浙江省杭州市2022-2023学年高一下学期期末数学试题含答案.pdf

《浙江省杭州市2022-2023学年高一下学期期末数学试题含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《浙江省杭州市2022-2023学年高一下学期期末数学试题含答案.pdf（28页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第1页/共7页 学科网（北京）股份有限公司2022 学年第二学期杭州市高一年级教学质量检测学年第二学期杭州市高一年级教学质量检测数学试题卷数学试题卷 考生须知：考生须知：1.本试卷分试题卷和答题卡两部分本试卷分试题卷和答题卡两部分.满分满分 150分，考试时间分，考试时间 120 分钟分钟.2.答题前，必须在答题卡指定位置上用黑笔填写学校名答题前，必须在答题卡指定位置上用黑笔填写学校名姓名姓名试场号试场号座位号座位号准考证号，并准考证号，并用用 2B 铅笔将准考证号所对应的数字涂黑铅笔将准考证号所对应的数字涂黑.3.答案必须写在答题卡相应的位置上，写在其他地方无效答案必须写在答题卡相应的位置上

2、，写在其他地方无效.一一选择题（本大题共选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中只有一项分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的是符合题目要求的.）1.设集合21,2,3,4,230ABx xx=，则AB=（）A.1,2,3,4B.1,2,3C.1,2D.12.若i23iz=+（i是虚数单位），则z=（）A.2B.3C.13D.3 23.军事上角的度量常用密位制，密位制的单位是“密位”1密位就是圆周的16000所对的圆心角的大小，.若角1000=密位，则=（）A.6B.4C.3D.5124.已知平面平面，直线l，则“l”是

3、“/l”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.杭州亚运会火炬如图（1）所示，小红在数学建模活动时将其抽象为图（2）所示的几何体.假设火炬装满燃料，燃烧时燃料以均匀的速度消耗，记剩余燃料的高度为h，则h关于时间t的函数的大致图象可能是（）第2页/共7页 学科网（北京）股份有限公司 A.B.C.D.6.雷峰塔位于杭州市西湖景区，主体为平面八角形体仿唐宋楼阁式塔，总占地面积3133平方米，项目学习小组为了测量雷峰塔的高度，如图选取了与底部水平的直线BC，测得ABC、ADC的度数分别为、，以及D、B两点间的距离d，则塔高AC=（）A.()sin si

4、nsind B.()sin sincosd C.()tan tantand D.()sin cossind 7.已知函数()()e,exf xxg x=+=（e 为自然对数的底数），则（）A.()()()0,xf xg x+第3页/共7页 学科网（北京）股份有限公司 B.0e,ex，当0 xx=时，()()f xg x=C.()()e,e,xf xg x 时，()()f xg x=个单位，得到函数sinyx=的图象，则的最小值为_.15.已知正三棱柱111ABCABC的各条棱长都是 2，则直线1CB与平面11AAB B所成角的正切值为_；直线1CB与直线1AB所成角的余弦值为_.16.对于函数

5、()()yf xxI=，若存在0 xI，使得()00f xx=，则称0 x为函数()yf x=“不动点”.若存在0 xI，使得()()00ff xx=，则称0 x为函数()yf x=的“稳定点”.记函数()yf x=的“不动点”和“稳定点”的集合分别为A和B，即()()()|,|Ax fxxBx ffxx=.经研究发现：若函数()f x为增函数，则AB=.设函数()()Rf xxa a=，若存在0,1b使()()ff bb=成立，则a的取值范围是_.三三解答题（本大题共解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.

