浙江省宁波市九校2022-2023学年高一下学期期末联考数学试题含答案、.pdf

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1、第1页/共7页 学科网（北京）股份有 限公司宁波市 2022 学年 第二学期期末九 校联考高一数学 试题选 择题 部分 一、单 项选择 题：本题共 8 小 题，每 小题 5 分，共 40 分.在每 小题 给出 的四 个选项 中，只有一 项是 符合题 目要 求的.1.已知 复数1 3i1 2iz+=，则z的共轭 复 数的虚 部为（）A.1 B.i C.i D.1 2.在平 面直 角坐 标系 xOy 中，若角以x轴的 非负 半轴 为始 边，且 终边 过点()4,3，则2cos 的值为（）A.35 B.35C.45 D.453.设l 是一 条直 线，是两 个不同 的平 面，下列 说法 正确的 是（）

2、A.若l，l，则 B.若，l，则 l C.若l，l，则 D.若，l，则 l 4.在 九 章算 术 中，将 四个面 都是 直角 三角 形的 四面体 称为 鳖臑.在鳖 臑 A BCD 中，AB 平面BCD，BC CD，且 1 AB BC CD=，则 其内 切球 表面 积为（）A.3 B.3C.()3 22 D.()21 5.已知 等比 数列 na 的前n项积为nT，若798TTT，则（）A.0 q B.10 a C.15 161 TT D.16 171 TT 6.如图，在 棱长 均为 2 的直 三棱柱111ABC A B C 中，D 是11AB 的中点，过 B、C、D 三点的 平面 将该 三棱柱截

3、 成两 部分，则 顶点1B 所在部 分的 体积 为（）第2页/共7页学科网（北京）股份有 限公司A.233B.536C.3D.7367.在 ABC 中，0P 是边 AB 的中 点，且 对于边 AB 上 任意 一点 P，恒有00PB PC P B P C，则 ABC 一定是（）A.直 角三 角形 B.锐角 三角 形 C.钝角 三角 形 D.等 腰三 角形8.十七 世纪 法国 数学 家皮埃 尔 德 费马 提出 的一 个著 名的几 何问 题：“已知 一个三 角 形，求作 一点，使 其与这个三 角形 的三 个顶 点的 距离之 和最 小”.它 的答 案是：当 三角 形的 三个 角均 小于120时，所 求

4、的 点为 三角形的正 等角 中心，即 该点 与三角 形的 三个 顶点 的连 线两两 成角120；当 三角 形有 一内角 大于 或等 于 120时，所 求点 为三 角形 最大 内角的 顶点.在费 马问 题中所 求 的点 称为 费马 点，已知 在 ABC 中，已 知23C=，1 AC=，2 BC=，且点 M 在 AB 线段上，且 满足CM BM=，若点 P 为 AMC 的费马点，则PA PM PM PC PA PC+=（）A.1 B.45 C.35 D.25二、多 项选择 题：本题共 4 小 题，每 小题 5 分，共 20 分.在每 小题 给出 的选 项中，有多 项符合 题目 要求.全部 选对 的

5、得 5 分，部 分选 对的得 2 分，有选 错的 得 0 分.9.下列 说法 正确 是（）A.若/ab，/bc，则/ac B.()ab c abc C.若()ac b，则ab ac=D.()()2ab b a b=10.下列 说法 正确 的是（）A.若()sin 2cos3fx x x=+()0 的最小 正周 期为，则 2=B.在 ABC 中，角,ABC 的对边 分别 为,abc，则“AB”是“ab”的 充要 条件C.三个 不全 相等 的实 数a，b，c依 次成 等差 数列，则2a，2b，2c可 能成 等差 数列D.ABC 的斜 二测 直观 图 是边 长为 2 的 正三 角形，则 ABC 的面

6、 积为2611.几 何原 本 是古 希 腊数学 家欧 几里 得的 数学 著作，其中 第十 一卷 称轴 截面为 等腰 直角 三角 形的 圆锥为直角 圆锥.如图，AB，CD 是直 角圆锥 SO 底面 圆的 两条 不同 的直径，下 列说 法正 确的 是（）的 第3页/共7页 学科网（北京）股份有 限公司 A.存在 某条 直径CD，使得 AD SD B.若 2 AB=，则三 棱锥 S AOD 体积的 最 大值为16 C.对于 任意 直径 CD，直线 AD 与直 线 SB 互为异 面直 线 D.若6ABD=，则异 面直 线 SA 与 CD 所成 角的余 弦值 是24 12.已知 数列 na 中各项 都小

