2(k Z)cos cos2 sin 2 55.三、解答题：解答应写出文字

12、说明，证明过程或演算步骤 17(2013 课标全国，文 17)(本小题满分 12分)已知等差数列 an 的前 n项和 Sn满足 S3 0，S55.(1)求 an 的通项公式；精品文档 精品文档(2)求数列2 1 2 11n na a 的前 n 项和【考点】本题主要考查等差数列的基本知识，特殊数列的求和等。【解析】(1)设 an 的公差为 d，则 Sn1(1)2n nna d.由已知可得 31+3d=051+10d=5 解得 a1 1，d 1.故 an 的通项公式为 an 2 n.(2)由(1)知2 1 2 11n na a 1 1 1 13 2 1 2 2 2 3 2 1 n n n n，从而

13、数列2 1 2 11n na a 的前 n 项和为 1 1 1 1 1 1 12 1 1 1 3 2 3 2 1 n n L 1 2nn.18(2013 课标全国，文 18)(本小题满分 12 分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为 A药，B 药)的疗效，随机地选取 20 位患者服用 A药，20 位患者服用 B 药，这 40 位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)试验的观测结果如下：服用 A药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间：0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3

14、.1 2.3 2.4 服用 B 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间：3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？(2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？【考点】本题主要考查统计的基本知识。茎叶图等。【解析】(1)设 A药观测数据的平均数为x，B 药观测数据的平均数为y.由观测结果可得 精品文档 精品文档 x120(0.6 1.2 1.2 1.5 1.5 1.8 2.2 2.3 2.3 2.4

15、 2.5 2.6 2.7 2.7 2.8 2.9 3.0 3.1 3.2 3.5)2.3，y120(0.5 0.5 0.6 0.8 0.9 1.1 1.2 1.2 1.3 1.4 1.6 1.7 1.8 1.9 2.1 2.4 2.5 2.6 2.7 3.2)1.6.由以上计算结果可得xy，因此可看出 A药的疗效更好(2)由观测结果可绘制如下茎叶图：从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有710的叶集中在茎 2,3 上，而 B 药疗效的试验结果有710的叶集中在茎 0,1 上，由此可看出 A药的疗效更好 19(2013 课标全国，文 19)(本小题满分 12 分)如图，三棱柱 ABC A1B

16、1C1中，CA CB，AB AA1，BAA160.(1)证明：AB A1C；(2)若 AB CB 2，A1C 6，求三棱柱 ABC A1B1C1的体积【考点】本题主要考查线面垂直问题，考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算能力及转化能力。【解析】(1)取 AB的中点 O，连结 OC，OA1，A1B.因为 CA CB，所以 OC AB.由于 AB AA1，BAA160，故 AA1B为等边三角形，所以 OA1 AB.因为 OC OA1 O，所以 AB 平面 OA1C.又 A1C 平面 OA1C，故 AB A1C.(2)由题设知 ABC 与 AA1B 都是边长为 2 的等边三角形，所以 OC OA13

17、.又 A1C 6，则 A1C2 OC221OA，故 OA1 OC.因为 OC AB O，所以 OA1平面 ABC，OA1为三棱柱 ABC A1B1C1的高 精品文档 精品文档 又 ABC 的面积 S ABC3，故三棱柱 ABC A1B1C1的体积 V S ABC OA1 3.20(2013 课标全国，文 20)(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)ex(ax b)x2 4x，曲线 y f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为 y 4x 4.(1)求 a，b 的值；(2)讨论 f(x)的单调性，并求 f(x)的极大值【考点】本题主要考查导数的基本知识，利用导数判断函数单调性、求极值。【解析】

18、(1)f(x)ex(ax a b)2x 4.由已知得 f(0)4，f(0)4.故 b 4，a b 8.从而 a 4，b 4.(2)由(1)知，f(x)4ex(x 1)x2 4x，f(x)4ex(x 2)2x 4 4(x2)1e2x.令 f(x)0 得，x ln 2 或 x 2.从而当 x(，2)(ln 2，)时，f(x)0；当 x(2，ln 2)时，f(x)0.故 f(x)在(，2)，(ln 2，)上单调递增，在(2，ln 2)上单调递减 当 x 2 时，函数 f(x)取得极大值，极大值为 f(2)4(1 e 2)21(2013 课标全国，文 21)(本小题满分 12 分)已知圆 M：(x 1

