基于MATLAB的IIR滤波器的设计.doc

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1、毕业设计 课程设计 毕业论文 详细资料 联系QQ号；1620812008本科毕业设计(论文)基于MATLAB的IIR滤波器的设计学生姓名： 学生学号： 院 (系)：电气信息工程学院 年级专业：2006测控技术与仪器指导教师： 助理指导教师：二一年六月攀枝花学院毕业论文设计 摘 要摘 要数字滤波器是对数字信号进行滤波的线性时不变系统。与模拟处理相比，数字处理具有灵活性强、精度高、处理成本低以及对环境没有特殊要求等优点。它不仅能实现模拟滤波器的大部分功能，而且还能完成模拟滤波器由于成本、可靠性等原因而无法具体实现的功能。数字滤波器通常分为无限脉冲响应(IIR)滤波器和有限脉冲响应(FIR)滤波器。

2、相对于FIR滤波器而言，IIR滤波器具有更高的运算效率和更低的硬件成本，因此它通常成为数字滤波器的首选，并广泛地应用于军事，工业生产，医用仪器，日常通信等领域。本文根据IIR数字滤波器的设计原理，提出了IIR数字滤波器的快速设计方法，并在MATLAB环境下实现了IIR 数字滤波器的快速设计。其主要内容概括为：首先对MATLAB软件及Simulink进行了介绍，并对数字滤波器在MATLAB环境下如何实现进行了介绍；其次描述了IIR数字滤波器的基本概念，其中包括系统的描述、系统的传递函数、系统的模型、相关模拟滤波器的介绍；然后重点描述了IIR数字滤波器的设计过程及几种设计方法(如双线性变换法或冲激

3、响应不变法等)。最后对IIR滤波器的具体设计方法做了详细的介绍。关键词：MATLAB，IIR数字滤波器，模拟滤波器，冲激响应不变法，双线性变换法I攀枝花学院毕业论文设计 ABSTRACT ABSTRACTThe digital filter is a linear time-invariant system what is used to filter the digital signal. Compared with the analog processing, the digital processing are higher flexibility, higher precision,

4、lower cost and the environment without special requirement, etc. It can not only realize the most function of analog filter, but also can complete the specific function that the analog filter is unable to realize due to cost and reliability of filter. The digital filter is usually divided into infin

5、ity impulse response (IIR) filter and finite impulse response (FIR) filter. Relative to the FIR filter, IIR filters have higher operation efficiency and lower cost of hardware. So it often becomes the first choice of the digital filter, and is widely used in military, industrial production, medical

6、instrument, daily communication, etc.Based on the design principle of IIR digital filter, the paper puts forward the fast design method of IIR digital filter, and rapidly realizes the IIR digital filter in the MATLAB environment. Its main contents can be summarized as follows. Firstly, MATLAB and Si

7、mulink software are introduced, and how to realize the digital filter in MATLAB environment is introduced in this paper. Secondly, the basic concepts of IIR digital filter are described. Including the description of the system, the system transfer function, the system model, and the relative analog

8、filters. Then the design process of IIR digital filter and some design methods (such as bilinear transformation method or impulse response not strain, etc.) are mainly described in this paper. Finally, the specific design methods of IIR filters are described in detail.Key words: MATLAB, IIR digital

9、filter, Simulation filter, Impulse response dont strain, Bilinear transformation methodII攀枝花学院毕业论文设计 目录 目 录摘 要IABSTRACTII1 绪 论11.1 MATLAB软件的介绍11.2 Simulink软件的介绍21.3 数字滤波器及MATLAB实现21.4 该课题研究的主要任务和内容31.5 本章小结32 IIR数字滤波器简介42.1 数字滤波器简介42.2 IIR滤波器简介42.2.1 IIR滤波器的传递函数模型42.2.2 IIR滤波器的状态方程模型52.2.3 IIR滤波器的零极

10、点模型52.3 模拟滤波器的相关介绍62.4 IIR数字滤波器的主要技术指标72.5 IIR数字滤波器的设计过程82.6 本章小结93 IIR数字滤波器的实现方法103.1 冲激响应不变法103.2 双线性变换法113.3 常用模拟滤波器原型的设计143.3.1 巴特沃斯低通滤波器的设计143.3.2 切比雪夫低通滤波器的设计183.3.3 椭圆低通滤波器的设计223.3.4 各种滤波器的特性讨论253.4 本章小结254 IIR数字滤波器综合设计264.1 基于直接变换法的MATLAB仿真264.2 IIR数字滤波器滤波综合实例274.3 仿真分析294.4 本章小结29结 论30参考文献3