7、 于 2，221143n n nna a aa+=，记数 列 na 前n项 和为nS，则以下 结论正确的 是（）A.任意1a 与正 整数m，使得10mmaa+B.存在1a 与正整 数m，使得134mmaa+C.任意 非零 实数1a 与正整 数m，都有1 mmaa+D.若11 a=，则()20221.5,4 S 非 选择 题部分 三、填 空题：本题 共 4 小 题，每小题 5 分，共 20 分.13.杭州 第 19 届 亚运 会会徽“潮涌”主题图 形融 合了 扇面、钱塘 江、钱江 潮头、赛道、互 联网 及太 阳六 大元素，其中 扇面 造型 代表 了江南 厚重 的人 文底 蕴.在 中国历 史上，历

8、 代书 画家 都喜欢 在扇 面上 绘画 或书 写以抒情达 意.一 幅扇 面书 法作品 如 图所 示，经测 量，上、下 两条 弧分 别是 半径为 30 和 12 的两 个 同心 圆上 的弧（长度 单位 为 cm），侧 边 两条线 段的 延长 线交 于同 心圆的 圆心，且 圆心 角为23.若某空 间几 何体 的侧 面展开图恰 好与 图中 扇面 形状、大小 一致，则 该几 何体 的高为_.的的 第4页/共7页 学科网（北京）股份有 限公司 14.已知 等差 数列 na，88 a=，983a=+，则576cos coscosaaa+=_.15.如图，在 直三 棱柱111ABC A B C 中，13 B

9、C CC=，4 AC=，AC BC，动点 P 在111ABC 内（包括 边界 上），且 始终 满 足1BP AB，则 动点 P 的轨 迹长 度是_.16.已知 向量a，b夹 角为3，且 3 ab=，向量c满足()()1 01 ca b=+.统计 发现，该景区 每年 各个 月份 从事 旅游服 务工 作的 人数 有以 下规律：各年 相同 的月 份从 事旅 游服务 工作 的人 数基 本相 同；从事 旅游 服务 工作 的人 数最多 的 8 月份 和最 少的 2 月份 相差 约 160 人；2 月 份从 事旅 游服 务工作 的 人数 约为 40 人，随后 逐月递 增直 到 8 月份 达到最 多.的的 第

10、5页/共7页 学科网（北京）股份有 限公司（1）试 根据 已知 信息，确定 一 个符 合条 件的()y fx=的表达 式；（2）一 般地，当 该地 区从事 旅 游服 务工 作的 人数 超过 160 人时，该 地区 就进入 了 一年 中的 旅游 旺季，那么一年 中的 哪几 个月 是该 地区的 旅游 旺季？请 说明 理由.19.已知 数列 na 的前n项和为nS，且243nSn n=+.（1）求 na 的通项 公式；（2）记125nnnnbSS+=，数列 nb 的前n项 和为nT，求nT.20.在 ABC 中，内角 A，B 都是锐 角.（1）若3C=，2 c=，求 ABC 周长 的取 值 范围；（

11、2）若22 2sin sin sin ABC+，求证：22sin sin 1 AB+.21.已知 边长 为 6 的 菱形 ABCD，3ABC=，把 ABC 沿着 AC 翻 折至1AB C 的位置，构成 三棱 锥1B ACD，且112DE DB=，13CF CD=，372FE=.（1）证 明：1AC B D；（2）求二 面角1B AC D 的大 小；（3）求 EF 与平面1AB C 所 成角 的正弦 值.22.已知 数列 na 中，11 a=，当 2 n 时，其前n项和nS 满 足：()21n nnS aS=，且 0nS，数列 nb满足：对任 意*n N 有()1 121212 2n nnb b

12、bnSS S+=+.（1）求 证：数列1nS是等差 数 列；第6页/共7页学科网（北京）股份有 限公司（2）求 数列 nb 的通项 公式；（3）设nT 是数列122nnnbb的前n项和，求证：32nT.第1页/共27页 学科网（北京）股份有 限公司 宁波市 2022 学年 第二学期期末九 校联考高一数学 试题 选 择题 部分 一、单 项选择 题：本题共 8 小 题，每 小题 5 分，共 40 分.在每 小题 给出 的四 个选项 中，只有一 项是 符合题 目要 求的.1.已知 复数1 3i1 2iz+=，则z的共轭 复 数的虚 部为（）A.1 B.i C.i D.1【答案】D【解析】【分析】利用

