2022-2023学年高一数学下学期期末模拟试卷含答案.pdf

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1、绝密考试结束前2022-2023 学年高一下学期 期末数学 模拟试 卷（试卷 满分 150 分，考试用 时 120 分钟）姓名_ 班级_ 考号_ 注意事项：1 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选 择题：本 题共 8 小题，每 小题5 分，共 40 分在每 小题给 出的 四个选 项中，只有一 项是 符合题 目要 求.1（2022 春 福建

2、福州 高一福建省福州格致中学校考期末）设R m，复数()()222 3 2 1i zm m mm=+，若z为纯虚数，则m=（）A 3 或 1 B 3 C 12或 1 D 122（2022 春 河北沧州 高一统考期末）已知 a，b，c 分别为 ABC 的内角 A，B，C 所对的边，sin sin cos B CA=，则 C=（）A 6B 4C 3D 23（2022 春 湖南衡阳 高一统考期末）一组数据按从小到大的顺序排列为 56，59，60，62，a，若这组数据的极差为 7，则这组数据的方差为（）A 6 B 30 C 25 D 5 4（2022 春 山东菏泽 高一统考期末）紫砂壶是中国特有的手工

3、制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间.紫砂壶的壶型众多，经典的有西施壶 掇球壶 石瓢壶 潘壶等.其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给出了一个石瓢壶的相关数据（单位：cm），那么该壶的最大盛水量为（）A 3152 cm B 368 cm C 320 10 cm D 3204 cm 5（2023 春 江苏镇江 高一扬中市第二高级中学校考期末）已知非零向量 a，b满足()3,1 b=，,3ab=，若()ab a，则向量 a在向量 b方向上的投影向量为（）A 14b B 12b C 32b D b 6（2023 秋 贵州黔西 高一统考期末）若函数()cos3fx x=+，()cos 26gx

4、 x=+，则函数()fx的图象经过怎样的变换可以得到函数()gx的图象（）A 将横坐标缩短到原来的12倍，再向左平移5 12个单位，纵坐标保持不变 B 将横坐标缩短到原来的12倍，再向右平移12个单位，纵坐标保持不变 C 先向右平移5 12个单位，再将横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标保持不变 D 先向右平移12个单位，再将横坐标缩短到原来的 2 倍，纵坐标保持不变 7（2022 春 湖北武汉 高一校联考期末）如图，某系统由 A，B，C，D 四个零件组成，若每 个零件是否正常工作互不影响，且零件 A，B，C，D 正常工作的概率都为()01 pp，则该系统正常工作的概率为（）A()211 pp p

5、 B()211 p pp C()()211 1 p pp D()211 p pp 8（2022 春 广东广州 高一校联考期末）如图（1）所示，已知球的 体积为 36，底座由边长为12 的正三角形铜片 ABC 沿各边中点的连线垂直向上折叠成直二面角所得，如图（2）所 示 则在图（1）所示的几何体中，下列结论中正确的是（）A CD 与 BE 是异面直线 B 异面直线 AB 与 CD 所成角的大小为 45 C 由 A、B、C 三点确定的平面截球所得的截面面积为3 D 球面上的点到底座底面 DEF 的最大距离为 336+二、多 项选择 题：本题共 4 小题，每 小题 5 分，共 20 分.在每 小题给

6、 出的 选项中，有 多项符合 题目 要求.全部 选对的 得 5 分，部分选 对的得 2 分，有 选错的 得 0 分.9（2023 春 四川成都 高一成都实外校考期末）已知复数 sin i cos66z=+，则（）A z 的虚部为3i2 B z在复平面内对应的点在第四象限 C zz z+=D z 是关于 x 的方程210 xx+=的一个根 10（2023 秋 河南郑州 高一统考期末）已知()5cos5+=，4cos 25=，其 中，为锐角，则以下命题正确的是（）A 3sin 25=B()2cos 525=C cos cos510=D 1tan tan3=11（2022 春 山东聊城 高一统考期末

7、）已知 a，b，c 分别是 ABC 三个内角 A，B，C 的对边，则下列命题中正确的是（）A 若 sin sin AB，则AB B 若 ABC 是边长为 1 的正三角形，则32AB BC=C 若6B=，2 b=，2 c=，则 ABC 有一解 D 若 O 是 ABC 所在平面内 的一点，且2 OB OC OB OC OA=+，则 ABC 是直角三角形 12（2022 春 甘肃天水 高一天水市第一中学校考期末）如图，在棱长为 1 的正方体111 1ABCD A B C D 中，点 P 是线段1AD上的动点，下列命题正确的是（）A 异面直线1PC与1BC所成角的大小为定值 B 二面角1P BC D