11、1致 谢322攀枝花学院毕业论文设计 1 绪 论 1 绪 论1.1 MATLAB软件的介绍MATLAB是英文MATrix LABoratory(矩阵实验室)的缩写。目前的MATLAB7.0版集成了MATLAB7编辑器，Simulink6.0仿真软件以及很多工具箱。它的功能和特性涵盖面相当广，被用于线性代数、自动控制理论、数字信号处理、时间序列分析、动态系统仿真以及图像处理等众多方面。MATLAB自1984年由Math Works公司推向市场以来，历经20多年的发展和竞争，现在已风靡全球。可靠的数值计算和符号计算功能、强大的绘图功能、简单易学的语言体系以及为数众多的应用工具箱是MATLAB区别于

12、其他科技应用软件的显著标志。其主要功能1：(1)数值计算和符号计算功能MATLAB以矩阵作为数据操作的基本单位，此外MATLAB还提供了十分丰富的数值计算函数，而且所采用的数值计算算法都是国际公认的最先进、可靠的算法，其程序由世界一流专家编制和高度优化。当然在实际应用中，除了数值计算外，往往要得到问题的解析解，这属于符号计算的领域。MATLAB和著名的符号计算语言Maple相结合，使MATLAB具有了符号计算功能。(2)绘图功能MATLAB提供了两个层次的绘图操作：一种是图形句柄进行的低层绘图操作，另一种是建立在低层绘图操作之上的高层绘图操作。利用MATLAB图形句柄操作，用户可以灵活地对图形

13、进行各种操作，为用户在图形表现方面开拓了一个没有束缚的广阔空间。(3)语言体系MATLAB具有程序结构控制、函数调用、数据结构、输入/输出、面向对象等程序语音特征,所以它和传统语言一样，能进行程序设计且简单易学，编程效率高。MATLAB是解释性语言，程序执行速度较慢，而且不能脱离MATLAB环境而独立运行，但其含有将MATLAB源程序编译为独立于MATLAB集成环境运行的EXE文件以及将MATLAB程序转化为C语言程序的编译器。(4)MATLAB工具箱MATLAB包含两部分内容：基本部分和各种可选的工具箱。基本部分构成了MATLAB的核心内容，也是使用和构造工具箱的基础。MATLAB工具箱分为

14、两大类：功能性工具箱和学科工具箱。1.2 Simulink软件的介绍Simulink是MATLAB的重要组成部分，现在较为流行的MATLAB7.0配用Simulink6.0。Simulink提供了图形用户界面，用户可以用鼠标操作，从模块库中调用标准模块，将它们适当的连接起来以构成动态系统模型，并且用各模块的参数对话框为系统中各模块设置参数。当各模块的参数设置完成后即建立起该系统的模型，如果对某一个模块未设置参数，Simulink就将该模块设置的默认参数值作为该模块的参数。系统的模型建立之后，选择仿真参数和数值算法，便可以启动仿真程序对其进行仿真，这种操作可以用Simulink菜单，也可以用MA

15、TLAB命令实现。在仿真过程中，用户可以设置不同的输出方式来观察仿真结果。Simulink仿真模型在视觉上表现为直观的方框图，其文件扩展名为.mdl，在数学上体现了一组微分方程或者是差分方程，模拟了物理器件构成的实际系统的动态特性。从宏观角度来看，Simulink模型通常包含了3类模块：信号源(source)、系统(system)、及信宿(sink)。图1.1所示为这种模型的一般结构。系统即被研究系统的Simulink方框图；信源可以是正弦波、常数、阶梯波等信号源；信宿可以是示波器、图形记录仪等1。系统、信源和信宿可以从Simulink模块库中直接获得，也可以根据需要使用库中的模块搭建而成。信

16、源系统信宿图1.1 Simulink仿真模型的一般结构1.3 数字滤波器及MATLAB实现数字滤波器是最基本的数字信号处理(digitalsignal processing，DSP)功能模块。为满足图像、视频等信号处理中越来越高的实时性要求，人们开展了数字滤波器的研究。数字滤波器通常包括无限脉冲响应IIR (infinite impulse response)和有限脉冲响应FIR (finite impuls eresponse)滤波器。相对于FIR滤波器，IIR滤波器具有更高的运算效率和更低的硬件成本，因此它通常成为数字滤波器的首选，并广泛地应用于音视频处理、回音消除、弦乐器件等领域。IIR