13、 复数 的除 法运 算 化简z，再由 共轭 复数 的定义 即可 得z，进而 可得 虚部.【详解】()()()()1 3i 1 2i1 3i 5 5i1i1 2i 1 2i 1 2i 5z+=+，所以1i z=，所以z的虚 部为 1.故选：D.2.在平 面直 角坐 标系 xOy 中，若角以x轴的 非负 半轴 为始 边，且 终边 过点()4,3，则2cos 的值为（）A.35 B.35 C.45 D.45【答案】A【解析】【分析】利用 诱导 公式 可得cos sin2=，再 利用 三角 函数 的定 义即可 求解.【详解】角的终 边经 过点(4,3),4,3 xy=，225 r xy=+=，则 3c

14、os sin25yr=.故选：A.3.设l 是一 条直 线，是两 个不同 的平 面，下列 说法 正确的 是（）第2页/共27页 学科网（北京）股份有 限公司 A.若l，l，则 B.若，l，则 l C.若l，l，则 D.若，l，则 l【答案】C【解析】【分析】根据 空间 中点 线面 的 位置 关系 逐一 判断 即可.【详解】若l，l，则 或、相交，故 A 错误；若，l，则l 与 的 位置 关系 都有 可 能，故 B 错误；若 l，l，则，故 C 正 确；若，l，则 l 或 l，故 D 错误；故选：C.4.在 九 章算 术 中，将 四个面 都是 直角 三角 形的 四面体 称为 鳖臑.在鳖 臑 A

15、BCD 中，AB 平面BCD，BC CD，且 1 AB BC CD=，则 其内 切球 表面 积为（）A.3 B.3 C.()3 22 D.()21【答案】C【解析】【分析】设四 面体 ABCD 内切球 的球心 为O，半径 为r，则()13ABCD O ABC O ABD O ACD O BCD ABC ABD ACD BCDV V V V V rS S S S=+=+，求得12ABCD ABC ABD ACD BCDSSSSS=+=+，11 111132 6ABCDV=，从而 求得212r=，根据球 的表 面积 公式 即可 求解.【详解】因为四 面体 ABCD 四个 面都 为直 角三角 形，A

16、B 平面,BCD BC CD，所以,AB BD AB BC BC CD，AC CD，第3页/共27页 学科网（北京）股份有 限公司 设四面 体 ABCD 内切球 的球 心为O，半径 为r，则()13ABCD O ABC O ABD O ACD O BCD ABC ABD ACD BCDV V V V V rS S S S=+=+所以3ABCDVrS=，因为四 面体 ABCD 的 表面 积为 12ABCD ABC ABD ACD BCDSSSSS=+=+，又因为 四面 体 ABCD 的体积11 111132 6ABCDV=，所以3 212VrS=，所以内 切球 表面 积24(3 2 2)Sr=.

17、故选：C.5.已知 等比 数列 na 的前n项积为nT，若798TTT，则（）A.0 q B.10 a C.15 161 TT D.16 171 TT，从而得 到8 28810 T aq=，即可 得到10 a，从而 得到91 a，801 a，8901 aa，再 根据 等比数 列的 性质 判断 即可.【详解】设等 比数 列na 的公 比为q，当 1 q=，则1 naa=，所以771Ta=，991Ta=，881Ta=，若10 a，则7710 Ta=，9910 Ta=，不 符合 题意；若10 a，则1na 单 调（或为 常数1），此时不 满足798TTT，故 不符 合题 意，所 以 1 q；当 0

18、q，10 a，90 T，不 符合题 意，当 0 q，此时 na 奇数 项为 正，偶数项 为负，则70 T，80 T，不 符合题 意，所以 0 q，故 A 错 误，又7 7 2177 12 41aa a T a aq=，9 9 3699 12 51aa a T a aq=，第4页/共27页 学科网（北京）股份有 限公司()48 288 8 45 1 120 T aa a a q aa=又798TTT，所以7980 TTT，所以10 a，故对任 意的n N，110nna aq=，则对 任意 的n N，0nT，故 B 错 误；又9981TaT=，88701TaT=，989701TaaT=，所以115