8、的大小为定值 C 若Q是对角线1AC上一点，则PQ QC+长度的最小值为43 D 若R是线段 BD 上一动点，则直线PR与直线1AC不可能平行 三、填 空题：本题 共4 小 题，每小题 5 分，共 20 分 13（2022 秋 广东深圳 高一深圳中学校考期末）一组数据 12,xx，nx的平均数是 30，则数 据 121 x+，221 x+，21nx+的平均数是_ 14（2023 春 江苏无锡 高一辅仁高中校考期末）圆锥侧面展开图扇形的圆心角为 60，底面圆的半径为 6，则圆锥的侧面积为_ 15（2022 春 湖北襄阳 高一统考期末）已知三棱台111ABC A B C 的上下底面均为正三角形，1

9、 AB=，112 AB=，侧棱长11 1AA BB CC=，若11AA BB，则此棱台的高为_ 16（2022 春 江苏常州 高一常州高级中学校考期末）如图，在 ABC 中，已知2,5,60,AB AC BAC BC AC=边上的两条中线,AM BN相交于点 P，则 MPN 的余弦值为_.四 解 答题：本小 题共 6 小题，共70 分。解 答应 写出文 字说 明、证 明过 程或演 算步 骤.17（2022 春 河北唐山 高一统考期末）已知向量()2,1 a=，()3,1 b=，()3,2 c=.（1）若 a b+与 c平行，求 的值；（2）求与 a垂直的单位向量的坐标.18（2022 春 湖南

10、株洲 高一株洲二中校考期末）在 ABC 中，角,ABC所对的边分 别 为a，b，c，(sin,sin sin)m AB C=，(,),n a bb c=+且 mn（1）求角 C 的值；（2）若 ABC 为锐角三角形，且 1 c=，求132ab+的取值范围 19（2023 春 河南 高 一校联考期末）大学毕业生小张和小李通过了某单位的招聘笔试考试，正在积极准备结构化面试，每天相互进行多轮测试，每轮由小张和小李各回答一个问题，已知小张每轮答对的概率为34，小李每轮答对的概率为23 在每轮活动中，小张和小李答对与否互不影响，各轮结果也互不影响（1）求两人在两轮活动中都答对的概率；（2）求两人在两轮活

11、动中至少答对 3 道题的概率；（3）求两人在三轮活动中，小张和小李各自答对题目的个数相等且至少为 2 的概率 20（2023 秋 江苏宿迁 高一统考期末）已知函数()()sin 0,0,2fx A x A=+的图象经过点()0,1，若1x、2x满足对x R，()()()12fx fx fx，()()214 fx fx=且12min2xx=（1）求函数()fx的解析式；（2）求函数()fx在,44上的单调区间及最值 21（2022 春 福建莆田 高一统考期末）某市为了解疫情期间本地居民对当地防疫工作的满意度，从本市居民中随机抽取若干人进行满意度测评（测评分满分为 100 分）根据测评的数据制成频

12、率分布直方图如下：根据频率分布直方图，回答下列问题：（1）估计本次测评分数的中位数（精确到 0.01）和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）估计本次测评分数的第 85 百分位数（精确到 0.01）；（3）若该市居民约为 250 万人，估计全市居民对当地防疫工作满意度测评分数在 85 分以上的人数 22（2022 春 广东广州 高一校联考期末）如图，在三棱台111ABC A B C 中，11AB与1AC、11BC都垂直，已知3 AB=，15 A A AC=（1）求证：平面1A BC 平面 ABC；（2）直线1AB与底面 ABC 所成的角的大小 为多少时，二面角1A AC B

13、的余弦值为2114？（3）在（2）的条件下，求点 C 到平面11A ABB的距离绝密考试结束前2022-2023 学年高一下学期 期末数学 模拟试 卷（试卷 满分 150 分，考试用 时 120 分钟）姓名_ 班级_ 考号_ 注意事项：1 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选 择题：本 题共 8 小题，每 小题5 分，共 40 分在每 小