17、 数字滤波器具有无限持续时间冲激响应，需要用递归方法来实现。设计IIR 滤波器的任务就是寻求一个因果、物理上可实现的系统函数，使其频率响应满足所希望得到的频域指标，即符合给定的通带截止频率、阻带截止、通带衰减和阻带衰减等要求。IIR 数字滤波器的设计方法有两种，一种是借助于模拟滤波器的模型，先设计满足要求的模拟滤波器，再利用冲激响应不变法或双线性变换法转换成数字滤波器；另一种是直接在频域或时域中进行设计，设计时需要计算机作辅助工具，其中MATLAB显示出了它的优点。MATLAB的信号处理工具箱的两个基本组成就是滤波器的设计与实现以及谱分析。工具箱提供了丰富而简单的设计、实现FIR和IIR的方法

18、，使原来繁琐的程序设计简化成函数的调用，特别是滤波器的表达方式和滤波器形式之间的相互转换变得十分简单。它为滤波器的设计和实现开辟了一片广阔的天地。 随着MATLAB 软件尤其是MATLAB 的信号处理工作箱的不断完善，不仅数字滤波器的计算机辅助设计有了可能，而且还可以使设计达到最优化。因此用软件来实现的优点是系统函数具有可变性，仅依赖于算法结构，并易于获得较理想的滤波性能，且成本低。1.4 该课题研究的主要任务和内容本文主要讨论了IIR数字滤波器的设计原理并研究了用MATLAB软件实现IIR数字滤波器的设计方法。全文分为五章，各章的主要内容安排如下：第1章主要介绍了MATLAB软件及其包含的S

19、imulink工具的基本情况和概念，并对数字滤波器的发展现状以及MATLAB实现的可能性做了简单的阐述。第2章介绍了数字滤波器和相关模拟滤波器的基本概念，详细介绍了IIR数字滤波器的基本概念和IIR数字滤波器的主要技术指标和设计过程。第3章研究了IIR数字滤波器的设计原理和设计方法，同时也对常用滤波器做了简单的介绍并进行了简单的程序设计。第4章主要阐述了IIR数字滤波器的MATLAB实现，然后用一个综合程序验证设计的IIR数字滤波器的滤波效果，并用Simulink进行了仿真。第5章对全文进行了总结，并对今后的工作进行了展望。1.5 本章小结本章为前言部分，对该论文要用的软件和设计的数字滤波器做

20、了简单的介绍，并对论文的写作顺序和内容做了介绍。32攀枝花学院毕业论文设计 2 IIR数字滤波器简介 2 IIR数字滤波器简介2.1 数字滤波器简介数字滤波器是对数字信号处理实现滤波的线性时不变系统。数字滤波实质上是一种运算过程，实现对信号的运算处理。输入数字信号(数字序列)通过特定的运算转变为输出的数字序列，因此，数字滤波器本质上是一个完成特定运算的数字计算过程，也可以理解为是一台计算机。描述离散系统输出与输入关系的卷积和差分方程只是给数字信号滤波器提供运算规则，使其按照这个规则完成对输入数据的处理。时域离散系统的频域特性： ， 其 中,分别是数字滤波器的输出序列和输入序列的频域特性(或称为

21、频谱特性)，是数字滤波器的单位取样响应的频谱，又称为数字滤波器的频域响应。可以看出， 输入序列的频谱经过滤波后变为， 因此，只要按照输入信号频谱的特点和处理信号的目的， 适当选择 ， 使得滤波后的 满足设计的要求。2.2 IIR滤波器简介数字滤波器在数字信号处理的各种应用中发挥着十分重要的作用。它是通过对采样数据信号进行数学运算处理来达到滤波的目的。其中无限冲击响应数字滤波器也称IIR是采用对离散采样数据作差分方程运算来进行滤波。IIR DF的优点在于可以利用模拟滤波器设计的结果，然后采用双线性变换法或冲激响应不变法将模拟滤波器转换成数字滤波器，而模拟滤波器的设计方便简单、有大量的图表可查。I