19、8 15 1 2 4 151 T aa a a a=，16 1 2 12 13 14 15 16889()1 T a a aaaaa a a=，所以16 171 TT，故 D 正 确，C 错误 故选：D 6.如图，在 棱长 均为 2 的直 三棱柱111ABC A B C 中，D 是11AB 的中点，过 B、C、D 三点的 平面 将该 三棱柱截 成两 部分，则 顶点1B 所在部 分的 体积 为（）A.233 B.536 C.3 D.736【答案】B【解析】【分析】设平 面 BCD 交11AC 于点 E，连 接 DE、CE，推导出 点 E 为11AC 的中 点，用三棱 柱111ABC A B C

20、的体积 减去 三棱 台1A DE ABC 的体积 即可得 解.【详解】设平 面 BCD 交11AC 于点 E，连接 DE、CE，第5页/共27页 学科网（北京）股份有 限公司 在三棱 柱111ABC A B C 中，平 面/ABC 平面111ABC，平面 BCD 平面 ABC BC=，平面 BCD 平面111A B C DE=，所以，/DE BC，又因为11/BB CC 且11BB CC=，故四 边形11BB C C 为平 行四边 形，所以，11/BC B C，所以，11/DE B C，因为 D 为11AB 的 中点，所 以，E 为11AC 的中点，且11112DE B C=，因为直 三棱 柱

21、111ABC A B C 的每条 棱长 都为 2，则1112132 2 234ABC A B C ABCV S AA=，易知1A DE 是边长 为1 的等边 三角 形，则1233144A DES=，()11 1113A DE ABC A DE ABC A DE ABCV S S S S AA=+三棱台 1 3 3 733234 2 6=+=，因此，顶点1B 所在 部分 的体 积为111 173 532366ABC A B C A DE ABCVV=三棱台.故选：B.7.在 ABC 中，0P 是边 AB 的中 点，且 对于边 AB 上 任意 一点 P，恒有00PB PC P B P C，则 AB

22、C 一定是（）A.直 角三 角形 B.锐角 三角 形 C.钝角 三角 形 D.等 腰三 角形【答案】A【解析】【分析】根 据基 底法 转化 数量积，将 向量 关系 转化 为数量 关系 进而 求解.【详解】如下 图所 示，取 BC 的中点 D，第6页/共27页 学科网（北京）股份有 限公司 显然，2222 2222PB PC PB PCPB PC PD DC PD DC+=，同理，2200 0PB PC PD D C=，因为00PB PC P B P C，所以22 220PD DC P D DC，即2200,PD P D PD P D，所以0P D BC，因为0,D P 是,BC AB 的中 点

23、，所以0/AC PD,所以 AC BC，所以 ABC 一定 是直 角三 角形.故选：A 8.十七 世纪 法国 数学 家皮埃 尔 德 费马 提出 的一 个著 名的几 何问 题：“已知 一个三 角 形，求作 一点，使 其与这个三 角形 的三 个顶 点的 距离之 和最 小”.它 的答 案是：当 三角 形的 三个 角均 小于120时，所 求的 点为 三角形的正 等角 中心，即 该点 与三角 形的 三个 顶点 的连 线两两 成角120；当 三角 形有 一内角 大于 或等 于 120时，所 求点 为三 角形 最大 内角的 顶点.在费 马问 题中所 求 的点 称为 费马 点，已知 在 ABC 中，已 知23

24、C=，1 AC=，2 BC=，且点 M 在 AB 线段上，且 满足CM BM=，若点 P 为 AMC 的费马 点，则PA PM PM PC PA PC+=（）A.1 B.45 C.35 D.25【答案】C【解析】【分析】由余 弦定 理求 出 AB，再由 正弦 定理 求出sin B，即 可求出 cos B，设CM BM x=，由余 弦定理求出x，即可 求出AMCS，根据 定义可 知 P 为三角 形的 正等 角中心，由 等面 积法 求出PA PM PM PC PA PC+，最后 根据 数量 积的 定义 计算可 得.【详解】因为23C=，1 AC=，2 BC=，由余弦 定理 可得222 cos 7

