最新指数与指数函数图像及性质.pdf

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1、精品文档 精品文档 指数与指数函数图像及性质【知识要点】1根式（1）如果a xn，那么x叫做a的n次方根.其中1 n，且 N n。（2）如果a xn，当n为奇数时，n a x；当n为偶数时，n a x 0 a.其中n a叫做根式,n叫做根指数,a叫做被开方数.其中1 n，且 N n。(3)N n n a ann n,1,0 0。(4),|,n na naa n为奇数为偶数 其中1 n，且 N n。2.分数指数幂(1)正分数指数幂的定义:n mnma a 1,0 n N n m a(2)负分数指数幂的定义:nmnmaa1 1,0 n N n m a(3)要注意四点：分数指数幂是根式的另一种表示形

2、式；根式与分数指数幂可以进行互化；0 的正分数指数幂等于 0；0 的负分数指数幂无意义。(4)有理数指数幂的运算性质:s r s ra a a Q s r a,0；rssra a Q s r a,0；精品文档 精品文档 r rrb a ab Q r b a,0,0.3.无理数指数幂(1)无理数指数幂的值可以用有理数指数幂的值去逼近;(2)有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂。4指数函数的概念：一般地，函数 0,1xy a a a 且叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R。5指数函数的图像与性质 函数名称 指数函数 定义 函数(0 xy a a 且1)a 叫做指数函数 图象 1

3、a 0 1 a 要注意四点分数指数幂是根式的另一种表示形式根式与分数指数幂可以进行互化的正分数指数幂等于的负分数指数幂 近有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂指数函数的概念一般地函数是且叫做指数函数其中是自变量函数 定点奇偶性单调性变化对图象的影响图象过定点即当时非奇非偶在上是增函数在上是减函数在第一象限内越大图象越精品文档 精品文档 定义域 R 值域(0,)过定点 图象过定点(0,1)，即当0 x 时，1 y 奇偶性 非奇非偶 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 a变化对图象的影响 在第一象限内，a越大图象越高；在第二象限内，a越大图象越低 第一课时【典例精讲】题型一 根式、指数

4、幂的化简与求值 1.na叫做a的n次幂，a叫做幂的底数，n叫做幂的指数，规定：1a a；2.()(1,)n n a a n n N,|,n na naa n为奇数为偶数；3.1(0,)nmnmna a m n Nma 且 为既约分数，=a a（）.【例 1】计算下列各式的值（1）33(8)；（2）2(10)；（3）44(3)；（4）2()()a b a b.正确解析：（1）33(8)8；（2）2(10)|10|10；（3）44(3)|3|3；要注意四点分数指数幂是根式的另一种表示形式根式与分数指数幂可以进行互化的正分数指数幂等于的负分数指数幂 近有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂指数

5、函数的概念一般地函数是且叫做指数函数其中是自变量函数 定点奇偶性单调性变化对图象的影响图象过定点即当时非奇非偶在上是增函数在上是减函数在第一象限内越大图象越精品文档 精品文档（4）2()|()a b a b a b a b.温馨提醒：(1)()n n a中实数a的取值由n的奇偶性确定，只要()n n a有意义，其值恒等于a，即()n n a a；(2)n na是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶性限制，a R，但n na的值受n的奇偶性影响.【变式 1】求下列各式的值：（1）3n n（）（*1,n n N 且）；（2）2()x y.【例 2】计算 21 3013 410.027 256 3 2

6、17【答案】21 3013 41 1 4790.027 256 3 2 1 0.3 49 64 17 3 30【变式 2】化简323 4(5)的结果为（）A 5 B C D 5【答案】B【解析】323 4(5)，故选B 要注意四点分数指数幂是根式的另一种表示形式根式与分数指数幂可以进行互化的正分数指数幂等于的负分数指数幂 近有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂指数函数的概念一般地函数是且叫做指数函数其中是自变量函数 定点奇偶性单调性变化对图象的影响图象过定点即当时非奇非偶在上是增函数在上是减函数在第一象限内越大图象越精品文档 精品文档【变式 3】1332 76 01484 22323

7、_.【答案】2【解析】原式1323 1 34214213223.题型二 根式、指数幂的条件求值 1.0 a 时，0;ba 2.0 a 时，01 a；3.若,r sa a 则r s；4.1 1 1 122 2 2 22()(0,0)a a b b a b a b；5.1 1 1 12 2 2 2()()(0,0)a b a b a b a b.【例 3】已知1 12 23 a a，求下列各式的值.（1）1 1a a；（2）2 2a a；（3）2 2111a aa a【答案】(1)7;(2)47;(3)6.【解析】（1）将1 12 23 a a 两边平方得1 12 9 a a，所以1 17 a a