22、IR DF的设计还可利用二阶子系统的串联来有效实现。其主要缺点在于Nyquist间隔内无法实现线性相位,若需线性相位，比如在图象处理和数据传输中都要求信道具有线性相位特性，则需要用全通网络进行相位校正。2.2.1 IIR滤波器的传递函数模型IIR数字滤波器的基本网络结构可用差分方程、单位脉冲响应及系统函数来描述，其差分方程一般表示为 式(2.1) 式中和分别表示输入和输出信号序列，和是滤波器系数。设式(2.1)中输入信号和输出信号在以前处于零起始状态，则有 式(2.2)对于线性时不变(LTI)系统来说，上式中和均为常数2。2.2.2 IIR滤波器的状态方程模型状态方程是描述系统的一种常用的方式

23、。在系统有不可见的状态变量时可使用滤波器状态方程模型。连续LTI系统的状态方程可以写成 式(2.3) 式(2.4)其中A，B，C，D分别为常数矩阵，在MATLAB中，一般情况下，系统的状态方程可以简记为(A，B，C，D),如果D0，则系统的状态方程模型可以简记为(A，B，C)。对于离散系统来说，状态方程模型可以写成 式(2.5) 式(2.6)这样的离散时间系统的状态方程模型在MATLAB中写成(A，B，C，D)或(A，B，C)3。2.2.3 IIR滤波器的零极点模型零极点模型实际是传递函数的另一种表达，它的原理是分别对原系统传递函数的分子和分母进行分解因式，以获得系统的零极点表示形式，对单输入

24、单输出系统来说，零极点模型可以简单的表示为： 式(2.7)式中，1,2,3，和，1,2,3，分别称为系统的零点和极点，它们既可以是实数也可以是复数，而K称为系统的增益。在MATLAB中简记为(Z,P,K)。但为了保证滤波器的稳定性，系统的所有极点都位于左半S平面。如果稳定系统所有的零点都位于左半S平面，则称该系统为最小相位系统，否则称为非最小相位系统。如果系统中的某个零点值恰好等于其中一个极点的值，则它们之间可以对消以直接获得一个完全等效的低价系统。2.3 模拟滤波器的相关介绍IIR滤波器的设计是借助于模拟滤波器原型，再将模拟滤波器转换成数字滤波器，而模拟滤波器设计已经有了一套相当成熟的设计方

25、法，它不但有完整的设计公式，而且还有较为完整的图表供查询，因此，充分利用这些已有的资源将会为数字滤波器的设计带来极大的方便。为了能利用模拟滤波器来设计IIR数字滤波器，首先应设计一个满足技术指标的模拟滤波器，即把数字滤波器的技术指标转换成模拟滤波器的技术指标，设计出模拟滤波器原型。设计一个滤波器，重要的是寻找一个稳定的因果系统函数去逼近滤波器的指标。一个稳定的因果系统函数应该满足以下条件：(1) 滤波器的单位冲击响应是一个实函数，即是一个具有实系数的S的有理数。(2) 的极点必须分布在S平面的左半平面。(3) 的分子多项式的阶数必须小于或等于分母多项式的阶数。模拟滤波器的幅值响应通常采用“幅度

26、平方函数”表示，根据上述的3个特征，可以表示为： 式(2.8)由于为实函数，因此满足： 式(2.9) 式(2.10)式(2.10)中的是模拟滤波器的系统函数，它是S的有理数。为滤波器的频率响应特性。从式(2.9)和(2.10)中可知，有一个极点(或零点)位于处，则在处必有一个极点(或零点)。因为为实函数，则的极点(或零点)必然有共轭出现。若互为共轭的一对极点(或零点)位于处，则必有一对的极点(或零点)与之对应。显然，在处的极点，必在处有极点。当的零点、极点位于虚轴上时，也必定是二阶或偶阶。因此的极点和零点分布如图2.3所示，零点和极点是对称分布的2。 图2.3 零、极点分布图由条件(2)可知，

27、的极点必须位于S左半平面，而右半平面的极点必须是属于的，至于零点，则取决于设计的滤波器是否要求是最小相位的，如果要求是最小相位的，则的所有零点必须分布在左半平面或虚轴上。2.4 IIR数字滤波器的主要技术指标在设计IIR数字滤波器之前，首先了解数字滤波器的技术指标，才能将其转化成满足要求的模拟滤波器技术指标，再将模拟滤波器转化成数字滤波器。数字滤波器的主要技术指标为4：(1) 特征频率参数滤波器的频率参数主要有：通带截止频率：为通带与过渡带的边界点，在该点信号增益到规定的下限。阻带截频：为阻带于过渡带的边界点，在该点信号衰减到规定的下限。转折频率：为 信号功率衰减到(约为3)时的频率，但在多数

