中考数学基础题专练：19以三角形为背景的证明与计算.pdf

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1、2020 中考 专题 19 以三角形为背景的证明与计算 考点分析【例 1】（2019山东中考真题）如图，已知等边ABC，CD AB 于 D，AF AC，E 为线段CD上一点，且CE AF，连接 BE，BF，EG BF 于G，连接DG（1）求证：BE BF；（2）试说明DG与 AF 的位置关系和数量关系【答案】（1）详见解析；（2）2 AF GD，/AF DG，理由详见解析【解析】（1）ABC 是等边三角形，AB AC BC，60 BAC ACB ABC，CD AB，AC BC，BD AD，30 BCD，AF AC，90 FAC，30 FAB FAC BAC，FAB ECB，且AB BC，AF

2、CE，()ABF CBE SAS，BF BE，（2）2 AF GD，/AF DG.理由如下：连接 EF，2020 中考 ABF CBE ABF CBE，60 ABE EBC，60 ABE ABF，BE BF，BEF 是等边三角形，GE BF，BG FG，且 BD AD，2 AF GD，/AF DG.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形中位线定理，熟练运用三角形中位线定理是本题的关键【例 2】（2019山东中考真题）小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究.（一）猜测探究 在ABC 中，AB AC，M是平面内任意一点，将线段AM绕点A按顺时

3、针方向旋转与 BAC 相等的角度，得到线段AN，连接NB（1）如图 1，若M是线段BC上的任意一点，请直接写出NAB 与MAC 的数量关系是，NB点睛本题考查了全等三角形的判定和性质等边三角形的判定和性质三角形中位线定理熟练运用三角形中位线定理是本 面内任意一点将线段绕点按顺时针方向旋转与相等的角度得到线段连接如图若是线段上的任意一点请直接写出与的数 予证明若不成立请说明理由二拓展应用如图在中是上的任意点连接将绕点按顺时针方向旋转得到线段连接求线段长度2020 中考 与MC的数量关系是；（2）如图 2，点 E 是 AB 延长线上点，若 M 是CBE 内部射线 BD 上任意一点，连接MC，（1）

4、中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由（二）拓展应用 如图 3，在1 1 1A B C 中，1 18 A B，1 1 160 A B C o，1 1 175 B AC o，P 是1 1B C上的任意点，连接1AP，将1AP绕点1A按顺时针方向旋转 75o，得到线段1AQ，连接1B Q求线段1B Q长度的最小值【答案】（一）（1）结论：NAB MAC，BN MC 理由见解析；（2）如图 2 中，中结论仍然成立理由见解析；（二）1QB的最小值为 4 3 4 2【解析】（一）（1）结论：NAB MAC，BN MC 理由：如图 1 中，MAN CAB，NAB BAM BAM MA

5、C，NAB MAC，AB AC，AN AM，NAB MAC（SAS），BN CM 故答案为NAB MAC，BN CM（2）如图 2 中，中结论仍然成立 点睛本题考查了全等三角形的判定和性质等边三角形的判定和性质三角形中位线定理熟练运用三角形中位线定理是本 面内任意一点将线段绕点按顺时针方向旋转与相等的角度得到线段连接如图若是线段上的任意一点请直接写出与的数 予证明若不成立请说明理由二拓展应用如图在中是上的任意点连接将绕点按顺时针方向旋转得到线段连接求线段长度2020 中考 理由：MAN CAB，NAB BAM BAM MAC，NAB MAC，AB AC，AN AM，NAB MAC（SAS），B

6、N CM（二）如图 3 中，在1 1AC上截取1 1A N AQ，连接PN，作1 1NH B C 于 H，作1 1 1A M B C 于 M 1 1 1 1C A B PAQ，1 1 1QA B PA N，1 1A A A P，1 1A B AN，1 1QA B 1PA N（SAS），1B Q PN，当PN的值最小时，1QB的值最小，在1 1Rt A B M 中，1 160 A B M o，1 18 A B，点睛本题考查了全等三角形的判定和性质等边三角形的判定和性质三角形中位线定理熟练运用三角形中位线定理是本 面内任意一点将线段绕点按顺时针方向旋转与相等的角度得到线段连接如图若是线段上的任意一