25、AB AC CB AC CB C=+=，由正弦 定理sin sinAC ABBC=，即17sin 32B=，所以21sin14B=，第7页/共27页 学科网（北京）股份有 限公司 显然 B 为锐角，所 以21 si57co1n s4B B=，设 CM BM x=，则22 22 cos CM CB BM CB BM C=+，即2 2210 727xx x=+，解得275x=，即25BM AB=，所以3 3755AM AB=，所以3 3 1 3 33125 5 2 2 10AMC ABCSS=，又2 22cos 02AM CM ACAMCAM CM+=，即 AMC 为锐 角，所以 AMC 的三个

26、内角 均小 于120，则 P 为 三角 形的 正等 角中 心，所以12 12 12 sin sin sin2 32 32 3AMCS PA PM PM PC PA PC=+()3 334 10PA PM PM PC PA PC=+=，所以65PA PM PM PC PA PC+=，因为PA PM PM PC PA PC+2 2 2 cos cos cos3 33PA PM PM PC PA PC=+()12PA PM PM PC PA PC=+16 325 5=.故选：C 二、多 项选择 题：本题共 4 小 题，每 小题 5 分，共 20 分.在每 小题 给出 的选 项中，有多 项符合 题目

27、要求.全部 选对 的得 5 分，部 分选 对的得 2 分，有选 错的 得 0 分.第8页/共27页 学科网（北京）股份有 限公司 9.下列 说法 正确 的是（）A.若/ab，/bc，则/ac B.()ab c abc C.若()ac b，则ab ac=D.()()2ab b a b=【答案】BC【解析】【分析】根据 共线 向量 和零 向 量的 定义 判断 A，根据 数 量积 的定 义及 运算 律判 断 B、C、D.【详解】对于 A：当0 b=且a与c不共线 时，满足/ab，/bc，但是a与c不 共线，故 A 错 误；对于 B：设,ab=，则 cos ab a b=，则()cos ab c a

28、b c abc=，故 B 正 确；对于 C：因 为()ac b，则()0 abc=，则0 ab ac=，所 以ab ac=，故 C 正 确；对于 D：设,ab=，则 cos ab a b=，则()cos ab b a b b=表 示与b共线 的向 量，而()2 2a b ab=表 示与a共 线 的向 量，故 D 错 误；故选：BC 10.下列 说法 正确 的是（）A.若()sin 2cos3fx x x=+()0 的最小 正周 期为，则 2=B.在 ABC 中，角,ABC 的对边 分别 为,abc，则“AB”是“ab”的 充要 条件 C.三个 不全 相等 的实 数a，b，c依 次成 等差 数列

29、，则2a，2b，2c可 能成 等差 数列 D.ABC 的 斜二 测直 观图 是边 长为 2 的 正三 角形，则 ABC 的面 积为26【答案】ABD【解析】【分析】对于 A，根 据余弦 和 角公 式和 辅助 角公 式化 简 函数，再结 合正 弦函数 周 期公 式求 解；对 于 B，根 据条件直 接判 断；对 于 C，根 据 等差 数列 的性 质列 式，引 出矛 盾从 而判 断；对于 D，先还 原图 形，再直接 求 面积.【详解】对于 A，()sin 2cos sin 2 cos cos sin sin3 33f x xx xx x=+=+()()cos 1 3 sin 5 2 3 sin xx

30、 x=+=+，1 31tan2 13+=，第9页/共27页 学科网（北京）股份有 限公司 则()fx()0 的最 小正 周期2=，则 2=，故 A 正 确；对于 B，在 ABC 中，根 据“大角对 大 边，大边 对大 角”可知，“AB”是“ab”的充 要条 件，故 B 正 确；对于 C，a，b，c依 次成 等差数 列，则2acb+=，如果2a，2b，2c成等 差数列，则2222abc+=，代入2acb+=得22 2 2 2caca+=+，平方 得()22 22 4 22 2 2 22aa c ac ac c+=+=+，则()2 222 2 20 22 2a aa c c c+=，所以 0 2

31、2,c aacb=，与题 意矛 盾，故 C 错误；对于 D，过 点 A 作/AF y 交 x 轴 于点F，因为 ABC 的斜二 测直 观图 是边 长为 2 的正 三角 形，所以 ABC 的高3 AE=，所以32 6 AF=，所以原 图中，2 6,2 AF BC=，所以 ABC 的面积 为11262226 2 AF BC=.故 D 正确.故选：ABD 11.几 何原 本 是古 希 腊数学 家欧 几里 得的 数学 著作，其中 第十 一卷 称轴 截面为 等腰 直角 三角 形的 圆锥为直角 圆锥.如图，AB，CD 是直 角圆锥 SO 底面 圆的 两条 不同 的直径，下 列说 法正 确的 是（）A.存在