28、情况下也常以作为通带或阻带截频。当电路没有损耗时，固有频率，就是其谐振频率。(2) 增益和衰减滤波器在通带内的增益并不是常数。对低通滤波器来说，通带增益一般指时的增益；对于高通而言，通带增益指时的增益；对于带通而言，通带增益则指中心频率处的增益。对带阻滤波器而言，应给出阻带衰减，衰减定义为增益的倒数。通带增益变化指通带内各点增益的最大变化量，如果以为单位，则指增益值的变化量。(3) 阻尼系数与品质因数阻尼系数是表征滤波器对角频率为信号的阻尼作用，同时是滤波器中表示能量衰减的一项重要指标，也是与传递函数的极点实部大小相关的一项系数。阻尼系数的倒数1/称为品质因数Q，是评价带通和带阻滤波器频率选择

29、特性的一个重要指标，它可以表示为。其中为带通或带阻的带宽，为中心频率，在多数情况下中心频率等于固有频率。(4) 灵敏度滤波器的滤波电路是由很多元件构成的，每个元件的参数值变化都会影响它的性能。当滤波器的某一个性能指标对另一个性能指标变化的灵敏度记为，定义为： 式(2.11)灵敏度是滤波电路设计中的一个重要参数，但该灵敏度与测量仪器或电路系统灵敏度概念不同，该灵敏度越小，标志着电路容错能力越大，稳定性也就越高。(5) 群延时函数当滤波器幅频特性满足设计要求时，为保证输出信号失真不超过允许范围，对其相频特性也相应提出了一定要求。在滤波器设计中，常用群延时函数评价信号经滤波后相位失真程度，越接近常数

30、，信号相位失真越小。2.5 IIR数字滤波器的设计过程IIR数字滤波器的设计方法有很多种，但一般使用以下两种方法：(1) 经典设计方法。先设计一个合适的模拟滤波器，然后变换成已预定指标的数字滤波器。这种方法很方便，这是因为模拟滤波器设计已经有了一套相当的成熟的设计方法，它不但有完整的设计公式，而且还有较为完整的图表供查询，设计起来方便、准确。经典设计法的设计步骤： 根据任务,确定技术指标：在设计一个滤波器之前,首先根据工程实际的需要确定滤波器的技术指标，包括边界频率(,，)、阻带最小衰减及通带最大衰减。 将数字滤波器的技术指标转换成模拟滤波器指标。主要是边界频率, 的转换。 用模拟滤波器设计方

31、法得到模拟滤波器的传输函数。 映射实现：将模拟滤波器转换成数字滤波器。 用有限精度算法去实现这个系统函数，包括选择运算结构、选择合适的字长、有效数字处理方法等。 用适当的软、硬件技术实现。包括采用：通用计算机软件、数字滤波器硬件或者软硬件结合。(2) 计算机辅助设计法。这是一种最优设计法。先确定一种最优准则，例如设计出的实际频率响应幅度与要求的理想频率响应幅度的均方差最小准则，然后求在此最佳准则下滤波器系统函数的系数。这种设计一般得不到滤波器系数作为所要求的理想频率响应的闭合形式的函数表达式，而是需要进行大量的迭代运算，故离不开计算机。在优秀的科技应用软件MATLAB的信号处理工具箱中，提供了

32、一整套模拟、数字滤波器的设计命令和运算函数，方便准确且简单易行，使得设计更容易实现。2.6 本章小结本章对IIR数字滤波器及相关知识进行了介绍，如IIR数字滤波器的函数模型，模拟滤波器等。并对IIR数字滤波器的技术指标和设计过程进行了简单的介绍，为后文的IIR数字滤波器的设计打下了基础。攀枝花学院毕业论文设计 3 IIR数字滤波器的实现方法 3 IIR数字滤波器的实现方法3.1 冲激响应不变法冲激响应不变法5的变换原理是使数字滤波器的单位冲激响应序列模仿模拟滤波器的单位冲激响应序列。将模拟滤波器的单位冲激响应加以等简隔抽样，使正好等于的抽样值，即满足 式(3.1)其中T是抽样周期。如果令是的拉