6、）17.在平面直角坐标系中，已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点34,55P（1）求sin的值；（2）若角满足()3sin2+=，求cos的值 18.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量mg/LP与时间h t间的关系为0ektPP=（其中0,P k是正常数）.已知在前 5个小时消除了 10%的污染物.（1）求k的值（精称到 0.01）；（2）求污染物减少50%需要花的时间（精确到0.1h）？参考数据：ln20.693,ln31.099,ln51.609=.19.我们把由平面内夹角成60的两条数轴,Ox Oy构成的坐标系，称为“未来坐标系”.如图所

7、示，21,ee 分别为,Ox Oy正方向上的单位向量.若向量12OPxeye=+，则把实数对(),x y叫做向量OP 的“未来坐标”，记,OPx y=.已知 1122,x yxy分别为向是,a b的未来坐标.的 第6页/共7页 学科网（北京）股份有限公司 （1）证明：11221212,x yxyxxyy+=+；（2）若向量,a b的“未来坐标”分别为1,2，2,1，求向量,a b的夹角的余弦值.20.在四边形ABCD中，/,sin2sinAB CD ADADCCDABC=.（1）求证：2BCCD=.（2）若33ABCD=，且sinsin60ADADBAB=，求四边形ABCD的面积.21.生活中

8、为了美观起见，售货员用彩绳对长方体礼品盆进行捆扎.有以下两种捆扎方案：方案(1)为十字捆扎(如图(1)，方案(2)为对角捆扎(如图(2).设礼品盒的长AB，宽BC，高1AA分别为30cm,20cm,10cm.（1）在方案(2)中，若111110cmLAAEICC HFBBG=，设平面LEF与平面GHI的交线为l，求证：/l平面ABCD；（2）不考虑花结用绳，对于以上两种捆扎方式，你认为哪一种方式所用彩绳最少，最短绳长为多少cm？22 已知函数()()1(0),(0)f xxxg xx xx=+=.（1）直接写出()()()()1f xg xg xf x+的解集；（2）若()()()123f x

9、f xg x=，其中12xx B.0e,ex，当0 xx=时，()()f xg x=C.()()e,e,xf xg x 时，()()f xg x，当1(,)xx+时，()()f xg x，则 A选项错误；因为e1e9，故 C选项错误，且()()()()()3939399e10e,91.299128,e.2fgfg=+=，则结合图像可知，当eex恒成立，故 B 选项错误；对于 D选项，x +时，由图可知()()f xg x=，且()f x在区间,12 24上单调，则的最大值为（）A.1 B.3 C.5 D.7【答案】B【解析】【分析】根据08f=与318f=可得()()211221,kkk k=

10、+Z，再根据单调性可得8，验证7=，5=与3=即可.【详解】由08f=,得()118kk+=Z，由318f=，得()22382kk+=+Z，两式作差，得()()211221,kkk k=+Z，第6页/共23页 学科网（北京）股份有限公司 因为()f x在区间,12 24上单调，所以1 224122+，得8.当7=时，()1178kk+=Z,因为2,所以8=,所以()sin 78f xx=.24,12x，177,8246x,因为17242，所以()f x在区间,12 24上不单调，不符合题意；当5=时，()1158kk+=Z，因2,所以38=，所以()3sin 58f xx=.24,12x，31

11、95,8246x,因为19242，所以()f x在区间,12 24上不单调，不符合题意；当3=时，()1138kk+=Z，因为2,所以10121x+,20221x+，所以211121x ,则()()212122112121xxf xf x=+()()()2112122 222221212121xxxxxx=+,因为21xx，所以2112220,210,210 xxxx+，所以()()210f xf x,即()()21f xf x，所以函数()f x是增函数，故 D错误，故选:AC.10.如图，O是正六边形ABCDEF的中心，则（）A.ABAFAO=B.3ACAEAD+=C.OA OCOB OD

12、=D.AD在AB 上的投影向量为AB 第8页/共23页 学科网（北京）股份有限公司【答案】CD【解析】【分析】根据向量的线性运算法则，可判定 A、B 不正确，结合向量的数量积的定义域运算，可判定 C 正确，结合向量的投影的定义与运算，可判定 D正确.【详解】根据题意，结合平面向量的线性运算法则，可得：对于 A中，由BFAOFBAA=，所以 A不正确；对于 B中，由232AOOCAOOEAACAEOOCOEAOOADO=+=+=+=+，所以 B不正确；对于 C中，设正六边形的边长为a，可得11 1 cos1202OA OC=，11 1 cos1202OB OD=，所以OA OCOB OD=，所以