14、题给 出的 四个选 项中，只有一 项是 符合题 目要 求.1（2022 春 福建福州 高一福建省福州格致中学校考期末）设R m，复数()()222 3 2 1i zm m mm=+，若z为纯虚数，则m=（）A 3 或 1 B 3 C 12或 1 D 12【答案】B【解析】因为复数()()222 3 2 1i zm m mm=+为纯虚数，所以222 302 10mmmm=+，解得 3 m=.故选：B 2（2022 春 河北沧州 高一统考期末）已知 a，b，c 分别为 ABC 的内角 A，B，C 所对的边，sin sin cos B CA=，则 C=（）A 6B 4C 3D 2【答案】D【解析】s

15、in sin cos B CA=，cos bc A=由余弦定理知222 22222bca bcabcbc b+=，整理得22 2+=abc，故2C=.故选：D 3（2022 春 湖南衡阳 高一统考期末）一组数据按从小到大的顺序排列为 56，59，60，62，a，若这组数据的极差为 7，则这组数据的方差为（）A 6 B 30 C 25 D 5【答案】A【解析】由题意得 56 7 63 a=+=，所以这组数据的平均数为56 59 60 62 63605+=，方差为16 1 0 4 965+=，故选：A 4（2022 春 山东菏泽 高一统考期末）紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正

16、德年间.紫砂壶的壶型众多，经典的有西施壶 掇球壶 石瓢壶 潘壶等.其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给出了一个石瓢壶的相关数据（单位：cm），那么该壶的最大盛水量为（）A 3152 cm B 368 cm C 320 10 cm D 3204 cm【答案】A【解析】由题意得上底面半径为 4，面积21=4=16 S，下底面半径为 6，面积22=6=36 S，圆台高 h 为 6，则圆台的体积()()1 2 1211=+16 36 16 36 6 15233V S S SS h=+=3cm.故选：A 5（2023 春 江苏镇江 高一扬中市第二高级中学校考期末）已知非零向量 a，b满足()3,

17、1 b=，,3ab=，若()ab a，则向量 a在向量 b方向上的投影向量为（）A 14b B 12b C 32b D b【答案】A【解析】因为()ab a，所以()20 a b a a ab=，2102a ab=，又()3,1 b=，所以()223 12 b=+=，1 a=或0 a=（舍去），所以21 ab a=，所以 a在 b方向上的投影向量为14abbbbb=.故选：A.6（2023 秋 贵州黔西 高一统考期末）若函数()cos3fx x=+，()cos 26gx x=+，则 函 数()fx的图象经过怎样的变换可以得到函数()gx的图象（）A 将横坐标缩短到原来的12倍，再向左平移5 1

18、2个单位，纵坐标保持不变 B 将横坐标缩短到原来的12倍，再向右平移12个单位，纵坐标保持不变 C 先向右平移5 12个单位，再将横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标保持不变 D 先向右平移12个单位，再将横坐标缩短到原来的 2 倍，纵坐标保持不变 【答案】B【解析】对 A，()fx的图象横坐标缩短到原来的12倍,得到cos(2)3yx=+，再向左平移5 12个单位，纵坐标保持不变得到 5 7 cos 2(co2s21s26 6 3co yx x x=+=+=+，故 A 不正确；对 B，()fx的图象横坐标缩短到原来的12倍,得到cos(2)3yx=+，再向右平移12个单位，纵坐标保持不变得到 c

19、os 2(cos 2()12 3 6y x x gx=+=+=，故 B 正确；对 C，()fx的图象先向右平移5 12个单位得到5 cos cos12 3 12yx x=+=，再将横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标保持不变得到cos 212yx=，故 C 不正确；对 D，()fx的图象先向右平移12个单位得到 cos cos12 3 4yx x=+=+，再将横坐标缩短到原来的 2 倍，纵坐标保持不变得到1 cos24yx=+，故 D 错误.故选：B 7（2022 春 湖北武汉 高一校联考期末）如图，某系统由 A，B，C，D 四个零件组成，若每 个零件是否正常工作互不影响，且零件 A，B，C，D

20、正常工作的概率都为()01 pp，则该系统正常工作的概率为（）A()211 pp p B()211 p pp C()()211 1 p pp D()211 p pp【答案】C【解析】记零件或系统 X 能正常工作的概率为()PX，该系统正常工作的概率为:()()()()()()()11 PA BPC PD PA BPC PD=()()()()()()()211 1 11 1 P AB P C P D p p p=,故选：C.8（2022 春 广东广州 高一校联考期末）如图（1）所示，已知球的 体积为 36，底座由边长为12 的正三角形铜片 ABC 沿各边中点的连线垂直向上折叠成直二面角所得，如图