33、普拉斯变换，为的Z变换，根据抽样序列的Z变换和模拟信号的拉普拉斯变换的关系，可得 式(3.2)可以看出，利用冲激响应不变法将模拟滤波器变换数字滤波器，实际上是先对模拟滤波器的系统函数做周期延拓，再经过的映射变换，从而得到数字滤波器的系统函数。假设在S平面上，S在轴上取值，Z在Z平面内的单位圆周上取值，则可得到数字滤波器的频率响应和模拟滤波器的频率响应间的对应关系： 式(3.3)如图3.1所示，在S平面上每一条宽为的横条都将重叠地映射到整个Z平面上，而每一条的左半边映射到Z平面单位圆内，右半边映射到Z平面单位圆外，S平面虚轴映射Z平面单位圆上，虚轴上每一段长为的线段都映射到Z平面单位圆上一周。由

34、于S平面每一横条都要重叠地映射到Z平面上，这正好反映和的周期延拓函数的变换关系，故有冲激响应不变法并不是简单的从S平面映射到Z平面。图3.1 冲激响应不变法的映射关系因为不是简单的一一映射关系，且对于任何一个实际的模拟滤波器，它的频率响应是不可能真正带限的。因而将不可避免的出现频率的重叠，即混叠失真。数字滤波器的频率响应不能重现模拟滤波器的频率响应，只有当模拟滤波器的频率响应在超过重叠频率后的衰减很大时，混叠失真才会很小，此时才能够满足设计要求。综上所述，冲激响应不变法具有以下特点：(1) 模拟频率和数字频率的转换是线性的，并保持了模拟滤波器的时域瞬态特性。(2) 当模拟滤波器的频率响应不是严

35、格限带时，则用冲激不变法设计出的数字滤波器在频率出现混叠失真。(3) 由于(2)而使这种设计方法受到限制，即当不严格限带或g(t)变化不稳定。3.2 双线性变换法冲激响应不变法是使数字滤波器在时域上模仿模拟滤波器，但它的缺点是会产生频率响应的混叠失真，这是由于从S平面到Z平面的多值映射关系造成的。为了克服S 平面到Z 平面多值映射的缺点，可以采用双线性变换法来设计数字滤波器6。双线性变换法是使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似的一种变换方法。首先将整个S平面压缩到一中介的S1平面的一条横带里,宽度为,即从到。其次再通过标准变换，将此横带变换到整个Z 平面上去,这就使Z平面和S平面存

36、在着一一对应的关系,消除了混叠现象。如图3.2 所示。图3.2 双线性变换法的映射关系将S 平面的整个轴压缩到S1平面的轴上的到一段，可以采用以下变换关系: 式(3.4a)这样=变到,=0变到 =0 ,可将(3.4a) 式写成 式(3.4b)将上解析式延拓到整个S平面和S1平面，令= S，= S1。则得 式(3.5)再将S1 平面通过映射到Z 平面，就得到S 平面和Z 平面的单值映射关系： 式(3.6)一般来说，为了使模拟滤波器的某一频率与数字滤波器的任一频率有对应关系，可引入一个待定系数C，使式(3.4)和(3.5)变成 式(3.7)则： 式(3.8)将代入到式(3.8)，可得 式(3.9)

37、对于变换常数C的选择是根据模拟滤波器频率特性与数字滤波器频率特性在不同频率处的对应关系来确定，一般有以下两种方法：(1) 采用使模拟滤波器与数字滤波器在低频处有较确切的对应关系，即在低频处有。当较小有由(3.7)式及式可得因而得到此时，模拟原型滤波器的低频特性近似等于数字滤波器的低频特性。(2) 采用数字滤波器的某一特定频率(例如截止频率)与模拟原型滤波器的一个特定频率严格相对应，即则有。这个方法的优点是在特定的模拟频率和特定的数字频率处，频率响应严格相等，可以较准确的控制截止频率的位置。从上可以看出S平面的左半平面映射到Z平面的单位圆内，S平面的右半平面映射到Z平面的单位圆外，S平面的虚轴映