7、点请直接写出与的数 予证明若不成立请说明理由二拓展应用如图在中是上的任意点连接将绕点按顺时针方向旋转得到线段连接求线段长度2020 中考 1 1 1sin60 4 3 AM AB o，1 1 1 1 1 1 175 30 45 MAC B AC BAM o o o，1 14 6 AC，1 1 1 14 6 8 NC AC AN，在1Rt NHC，145 C o，4 3 4 2 NH，根据垂线段最短可知，当点 P 与 H 重合时，PN的值最小，1QB的最小值为 4 3 4 2【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，垂线段最短等知识，解题的关键

8、是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用垂线段最短解决最值问题，属于中考压轴题 考点集训 1（2019湖北中考真题）如图，在ABC 中，D 是BC边上的一点，AB DB，BE 平分ABC，交AC边于点E，连接 DE（1）求证：ABE DBE；（2）若100 A，50 C，求 AEB 的度数【答案】(1)见解析；（2）65【解析】（1）证明：BE Q 平分ABC，点睛本题考查了全等三角形的判定和性质等边三角形的判定和性质三角形中位线定理熟练运用三角形中位线定理是本 面内任意一点将线段绕点按顺时针方向旋转与相等的角度得到线段连接如图若是线段上的任意一点请直接写出与的数 予证明若不成立

9、请说明理由二拓展应用如图在中是上的任意点连接将绕点按顺时针方向旋转得到线段连接求线段长度2020 中考 ABE DBE=，在 ABE 和 DBE 中，AB DBABE DBEBE BE，ABE DBE SAS；（2）Q 100 A，50 C，30 ABC，QBE 平分ABC，1152ABE DBE ABC=，在 ABE 中，180 180 100 15 65 AEB A ABE-【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形内角和定理；熟练掌握三角形内角和定理和角平分线定义，证明三角形全等是解题的关键 2（2019浙江中考真题）如图，在ABC 中，AD是 BC边上的中线，E

10、是 AB边上一点，过点 C 作 CFAB交 ED的延长线于点 F，（1）求证：BDECDF；（2）当 ADBC，AE 1，CF 2 时，求 AC的长【答案】（1）见解析；（2）3 AC.【解析】解：（1）CF AB，B FCD BED F，.AD 是BC边上的中线，BD CD，BDE CDF V V.（2）BDE CDF V V，2 BE CF，1 2 3 AB AE BE.点睛本题考查了全等三角形的判定和性质等边三角形的判定和性质三角形中位线定理熟练运用三角形中位线定理是本 面内任意一点将线段绕点按顺时针方向旋转与相等的角度得到线段连接如图若是线段上的任意一点请直接写出与的数 予证明若不成立

11、请说明理由二拓展应用如图在中是上的任意点连接将绕点按顺时针方向旋转得到线段连接求线段长度2020 中考 AD BC BD CD，3 AC AB.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键 3（2019天津）在 RtABC 中，A=90，AC=AB=4，D，E 分别是边 AB，AC的中点若等腰 RtADE 绕点 A逆时针旋转，得到等腰 RtRtAD1E1，设旋转角为（0180），记直线 BD1与 CE1的交点为 P（1）如图 1，当=90时，线段 BD1的长等于，线段 CE1的长等于；（直接填写结果）（2）如图 2，当=135时，求证：BD

