人大版,贾俊平,第五版,统计学 第4章 数据的概括性度量.ppt

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1、第4章 数据的概括性度量1集中趋势的度量集中趋势的度量2离散程度的度量离散程度的度量3偏态与峰态的度量偏态与峰态的度量4.1集中趋势的度量1.一组数据向其中心值靠拢的倾向和程度2.测度集中趋势就是寻找数据一般水平的代表值或中心值3.不同类型的数据用不同的集中趋势测度值4.低层次数据的集中趋势测度值适用于高层次的测量数据，反过来，高层次数据的集中趋势测度值并不适用于低层次的测量数据5.选用哪一个测度值来反映数据的集中趋势，要根据所掌握的数据的类型来确定集中趋势集中趋势(位置位置)4.1.1 分类数据：众数1.集中趋势的测度值之一2.出现次数最多的变量值3.不受极端值的影响4.可能没有众数或有几个

2、众数5.主要用于定类数据，也可用于定序数据和数值型数据1.根据第三章例3.3中的数据，计算众数2.根据第三章例3.5中的数据，计算众数3.数值型分组数据的众数算例算例某车间某车间50名工人日加工零件数分组表名工人日加工零件数分组表按零件数分组按零件数分组频数（人）频数（人）累积频数累积频数105110110115115120120125125130130135135140358141064381630404650合计合计504.1.2 顺序数据：中位数和分位数1.中位数集中趋势的测度值之一排序后处于中间位置上的值不受极端值的影响主要用于定序数据，也可用数值型数据，但不能用于定类数据各变量值与中

3、位数的离差绝对值之和最小，即计算公式未分组数据的中位数数值型分组数据的中位数原始数据原始数据:24 22 21 26 20位位 置置:1 2 3 4 5中位数的计算中位数的计算排排 序序:20 21 22 24 26原始数据原始数据:10 5 9 12 6 8位位 置置:1 2 3 4 5 6排排 序序:5 6 8 9 10 12中位数=（8+9）/2=8.5某某车间50名工人日加工零件数分名工人日加工零件数分组表表按零件数分按零件数分组频数（人）数（人）累累积频数数105110331101155811512081612012514301251301040130135646135140450合

4、合计 50 中位数的位置=50/2=25，即中位数在120125这一组，L=120，Sm 1=16，U=125，Sm+1=20，fm=14，d=5，根据中位数公式得：2.四分位数人们经常会将数据划分为4个部分，每一个部分大约包含有1/4即25的数据项。QLQMQU25%25%25%25%1.集中趋势的测度值之一2.排序后处于25%和75%位置上的值3.不受极端值的影响4.主要用于定序数据，也可用于数值型数据，但不能用于定类数据四分位数四分位数(位置的确定位置的确定)未分组数据：未分组数据：组距分组数据：组距分组数据：下四分位数(QL)位置=N+14上四分位数(QU)位置=3(N+1)4下四分位

5、数(QL)位置=N4上四分位数(QL)位置=3N4甲城市家庭对住房状况评价的频数分布甲城市家庭对住房状况评价的频数分布回答类别回答类别甲城市甲城市户数户数 (户户)累计频数累计频数 非常不满意非常不满意 不满意不满意 一般一般 满意满意 非常满意非常满意2410893453024132225270300合计合计300计算甲城市家庭对住房满意状况评价的四分位数解：下四分位数(QL)的位置为：QL位置(300)/475 上四分位数(QL)的位置为：QU位置(3300)/4225从累计频数看，QL在“不满意”这一组别中；QU在“一般”这一组别中。因此 QL 不满意 QU 一般原始数据原始数据:23

6、21 30 32 28 25 26排排 序序:21 23 25 26 28 30 32位位 置置:1 2 3 4 5 6 7 QL=23N+17+1QL位置=4=4=2QU位置=3(N+1)43(7+1)4=6QU=30数值型未分组数据的四分位数原始数据原始数据:23 21 30 28 25 26排排 序序:21 23 25 26 28 30位位 置置:1 2 34 5 6QL=21+0.75(23-21)=22.5QL位置=N+14=6+14=1.75QU位置=3(N+1)43(6+1)4=5.25QU=28+0.25(30-28)=28.5数值型分组数据的四分位数(计算公式)上四分位数上四

7、分位数上四分位数上四分位数:下四分位数下四分位数下四分位数下四分位数:计算50 名工人日加工零件数的四分位数某车间50名工人日加工零件数分组表按零件数分组频数（人）累积频数105110110115115120120125125130130135135140358141064381630404650合计50QL位置位置50/412.5QU位置位置350/437.54.1.3 数值型数据：平均值1.集中趋势的测度值之一2.最常用的测度值3.一组数据的均衡点所在4.易受极端值的影响5.用于数值型数据，不能用于定类数据和定序数据均值(计算公式)设一组数据为：X1，X2，XN 简单均值简单均值的计算公式