8、.（2）将1 17 a a 两边平方得2 22 49 a a，所以2 247 a a.（3）由（1）（2）可得2 211 47 16.1 7 1a aa a 要注意四点分数指数幂是根式的另一种表示形式根式与分数指数幂可以进行互化的正分数指数幂等于的负分数指数幂 近有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂指数函数的概念一般地函数是且叫做指数函数其中是自变量函数 定点奇偶性单调性变化对图象的影响图象过定点即当时非奇非偶在上是增函数在上是减函数在第一象限内越大图象越精品文档 精品文档【变式 1】已知,a b是方程26 4 0 x x 的两根，且0,a b 求a ba b的值.【答案】55【方法规

9、律技巧】根式、指数幂的条件求值，是代数式求值问题的常见题型，一般步骤是：(1)审题：从整体上把握已知条件和所求代数式的形式和特点；(2)化简：化简已知条件；化简所求代数式；（3）求值：往往通过整体代入，简化解题过程.【变式 2】已知12,9,x y xy 且x y，求1 12 21 12 2x yx y的值.【答案】33 要注意四点分数指数幂是根式的另一种表示形式根式与分数指数幂可以进行互化的正分数指数幂等于的负分数指数幂 近有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂指数函数的概念一般地函数是且叫做指数函数其中是自变量函数 定点奇偶性单调性变化对图象的影响图象过定点即当时非奇非偶在上是增函数

10、在上是减函数在第一象限内越大图象越精品文档 精品文档【变式 3】已知1 12 23 a a，求3 32 21 12 2a aa a的值.易错分析：本题解答一是难以想到应用“立方差”公式，二是应用“立方差”公式时易出现错误 正确解析：由于3 3 1 13 32 2 2 2()()a a a a，所以3 3 1 1 1 112 2 2 2 2 21 1 1 12 2 2 2()()a a a a a a a aa a a a=1 11 8.a a 温馨提醒：条件求值问题，化简已知条件、所求代数式是进一步代入计算的基础，熟记公式，准确化简是关键.【变式 4】（1）已知1 22 xa，求x xx xa

11、 aa a3 3；（2）已知a x 13，求6 3 22 x ax a.要注意四点分数指数幂是根式的另一种表示形式根式与分数指数幂可以进行互化的正分数指数幂等于的负分数指数幂 近有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂指数函数的概念一般地函数是且叫做指数函数其中是自变量函数 定点奇偶性单调性变化对图象的影响图象过定点即当时非奇非偶在上是增函数在上是减函数在第一象限内越大图象越精品文档 精品文档【例 4】计算下列各式的值：（1）2 4 6 3 4 7 6 2 5；（2）2 x 3 4 42 x x x；（3）1 2 1 217 515 313 11 n n；（4）5 4 2 22 223 3

12、xx xx x其中.【变式 5】化简或计算出下列各式：（1）1 2 1 316 3 2 4(124 22 3)27 16 2(8)；（2）化简6 5312121132abb a b a；（3）34a a a.【课堂练习】1.若 04 4 2 a a有意义,则a的取值范围是()A.2 a B.4 2 a或4 a C.2 a D.4 a 2.下列表述中正确的是()A.27 3 3 36263 B.32213421313 a a a a a a 要注意四点分数指数幂是根式的另一种表示形式根式与分数指数幂可以进行互化的正分数指数幂等于的负分数指数幂 近有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂指数函

13、数的概念一般地函数是且叫做指数函数其中是自变量函数 定点奇偶性单调性变化对图象的影响图象过定点即当时非奇非偶在上是增函数在上是减函数在第一象限内越大图象越精品文档 精品文档 C.无理数指数幂na(n是无理数)不是一个确定的实数 D.00a aa aann 3.已知0 a,则的值2313123131 a a a a为()A.3232 a a B.4 C.3232 a a D.4 4.计算：0430625.0833416 _.【思维拓展】1.化简 2141811613212 1 2 1 2 1 2 1 2 1的结果是()A.13212 121 B.13212 1 C.3212 1 D.3212 1

14、21 第二课时 题型三 指数函数的概念【例 1】已知函数 2()3 3xf x a a a 是指数函数，求实数a的值。【变式 1】若函数()(0 xf x a a 且1)a 的图象经过点1(2,)2，则(1)f=_.【答案】2 要注意四点分数指数幂是根式的另一种表示形式根式与分数指数幂可以进行互化的正分数指数幂等于的负分数指数幂 近有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂指数函数的概念一般地函数是且叫做指数函数其中是自变量函数 定点奇偶性单调性变化对图象的影响图象过定点即当时非奇非偶在上是增函数在上是减函数在第一象限内越大图象越精品文档 精品文档【解析】依题意可知212a，解得22a，所以