12、1=CE1，且 BD1CE1；（3）求点 P 到 AB所在直线的距离的最大值（直接写出结果）【答案】（1）BD1=2 5，CE1=2 5；（2）见解析；（3）1+3【解析】解：（1）解：A=90，AC=AB=4，D，E 分别是边 AB，AC的中点，AE=AD=2，等腰 RtADE 绕点 A逆时针旋转，得到等腰 RtAD1E1，设旋转角为（0180），当=90时，AE1=2，E1AE=90，2 2 2 21 14 2 2 5,4 2 2 5 BD E C;（2）证明：当=135时，如下图：点睛本题考查了全等三角形的判定和性质等边三角形的判定和性质三角形中位线定理熟练运用三角形中位线定理是本 面内

13、任意一点将线段绕点按顺时针方向旋转与相等的角度得到线段连接如图若是线段上的任意一点请直接写出与的数 予证明若不成立请说明理由二拓展应用如图在中是上的任意点连接将绕点按顺时针方向旋转得到线段连接求线段长度2020 中考 由旋转可知D1AB=E1AC=135 又 AB=AC，AD1=AE1，D1AB E1AC BD1=CE1且 D1BA=E1CA 设直线 BD1与 AC交于点 F，有BFA=CFP CPF=FAB=90，BD1CE1；（3）解：如图 3，作 PGAB，交 AB所在直线于点 G，D1，E1在以 A为圆心，AD为半径的圆上，当 BD1所在直线与A 相切时，直线 BD1与 CE1的交点

14、P 到直线 AB的距离最大，此时四边形 AD1PE1是正方形，PD1=2，则2 214 2 2 3 BD，故ABP=30，则 2 2 3 PB，故点 P 到 AB所在直线的距离的最大值为：1 3 PG 考点：旋转变换，直角三角形，勾股定理，三角形全等，正方形的性质 4（2019江西初二期末）（1）如图（1），已知：在ABC 中，BAC90，AB=AC，直线 m经过点 A，BD点睛本题考查了全等三角形的判定和性质等边三角形的判定和性质三角形中位线定理熟练运用三角形中位线定理是本 面内任意一点将线段绕点按顺时针方向旋转与相等的角度得到线段连接如图若是线段上的任意一点请直接写出与的数 予证明若不成立

15、请说明理由二拓展应用如图在中是上的任意点连接将绕点按顺时针方向旋转得到线段连接求线段长度2020 中考 直线 m,CE直线 m,垂足分别为点 D、E.证明:DE=BD+CE.（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在ABC 中，AB=AC，D、A、E 三点都在直线 m上,并且有BDA=AEC=BAC=,其中为任意锐角或钝角.请问结论 DE=BD+CE 是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.（3）拓展与应用：如图（3），D、E 是 D、A、E 三点所在直线 m上的两动点（D、A、E 三点互不重合）,点F 为BAC 平分线上的一点,且ABF 和ACF 均为等边三角形，连接 BD、C

16、E,若BDA=AEC=BAC，试判断DEF 的形状.【答案】（1）见解析（2）成立（3）DEF 为等边三角形【解析】解：（1）证明：BD直线 m，CE直线 m，BDACEA=900 BAC 900，BAD+CAE=900 BAD+ABD=900，CAE=ABD 又 AB=AC，ADBCEA（AAS）AE=BD，AD=CE DE=AE+AD=BD+CE（2）成立证明如下：BDA=BAC=，DBA+BAD=BAD+CAE=1800DBA=CAE BDA=AEC=，AB=AC，ADBCEA（AAS）AE=BD，AD=CE DE=AE+AD=BD+CE（3）DEF 为等边三角形理由如下：由（2）知，A

17、DBCEA，BD=AE，DBA=CAE，ABF 和ACF 均为等边三角形，ABF=CAF=600 DBA+ABF=CAE+CAF DBF=FAE BF=AF，DBFEAF（AAS）DF=EF，BFD=AFE DFE=DFA+AFE=DFA+BFD=600 DEF 为等边三角形 点睛本题考查了全等三角形的判定和性质等边三角形的判定和性质三角形中位线定理熟练运用三角形中位线定理是本 面内任意一点将线段绕点按顺时针方向旋转与相等的角度得到线段连接如图若是线段上的任意一点请直接写出与的数 予证明若不成立请说明理由二拓展应用如图在中是上的任意点连接将绕点按顺时针方向旋转得到线段连接求线段长度2020 中

