2023年湖南省衡阳市中考数学真题含解析.pdf

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1、2023 湖南省衡阳市中考数学湖南省衡阳市中考数学一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，满分分，满分 36 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的）1.中国是最早采用正负数表示相反意义的量、并进行负数运算的国家若收入 500 元记作500元，则支出237 元记作（）A.237元B.237元C.0 元D.474元2.下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（）A.1cm,2cm,3cmB.3cm,8cm,5cmC.4cm,5cm,10cmD.4cm,5cm,6cm3.下面四种化学仪器的

2、示意图是轴对称图形的是（）A.B.C.D.4.作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰富，陶器色泽古朴典雅，从一个方面鲜明地反映了中华民族造型审美意识如图是一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，下面四幅图是从左面看到的图形的是（）A.B.C.D.5.计算2312x的结果正确的是（）A.6xB.614xC.514xD.9x6.据共青团中央 2023 年 5 月 3 日发布的中国共青团团内统计公报，截至 2022 年 12 月底，全国共有共青团员 7358 万数据 7358 万用科学记数法表示为（）A.77.358 10B.37.358 10C.47358 10D.67.358 1

3、07.对于二次根式的乘法运算，一般地，有abab该运算法则成立的条件是（）A.0,0abB.0,0abC.0,0abD.0,0ab8.如图，在四边形 ABCD 中，BCAD，添加下列条件，不能判定四边形 ABCD 是平行四边形的是（）A.ABCDB.ABCDC.ACD.BCAD9.孙子算经 中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”设有 x 只鸡，y 只兔依题意，可列方程组为（）A.35,4294xyxyB.94,4235xyxyC.35,2494xyxyD.94,2435xyxy10.某射击运动队进行了五次射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如下表甲、乙两

4、名选手成绩的方差分别记为2S甲和2S乙，则2S甲与2S乙的大小关系是（）测试次数12345甲510938乙86867A.22SS甲乙B.22SS甲乙C.22SS甲乙D.无法确定11.我们可以用以下推理来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60”假设三角形没有一个内角小于或等于60，即三个内角都大于60则三角形的三个内角的和大于180，这与“三角形的内角和等于180”这个定理矛盾所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60上述推理使用的证明方法是（）A.反证法B.比较法C.综合法D.分析法12.已 知0mn，若 关 于 x 的 方 程2230 xxm 的 解 为1212,x xxx

5、 关 于 x 的 方 程2230 xxn的解为3434,()xxxx则下列结论正确的是（）A.3124xxxxB.1342xxxxC.1234xxxxD.3412xxxx二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，满分分，满分 18 分分）13.在平面直角坐标系中，点3,2P 所在象限是第_象限14.一个布袋中放着 3 个红球和 9 个黑球，这两种球除了颜色以外没有任何其他区别布袋中的球已经搅匀从布袋中任取 1 个球，取出红球的概率是_15.已知5x，则代数式2324416xx的值为_16.已知关于 x的方程2200 xmx的一个根是4，则它的另一个根是

6、_17.如图，在RtABC中，90,8,6ACBACBC以点 C 为圆心，r 为半径作圆，当所作的圆与斜边AB所在的直线相切时，r 的值为_18.如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中 3 个正五边形的位置要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是_ 个三三、解答题解答题（本大题共本大题共 8 个小题个小题，1920 题每题题每题 6 分分，2124 题每题题每题 8 分分，25 题题 10 分分，26 题题12 分，满分分，满分 66 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19.计算：3421 20.解不等式组：40213xxx2

7、1.2023 年 3 月 27 日是第 28 个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某学校举行了校园安全知识竞赛活动现从八、九年级中各随机抽取 15 名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用 x 表示，80 分及以上为优秀，共分成四组，A：6070 x；B：7080 x；C：8090 x；D：90100 x），并给出下面部分信息：八年级抽取的学生竞赛成绩在 C 组中的数据为：84，84，88九年级抽取的学生竞赛成绩为：68，77，75，100，80，100，82，86，95，91，100，86，84，94，87八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表年级平