19、)2 y2 1，圆 N：(x 1)2 y2 9，动圆 P 与圆 M外切并且与圆 N内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C.(1)求 C 的方程；(2)l 是与圆 P，圆 M都相切的一条直线，l 与曲线 C 交于 A，B 两点，当圆 P 的半径最长时，求|AB|.【考点】本题主要考查直线、圆、椭圆结合的解析几何的综合问题，考查考生的分析能力和计算能力。【解析】由已知得圆 M的圆心为 M(1,0)，半径 r1 1；圆 N的圆心为 N(1,0)，半径 r2 3.设圆 P 的圆心为 P(x，y)，半径为 R.(1)因为圆 P 与圆 M外切并且与圆 N内切，所以|PM|PN|(R r1)(r2 R)r1 r2

20、 4.由椭圆的定义可知，曲线 C 是以 M，N为左、右焦点，长半轴长为 2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为2 2=14 3x y(x 2)(2)对于曲线 C上任意一点 P(x，y)，由于|PM|PN|2R 22，所以 R2，当且仅当圆 P 的圆心为(2,0)时，R 2.所以当圆 P 的半径最长时，其方程为(x 2)2 y2 4.精品文档 精品文档 若 l 的倾斜角为 90，则 l 与 y 轴重合，可得|AB|2 3.若 l 的倾斜角不为 90，由 r1 R知 l 不平行于 x 轴，设 l 与 x 轴的交点为 Q，则1|QP RQM r，可求得 Q(4,0)，所以可设 l：y k(x

21、 4)由 l 与圆 M相切得2|3|1kk 1，解得 k24.当 k24时，将224y x 代入2 2=14 3x y，并整理得 7x2 8x 8 0，解得 x1,24 6 27，所以|AB|21 k|x2 x1|187.当 k24时，由图形的对称性可知|AB|187.综上，|AB|2 3或|AB|187.请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑 22(2013 课标全国，文 22)(本小题满分 10 分)选修 41：几何证明选讲 如图，直线 AB为圆的切线，切点为

22、 B，点 C 在圆上，ABC 的角平分线 BE交圆于点 E，DB垂直 BE交圆于点 D.()证明：DB=DC;()设圆的半径为 1，BC=3，延长 CE交 AB于点 F，求 BCF外接圆的半径。【考点】本题主要考查几何证明中的圆的集合性质、切线的相关定理与结论的应用。【解析】(1)连结 DE，交 BC于点 G.由弦切角定理得，ABE BCE.而 ABE CBE，故 CBE BCE，BE CE.又因为 DB BE，所以 DE为直径，DCE 90，由勾股定理可得 DB DC.(2)由(1)知，CDE BDE，DB DC，故 DG是 BC的中垂线，精品文档 精品文档 所以 BG 32.设 DE的中点

23、为 O，连结 BO，则 BOG 60.从而 ABE BCE CBE 30，所以 CF BF，故 Rt BCF 外接圆的半径等于32.23(2013 课标全国，文 23)(本小题满分 10 分)选修 44：坐标系与参数方程已知曲线 C1的参数方程为4 5cos,5 5sinx ty t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 2sin.(1)把 C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求 C1与 C2交点的极坐标(0,0 2)【考点】本题主要考查参数方程、极坐标方程、普通方程的互化。【解析】(1)将4 5cos,5 5sinx ty t 消去参数

24、t，化为普通方程(x 4)2(y 5)2 25，即 C1：x2 y2 8x 10y 16 0.将cos,sinxy 代入 x2 y2 8x 10y 16 0 得 2 8 cos 10 sin 16 0.所以 C1的极坐标方程为 2 8 cos 10 sin 16 0.(2)C2的普通方程为 x2 y2 2y 0.由2 22 28 10 16 0,2 0 x y x yx y y 解得1,1xy或0,2.xy 所以 C1与 C2交点的极坐标分别为2,4，2,2.24(2013 课标全国，文 24)(本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲已知函数 f(x)|2 x 1|2 x a|，g(x)

25、x 3.(1)当 a 2 时，求不等式 f(x)g(x)的解集；精品文档 精品文档(2)设 a 1，且当 x1,2 2a 时，f(x)g(x)，求 a 的取值范围【考点】本题主要考查绝对值不等式的解法，分段函数等，考查考生分析、解决问题的能力。【解析】(1)当 a 2 时，不等式 f(x)g(x)化为|2 x 1|2 x 2|x 3 0.设函数 y|2 x 1|2 x 2|x 3，则 y15,212,1,23 6,1.x xx xx x 其图像如图所示从图像可知，当且仅当 x(0,2)时，y 0.所以原不等式的解集是 x|0 x 2(2)当 x1,2 2a 时，f(x)1 a.不等式 f(x)g(x)化为 1 a x 3.所以 x a 2 对 x1,2 2a 都成立 故2a a 2，即 a43.从而 a 的取值范围是41,3.