21、（2）所 示 则在图（1）所示的几何体中，下列结论中正确的是（）A CD 与 BE 是异面直线 B 异面直线 AB 与 CD 所成角的大小为 45 C 由 A、B、C 三点确定的平面截球所得的截面面积为3 D 球面上的点到底座底面 DEF 的最大距离为 336+【答案】C【解析】取,DF EF中点 N，M，连接,AB BC AC BM MN CN，如图，因 BEF 为正三角形，则 BM EF，而平面 BEF 平面 DFE，平面BEF 平面 DFE EF=，BM 平面 BEF，于是得 BM 平面 DFE，同理 CN 平面 DFE，即/BM CN，33 BM CN=，因此，四边形 BCNM 是平行

22、四边形，有/BC NM DE，则直线 CD 与 BE 在同一平面内，A 不正确；由选项 A，同理可得/AB DF，则异面直线 AB 与 CD 所成角等于直线 DF 与 CD 所成角 60，B 不正确；由选项 A 知，132BC MN DE=，同理可得 3 AB AC=，正 ABC 外接圆半径 3 r=，由 A、B、C 三点确定的平面截球所得的截面圆是 ABC 的外接圆，此截面面积为3，C 正确；体积为 36 的球半径 R，由34 36 3R=得 3 R=，由选项 C 知，球心到平面 ABC 的距离226 d Rr=，由选项 A，同理可得点 A 到平面 DFE 的距离为 33，即平面 ABC 与

23、平面 DFE 的距离为 33，所以球面上的点到底座底面 DEF 的最大距离为 3 33 6 R d BM+=+，D 不正确.故选：C 二、多 项选择 题：本题共 4 小题，每 小题 5 分，共 20 分.在每 小题给 出的 选项中，有 多项符合 题目 要求.全部 选对的 得 5 分，部分选 对的得 2 分，有 选错的 得 0 分.9（2023 春 四川成都 高一成都实外校考期末）已知复数 sin i cos66z=+，则（）A z 的虚部为3i2 B z在复平面内对应的点在第四象限 C zz z+=D z 是关于 x 的方程210 xx+=的一个根【答案】BCD【解析】依题意，复数13i22z

24、=+，复数 z 的虚部为32，A 错误；13i22z=在复平面内对应的点13(,)22 在第四象限，B 正确；2213|()()122z=+=，13 13(i)(i)122 22zz+=+=，则zz z+=，C 正确；2213 13 13131(i)(i)1(i)i+1 022 22 22 22zz+=+=+=，即 z 是关于 x 的方程210 xx+=的一个根，D 正确.故选：BCD 10（2023 秋 河南郑州 高一统考期末）已知()5cos5+=，4cos 25=，其 中，为锐角，则以下命题正确的是（）A 3sin 25=B()2cos 525=C cos cos510=D 1tan t

25、an3=【答案】AC【解析】因为()54cos,cos255+=(,为锐角),故 23sin2 1 cos 25=,故 A 正确;因为()25sin5+=,所以()()cos cos 2=+()cos2 cos=+()sin2 sin+4 5 32 2555 5 55 5=+=,故 B 错误;由()cos cos cos=2sin sin 5,5+=()5cos cos cos sin sin5+=,故 cos cos=()()1 1 5 25 5cos cos2 2 5 5 10+=+=,故 C 正确;且()1sin sin cos2=()125 5 3cos 52 5 5 10+=,所以

26、tan tan 3=,故 D 错误.故选:AC.11（2022 春 山东聊城 高一统考期末）已知 a，b，c 分别是 ABC 三个内角 A，B，C 的对边，则下列命题中正确的是（）A 若 sin sin AB，则AB B 若 ABC 是边长为 1 的正三角形，则32AB BC=C 若6B=，2 b=，2 c=，则 ABC 有一解 D 若 O 是 ABC 所在平面内 的一点，且2 OB OC OB OC OA=+，则 ABC 是直角三角形【答案】AD【解析】A：由sin sinabAB=，又 sin sin AB，即ab，故AB，正确；B：由已知1|cos1202AB BC AB BC=，错误；