13、 C正确；对于 D中，如图所示，连接BD，可得BDAB，可得cosADDABAB=，所以AD在向量AB 上的投影向量为ABABABAB=，所以 D 正确.故选：CD.11.如图，质点A和B在单位圆O上逆时针作匀速圆周运动.若A和B同时出发，A的角速度为1rad/s，起点位置坐标为13,22，B 的角速度为2rad/s，起点位置坐标为()1,0，则（）A.在1s末，点B的坐标为()sin2,cos2 第9页/共23页 学科网（北京）股份有限公司 B.在1s末，扇形AOB的弧长为13 C.在7s3末，点,A B在单位圆上第二次重合 D.AOB面积的最大值为12【答案】BCD【解析】【分析】求出1s

14、末点A和B的坐标可判断选项 AB;求出7s3末点A和B的坐标，结合诱导公式可判断 C；根据三角形面积公式可判断 D.【详解】在1s末,点B的坐标为()sin2,cos2，点A的坐标为cos1,sin133+；13AOB=，扇形AOB的弧长为13；设在s t末，点,A B在单位圆上第二次重合，则72233ttt=+=，故在7s3末，点,A B在单位圆上第二次重合；1sin2AOBSAOB=,经过56s 后，可得2AOB=，AOB面积的可取得最大值12.故选:BCD.12.圆锥内半径最大的球称为该圆锥的内切球，若圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，则称该球为圆锥的外接球.如图，圆锥PO的内切球

15、和外接球的球心重合，且圆锥PO的底面直径为2a，则（）A.设内切球的半径为1r，外接球的半径为2r，则212rr=B.设内切球的表面积1S，外接球的表面积为2S，则124SS=C.设圆锥的体积为1V，内切球的体积为2V，则1294VV=第10页/共23页 学科网（北京）股份有限公司 D.设S、T是圆锥底面圆上的两点，且STa=，则平面PST截内切球所得截面的面积为215a【答案】ACD【解析】【分析】作出圆锥的轴截面，依题意可得PAB为等边三角形，设球心为G（即为PAB的重心），即可求出PAB的外接圆和内切圆的半径，即可为圆锥的外接球、内切球的半径，即可判断 A、B，由圆锥及球的体积公式判断

16、C，ST所对的圆心角为3（在圆O上），设ST的中点为D，即可求出OD，不妨设D为OB上的点，连接PD，过点G作GEPD交PD于点E，利用三角形相似求出GE，即可求出截面圆的半径，从而判断 D.【详解】作出圆锥的轴截面如下：因为圆锥PO的内切球和外接球的球心重合，所以PAB为等边三角形，又2PBa=，所以223OPPBOBa=，设球心为G（即为PAB的重心），所以22 333PGPOa=，1333OGPOa=，即内切球的半径为133rOGa=，外接球的半径为22 33rPGa=，所以212rr=，故 A正确；设内切球表面积1S，外接球的表面积为2S，则214SS=，故 B 错误；设圆锥的体积为1

17、V，则31213333Vaaa=，内切球的体积为2V，则332434 33327Vaa=，所以313233449327VaVa=，故 C 正确；设S、T是圆锥底面圆上的两点，且STa=，则ST所对的圆心角为3（在圆O上），的 第11页/共23页 学科网（北京）股份有限公司 设ST的中点为D，则3sin32ODaa=，不妨设D为OB上的点，连接PD，则22152aPDPOOD=+=，过点G作GEPD交PD于点E，则PEGPOD，所以GEPGODPD=，即2 3331522aGEaa=，解得2 1515GEa=，所以平面PST截内切球截面圆的半径2221115rrGEa=，所以截面圆的面积为221