32、 某条 直径CD，使得 AD SD B.若 2 AB=，则三 棱锥 S AOD 体积的 最 大值为16 C.对于 任意 直径 CD，直线 AD 与直 线 SB 互为异 面直 线 第10页/共27 页 学科网（北京）股份有 限公司 D.若6ABD=，则异 面直 线 SA 与 CD 所成 角的余 弦值 是24【答案】BCD【解析】【分析】对于 A，由 CD 是直 径得 90 DAC=，从而 可知 不存 在直 径 CD，使得 AD CD，从而 可判断；对 于 B，由 题意 可得当 AO OD 时，三 棱锥 S AOD 体积最 大，求解即 可判 断；对 于 C，根 据 异面直线的 判定 方法 即可 判

33、断；对 于 D，取 SB 的 中点 E，取OB 的中点 F，连接,OE CE CF EF，可得COE（或及 其补 角）为异 面直 线 SA 与CD 所成角 的平 面角，根 据余弦 定理 即可 求解，从 而可判 断.【详解】对于 A，连 接,SD AC，因 为 SO 平面 ABD，AD 平面 ABD，所以 SO AD，若 AD SD，只需 AD CD，因为CD 是直径，所 以 90 DAC=，所以 不存在 直径CD，使得 AD CD，所以不 存在 某条 直径CD，使得 AD SD，A 错 误；对于 B，若 2 AB=，则 1 SO OA OD=，所以三 棱锥 S AOD 的体 积为11 11 1

34、 sin 1 sin32 6AOD AOD=，所以当 AO OD 时，三 棱锥 S AOD 体积的 最大值 为16，B 正确；对于 C，AB，CD 是直角 圆锥 SO 底面 圆 的两 条不 同的 直径，所 以 AD 与 SB 没 有交 点，而 SB 平面 ADBC B=，AD 平面 ADBC，所以 直线 AD 与直线 SB 互 为异 面直 线，C 正确；对于 D，取 SB 的中点 E，取OB 的中 点 F，连接,OE CE CF EF，则/OE SA，所以 COE（或及 其补 角）为异面 直线 SA 与CD 所成角 的平 面角.令 2 AB=，则 1 SO OB OC=，所以1 2 1 11,

35、2 2 2 22OE SA OF EF SO=，因为6ABD=，所以3AOD BOC=，则32CF=，所以221 CE EF CF=+=，第11 页/共27 页 学科网（北京）股份有 限公司 所以22211122cos24 2212OC OE CECOEOC OE+=，D 正确.故选：BCD 12.已知 数列 na 中各项 都小 于 2，221143n n nna a aa+=，记数 列 na 的前n项和为nS，则以 下结 论正确的 是（）A.任意1a 与正 整数m，使得10mmaa+B.存在1a 与正整 数m，使得134mmaa+C.任意 非零 实数1a 与正整 数m，都有1 mmaa+D.

36、若11 a=，则()20221.5,4 S【答案】AD【解析】【分析】由递推公式得到()21134nnnnnaaaaa+=即可判断 A，记()24 fx x x=，依题意可得()134nnfa f a+，结 合函 数的 单调 性，即可得 到 对于 任意 正整 数n，134nnaa+，从而 判断 B，分10 a=、102 a、10 a 三 种情 况讨 论，即可 判断 C，结合 A、C 即 可判断 D.【详解】对于 A：因 为221143n n nna a aa+=，所 以()()1143n n nna aaa+=，所以()1134nnnnaaaa+=，则()211304nnnnnaaaaa+=，

37、故 A 正 确；对于 B：记()24 fx x x=，由2221133 344 444 4n nn n n na aa a a a+=，第12页/共27 页 学科网（北京）股份有 限公司 可得()134nnfa f a+，因为()fx 在(),2 上单调 递减，所以对 于任 意正 整数n，134nnaa+，故 B 错误；对于 C：由 A 可知 所有na 同号，当10 a=时，易 得对 于任 意正 整数n，0na=，当102 a 时 02na，即()()1 nnfa fa+，因为()fx 在(),2 上单 调递 减，所以 对于任 意正 整数n，1 nnaa+，当10 a 时 0na，2 2211