27、C：由22sin sincbCB=，则2sin2C=，而506C，故4C=或34，错误；D：由 OB OC CB=、OB OA AB=、OC OA AC=，故CB AB AC=+，所以在 ABC 中 CB 边上的中线长等于 CB 的一半，即 ABC 是 A 为直角的直角三角形，正确.故选：AD 12（2022 春 甘肃天水 高一天水市第一中学校考期末）如图，在棱长为 1 的正方体111 1ABCD A B C D 中，点 P 是线段1AD上的动点，下列命题正确的是（）A 异面直线1PC与1BC所成角的大小为定值 B 二面角1P BC D 的大小为定值 C 若Q是对角线1AC上一点，则PQ QC

28、+长度的最小值为43 D 若 R 是线段 BD 上一动点，则直线 PR 与直线1AC不可能平行【答案】ABC【解析】如图 1，由 AB 平面11BCC B，1BC 平面11BCC B，得1AB B C，又11B C BC，1AB BC B=，1,AB BC 平面 11ABC D，所以 1BC 平面 11ABC D，1PC 平面11ABC D，所 以11B C PC，即异面直线1PC与1BC所成角是 90 为定值，A 正确；如图 1，二面角1P BC D 即为二面角1A BC D，为定值，B 正确；图 1 把11AC D 和1AC C 沿1AC摊平，得平面四边形12ACC D，如图 2 作 2C

29、P AD 于 P，1CP AC Q=，此时PQ QC CP+=最小，四边形12ACC D中，22 AC AD=，13 AC=，1 121 CC CD=，由对称性知21CD AC，1163AC CCCGAC=，22623CD CG=，222 23233AG AC CG=，2226 234333 2CD AGCPAD=，所以PQ QC+的最小值是43，C 正确；图 2 取 AD 中点 E，连接1AE交1AD于 P，连接 CE 交 BD 于 R，连接 RP，如图 3，则1 11EP AE AE ERPA A D BC RC=，所以1/PR AC，D 错故选：ABC 图 3 三、填 空题：本题 共4

30、小 题，每小题 5 分，共 20 分 13（2022 秋 广东深圳 高一深圳中学校考期末）一组数据 12,xx，nx的平均数是 30，则数据 121 x+，221 x+，21nx+的平均数是_【答案】61【解析】样本数据12,nxx x 的平均数是 30，130niixn=，数据112 1,2 1,2 1nxx x+的平均数()11122 1 1 61nniiiixx xnn=+=+=故答案为：61 14（2023 春 江苏无锡 高一辅仁高中校考期末）圆锥侧面展开图扇形的圆心角为 60，底面圆的半径为 6，则圆锥的侧面积为_【答案】216【解析】设圆锥的底面周长为c，母线长为 l，则 2 6

31、12 c=，因为圆锥侧面展开图扇形的圆心角为 60，所以 12 3cll=，解得 36 l=，则圆锥的侧面积为1136 12 216 22lc=，故答案为：216.15（2022 春 湖北襄阳 高一统考期末）已知三棱台111ABC A B C 的上下底面均为正三角形，1 AB=，112 AB=，侧棱长11 1AA BB CC=，若11AA BB，则此棱台的高为_【答案】66【解析】由已知可得该三棱台为正三棱台，还原成棱锥如图所示，由于下底边是上底边的两倍，大棱锥的高为棱台的高的两倍，取 BC 的中点 D,B1C1 的中 点 D1,连接 PDD1,AD,A1D1,O,O1 是上下底面的中心，连接

32、 POO1.由正棱台性质可得 BC DD1，BC PO,BC 平面 PD1A1,BC PA1，又11AA BB，故 AA1 平面 PB1C1,A1P PD1.1 AB=，112 AB=，2212 2,33 9PO AO DO AD AD AD=3322AD AB=,12636PO AD OO=,故答案为：66.16（2022 春 江苏常州 高一常州高级中学校考期末）如图，在 ABC 中，已知2,5,60,AB AC BAC BC AC=边上的两条中线,AM BN相交于点 P，则 MPN 的余弦值为 _.【答案】4 9191【解析】由题可得，11(),22AM AB AC BN AC AB=+=

33、，cos 60 5 AB AC AB AC=，所以()221 1 1112 2 244AM BN AB AC AC AB AB AC AB AC=+=+25 12 5344=+=，221 1 1 392 4 25 1022 2 2AM AB AC AB AC AB AC=+=+=+=，221 1 2124 2BN AC AB AC AB AC AB=+=，所以3 4 91cos cos,91 39 2122AM BNMPN AM BNAM BN=，故答案为:4 9191.四 解 答题：本小 题共 6 小题，共70 分。解 答应 写出文 字说 明、证 明过 程或演 算步 骤.17（2022 春