15、2()()2xf x，所以12()()22f x.【变式 2】已知函数 1,0,0.xx xf xa x 若 1 1 f f，则实数a的值等于（）A 1 B 2 C 3 D 4【答案】B【解析】1 1,1 1 2 f f a Q，故选 B.题型四 指数函数的单调性【例 2】比较下列各题中的两个值的大小:(1)1.7 2.5 与 1.73;(2)0.8-0.1 与 0.8-0.2;(3)1.7 0.3 与 0.93.1.【变式 1】比较0.2 0.71.5,1.3,132()3的大小。【变式 2】已知43 2 a，25 4 b，13 25 c，则（）（A）b a c（B）a b c（C）b c

16、a（D）c a b【答案】A【解析】因为4 2 23 3 5 2 4 4 a b，1 2 23 3 3 25 5 4 c a，所以b a c，故选 A【例 3】指数函数()(1)xf x a 在R上是增函数，则a的取值范围是（）要注意四点分数指数幂是根式的另一种表示形式根式与分数指数幂可以进行互化的正分数指数幂等于的负分数指数幂 近有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂指数函数的概念一般地函数是且叫做指数函数其中是自变量函数 定点奇偶性单调性变化对图象的影响图象过定点即当时非奇非偶在上是增函数在上是减函数在第一象限内越大图象越精品文档 精品文档 A1 a B2 a C0 1 a D1 2

17、 a【答案】B【解析】对于指数函数xy a，当1 a 时，函数在R上是增函数，当0 1 a 时，函数在R上为减函数.由题意可知：1 1 a 即，2 a，选B.【变式 3】使不等式 23x 1 2 成立的 x 的取值为()A(23，)B(1，)C(13，)D(13，)【变式 4】若(12)2a 1(12)3 2a，则实数 a 的取值范围是()A(1，)B(12，)C(，1)D(，12)【例 4】函数221y=2x x 的单调递增区间是 _ 易错分析：本题解答往往忽视函数的定义域，而出现错误 正确解析：令22 0 t x x，得函数定义域为 1 2，所以22 t x x 在1 1,2上递增，在1

18、22，递减根据“同增异减”的原则，函数221y=2x x 的单调递增区间是1 22，.温馨提醒：处理函数问题时，应注意遵循“定义域优先”的原则.题型三 指数型函数的图像【例 5】如下图所示是指数函数 xy a；xy b；xy c；xy d 的图象，试判断x=1 要注意四点分数指数幂是根式的另一种表示形式根式与分数指数幂可以进行互化的正分数指数幂等于的负分数指数幂 近有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂指数函数的概念一般地函数是且叫做指数函数其中是自变量函数 定点奇偶性单调性变化对图象的影响图象过定点即当时非奇非偶在上是增函数在上是减函数在第一象限内越大图象越精品文档 精品文档,a b

19、c d与的大小关系。【变式 1】当a 0时，函数y ax b 和y bax的图象只可能是()【变式 2】已知函数()2 2xf x，则函数|()|y f x 的图象可能是()【答案】B【解析】|f(x)|=|2 x-2|=易知函数 y=|f(x)|的图象的分段点是 x=1,且过点(1,0),(0,1),又|f(x)|0,故选 B.题型四 指数函数的性质应用【例 6】求下列函数的定义域、值域。(1)y=0.4 11 x;(2)y=31 5 x;(3)y=2x+1;(4)y=1 22 2xx.要注意四点分数指数幂是根式的另一种表示形式根式与分数指数幂可以进行互化的正分数指数幂等于的负分数指数幂 近

20、有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂指数函数的概念一般地函数是且叫做指数函数其中是自变量函数 定点奇偶性单调性变化对图象的影响图象过定点即当时非奇非偶在上是增函数在上是减函数在第一象限内越大图象越精品文档 精品文档【变式 1】求下列函数的定义域与值域。（1）13 2 x y；（2）2212x xy（3）47222 x xy【课堂练习】1若集合，则（）A A B B C.B A D 2不论 a 取何正实数，函数 f(x)ax 1 2 恒过点()A(1，1)B(1,0)C(0，1)D(1，3)3设 y1 40.9，y2 80.48，y3(12)1.5，则()A y3y1y2 B y2y1y