38、4 34n n n nn na a a aa a+=，即()()1 nnfa fa+，故 C 错误；对于 D：由 B 可 知对 于任意 正 整数n，134nnaa+，当11 a=时134nna，所以20221 20222022202213133 441 434414kkS=，由 C 中 知当11 a=时，01na，所以2022 232SS，所以()20221.5,4 S，故 D 正 确；故选：AD 非 选择 题部分 三、填 空题：本题 共 4 小 题，每小题 5 分，共 20 分.13.杭州 第 19 届 亚运 会会徽“潮涌”的 主题 图形 融合 了扇面、钱 塘江、钱 江潮 头、赛 道、互联

39、网及 太阳 六大元素，其中 扇面 造型 代表 了江南 厚重 的人 文底 蕴.在 中国历 史上，历 代书 画家 都喜欢 在扇 面上 绘画 或书 写以抒情达 意.一 幅扇 面书 法作品 如 图所 示，经测 量，上、下 两条 弧分 别是 半径为 30 和 12 的两 个 同心 圆上 的弧（长度 单位 为 cm），侧 边 两条线 段的 延长 线交 于同 心圆的 圆心，且 圆心 角为23.若某空 间几 何体 的侧 面展开图恰 好与 图中 扇面 形状、大小 一致，则 该几 何体 的高为_.第13页/共27 页 学科网（北京）股份有 限公司【答案】12 2【解析】【分析】计算 出侧 面展 开图 分 别为 3

40、0 和 12，圆心角 为23的扇形 的两 个圆 锥的 高，相 减即 可得 解.【详解】一 个圆 锥的 侧面 展开图 是半 径为30，圆心 角为23的扇 形，设该 圆锥 的底 面半径 为r，高为 h，所以2 2 303r=，可得 10 r=，因 此，该圆 锥的高 为2230 10 20 2 h=，侧面展 开图 是半 径为12，圆 心角为2 3的扇 形，设该 圆锥 的底面 半径 为1r，高为1h，所以12 2 123r=，可得14 r=，因 此，该圆 锥的高 为22112 4 8 2 h=，因此，若某 几何 体的 侧面 展开图 恰好 与图 中扇 面形 状、大 小一 致，则该 几何 体的高 为20

41、2 8 2 12 2=.故答案：12 2.14.已知 等差 数列 na，88 a=，983a=+，则576cos coscosaaa+=_.【答案】1【解析】【分析】记等 差数 列 na 的公 差为d，则983da a=，由75 75 75 7557,22 22aa aa aa aaaa+=+，7562aaa+=，结 合和 差角 余弦 公式 可得75 755 7 757562cos coscos cos222coscos 2cos2aa aaa a aaaaa+=+，从而 可求 解.【详解】记等 差数 列 na 的公 差为d，则983da a=，因为75 75 75 7557,22 22aa

42、aa aa aaaa+=+，7562aaa+=，所以75 75 75 7557cos cos cos cos sin sin2 2 22aa aa aa aaaa+=+为 第14页/共27 页 学科网（北京）股份有 限公司 75 75 75 75 75 75cos cos sin sin 2cos cos22 2 2 22aa aa aa aa aa aa+=，所以75 755 7 757562cos coscos cos 222cos 2cos 2cos 1cos 2 3cos2aa aaa a aadaaa+=+.故答案 为：1 15.如图，在 直三 棱柱111ABC A B C 中，13

43、 BC CC=，4 AC=，AC BC，动点 P 在111ABC 内（包括 边界 上），且 始终 满 足1BP AB，则 动点 P 的轨 迹长 度是_.【答案】125【解析】【分析】推导 出11BC AB，在 平 面111ABC 内，过点1C作1 11CH AB，垂足为 点 H，证 明 出11AB C H，可得出1AB 平面1BC H，分析 可知 点 P 的 轨迹为 线段1CH，利用 等面 积法求 出 线段1CH 的长，即为 所求.【详解】在直 三棱 柱111ABC A B C 中，1BB 平面 ABC，因为 AC 平面 ABC，所以，1AC BB，又因为 AC BC，1BC BB B=，BC