34、河北唐山 高一统考期末）已知向量()2,1 a=，()3,1 b=，()3,2 c=.（1）若 a b+与 c平行，求 的值；（2）求与 a垂直的单位向量的坐标.【答案】（1）73=；（2）525,55或5 25,55【解析】（1）因为()2,1 a=，()3,1 b=，所以()2 3,1 ab+=+.因为 a b+与 c平行，所以()()3 1 22 3 0+=，解得73=.（2）设与 a垂直的单位向量的(),e xy=.则10eae=，即22120 xyxy+=，解得55255xy=或55255xy=，所以与 a垂直的单位向量为525,55e=或5 25,55e=.18（2022 春 湖南

35、株洲 高一株洲二中校考期末）在 ABC 中，角,ABC所对的边 分 别 为a，b，c，(sin,sin sin)m AB C=，(,),n a bb c=+且 mn （1）求角 C 的值；（2）若 ABC 为锐角三角形，且 1 c=，求132ab+的取值范围【答案】（1）3；（2）13,12【解析】（1）因为(sin,sin sin)m AB C=，(,),n a bb c=+，且 mn，所以sin()(sin sin)()0 Aa b B C b c+=利用正弦定理化简得：()()()0 a ab bc bc+=即222a b c ab+=，由余弦定理可得2221cos22abcCab+=，

36、又因为()0 C，所以3C=；（2）由（1）得23AB+=，即23BA=，又因为三角形 ABC 为锐角三角形，所以203202AA 解得：62A，因为 1 c=，由正弦定理得：12,sin sin sin 3sin3abcABC=所以2sin3aA=，2sin3bB=，所以13 132 2 13 2sin sin sin sin sin cos 2 sin22 3 4 33 3 3ab A B A A A A A+=+=因为62A，所以64 44A，所以132 sin()1,24A 则132ab+的取值范围为13,12 19（2023 春 河南 高 一校联考期末）大学毕业生小张和小李通过了某单

37、位的招聘笔试考试，正在积极准备结构化面试，每天相互进行多轮测试，每轮由小张和小李各回答一个问题，已知小张每轮答对的概率为34，小李每轮答对的概率为23 在每轮活动中，小 张和小李答对与否互不影响，各轮结果也互不影响（1）求两人在两轮活动中都答对的概率；（2）求两人在两轮活动中至少答对 3 道题的概率；（3）求两人在三轮活动中，小张和小李各自答对题目的个数相等且至少为 2 的概率【答案】（1）14；（2）23；（3）516【解析】（1）依题意，设事件 M=“小张两轮都答对问题”，N=“小李两轮 都答对问题”，所以33 9()4 4 16PM=，22 4()33 9PN=因为事件,MN相互独立，所

38、以两人在两轮活动中都答对的概率为941()()()16 9 4PM N PM PN=（2）设事 A=“甲第一轮答对”，B=“乙第一轮答 对”，C=“甲第二轮答对”，D“乙第二轮答对”，E=“两人在两轮活动中至少答对 3 道题”，则 E ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD=，由事件的独立性与互斥性，可得()()()()()()P E P ABCD P ABCD P ABCD P ABCD P ABCD=+()()()()()()()()()()()()()()()()PAPBPCPD PAPBPCPD PAPBPCPD PAPBPCPD=+()()()()PAPBPCPD+3232

39、1232313232123231 243434343434343434343 3=+=，故两人在两轮活动中至少答对 3 道题的概率为23（3）设事件 2A，3A分别表示甲三轮答对 2 个，3 个题目，2B，3B分别表示乙三轮答对 2 个，3 个题目，则()23 3 1 273444 6 4PA=，()333 274 64PA=，()2221 43333 9PB=，()33283 27PB=，设事件Q=“两人在三轮活动中，小张和小李各自答对题目的个数相等且至少为 2”，则22 33Q AB AB=，且 2A，3A，2B，3B分别相互独立，所以()()()()()()()2 23 3 2 23 3