18、考（1）因为 DE=DA+AE，故由 AAS证ADBCEA，得出 DA=EC，AE=BD，从而证得 DE=BD+CE（2）成立，仍然通过证明ADBCEA，得出 BD=AE，AD=CE，所以 DE=DA+AE=EC+BD（3）由ADBCEA 得 BD=AE，DBA=CAE，由ABF 和ACF 均等边三角形，得ABF=CAF=600，FB=FA，所以DBA+ABF=CAE+CAF，即DBF=FAE，所以DBFEAF，所以 FD=FE，BFD=AFE，再根据DFE=DFA+AFE=DFA+BFD=600得到DEF 是等边三角形 5（2019贵州中考真题）（1）如图，在四边形ABCD中，AB CD，点

19、 E 是BC的中点，若 AE 是 BAD 的平分线，试判断 AB，AD，DC之间的等量关系 解决此问题可以用如下方法：延长 AE 交DC的延长线于点 F，易证AEB FEC 得到AB FC，从而把 AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断 AB，AD，DC之间的等量关系 _；（2）问题探究：如图，在四边形ABCD中，AB CD，AF 与DC的延长线交于点 F，点 E 是BC的中点，若 AE 是 BAF 的平分线，试探究 AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论【答案】（1）AD AB DC；（2）AB AF CF，理由详见解析.【解析】解：（1）AD AB DC.理由如下：如图，AE

20、是 BAD 的平分线，DAE BAE AB DC P，F BAE，DAF F，AD DF.点E是BC的中点，CE BE，又 F BAE，AEB CEF CEF BEA（AAS），AB CF.AD CD CF CD AB.故答案为：AD AB DC.（2）AB AF CF.理由如下：如图，延长 AE 交 DF 的延长线于点G.点睛本题考查了全等三角形的判定和性质等边三角形的判定和性质三角形中位线定理熟练运用三角形中位线定理是本 面内任意一点将线段绕点按顺时针方向旋转与相等的角度得到线段连接如图若是线段上的任意一点请直接写出与的数 予证明若不成立请说明理由二拓展应用如图在中是上的任意点连接将绕点按

21、顺时针方向旋转得到线段连接求线段长度2020 中考 AB DC P，BAE G，又BE CE，AEB GEC，AEB GEC（AAS），AB GC，AE 是 BAF 的平分线，BAG FAG，BAG G，FAG G，FA FG，CG CF FG，AB AF CF.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、平行线的性质、角平分线的定义和等角对等边等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解本题的关键 6（2019江苏初二期中）如图，ABC 中，AB=AC，点 E，F 在边 BC上，BE=CF，点 D在 AF的延长线上，AD=AC，（1）求证：ABEACF；（2）若BAE=30，则ADC=【答案】（1

22、）证明见解析；（2）75【解析】（1）AB=AC，B=ACF，在ABE 和ACF 中，点睛本题考查了全等三角形的判定和性质等边三角形的判定和性质三角形中位线定理熟练运用三角形中位线定理是本 面内任意一点将线段绕点按顺时针方向旋转与相等的角度得到线段连接如图若是线段上的任意一点请直接写出与的数 予证明若不成立请说明理由二拓展应用如图在中是上的任意点连接将绕点按顺时针方向旋转得到线段连接求线段长度2020 中考 AB ACB ACFBE CF，ABEACF（SAS）；（2）ABEACF，BAE=30，CAF=BAE=30，AD=AC，ADC=ACD，ADC=280 0 1 3=75，故答案为 75