8、均数中位数众数优秀率八87a9860%九8786bc根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：a_，b _，c _（2）该校八、九年级共 500 人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到90 分及以上的学生人数22.如图，正比例函数43yx的图象与反比例函数12(0)yxx的图象相交于点 A（1）求点 A 的坐标（2）分别以点 O、A 为圆心，大于OA一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点 B 和点 C，作直线BC，交 x轴于点 D求线段OD的长23.随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度圆圆要测量教学楼AB的高度，借助无人机设计了如下

9、测量方案：如图，圆圆在离教学楼底部24 3米的 C 处，遥控无人机旋停在点 C 的正上方的点 D 处，测得教学楼AB的顶部 B 处的俯角为30，CD长为49.6米已知目高CE为1.6米（1）求教学楼AB的高度（2）若无人机保持现有高度沿平行于CA的方向，以4 3米/秒的速度继续向前匀速飞行，求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线EB24.如图，AB是O的直径，AC是一条弦，D 是AC的中点，DEAB于点 E，交AC于点 F，交O于点 H，DB交AC于点 G（1）求证：AFDF（2）若55,sin25AFABD，求O的半径25.（1）问题探究如图 1，在正方形ABCD中，对角线ACBD、相交于

10、点 O在线段AO上任取一点 P（端点除外），连接PDPB、求证：PDPB；将线段DP绕点 P 逆时针旋转，使点 D 落在BA的延长线上的点 Q 处当点 P 在线段AO上的位置发生变化时，DPQ的大小是否发生变化？请说明理由；探究AQ与OP的数量关系，并说明理由（2）迁移探究如图 2，将正方形ABCD换成菱形ABCD，且60ABC，其他条件不变试探究AQ与CP的数量关系，并说明理由26.如图，已知抛物线223yaxax与 x 轴交于点1,0A 和点 B，与 y 轴交于点 C，连接AC，过 B、C 两点作直线（1）求 a 的值（2）将直线BC向下平移0m m 个单位长度，交抛物线于B、C两点在直线

11、BC上方的抛物线上是否存在定点 D，无论 m 取何值时，都是点 D 到直线BC的距离最大，若存在，请求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由（3）抛物线上是否存在点 P，使45PBCACO，若存在，请求出直线BP的解析式；若不存在，请说明理由2023 湖南省衡阳市中考数学湖南省衡阳市中考数学一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，满分分，满分 36 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的）1.中国是最早采用正负数表示相反意义的量、并进行负数运算的国家若收入 500 元记作500元，则

12、支出237 元记作（）A.237元B.237元C.0 元D.474元【答案】B【解析】【分析】根据相反意义的量的意义解答即可【详解】收入 500 元记作500元，支出 237 元记作237元，故选 B【点睛】本题考查了相反意义的量，正确理解定义是解题的关键2.下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（）A.1cm,2cm,3cmB.3cm,8cm,5cmC.4cm,5cm,10cmD.4cm,5cm,6cm【答案】D【解析】【分析】根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边判断即可【详解】A.1cm+2cm=3cm，不符合题意；B.3cm+5cm=8cm，不符合题意；C.4cm+5cm=9cm1

13、0cm，不符合题意；D.4cm+5cm=9cm6cm，符合题意，故选 D【点睛】本题考查了是否构成三角形，熟练掌握三角形两边之和大于第三边是解题的关键3.下面四种化学仪器的示意图是轴对称图形的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解【详解】解：A不是轴对称图形，故本选项不合题意；B不是轴对称图形，故本选项不符合题意；C是轴对称图形，故本选项合题意；D不是轴对称图形，故本选项不合题意故选：C【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合4.作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰富，

14、陶器色泽古朴典雅，从一个方面鲜明地反映了中华民族造型审美意识如图是一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，下面四幅图是从左面看到的图形的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据左视图定义从左向右看得到的图形，从左面看看到壶嘴，画的全身，看不见弧把手，对各选项进行分析判断即可【详解】A.是从上向下看得到的图形为俯视图，故选项 A 不合题意；B.是从左向右看得到的图形为左视图，故选项 B 符合题意；C.是从下往上看得到的图形是仰视图，故选项 C 不合题意；D.是从前往后看得到的图形是主视图，故选项 D 不合题意故选择 B【点睛】本题考查物体的三视图，掌握三视图的定义是解题关键5.计算2312