38、射到Z平面的单位圆上，也就是说稳定的模拟滤波器经双线性变换后所得的数字滤波器也一定是稳定的。双线性变换法的最大优点是避免了频率响应的混叠现象，但是又有新的问题出现了。除了在零频率附近，式(3.7)的频率变换关系式接近线性外，当增加时，变换关系就变成非线性的了，频率与之间有着严重的非线性关系，如图3.3所示。换言之，一个线性相位的模拟滤波器经双线性变换后得到的数字滤波器的相位是非线性的，同时这种非线性关系要求模拟滤波器的幅频响应近似等于某一个常数(这正是一般典型的低通，高通，带通，带阻滤波器的响应特性)，否则变换所得的数字滤波器幅频响应就会有畸变。对于分段常数的滤波器经双线性变换后得到的幅频特性

39、仍是分段常数的滤波器，但各个分段边缘的临界频率点产生了畸变。设计过程中，可以通过频率的预畸来校正这种畸变，即是将临界频率事先加以畸变，然后经变换后正好映射到所需的频率，预畸过程如图3.4所示。图3.3 双线性变换的频率间非线性关系 图3.4 双线性变换的频率非线性预畸综上所述，双线性变换法不仅克服了冲激响应不变法的混叠现象，而且对自身的畸变问题也能够校正，并具有一般典型滤波器的特性(幅频响应近似等于某一常数)。3.3 常用模拟滤波器原型的设计设计数字滤波器的前提是有一个合适的模拟原型滤波器，即在设计IIR数字滤波器过程中，首先得设计一个模拟原型滤波器。实际上设计模拟原型滤波器是要寻求一个逼近理

40、想低通滤波器函数，所谓原型低通滤波器是指低通模拟滤波器。常用的模拟低通滤波器有巴特斯沃滤波器、切比雪夫滤波器、椭圆滤波器。3.3.1 巴特沃斯低通滤波器的设计模拟低通巴特沃斯滤波器以巴特沃斯函数为滤波器的系统函数，它的幅度平方函数表示为： 式(3.10)式中的N为正整数，表示滤波器的阶数。为通带的截止频率，因为当时：(归一化后的巴特沃斯滤波器，)，进而有，可知半点功率的宽度等于3分贝。巴特沃斯滤波器在通带有最为平坦的幅度特性，即N阶低通滤波器在处幅度平方函数的前(2N-1)阶为零。阻带内随着频率的升高而单调下降。滤波器特征完全由阶数N决定，当N增加时，通带更加平坦，也更接近理想的低通滤波器的特

41、性。低通巴特沃斯滤波器的设计过程包括以下两个方面7：(1) 根据给定的通带和阻带指标确定阶数N。通常在设计时会给定技术指标，包括通带的截止频率、通带内最大衰减、阻带截止频率、阻带内的最小衰减。假设给定的，时通带的最大衰减为，时阻带的最小衰减为。其幅度平方函数图如图3.5所示。这时：通带容限为：()；阻带容限为：()。其中均为与衰减有关的参数。根据式(3.10)可得到： 图3.5 巴特沃斯滤波器幅度平方函数 式(3.11a) 式(3.11b)由式(3.11a)、(3.11b)两式可得： ， 式(3.12)对于同一滤波器，其幅度平方函数相等，于是可得进而可得N为正整数的取值要求： 式(3.13)当

42、给定的参数指标是归一化的，即时，上式表示为： (2) 从幅度平方函数确定系统函数。令代入 (2.8)式得到：巴特沃斯滤波器的全部零点都在处，没有有限零点，只求解上式的分母多项式的根。当设计归一化的巴特沃斯滤波器时，它的极点均匀分布在单位圆上。得到的极点为： 式(3.14)令归一化的系统函数用，则在左半平面上的极点组成，和的关系为。的极点表达式形式可表示为： 式(3.15)(3) 利用MATLAB设计巴特沃斯滤波器的实例。A、利用MATLAB函数buttap(语法Z,P,K=buttap(N)，Z,P,K分别表示滤波器的零点，极点，增益)设计，验证极点位置是否正确。技术指标为：通带截止频率，通带的最大衰减，阻带截止频率阻带的最小衰减。MATLAB程序如下：a=10000;b=40000;P=3;S=35; %技术指标T1=sqrt(10(0.1*P)-1);T2=sqrt(10(0.1*S)-1);N=ceil(log10(T2/T1)/log10(b/a); %求阶数Z,P,K=buttap(N); %求零、极点，增益syms rad; %定义基本符号对象