23、【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握相关性质与定理是解题的关键.7（2019江苏中考真题）如图，ABC 中，点 E 在BC边上，AE AB，将线段AC绕点 A旋转到 AF的位置，使得 CAF BAE，连接 EF，EF 与AC交于点G(1)求证：EF BC；(2)若 65 ABC，28 ACB，求 FGC 的度数.【答案】(1)证明见解析；(2)78.【解析】(1)CAF BAE Q BAC EAF AE AB AC AF Q，BAC EAF SAS EF BC 点睛本题考查了全等三角形的判定和性质等边三角形的判定和性质三角形中位线定理熟练运用三角形中位线定理是本

24、 面内任意一点将线段绕点按顺时针方向旋转与相等的角度得到线段连接如图若是线段上的任意一点请直接写出与的数 予证明若不成立请说明理由二拓展应用如图在中是上的任意点连接将绕点按顺时针方向旋转得到线段连接求线段长度2020 中考(2)65 AB AE ABC Q，180 65 2 50 BAE 50 FAG BAC EAF Q 28 F C 50 28 78 FGC【点睛】本题主要考查全等三角形证明与性质，等腰三角形性质，旋转性质等知识点，比较简单，基础知识扎实是解题关键 8（2019江苏中考真题）如图，在ABC 中，AB=AC,点 D、E 分别在 AB、AC上，BD=CE，BE、CD相交于点0；求

25、证：（1）DBC ECB（2）OB OC【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】(1)AB=AC，ECB=DBC，在DBC ECB 与 中 BD CEDBC ECBBC CB，DBC ECB；(2)由(1)DBC ECB，DCB=EBC，点睛本题考查了全等三角形的判定和性质等边三角形的判定和性质三角形中位线定理熟练运用三角形中位线定理是本 面内任意一点将线段绕点按顺时针方向旋转与相等的角度得到线段连接如图若是线段上的任意一点请直接写出与的数 予证明若不成立请说明理由二拓展应用如图在中是上的任意点连接将绕点按顺时针方向旋转得到线段连接求线段长度2020 中考 OB=OC.【点睛】本题考查了全

26、等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键.9（2019江苏中考真题）如图，ABC 中，90 C o，4 AC，8 BC（1）用直尺和圆规作 AB 的垂直平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法）（2）若（1）中所作的垂直平分线交BC于点 D，求 BD 的长【答案】（1）详见解析；（2）5 BD【解析】（1）如图直线MN即为所求（2）MN垂直平分线段AB，DA DB，设DA DB x，在Rt ACD 中，2 2 2AD AC CD，22 24 8 x x，解得5 x，5 BD【点睛】本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键

27、是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型 10（2019湖北初二期中）（问题提出）如图，已知ABC 是等边三角形，点 E 在线段 AB上，点 D在直线 BC上，且 ED=EC，将BCE 绕点 C 顺时针旋转 60至 ACF连接 EF 点睛本题考查了全等三角形的判定和性质等边三角形的判定和性质三角形中位线定理熟练运用三角形中位线定理是本 面内任意一点将线段绕点按顺时针方向旋转与相等的角度得到线段连接如图若是线段上的任意一点请直接写出与的数 予证明若不成立请说明理由二拓展应用如图在中是上的任意点连接将绕点按顺时针方向旋转得到线段连接求线段长度2020 中考 试证明：AB=DB+AF（类比探究）（1）如

28、图，如果点 E 在线段 AB的延长线上，其他条件不变，线段 AB，DB，AF之间又有怎样的数量关系？请说明理由（2）如果点 E 在线段 BA的延长线上，其他条件不变，请在图的基础上将图形补充完整，并写出 AB，DB，AF之间的数量关系，不必说明理由【答案】证明见解析；（1）AB=BD AF；（2）AF=AB+BD【解析】（1）证明：DE=CE=CF，BCE 由旋转 60得ACF，ECF=60，BE=AF，CE=CF，CEF 是等边三角形，EF=CE，DE=EF，CAF=BAC=60，EAF=BAC+CAF=120，DBE=120，EAF=DBE，又A，E，C，F 四点共圆，AEF=ACF，又E