15、x的结果正确的是（）A.6xB.614xC.514xD.9x【答案】B【解析】【分析】运用积的乘方法则、幂的乘方法则即可得出结果【详解】解：236322112124xxx，故选：B【点睛】本题考查了积的乘方法则、幂的乘方法则，熟练运用积的乘方法则、幂的乘方法则是解题的关键6.据共青团中央 2023 年 5 月 3 日发布的中国共青团团内统计公报，截至 2022 年 12 月底，全国共有共青团员 7358 万数据 7358 万用科学记数法表示为（）A.77.358 10B.37.358 10C.47358 10D.67.358 10【答案】A【解析】【分析】科学记数法的表示形式为10na 的形式

16、，其中110a，n为整数确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10时，n是正数；当原数的绝对值1时，n是负数据此可得出结果【详解】7358 万77.358 1735800000，故选：A【点睛】此题主要考查科学记数法的表示方法正确确定a的值以及n的值是本题的关键7.对于二次根式的乘法运算，一般地，有abab该运算法则成立的条件是（）A.0,0abB.0,0abC.0,0abD.0,0ab【答案】D【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件得出不等式组，再解不等式组即可得出结果【详解】解：根据二次根式有意义的条件，得000abab，0,0

17、ab，故选：D【点睛】二次根式有意义的条件，及解不等式组，掌握二次根式有意义的条件是被开方数为非负数是本题的关键8.如图，在四边形 ABCD 中，BCAD，添加下列条件，不能判定四边形 ABCD 是平行四边形的是（）A.ABCDB.ABCDC.ACD.BCAD【答案】A【解析】【分析】依据平行四边形的判定，依次分析判断即可得出结果【详解】解：A、当 BCAD，ABCD 时，不能判定四边形 ABCD 是平行四边形，故此选项符合题意；B、当 ABCD，BCAD 时，依据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能判定四边形 ABCD 是平行四边形，故此选项不合题意；C、当 BCAD，AC 时，可推出

18、ABDC，依据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能判定四边形 ABCD 是平行四边形，故此选项不合题意；D、当 BCAD，BCAD 时，依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能判定四边形 ABCD 是平行四边形，故此选项不合题意；故选：A【点睛】此题考查了平行四边形的判定，解决问题的关键要熟记平行四边形的判定方法9.孙子算经 中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”设有 x 只鸡，y 只兔依题意，可列方程组为（）A.35,4294xyxyB.94,4235xyxyC.35,2494xyxyD.94,2435xyxy【答案】C【解析】【分析】根据

19、等量关系“鸡的只数兔的只数35”和“2鸡的只数4 兔的只数94”即可列出方程组【详解】解：设有 x 只鸡，y 只兔，由题意可得：352494xyxy，故选：C【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是找出等量关系10.某射击运动队进行了五次射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如下表甲、乙两名选手成绩的方差分别记为2S甲和2S乙，则2S甲与2S乙的大小关系是（）测试次数12345甲510938乙86867A.22SS甲乙B.22SS甲乙C.22SS甲乙D.无法确定【答案】A【解析】【分析】先分别求出甲、乙的平均数，再求出甲、乙的方差即可得出答案【详解】解：甲的平均数为510

20、93875，甲的方差为2222221571079737876.85S甲，乙的平均数为8686775，乙的方差为222222187678767770.85S甲，0.86.8，22SS甲乙故选：A【点睛】此题主要考查了平均数及方差的知识方差的定义：一般地设 n 个数据，1x，2x，nx的平均数为121nxxxxx，则方差2222121nSxxxxxxn，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立11.我们可以用以下推理来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60”假设三角形没有一个内角小于或等于60，即三个内角都大于60则三角形的三个内角的和大于180，这与“三角形的内角

21、和等于180”这个定理矛盾所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60上述推理使用的证明方法是（）A.反证法B.比较法C.综合法D.分析法【答案】A【解析】【分析】根据反证法的步骤分析判断，即可解答【详解】解：假设三角形没有一个内角小于或等于60，即三个内角都大于60则三角形的三个内角的和大于180，这与“三角形的内角和等于180”这个定理矛盾所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60以上步骤符合反证法的步骤故推理使用的证明方法是反证法故选：A【点睛】本题考查了反证法，解答此题关键要懂得反证法的意义及步骤反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立