8、为设分组后的数据为：X1，X2，XK 相应的频数为：F1，F2，FK加权均值加权均值的计算公式为简单均值(算例)原始数据:10591368加权均值（算例4.7）加权均值(权数对均值的影响)甲乙两组各有10名学生，他们的考试成绩及其分布数据如下 甲组：考试成绩（X）：0 20 100 人数分布（F）：1 1 8 乙组：考试成绩（X）:0 20 100 人数分布（F）：8 1 1X X甲甲01+201+100801+201+1008n n 1010i i=1=1 X Xi i 82828282（分）（分）（分）（分）X X乙乙08+201+100108+201+1001n n 1010i i=1=

9、1 X Xi i 12121212（分）（分）（分）（分）均值(数学性质)1.各变量值与均值的离差之和等于零 2.各变量值与均值的离差平方和最小几何平均数(概念要点)1.集中趋势的测度值之一2.N 个变量值乘积的 N 次方根3.适用于特殊的数据4.主要用于计算平均发展速度5.计算公式为6.可看作是均值的一种变形几何平均数(算例)【例例4.10】一位投资者持有一种股票，2001-2004年收益率分别为4.5%、2.1%、25.5%、1.9%。计算该投资者在这四年内的平均收益率。平均收益率108.0787%-1=8.0787%4.1.4众数、中位数和均值的比较1.众数、中位数和均值的关系对称分布对

10、称分布对称分布对称分布 均值均值均值均值均值均值=中位数中位数中位数中位数中位数中位数=众数众数众数众数众数众数左偏分布左偏分布左偏分布左偏分布均值均值均值均值均值均值 中位数中位数中位数中位数中位数中位数 众数众数众数众数众数众数右偏分布右偏分布右偏分布右偏分布众数众数众数众数众数众数 中位数中位数中位数中位数中位数中位数 均值均值均值均值均值均值数据类型和所适用的集中趋势测度值数据类型和所适用的集中趋势测度值数据类型数据类型定类数据定类数据 定序数据定序数据定距数据定距数据定比数据定比数据适适用用的的测测度度值值众数众数中位数中位数均值均值均值均值四分位数四分位数众数众数调和平均数调和平均

11、数众数众数中位数中位数几何平均数几何平均数四分位数四分位数 中位数中位数四分位数四分位数众数众数4.2 离散程度的度量1.数据分布的另一个重要特征2.离中趋势的各测度值是对数据离散程度所作的描述3.反映各变量值远离其中心值的程度，因此也称为离中趋势4.从另一个侧面说明了集中趋势测度值的代表程度5.不同类型的数据有不同的离散程度测度值4.2.1 分类数据：异众比率1.离散程度的测度值之一2.非众数组的频数占总频数的比率3.计算公式为 4.用于衡量众数的代表性异众比率(算例)根据表中的数据，计算异众比率某城市居民关注广告类型的频数分布 广告类型人数(人)频率(%)商品广告 服务广告 金融广告 房地

12、产广告 招生招聘广告 其他广告1125191610256.025.54.58.05.01.0合计200100解：解：在所调查的200人当中，关注非商品广告的人数占44%，异众比率还是比较大。因此，用“商品广告”来反映城市居民对广告关注的一般趋势，其代表性不是很好 Vr=200-112200 =1-112 200 =0.44=44%4.2.2 顺序数据：四分位差1.离散程度的测度值之一2.也称为内距或四分间距3.上四分位数与下四分位数之差 QD=QU-QL4.反映了中间50%数据的离散程度5.不受极端值的影响6.用于衡量中位数的代表性四分位差(定序数据的算例)根据表中的数据，计算甲城市家庭对住房

13、满意状况评价的四分位差甲城市家庭对住房状况评价的频数分布回答类别甲城市户数 (户)累计频数 非常不满意 不满意 一般 满意 非常满意2410893453024132225270300合计300解：设非常不满意为1,不满意为2,一般为3,满意为 4,非常满意为5 已知 QL=不满意=2，QU =一般=3四分位差：QD=QU -QL=3 2 =14.2.3 数值型数据：方差和标准差1.极差1.一组数据的最大值与最小值之差2.离散程度的最简单测度值3.易受极端值影响4.未考虑数据的分布7 8 9 107 8 9 10未分组数据未分组数据 R=max(Xi)-min(Xi).=组距分组数据组距分组数据