29、D=DC，D=BCE，BCE=ACF，D=AEF，EDBFEA，BD=AF，AB=AE+BF，AB=BD+AF 类比探究（1）DE=CE=CF，BCE 由旋转 60得ACF，点睛本题考查了全等三角形的判定和性质等边三角形的判定和性质三角形中位线定理熟练运用三角形中位线定理是本 面内任意一点将线段绕点按顺时针方向旋转与相等的角度得到线段连接如图若是线段上的任意一点请直接写出与的数 予证明若不成立请说明理由二拓展应用如图在中是上的任意点连接将绕点按顺时针方向旋转得到线段连接求线段长度2020 中考 ECF=60，BE=AF，CE=CF，CEF 是等边三角形，EF=CE，DE=EF，EFC=BAC=

30、60，EFC=FGC+FCG，BAC=FGC+FEA，FCG=FEA，又FCG=EAD D=EAD，D=FEA，由旋转知CBE=CAF=120，DBE=FAE=60 DEBEFA，BD=AE，EB=AF，BD=FA+AB 即 AB=BD-AF（2）AF=BD+AB（或 AB=AF-BD）如图，ED=EC=CF，BCE 绕点 C 顺时针旋转 60至ACF，点睛本题考查了全等三角形的判定和性质等边三角形的判定和性质三角形中位线定理熟练运用三角形中位线定理是本 面内任意一点将线段绕点按顺时针方向旋转与相等的角度得到线段连接如图若是线段上的任意一点请直接写出与的数 予证明若不成立请说明理由二拓展应用如

31、图在中是上的任意点连接将绕点按顺时针方向旋转得到线段连接求线段长度2020 中考 ECF=60，BE=AF，EC=CF，BC=AC，CEF 是等边三角形，EF=EC，又ED=EC，ED=EF，AB=AC，BC=AC，ABC 是等边三角形，ABC=60，又CBE=CAF，CAF=60，EAF=180-CAF-BAC=180-60-60=60 DBE=EAF；ED=EC，ECD=EDC，BDE=ECD+DEC=EDC+DEC，又EDC=EBC+BED，BDE=EBC+BED+DEC=60+BEC，AEF=CEF+BEC=60+BEC，BDE=AEF，在EDB 和FEA 中，DBE EAFBDE A

32、EFED EF EDBFEA（AAS），BD=AE，EB=AF，BE=AB+AE，AF=AB+BD，即 AB，DB，AF之间的数量关系是：点睛本题考查了全等三角形的判定和性质等边三角形的判定和性质三角形中位线定理熟练运用三角形中位线定理是本 面内任意一点将线段绕点按顺时针方向旋转与相等的角度得到线段连接如图若是线段上的任意一点请直接写出与的数 予证明若不成立请说明理由二拓展应用如图在中是上的任意点连接将绕点按顺时针方向旋转得到线段连接求线段长度2020 中考 AF=AB+BD 考点：旋转变化，等边三角形，三角形全等，11（2019浙江中考真题）如图，在ABC 中，AC AB BC.已知线段 A

33、B的垂直平分线与 BC边交于点 P，连结 AP，求证：2 APC B?；以点 B 为圆心，线段 AB的长为半径画弧，与 BC边交于点 Q，连结 AQ，若3 AQC B?，求 B 的度数.【答案】（1）见解析；（2）B=36.【解析】（1）证明：因为点 P 在 AB的垂直平分线上，所以 PA=PB，所以PAB=B，所以APC=PAB+B=2B.（2）根据题意，得 BQ=BA，所以BAQ=BQA，设B=x，所以AQC=B+BAQ=3x，所以BAQ=BQA=2x，在ABQ 中，x+2x+2x=180，解得 x=36，即B=36.【点睛】本题考查垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，解题的关键是掌握垂直