22、，则结论成立12.已 知0mn，若 关 于 x 的 方 程2230 xxm 的 解 为1212,x xxx 关 于 x 的 方 程2230 xxn的解为3434,()xxxx则下列结论正确的是（）A.3124xxxxB.1342xxxxC.1234xxxxD.3412xxxx【答案】B【解析】【分析】把12xx，看做是直线ym与抛物线223yxx交点的横坐标，把34xx，看做是直线yn与抛物线223yxx交点的横坐标，画出对应的函数图象即可得到答案【详解】解：如图所示，设直线ym与抛物线223yxx交于 A、B 两点，直线yn与抛物线223yxx交于 C、D 两点，0mn，关于 x 的方程22

23、30 xxm 的解为1212,x xxx，关于 x 的方程2230 xxn的解为3434,()xxxx，1234，xxxx分别是 A、B、C、D 的横坐标，1342xxxx，故选 B【点睛】本题主要考查了抛物线与一元二次方程的关系，正确把一元二次方程的解转换成直线与抛物线交点的横坐标是解题的关键二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，满分分，满分 18 分分）13.在平面直角坐标系中，点3,2P 所在象限是第_象限【答案】三【解析】【分析】根据各象限内点的坐标特征解答【详解】解：3,2P 的横坐标为负数，纵坐标为负数，3,2P在第三象限，故答案为：三

24、【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限(,)，第二象限(,)，第三象限(,)，第四象限(,)14.一个布袋中放着 3 个红球和 9 个黑球，这两种球除了颜色以外没有任何其他区别布袋中的球已经搅匀从布袋中任取 1 个球，取出红球的概率是_【答案】14【解析】【分析】根据公式333912计算即可【详解】一个布袋中放着 3 个红球和 9 个黑球，取出红球的概率是33139124，故答案为：14【点睛】本题考查了根据概率公式计算概率，熟练掌握公式是解题的关键15.已知5x，则代数式2324416xx的值为_【答案】13【

25、解析】【分析】先通分，再根据同分母分式的减法运算法则计算，然后代入数值即可【详解】解：原式=34244444xxxxx31244xxx34x5x 333145493x故答案为：13【点睛】本题主要考查了分式通分计算的能力，解决本题的关键突破口是通分整理16.已知关于 x 的方程2200 xmx的一个根是4，则它的另一个根是_【答案】5【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得1220cx xa，根据该方程一个根为4，即可求出另一个根【详解】解：根据题意可得：1,20abm c，1220cx xa，该方程一个根为4，令14x ，2420 x，解得：25x 故答案为：5【点睛】本题主要考查

26、了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程200axbxca有两根为1x，2x，则12cxxa，12bxxa 17.如图，在RtABC中，90,8,6ACBACBC以点 C 为圆心，r 为半径作圆，当所作的圆与斜边AB所在的直线相切时，r 的值为_【答案】245【解析】【分析】根据勾股定理，得228610AB，根据切线的性质，得到圆的半径等于AB边上的高，根据直角三角形的面积不变性计算即可【详解】90,8,6ACBACBC，228610AB，根据切线的性质，得到圆的半径等于AB边上的高，1122ABrACBC,8 624105ACBCrAB，故答案为：245【点睛】本题考查了勾

27、股定理，切线的性质，熟练掌握勾股定理，切线的性质是解题的关键18.如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中 3 个正五边形的位置要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是_ 个【答案】10【解析】【分析】先求出正五边形的外角为72，则1272 ，进而得出36AOB，即可求解【详解】解：根据题意可得：正五边形的一个外角360725，1272 ，18072236AOB，共需要正五边形的个数3601036（个），故答案为：10【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，正多边形的外角，解题的关键是掌握正多边形的外角的求法三三、解答题解答题（本大题共本大题共 8 个小题个小题，1920 题每题

28、题每题 6 分分，2124 题每题题每题 8 分分，25 题题 10 分分，26 题题12 分，满分分，满分 66 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19.计算：3421 【答案】3【解析】【分析】根据求一个数的绝对值，二次根式的性质，有理数的乘法进行计算即可求解【详解】解：3421 3223【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握求一个数的绝对值，二次根式的性质，有理数的乘法是解题的关键20.解不等式组：40213xxx【答案】24x【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不