18、5ar=，故 D正确；故选：ACD【点睛】关键点睛：本题解答的关键是由题意得到圆锥的轴截面三角形为等边三角形，从而确定外接球、内切球的半径.二二填空题（本大题共填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.）13.设函数()12,01,02xxxf xx=时，1212a=，14a=，当a个单位，得到函数sinyx=的图象，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】先利用三角函数图象变换规律求出平移后的解析，再由两函数图象相同列方程可求得结果.【详解】将曲线sinyx=上所有点向左平移(0)个单位，可得sin()yx=+，因为sin()yx=+与sinyx=的图象相

19、同，所以2,kk=+Z，因为0，所以的最小值为，故答案为：15.已知正三棱柱111ABCABC的各条棱长都是 2，则直线1CB与平面11AAB B所成角的正切值为_；直线1CB与直线1AB所成角的余弦值为_.【答案】.155 .14#0.25【解析】【分析】空 1：取AB中点D，连接1,CD B D，则可得1CB D为直线1CB与平面11AAB B所成角，然后在1CB D中求解即可；空 2：分别取111,BC BB AB的中点,E F G，连接,EF FG EG，则可得EFG（或其补角）为直线1CB与直线1AB所成角，然后在EFG中求解即可.【详解】空 1：取AB的中点D，连接1,CD B D

20、，因为ABC为等边三角形，所以CDAB，因为1BB 平面ABC，CD 平面ABC，所以1BBCD，因为1BBABB=，1,BB AB 平面11AAB B，所以CD 平面11AAB B，的 第13页/共23页 学科网（北京）股份有限公司 所以1CB D直线1CB与平面11AAB B所成角，因为正三棱柱111ABCABC的各条棱长都是 2，所以221323,2152CDDB=+=，所以11315tan55CDCB DDB=，所以直线1CB与平面11AAB B所成角的正切值为155，空 2：分别取111,BC BB AB的中点,E F G，连接,EF FG EG，则EF1BC，1112 2222EF

21、BC=，FG1AB，1112 2222FGAB=，所以EFG（或其补角）为直线1CB与直线1AB所成角，连接,DG DE，则2222215EGDGDE=+=+=，在EFG中，由余弦定理得 2222251cos24222EFFGEGEFGEF FG+=，因为异面直线所成的角的范围为0,2，所以直线1CB与直线1AB所成角的余弦值为14，故答案为：155；14.为 第14页/共23页 学科网（北京）股份有限公司 16.对于函数()()yf xxI=，若存在0 xI，使得()00f xx=，则称0 x为函数()yf x=的“不动点”.若存在0 xI，使得()()00ff xx=，则称0 x为函数()

22、yf x=的“稳定点”.记函数()yf x=的“不动点”和“稳定点”的集合分别为A和B，即()()()|,|Ax fxxBx ffxx=.经研究发现：若函数()f x为增函数，则AB=.设函数()()Rf xxa a=，若存在0,1b使()()ff bb=成立，则a的取值范围是_.【答案】10,4【解析】【分析】先判断()()Rf xxa a=是增函数，再根据题意可得()f bb=，代入可得2abb=，再结合二次函数的性质即可求解a的取值范围.【详解】因为()()Rf xxa a=是增函数，所以()()ff bb=等价于()f bb=，即bab=，所以2abb=，而2abb=在10,2上单调递

23、增，在1,12上单调递减，所以max14a=，而当0b=时，0a=；当1b=时，0a=，即min0a=，所以a的取值范围为10,4.故答案为：10,4 三三解答题（本大题共解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.）17.在平面直角坐标系中，已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点34,55P（1）求sin的值；（2）若角满足()3sin2+=，求cos的值【答案】（1）45 第15页/共23页 学科网（北京）股份有限公司（2）34 310或34 310 【解析】【分析】（1）根据某个角