34、平分线的性质、等腰三角形的性质.12（2019山东初三）（1）操作发现：如图，小明画了一个等腰三角形 ABC，其中 AB=AC，在 ABC 的外侧分别以 AB，AC为腰作了两个等腰直角三角形 ABD，ACE，分别取 BD，CE，BC的中点 M，N，G，连接 GM，GN 小明发现了：线段 GM 与 GN的数量关系是 _；位置关系是 _（2）类比思考：点睛本题考查了全等三角形的判定和性质等边三角形的判定和性质三角形中位线定理熟练运用三角形中位线定理是本 面内任意一点将线段绕点按顺时针方向旋转与相等的角度得到线段连接如图若是线段上的任意一点请直接写出与的数 予证明若不成立请说明理由二拓展应用如图在中

35、是上的任意点连接将绕点按顺时针方向旋转得到线段连接求线段长度2020 中考 如图，小明在此基础上进行了深入思考把等腰三角形 ABC 换为一般的锐角三角形，其中 AB AC，其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由（3）深入研究：如图，小明在（2）的基础上，又作了进一步的探究向 ABC 的内侧分别作等腰直角三角形 ABD，ACE，其它条件不变，试判断 GMN 的形状，并给与证明【答案】（1）MG=NG；MG NG；（2）成立，MG=NG，MG NG；（3）答案见解析【解析】（1）连接 BE，CD相交于 H，如图 1，ABD 和ACE 都是等腰直角三角形，AB=AD，AC=AE，BAD

36、=CAE=90 CAD=BAE，ACDAEB（SAS），CD=BE，ADC=ABE，BDC+DBH=BDC+ABD+ABE=BDC+ABD+ADC=ADB+ABD=90，BHD=90，CDBE，点 M，G分别是 BD，BC的中点，MGCD 且 MG=12CD，同理：NGBE 且 NG=12BE，MG=NG，MGNG，点睛本题考查了全等三角形的判定和性质等边三角形的判定和性质三角形中位线定理熟练运用三角形中位线定理是本 面内任意一点将线段绕点按顺时针方向旋转与相等的角度得到线段连接如图若是线段上的任意一点请直接写出与的数 予证明若不成立请说明理由二拓展应用如图在中是上的任意点连接将绕点按顺时针方

37、向旋转得到线段连接求线段长度2020 中考（2）连接 CD，BE，相交于 H，如图 2，同（1）的方法得，MG=NG，MGNG；（3）连接 EB，DC并延长相交于点 H，如图 3.同（1）的方法得，MG=NG，同（1）的方法得，ABEADC，AEB=ACD，CEH+ECH=AEHAEC+180ACDACE=ACD45+180ACD45=90，DHE=90，同（1）的方法得，MGNG GMN 是等腰直角三角形.点睛：此题是三角形综合题，主要考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形的中位线定理，正确作出辅助线用类比的思想解决问题是解本题的关键 13（2019山东

38、）（提出问题）（1）如图 1，在等边ABC 中，点 M是 BC上的任意一点（不含端点 B、C），连结 AM，以 AM 为边作等边AMN，连结 CN 求证：ABC=ACN（类比探究）（2）如图 2，在等边ABC 中，点 M是 BC延长线上的任意一点（不含端点 C），其它条件不变，（1）中结论ABC=ACN 还成立吗？请说明理由（拓展延伸）点睛本题考查了全等三角形的判定和性质等边三角形的判定和性质三角形中位线定理熟练运用三角形中位线定理是本 面内任意一点将线段绕点按顺时针方向旋转与相等的角度得到线段连接如图若是线段上的任意一点请直接写出与的数 予证明若不成立请说明理由二拓展应用如图在中是上的任意点