29、等式组的解集【详解】解：40213xxx解不等式得：4x 解不等式得：2x 不等式组的解集为：24x【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键21.2023 年 3 月 27 日是第 28 个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某学校举行了校园安全知识竞赛活动现从八、九年级中各随机抽取 15 名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用 x 表示，80 分及以上为优秀，共分成四组，A：6070 x；B：7080 x；C：8090 x；D：90100 x），并给出下面部分信息：八年级抽取的学生竞赛成绩在 C 组中的

30、数据为：84，84，88九年级抽取的学生竞赛成绩为：68，77，75，100，80，100，82，86，95，91，100，86，84，94，87八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表年级平均数中位数众数优秀率八87a9860%九8786bc根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：a_，b _，c _（2）该校八、九年级共 500 人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到90 分及以上的学生人数【答案】（1）84，100，80%；（2）200 人【解析】【分析】（1）根据中位数的定义得出 a 为第七名学生和第八名学生成绩的平均数；找出抽取的九年级学生的竞赛成绩中出现次数

31、最多的分数，即可求出 b；用抽取的九年级学生的竞赛成绩中 80 分以上的个数除以15，即可求出 c；（2）用 500 人乘以抽取的八、九年级学生竞赛成绩中 90 分以上的人数所占百分比，即可求解【小问 1 详解】解：由频数分布直方图可知：第七名学生和第八名学生在 C 组，一共抽取八年级学生 15 人，a 为第七名学生和第八名学生成绩的平均数，即8484842a；抽取的九年级学生竞赛成绩中，100 分出现了 3 次，出现次数最多，100b，抽取的九年级学生竞赛成绩中，80 分及以上的有 12 个，12100%80%15c；故答案为：84，100，80%；【小问 2 详解】解：根据频数分布直方图可

32、得，抽取的八年级学生竞赛成绩中，90 分以上的有 6 个；根据抽取的九年级学生的竞赛成绩可得，90 分以上的有 6 个；该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到 90 分及以上的学生人数为：6650020015 15（人），答：该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到 90 分及以上的学生人数为 200 人【点睛】本题主要考查了频数分布直方图，中位数，众数，频率，以及用样本估计总体，解题的关键是熟练掌握相关知识点，并灵活运用，正确从统计图中获取需要数据22.如图，正比例函数43yx的图象与反比例函数12(0)yxx的图象相交于点 A（1）求点 A 的坐标（2）分别以点 O、A 为圆心，大于OA一半

33、的长为半径作圆弧，两弧相交于点 B 和点 C，作直线BC，交 x轴于点 D求线段OD的长【答案】（1）3,4A（2）256OD【解析】【分析】（1）解两个函数联立组成的方程组即可；（2）由题意可得：CD垂直平分OA，连接AD，如图，根据线段垂直平分线的性质可得ADOD，设,0D m，根据两点间的距离建立方程，解方程即可求出答案【小问 1 详解】解：解方程组4312yxyx，得121233,44xxyy ，0 x，3,4A；【小问 2 详解】解：由题意可得：CD垂直平分OA，连接AD，如图，则ADOD，设,0D m，则22234mm，解得256m，256OD【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数

34、的交点、线段垂直平分线的尺规作图和性质以及两点间的距离等知识，熟练掌握上述知识是解题的关键23.随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度圆圆要测量教学楼AB的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教学楼底部24 3米的 C 处，遥控无人机旋停在点 C 的正上方的点 D 处，测得教学楼AB的顶部 B 处的俯角为30，CD长为49.6米已知目高CE为1.6米（1）求教学楼AB的高度（2）若无人机保持现有高度沿平行于CA的方向，以4 3米/秒的速度继续向前匀速飞行，求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线EB【答案】（1）教学楼AB的高度为25.6米（2

35、）无人机刚好离开视线EB的时间为 12 秒【解析】【分析】（1）过点B作BGDC于点G，根据题意可得：,DCAC ABAC，24 3AC 米，30FDB，通过证明四边形GCAB为矩形，得出24 3BGAC米，进而得出tan3024DGBG米，最后根据线段之间的和差关系可得CGABCDDG，即可求解；（2）连接EB并延长，交DF于点 H，先求出24EGCGCE米，进而得出BDBE，则60BEGBDG，则tan6048 3DHDE 米，即可求解【小问 1 详解】解：过点 B 作BGDC于点 G，根据题意可得：,DCAC ABAC，24 3AC 米，30FDB，DCAC，ABAC，BGDC，四边形G