24、正弦的定义，直接求解即可；（2）首先由同角的三角函数的平方关系求出()cos+，根据()coscos=+及两角差的余弦公式，代入计算即可【小问 1 详解】由角的终边过点34,55P，得22445sin534()()55yr=+【小问 2 详解】由角的终边过点34,55P，得3cos5xr=，由()3sin2+=，得()21cos1 sin()2+=+=，()()()coscoscoscossinsin=+=+，当()1cos2+=时，133434 3cos252510=+=；当()1cos2+=时，133434 3cos252510=+=，综上所述，34 3cos10=或34 310 18.某

25、工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量mg/LP与时间h t间的关系为0ektPP=（其中0,P k是正常数）.已知在前 5个小时消除了 10%的污染物.（1）求k的值（精称到 0.01）；（2）求污染物减少50%需要花的时间（精确到0.1h）？参考数据：ln20.693,ln31.099,ln51.609=.【答案】（1）0.02 （2）34.7 第16页/共23页 学科网（北京）股份有限公司【解析】【分析】（1）由题意可得5000.9ekPP=，求解即可；（2）由题意可得0.02000.5etPP=，求解即可.【小问 1 详解】由0ektPP=知，当0=t时，0PP=；当5

26、t=时，()01 10%PP=；即5000.9ekPP=，所以1ln0.95k=，即()()1911ln2ln3ln102ln3ln2ln50.0251055k=；【小问 2 详解】当00.5PP=时，0.02000.5etPP=，即0.020.5et=，则50ln234.7t=.故污染物减少50%需要花的时间约为34.7h.19.我们把由平面内夹角成60的两条数轴,Ox Oy构成的坐标系，称为“未来坐标系”.如图所示，21,ee 分别为,Ox Oy正方向上的单位向量.若向量12OPxeye=+，则把实数对(),x y叫做向量OP 的“未来坐标”，记,OPx y=.已知 1122,x yxy分

27、别为向是,a b的未来坐标.（1）证明：11221212,x yxyxxyy+=+；（2）若向量,a b的“未来坐标”分别为1,2，2,1，求向量,a b的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析 （2）1314【解析】【分析】（1）因为111122122122,x yaxyxybeeey ex=+=+，则()()111221122221,xyeyxxy exy ee+=+计算即可证明；（2）由题意可得12122,2beaeee=+=+，根据向量夹角公式即可求解.第17页/共23页 学科网（北京）股份有限公司【小问 1 详解】因为111122122122,x yaxyxybeeey ex=+=+

28、，所以()()111221122221,xyeyxxy exy ee+=+()()211122xxyyee=+1212,xxyy=+【小问 2 详解】12122,2beaeee=+=+，()()221212121213222252a beeeeeee e=+=+=，()2111222221222447eaeeee eee=+=+=+=，()1222212221122447ebeeeeee e=+=+=+=，所以13132cos,1477a ba ba b=.20.在四边形ABCD中，/,sin2sinAB CD ADADCCDABC=.（1）求证：2BCCD=.（2）若33ABCD=，且sin

29、sin60ADADBAB=，求四边形ABCD的面积.【答案】（1）证明见解析 （2）若60ABD=，则四边形ABCD的面积3932+，若120ABD=，则四边形ABCD的面积3932.【解析】【分析】（1）由条件结合正弦定理证明sinsinADADCBCABC=，由此证明结论；（2）由条件结合正弦定理求ABD，由余弦定理求BD，结合三角形面积公式求结论.第18页/共23页 学科网（北京）股份有限公司【小问 1 详解】在ACD中，由正弦定理得sinsinADADCACACD=，因为ABCD，所以ACDCAB=，所以sinsinADADCACCAB=，ABC中，由正弦定理得，即sinsinACCA

30、BBCABC=，所以sinsinADADCBCABC=.又sin2sinADADCCDABC=，所以sin2sinBCABCCDABC=，所以2BCCD=.【小问 2 详解】在ABD中，由正弦定理得sinsinsin60ADADBABABDAB=，所以sinsin60ABD=，所以60ABD=或120，当60ABD=时，则60BDC=，在BCD中，由余弦定理得，230BDBD=，又0BD，解得1132BD+=，此时四边形ABCD的面积()1393Ssin6022ABCDBD+=+=，当120ABD=时，则120BDC=，在BCD中，由余弦定理得，230BDBD+=，解得1132BD+=，在 第