40、PQ PA B PA B PA PB PA PB=+=+27 4 27 8 564 9 64 27 16=+=所以两人在三轮活动中，小张和小李各自答对题目的个数相等且至少为 2 的概率为516 20（2023 秋 江苏宿迁 高一统考期末）已知函数()()sin 0,0,2fx A x A=+的图象经过点()0,1，若1x、2x满足对x R，()()()12fx fx fx，()()214 fx fx=且12min2xx=（1）求函数()fx的解析式；（2）求函数()fx在,44上的单调区间及最值【答案】（1）()fx在,44上的增区间为,64，减区间则为,46，()2sin(2)6fx x=（

41、2）最小值为 2，最大值为 3 【解析】（1）由x R，()()()12fx fx fx 得()1fx为()fx的最小值 A，()2fx为()fx的最大值 A，又()()214 fx fx=，所以 24 A=，2 A=，由12min2xx=，22T=，2=，所以 2=，由()fx的图象经过点(0,1)得2sin 1=，又因为2，所以 max()()34fx f=()fx的最小值为 2，最大值为 3 21（2022 春 福建莆田 高一统考期末）某市为了解疫情期间本地居民对当地防疫工作的满意度，从本市居民中随机抽取若干人进行满意度测评（测评分满分为 100 分）根据测评的数据制成频率分布直方图如下

42、：根据频率分布直方图，回答下列问题：（1）估计本次测评分数的中位数（精确到 0.01）和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）估计本次测评分数的第 85 百分位数（精确到 0.01）；（3）若该市居民约为 250 万人，估计全市居民对当地防疫工作满意度测评分数在 85 分以上的人数【答案】（1）76.67 分，76.2 分；（2）90.63；（3）70 万人【解析】（1）在频率分布直方图中，由()0.004 0.006 0.020 10 0.3 0.5+=，所以中位数位于（70，80）内，设中位数为 x，则()()0.004 0.006 0.020 10 0.030 70 0

43、.5 x+=，解得2070 76.673x=+，即本次测评分数的中位数约为 76.67 分 由频率分布直方图可知()11 10 0.004 0.006 0.020 0.030 0.024 0.01610m=+=，本次测评分数的平均数为0.004 45 0.006 55 0.020 65 0.030 75 0.024 85 0.016 95)10+76.2，即本次测评分数的平均数约为 76.2 分（2）在频率分布直方图中，前 5 组频率之和为 0.84，小于 0.85，故第 85 百分位数位于第 6 组，所以0.85 0.8490 10 90.6251 0.84+=90.63，即第 85 百分位

44、数约为 90.63，（3）由频率分布直方图知测评分在 85 分以上的频率为0.240.16 0.282+=，所以估计该市居民测评分在 85 分以上的人数约为 250 0.28 70=（万人）22（2022 春 广东广州 高一校联考期末）如图，在三棱台111ABC A B C 中，11AB与1AC、11BC都垂直，已知3 AB=，15 A A AC=（1）求证：平面1A BC 平面 ABC；（2）直线1AB与底面 ABC 所成的角的大小 为多少时，二面角1A AC B 的余弦值为2114？（3）在（2）的条件下，求点 C 到平面11A ABB的距离【答案】（1）证明见解析；（2）3=；（3）23

45、.【解析】（1）11AB与1AC、11BC都垂直，又由棱台的性质11/AB A B，AB BC，1AB AC，又1BC AC C=，AB 平面1A BC，又 AB 平面 ABC 故平面 1A BC 平面 ABC（2）由（1）知，平面 1A BC 平面 ABC 如图所示，过1A作1A D BC 于 D，则1AD 平面 ABC，1A BD 是 1AB与平面 ABC 所成的角，即1A BD=作 DE AC 于 E，则1A ED 为二面角1A AC B 的平面角 在 Rt ABC 中，易得 4 BC=在1Rt A DB 中，14 AB=，14sin AD=，4cos BD=，4 4cos CD=由 R

46、t Rt ABC DEC，得()12 1 cos5DE=121cos14A ED=，115tan3ADA EDDE=，即()5sin 53 1 cos 3=，于是，sin 3 cos 3+=，2sin 33+=，注意到02，故3=（3）点 C 到平面11A ABB的距离即为点 C 到平面1A AB的距离 15 AC AA=，12ABC ABA=，3 AB=，1Rt Rt ABC ABA，又由11A ABC C A ABVV=可知，点 C 到平面1A AB的距离即点1A到平面 ABC 的距离，由（2）知，1AD 平面 ABC，且134sin 4 2 32AD=，于是，C 到平面1A AB的距离为 23