36、CAB为矩形，24 3BGAC米，DFDC，BGDC，DFBG，30DBGFDB，tan3024DGBG米，CD长为49.6米，49.62425.6CGABCDDG（米），答：教学楼AB的高度为25.6米【小问 2 详解】解：连接EB并延长，交DF于点 H，1.6CE 米，25.6CG 米，24EGCGCE米，24DGEG米，BGDC，BDBE，903060BEGBDG，48DEDGEG米，tan6048 3DHDE（米），无人机以4 3米/秒的速度飞行，离开视线EB的时间为：48 3124 3（秒），答：无人机刚好离开视线EB的时间为 12 秒【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解

37、题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法和步骤24.如图，AB是O的直径，AC是一条弦，D 是AC的中点，DEAB于点 E，交AC于点 F，交O于点 H，DB交AC于点 G（1）求证：AFDF（2）若55,sin25AFABD，求O的半径【答案】（1）见解析（2）5【解析】【分析】（1）根据 D 是AC的中点，DEAB于点 E，得到CDDAAH,得到ADHDAC 即可得证（2）根据5sin5ADABDAB，设5,5ADx ABx，运用勾股定理，得到22552 5BDxxx，结合5sin5DEABDBD，得到2DEx，运用勾股定理，得到222 524BExxx，从而得

38、到5,22AEx EFEDDFDEAFx，在RtAEF中，实施勾股定理计算 x 即可【小问 1 详解】D 是AC的中点，CDDA，DEAB，AB是O的直径，DAAH，CDDAAH，ADHDAC，AFDF【小问 2 详解】DEAB，AB是O的直径，90ADB，5sin5ADABDAB，设5,5ADx ABx，22552 5BDxxx，5sin5DEABDBD，2DEx，222 524BExxx，5,22AEx EFEDDFDEAFx，在RtAEF中，222AFAEEF，22255222xx，解得2x，510ABx，O的半径为 5【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，正弦函数，熟练掌握

39、垂径定理，勾股定理，圆周角定理，正弦函数是解题的关键25.（1）问题探究如图 1，在正方形ABCD中，对角线ACBD、相交于点 O在线段AO上任取一点 P（端点除外），连接PDPB、求证：PDPB；将线段DP绕点 P 逆时针旋转，使点 D 落在BA的延长线上的点 Q 处当点 P 在线段AO上的位置发生变化时，DPQ的大小是否发生变化？请说明理由；探究AQ与OP的数量关系，并说明理由（2）迁移探究如图 2，将正方形ABCD换成菱形ABCD，且60ABC，其他条件不变试探究AQ与CP的数量关系，并说明理由【答案】（1）见解析；不变化，90DPQ，理由见解析；2AQOP，理由见解析；（2）AQCP，

40、理由见解析【解析】【分析】（1）根据正方形的性质证明DCPBCP，即可得到结论；作,PMAB PNAD，垂足分别为点 M、N，如图，可得PMPN，证明四边形AMPN是矩形，推出90MPN，证明RtRtHLDPNQPM，得出DPNQPM，进而可得结论；作PEAO交AB于点 E，作EFOB于点 F，如图，证明AQBE，2BEEF即可得出结论；（2）先证明PQPB，作PEBC交AB于点 E，EGAC交BC于点 G，如图，则四边形PEGC是平行四边形，可得EGPC，,APEBEG都是等边三角形，进一步即可证得结论【详解】（1）证明：四边形ABCD是正方形，,45CDCBDCABCA，CPCP，DCPB

41、CP，PDPB；DPQ的大小不发生变化，90DPQ；证明：作,PMAB PNAD，垂足分别为点 M、N，如图，四边形ABCD是正方形，45DACBAC，90DAB，四边形AMPN是矩形，PMPN，90MPN，,PDPQ PMPN，RtRtHLDPNQPM，DPNQPM，90QPNQPM，90QPNDPN，即90DPQ；2AQOP；证明：作PEAO交AB于点 E，作EFOB于点 F，如图，四边形ABCD是正方形，45BAC，90AOB，45AEP，四边形OPEF是矩形，45,PAEPEAEFOP，PAPE，PDPB，PDPQ，PQPB，作PMAE于点 M，则,QMBM AMEM，AQBE，90,