31、19页/共23页 学科网（北京）股份有限公司 此时四边形ABCD的面积()1393sin12022SABCDBD=+=.21.生活中为了美观起见，售货员用彩绳对长方体礼品盆进行捆扎.有以下两种捆扎方案：方案(1)为十字捆扎(如图(1)，方案(2)为对角捆扎(如图(2).设礼品盒的长AB，宽BC，高1AA分别为30cm,20cm,10cm.（1）在方案(2)中，若111110cmLAAEICC HFBBG=，设平面LEF与平面GHI的交线为l，求证：/l平面ABCD；（2）不考虑花结用绳，对于以上两种捆扎方式，你认为哪一种方式所用彩绳最少，最短绳长为多少cm？【答案】（1）证明见解析 （2）方案

32、(2)，最短绳长为100cm【解析】【分析】（1）先证明LEIH，从而可证LE平面IHG，进而得LEl，从而可证l平面1111DCBA，从而可证/l平面ABCD；（2）方案 1中，绳长为()()30 10220 102140cm+=；方案 2 中，将长方体盒子展开在一个平面上，在平面展开图中彩绳是一条由F到F的折线，从而可计算最短绳长.【小问 1 详解】连接,LI EH，在长方体中，111110cmLAAEICC HFBBG=，则111110cm,20cmBLDB EIDH=，所以2222101010 2,101010 2LEIH=+=+=，第20页/共23页 学科网（北京）股份有限公司 22

33、22201010 5,201010 5LIEH=+=+=，所以LEIH=，LIEH=，所以四边形LEHI是平行四边形，LEIH，又LE 平面,IHG LE 平面LEFLE平面IHG；又LE 平面LEF，平面LEF 平面,GHIlLEl=；又l 平面1111,ABC DLE 平面1111,ABC Dl平面1111DCBA，又l 平面,ABCDl平面ABCD；【小问 2 详解】方案 1 中，绳长为()()30 10220 102140cm+=；方案 2 中，将长方体盒子展开在一个平面上，在平面展开图中彩绳是一条由F到F的折线，如图所示，在扎紧的情况下，彩绳长度的最小值为FF长度，因为FBF B=，

34、所以22(6020)(4020)100cmFFBB=+=，所以彩绳的最短长度为100cm.22.已知函数()()1(0),(0)f xxxg xx xx=+=.（1）直接写出()()()()1f xg xg xf x+的解集；（2）若()()()123f xf xg x=，其中12xx；第21页/共23页 学科网（北京）股份有限公司（3）()min322,1,8,2,()24,333,3mmh xmmmmmm=+N.【解析】【分析】（1）转化为求解()1110 xxx，分01x讨论即可求解；（2）根据韦达定理得()122txxt+=，再根据对勾函数的性质即可求解；（3）根据二次函数的性质分类讨

35、论即可求解.【小问 1 详解】()()1(0),(0)f xxxg xx xx=+=，()()()()1f xg xg xf x+即为()1110 xxx,当01x时，110 x，故()1110 xxx，显然不成立；当1x 时，110 x，故()1110 xxx，即()210 xx,解得2x.综上所述，()()()()1f xg xg xf x，得2t.()()12312f xxg xtt+=+在2+)（，上单调递增，所以11922 222tt+=，即()()12392f xxg x+.【小问 3 详解】()()()()()222222111211,11mmh xmxmxmxmm+=+=+第22页/共23页学科网（北京）股份有限公司2121,11mmmm+=+()2,111mmm+NN，1m=时，()min211,()121mh xhm+=+；2m=时，()min251,()2813mh xhm+=+；3m=时，()()min251,()232412mh xhhm+=+；3m 时，2121,1111212mmmmm +N