39、连接将绕点按顺时针方向旋转得到线段连接求线段长度2020 中考（3）如图 3，在等腰ABC 中，BA=BC，点 M是 BC上的任意一点（不含端点 B、C），连结 AM，以 AM为边作等腰AMN，使顶角AMN=ABC连结 CN 试探究ABC 与ACN 的数量关系，并说明理由【答案】见解析【解析】解：（1）证明：ABC、AMN 是等边三角形，AB=AC，AM=AN，BAC=MAN=60 BAM=CAN 在BAM 和CAN 中，AB AC BAM CAN?AM AN，BAMCAN（SAS）ABC=ACN（2）结论ABC=ACN 仍成立理由如下：ABC、AMN 是等边三角形，AB=AC，AM=AN，B

40、AC=MAN=60 BAM=CAN 在BAM 和CAN 中，AB AC BAM CAN?AM AN，BAMCAN（SAS）ABC=ACN（3）ABC=ACN理由如下：BA=BC，MA=MN，顶角ABC=AMN，底角BAC=MAN ABCAMNAB ACAM AN 又BAM=BACMAC，CAN=MANMAC，BAM=CAN.BAMCANABC=ACN 14（2019辽宁中考真题）如图，是具有公共边 AB的两个直角三角形，其中，AC=BC，ACB=ADB=90(1)如图 1，若延长 DA到点 E，使 AE=BD，连接 CD，CE 求证：CD=CE，CDCE；点睛本题考查了全等三角形的判定和性质等

41、边三角形的判定和性质三角形中位线定理熟练运用三角形中位线定理是本 面内任意一点将线段绕点按顺时针方向旋转与相等的角度得到线段连接如图若是线段上的任意一点请直接写出与的数 予证明若不成立请说明理由二拓展应用如图在中是上的任意点连接将绕点按顺时针方向旋转得到线段连接求线段长度2020 中考 求证：AD+BD=2 CD；(2)若ABC 与ABD 位置如图 2 所示，请直接写出线段 AD，BD，CD的数量关系【答案】(1)证明见解析；证明见解析；(2)AD-BD=2 CD.【解析】(1)证明：在四边形 ADBC 中，DAC+DBC+ADB+ACB=360，ADB+ACB=180，DAC+DBC=180

42、，EAC+DAC=180，DBC=EAC，BD=AE，BC=AC，BCDACE(SAS)，CD=CE，BCD=ACE，BCD+DCA=90，ACE+DCA=90，DCE=90，CDCE；CD=CE，CDCE，CDE 是等腰直角三角形，DE=2 CD，DE=AD+AE，AE=BD，DE=AD+BD，AD+BD=2 CD；(2)解：AD-BD=2 CD；点睛本题考查了全等三角形的判定和性质等边三角形的判定和性质三角形中位线定理熟练运用三角形中位线定理是本 面内任意一点将线段绕点按顺时针方向旋转与相等的角度得到线段连接如图若是线段上的任意一点请直接写出与的数 予证明若不成立请说明理由二拓展应用如图在

43、中是上的任意点连接将绕点按顺时针方向旋转得到线段连接求线段长度2020 中考 理由：如图 2，在 AD上截取 AE=BD，连接 CE，AC=BC，ACB=90，BAC=ABC=45，ADB=90，CBD=90-BAD-ABC=90-BAD-45=45-BAD，CAE=BAC-BAD=45-BAD，CBD=CAE，BD=AE，BC=AC，CBDCAE(SAS)，CD=CE，BCD=ACE，ACE+BCE=ACB=90，BCD+BCE=90，即DCE=90，DE=2 2CD CE=22CD=2 CD，DE=AD-AE=AD-BD，AD-BD=2 CD【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键 点睛本题考查了全等三角形的判定和性质等边三角形的判定和性质三角形中位线定理熟练运用三角形中位线定理是本 面内任意一点将线段绕点按顺时针方向旋转与相等的角度得到线段连接如图若是线段上的任意一点请直接写出与的数 予证明若不成立请说明理由二拓展应用如图在中是上的任意点连接将绕点按顺时针方向旋转得到线段连接求线段长度