44、、1BB 平面11BB C C，所以，AC 平面11BB C C，因为1BC 平面11BB C C，所以，1BC AC，因为11/BB CC，11BB CC BC=，则四 边形11BB C C 为菱形，所以，11BC B C，又因为1AC B C C=，AC、1BC 平面1AB C，所 以，1BC 平面1AB C，因为1AB 平面1AB C，所以，11BC AB.第15页/共27 页 学科网（北京）股份有 限公司 在平面111ABC 内，过点1C作1 11CH AB，垂足 为点 H，因为1BB 平面111ABC，1CH 平面111ABC，则11C H BB，因为1 11CH AB，1 11 1

45、BB A B B=，1BB、11AB 平面11AA B B，所以，1CH 平面11AA B B，因为1AB 平面11AA B B，则11AB C H，因为11 1BC C H C=，1BC、1CH 平面1BC H，所以，1AB 平面1BC H，由于动 点 P 又在111ABC 内，所 以动 点 P 在 平面111ABC 与平面1BC H 的 交线1CH 上，因为114 AC AC=，113 B C BC=，11 11AC BC，所以，2 2 2211 11 1143 5 AB AC BC=+=+=，由等面 积法 可得11 111114 3 1255AC BCCHAB=，因此，动点 P 的轨 迹

46、长 度是125.故答案 为：125.16.已知 向量a，b的夹 角为3，且 3 ab=，向量c满足()()1 01 ca b=+，且ac bc=，记caxa=，cbyb=，则22x x y y+的最大 值为_.【答案】278【解析】【分析】设,OA a OB b OC c=,由共 线定 理可 知点C 在线段 AB 上，设 AOC=，则 第16页/共27 页 学科网（北京）股份有 限公司 3BOC=，根据 投影 的计 算方 法，结合三 角恒 等变 换公 式，推出 22 23|4x y xy c+=，可将 原问题转化 为求|c的最 大值，再 利用等 面积 法，进一 步将 问题转 化为 求 AB 的

47、最小 值，然后结 合余 弦定 理和基本不 等式，得 解.【详解】设,OA a OB b OC c=，则3AOB=，由3=ab，知|cos 33ab=，即|6 ab=，所以1 1 3 33|sin 62 32 2 2OABS ab=，因为(1)(0 1)ca b=+，所以 点C 在线段 AB 上，设 AOC=，则3BOC=，所以2 2 22 22|cos|cos x y xy c c+=+|cos|cos3cc 3 222213|cos|cos sin22cc=+13|cos|cos sin22cc+22 213|cos cos sin cos42c=+2231 3sin cos sin cos

48、42 2+23|4c=故原问 题转 化为 求|c的最大 值，在 OAB 中，由 余弦 定理 知，2 22 22|2|c o s|3A B a b ab a b ab=+=+26 ab ab ab=，当且 仅当 6 ab=时，等 号成 立，故 AB 的 最小 值为6，因为 ac bc=，所以()0 abc=，即 AB OC，第17页/共27 页 学科网（北京）股份有 限公司 所以1 33|22OABS AB OC=，即33 33 322 6OCAB=，即322c，所以22 23 27|48x y xy c+=.故答案 为：278 四、解 答题：本题 共 6 小题，共 70 分.解答 应写 出文

49、字说明、证 明过程 或演 算步骤.17.定义 一种 运算：(),ca b ac bdd=+.（1）已知z复数，且()3,7 3i4zz=，求 z；（2）已知x、y为实数，()()2sinisin 2,2 1,sin2 3ixyx xy+也是 实数，将y表示为x的函 数并 求该函数的单 调递 增区 间.【答案】（1）10（2）2sin 2 33yx=+，增区 间为()7,12 12k kk+Z【解析】【分析】（1）()i,z a b ab=+R，由()3,7 3i4zz=结合复 数 相等可 求出a、b 的值，再利 用复数 的模长公式 可求 得 z 的值；（2）利 用题 中运 算结 合复 数的概

50、念可 得出2sin 2 2 3 sin 0 yx x+=，利 用三角 恒 等变 换化 简可 得出y关于x的函 数表 达式，再 利用 正弦型 函数 的单 调性 可求 得该函 数的 单调 递增 区间.【小问 1 详解】解：设()i,z a b ab=+R，因为()()()3,3 4 3 i 4 i 7 i 7 3i4zz z z ab ab ab=+=+=，为 第18页/共27 页 学科网（北京）股份有 限公司 所以，773ab=，即13ab=，则 1 3i z=+，因 此，221 3 10 z=+=.【小问 2 详解】解：()()()()22sinisin 2,2 1,sin 2 sin sin