42、45EFBEBF，2sin45EFBEEF，2AQOP；（2）AQCP；证明：四边形ABCD是菱形，60ABC，,ABBC ACBD DOBO，ABC是等边三角形，AC垂直平分BD，60,BACPDPB，PDPQ，PQPB，作PEBC交AB于点 E，EGAC交BC于点 G，如图，则四边形PEGC是平行四边形，60GEBBAC，60AEPABC，EGPC，,APEBEG都是等边三角形，BEEGPC，作PMAB于点 M，则,QMMB AMEM，QABE，AQCP【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形、菱形的性质，矩形、平行四边形、等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及解直角三角形

43、等知识，熟练掌握相关图形的判定和性质、正确添加辅助线是解题的关键26.如图，已知抛物线223yaxax与 x 轴交于点1,0A 和点 B，与 y 轴交于点 C，连接AC，过 B、C 两点作直线（1）求 a 的值（2）将直线BC向下平移0m m 个单位长度，交抛物线于B、C两点在直线BC上方的抛物线上是否存在定点 D，无论 m 取何值时，都是点 D 到直线BC的距离最大，若存在，请求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由（3）抛物线上是否存在点 P，使45PBCACO，若存在，请求出直线BP的解析式；若不存在，请说明理由【答案】（1）1a （2）存在3 15(,)2 4D，理由见详解（3）存在2

44、 11(,)3 9P 或(2,3)P，理由见详解【解析】【分析】（1）根据待定系数法即可得出结果；（2）设BC与y轴交于点G，设2(,23)D ttt，过点D作DEy轴交BC于点E，作DFB C 于点F，先证明DEF是等腰直角三角形，再表示出DE的长度，根据二次函数的性质即可得出结果；（3）分两种情况讨论，当点P在直线BC下方时，与当点P在直线BC上方时【小问 1 详解】解：抛物线223yaxax与 x 轴交于点1,0A，得230aa，解得：1a ；【小问 2 详解】解：存在1 15(,)24D，理由如下：设BC与y轴交于点G，由（1）中结论1a ，得抛物线的解析式为223yxx，当0y 时，

45、121,3xx，即(1,0),(3,0),(0,3)ABC，OBOC，90BOC，即BOC是等腰直角三角形，45BCO，BCBC，45BCOBGO，设2(,23)D ttt，过点D作DEy轴交BC于点E，作DFB C 于点F，45DEFBGO，即DEF是等腰直角三角形，设直线BC的解析式为ykxb，代入(3,0),(0,3)BC，得303kbb，解得13kb，故直线BC的解析式为3yx ，将直线BC向下平移0m m 个单位长度，得直线BC的解析式为3yxm ，(,3)E ttm ，2223923(3)3()24DEtttmttmtm ，当32t 时，DE有最大值94m，此时22DFDE也有最大

46、值，3 15(,)2 4D；【小问 3 详解】解：存在2 11(,)3 9P 或(2,3)P，理由如下：当点P在直线BC下方时，在y轴上取点(0,1)H，作直线BH交抛物线于（异于点B）点P，由（2）中结论，得45OBC，1,90OHOAOBOCBOHCOA，()SASBOHCOA，OBHAOC，45PBCACOPBCOBHOBC，设直线BP的解析式为11yk xb，代入点(3,0),(0,1)BH，得111301kbb，解得11131kb，故设直线BP的解析式为113yx，联立211323yxyxx ，解得1130 xy（舍）2223119xy，故2 11(,)3 9P；当点P在直线BC上方

47、时，如图，在x轴上取点I，连接CI，过点P作BPCI抛物线于点P，PBCBCI，1,90OIOAOCOCCOICOA，()SASCOICOA，OCIAOC，45PBCACOBCIOCIOCB，设直线CI的解析式为22yk xb，代入点(1,0),(0,3)IC，得22203kbb，解得2233kb，故设直线CI的解析式为33yx，BPCI，且过点(3,0)B,故设直线BP的解析式为39yx，联立23923yxyxx ，解得1123xy，2230 xy（舍），故(2,3)P，综上所述：2 11(,)3 9P 或(2,3)P【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答