21、3 C y1y2y3 D y1y3y2 4设13(13)b(13)a1，则()A aaabba B aabaab C abaaba D abbaaa 5已知实数 a、b 满足等式,)31()21(b a下列五个关系式：0 ba ab0 0 ab ba0，a1)在 1,2 中的最大值比最小值大a2，则 a 的值为 _.|2,xA yy x R 2|,B yy xx R A A B A B A a12xy a 要注意四点分数指数幂是根式的另一种表示形式根式与分数指数幂可以进行互化的正分数指数幂等于的负分数指数幂 近有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂指数函数的概念一般地函数是且叫做指数函数

22、其中是自变量函数 定点奇偶性单调性变化对图象的影响图象过定点即当时非奇非偶在上是增函数在上是减函数在第一象限内越大图象越精品文档 精品文档 8.已知函数 f(x)a12x 1，若 f(x)为奇函数，则 a _.【思维拓展】【1】设，且，若函数 在区间 上的最大值为 1，求 的值。【2】已知定义域为 的函数12 2()2xxbf xa 是奇函数（1）求 的值；（2）关于 x 的不等式 f(x)2102t t，对任意x R 恒成立，求 t 取值范围【课外作业】1.计算 0312 5.010 3 2 2.0 01.0=()0 a 1 a 22 1x xy a a 1,1 aRb a,要注意四点分数指

23、数幂是根式的另一种表示形式根式与分数指数幂可以进行互化的正分数指数幂等于的负分数指数幂 近有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂指数函数的概念一般地函数是且叫做指数函数其中是自变量函数 定点奇偶性单调性变化对图象的影响图象过定点即当时非奇非偶在上是增函数在上是减函数在第一象限内越大图象越精品文档 精品文档 A.15 B.17 C.35 D.37 2.1212xxxx成立的条件是()A.012xx B.1 x C.1 x D.2 x 3.4.已知0 a,则下列等式一定成立的是()A.a a a 3443 B.03443 a a C.a a a 3231 D.94232a a 4.设nx x

24、 2 4,那么 x x 4()A.22 n B.n 22 C.22 n D.22 n 5 2175.003101.0 1687064.0_.6已知22121 a a，则（1）1a a_；（2）2 2a a_；(3)3 3a a_；（4）4 4a a_；(5)5 5a a_；（6）6 6 a a=_.7.计算 33 2 3 3 23 3 42 14 28abb ab ab a a=.8已知函数 f(x)a|x|(a0，a1)，且 f(3)8，则()要注意四点分数指数幂是根式的另一种表示形式根式与分数指数幂可以进行互化的正分数指数幂等于的负分数指数幂 近有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂

25、指数函数的概念一般地函数是且叫做指数函数其中是自变量函数 定点奇偶性单调性变化对图象的影响图象过定点即当时非奇非偶在上是增函数在上是减函数在第一象限内越大图象越精品文档 精品文档 A f(2)f(2)B f(3)f(2)C f(1)f(2)D f(3)f(4)9 已知函数（其中）的图象如下面右图所示，则函数的图象是()10函数 y=2 21x的值域是（）A.y|y0 B.y|y0 C.y|y0 D.y|y2 11不等式 的解集是 _.12指数函数 y=f(x)的图象经过(,e)，则 f(0)=，f()=.13.若函数 y ax b 1(a0 且 a1)的图象经过第二、三、四象限，则 a、b 的

26、取值范围是_.14若关于 x 的方程 有实根，则 m 的取值范围是.15已知 x 3,2，求 f(x)=+1 的最小值与最大值。()()()f x xa xb a b()xg x a b 1 622 x x0 5 4 251 1 mx xx x2141A B D 要注意四点分数指数幂是根式的另一种表示形式根式与分数指数幂可以进行互化的正分数指数幂等于的负分数指数幂 近有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂指数函数的概念一般地函数是且叫做指数函数其中是自变量函数 定点奇偶性单调性变化对图象的影响图象过定点即当时非奇非偶在上是增函数在上是减函数在第一象限内越大图象越精品文档 精品文档 16.已知 2x(14)x 3，求函数 y(12)x的值域 17.k 为何值时，方程|3x 1|k 无解？有一解？有两解？要注意四点分数指数幂是根式的另一种表示形式根式与分数指数幂可以进行互化的正分数指数幂等于的负分数指数幂 近有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂指数函数的概念一般地函数是且叫做指数函数其中是自变量函数 定点奇偶性单调性变化对图象的影响图象过定点即当时非奇非偶在上是增函数在上是减函数在第一象限内越大图象越