14、 R 最高组上限-最低组下限5.计算公式为2.平均差1.离散程度的测度值之一2.各变量值与其均值离差绝对值的平均数3.能全面反映一组数据的离散程度4.数学性质较差，实际中应用较少5.计算公式为未分组数据未分组数据组距分组数据组距分组数据平均差（计算过程及结果）某厂按月收入水平分组的组距数列如表中前两列，计算平均差。3.方差和标准差离散程度的测度值之一最常用的测度值反映了数据的分布反映了各变量值与均值的平均差异根据总体数据计算的，称为总体方差或标准差；根据样本数据计算的，称为样本方差或标准差4 6 8 10 124 6 8 10 12X=X=8.38.3总体方差和标准差(计算公式)未分组数据：组

15、距分组数据：未分组数据：组距分组数据：方差的计算公式方差的计算公式标准差的计算公式标准差的计算公式总体标准差（计算过程及结果）根据表中的数据，计算工人日加工零件数的标准差某车间50名工人日加工零件标准差计算表按零件数分组组中值(Xi)频数(Fi)(Xi-X)2(Xi-X)2Fi105110110115115120120125125130130135135140107.5112.5117.5122.5127.5132.5137.5358141064246.49114.4932.490.4918.4986.49204.49739.47572.45259.926.86184.90518.94817.

16、96合计503100.5样本方差和标准差(计算公式)未分组数据：组距分组数据：未分组数据：组距分组数据：方差的计算公式方差的计算公式标准差的计算公式标准差的计算公式注意：注意：样本方差用自样本方差用自由度由度n-1n-1去除去除!样本方差自由度1.一组数据中可以自由取值的数据的个数2.当样本数据的个数为 n n 时，若样本均值x x 确定后，只有n n-1-1个数据可以自由取值，其中必有一个数据则不能自由取值3.例如，样本有3个数值，即x x1 1=2=2，x x2 2=4=4，x x3 3=9=9，则 x x=5 5。当 x x =5 5 确定后，x x1 1，x x2 2和x x3 3有两

17、个数据可以自由取值，另一个则不能自由取值，比如x x1 1=6=6，x x2 2=7=7，那么x x3 3则必然取2 2，而不能取其他值4.样本方差用自由度去除，其原因可从多方面来解释，从实际应用角度看，在抽样估计中，当用样本方差去估计总体方差2 2时，它是2 2的无偏估计量样本方差与标准差(算例)原始数据:10 5 9 13 6 8方差(简化计算公式)样本方差总体方差方差(数学性质)各变量值对均值的方差小于对任意值的方差设X0为不等于X的任意数，D2为对X0的方差，则4.相对位置的度量（1）标准分数给出某一个值在一组数据中的相对位置可用于判断一组数据是否有离群点用于对变量的标准化处理计算公式

18、为（2）经验法则当一组数据对称分布时，经验法则表明约有68%的数据在平均数1个标准差的范围之内约有95%的数据在平均数2个标准差的范围之内约有99%的数据在平均数3个标准差的范围之内（3）切比雪夫不等式在任何数据集中，与平均数超过K倍标准差的数据占的比例至多是1/K2。4.2.4 相对离散程度：离散系数1.标准差与其相应的均值之比2.消除了数据水平高低和计量单位的影响3.测度了数据的相对离散程度4.用于对不同组别数据离散程度的比较5.计算公式为离散系数（实例和计算过程）例4.14数据类型和所适用的离散程度测度数据类型和所适用的离散程度测度值值数据类型数据类型定类数据定类数据 定序数据定序数据定

19、距数据或定比数据定距数据或定比数据适适用用的的测测度度值值异众比率异众比率四分位差四分位差 方差或标准差方差或标准差 异众比率异众比率 离散系数（比较时用）离散系数（比较时用）平均差平均差 极差极差 四分位差四分位差 异众比率异众比率4.3 偏态与峰态的度量偏态与峰度分布的形状偏态与峰度分布的形状扁平分布尖峰分布偏态偏态峰度峰度左偏分布右偏分布与标准正态与标准正态分布比较！分布比较！4.3.1 偏态及其测度数据分布偏斜程度的测度偏态系数=0为对称分布偏态系数 0为右偏分布偏态系数 0为左偏分布计算公式为例4.154.3.2 峰态及其测度1.数据分布扁平程度的测度2.峰度系数=0扁平程度适中3.偏态系数0为尖峰分布5.计算公式为平均184.5666667标准误差1.97915373中位数182众数196标准差21.68054285方差470.0459384峰度-0.224356161偏度0.405284783区域96最小值141最大值237求和22148观测数120最大(1)237最小(1)141置信度(95.0%)3.918922009由Excel输出的描述统计量