广东省深圳市2022-2023学年高二下学期期末调研考试数学试题含答案.pdf

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1、2023 年深圳市普通高中高二年级调研考试参考答案及评分标准 第1页 共10页 2023 年深圳市高二年级下学期期末调研考试 数学试题参考答案及评分标准 20237 本试卷 22 小题，满分 150 分。一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C A C D B A D 8解：设点(2,)Aa，过点A的直线l与曲线3yxx=相切于点00(,)B x y，231yx=，l的方程为230000(31)()xxxyxx=+，230000(31)(2)xxaxx=+，化简得32002

2、62axx=+，设32()262g xxx=+，2()612g xxx=+，()g x在区间(,0)，(2,)+上单调递减，在区间(0,2)上单调递增，若过点A恰有三条不同的直线与曲线3yxx=相切，满足条件的0 x恰有三个，(0)(2)gag，即26a，则点A的轨迹长度为8二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。题号 9 10 11 12 答案 BC AC ACD ABD 11解：（1）考查选项 A：由抛物线定义可知，若|AMAF=，则AMl，故选项 A 正确；（2）

3、考查选项 B：当|AMAFMF=时，AMF为正三角形，直线AB的倾斜角为3，设直线AB的方程为3()2pyx=，11(,)A x y，22(,)B x y，由23()22pyxypx=，可得22203pyyp=，13yp=，233py=，#QQABRYAQggAIAAIAAQACQw3yCEMQkhECCCgGBEAQoEABiQNABAA=#2023 年深圳市普通高中高二年级调研考试参考答案及评分标准 第2页 共10页 12|3|yAFBFy=，故选项 B 错误；（3）考查选项C：过点A，B作直线垂直于l，垂足分别为A，B，由（2）可知1(,)2pAy，2(,)2pBy，作AB的中点N，MA

4、MB，1|2MNAB=，由定义可知|ABAFBFAABB=+=+，1|(|)2MNAABB=+，M为A B 的中点，A，M，B三点的纵坐标成等差数列，故选项 C 正确；（4）考查选项 D：设0(,)2pMy，直线MF的斜率为1k，直线AB的斜率为2k，则00122yykppp=，由（2）可知1212222121212222yyyypkyyxxyypp=+，由（3）可知1202yyy+=，21202ppkyyy=+，01201ypk kpy=，MFAB，又MAMB，|AMBMMFAB=，且2|MFAFBF=，由基本不等式可得|(|)|2|AMBMMFABAFBFAFBFAFBF=+，故选项 D

5、正确 12解：（1）考查选项 A：当ABADm=时，易知ABD与BCD为等腰三角形，作BD中点E，AEBD，CEBD，AEECE=，BD 平面AEC，ACBD，故选项 A 正确；（2）考查选项 B：当ABCDm=时，易知四面体ABCD的所有对棱相等，可将四面体ABCD补为长方体，其中四面体ABCD的各条棱为该长方体各面的对角线，四面体ABCD的外接球即为该长方体的外接球，设该长方体的三条棱的长度分别为x，y，z，则221xy+=，221yz+=，222xzm+=，将三式相加可得22222222xyzm+=+，外接球的半径为2244m+，四面体ABCD的外接球的表面积为2(2)2m+，故选项 B

6、 正确；（3）考查选项 C：此时有两种情况，当ABADm=时，作BD的中点E，214AEm=，32CE=，1AC=，2023 年深圳市普通高中高二年级调研考试参考答案及评分标准 第3页 共10页 则在ACE中由三角形性质可得213142m+，213142m，2323m+；当ABCDm=时，作CD的中点F，ABm=，214mAFBF=，则在ABF中由三角形性质可知22 14mm，02m，023m+，故选项 C 错误；（4）考查选项 D：当ABADm=时，若四面体ABCD的体积最大时，则底面BCD上的高为1，即AC 平面BCD，此时四面体ABCD体积的最大值为312，当ABCDm=时，由（3）可知

7、此时214mAFBF=，则ABF的面积为21122mm，四面体ABCD的体积为221162mm，242211(2)16262mmmm=，设42()(2)f xxx=，32()2(43)fxxx=，由单调性可知当2 33x=时，()f x的最大值为3227，四面体ABCD体积的最大值为2 327，又32 31227，四面体ABCD体积的最大值为312，故选项 D 正确 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。1315；1431；1530,)4；162 22+，64 216解：设D为AB中点，则|1CD=，点D的轨迹方程为22(1)(1)1xy+=，|2|OAOBOD+=，则最

8、大值为2 22+，12ll，且1l过定点(1,3)，2l过定点(3,1)，点M的轨迹为22(2)(2)2xy+=，22()()()()MA MBMDDA MDDBMDDA MDDAMDDA=+=+=，2|3MA MBMD=，22|(12)(12)122 21MD+=，22|3(2 21)364 2MA MBMD=，MA MB的最小值为64 2 2023 年深圳市普通高中高二年级调研考试参考答案及评分标准 第4页 共10页 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17解：（1）证明：11nnnaaa+=+，1 分 111111nnnnnaaaaa+=，

9、2 分 11a=，数列1na是以1为首项，1为公差的等差数列，3 分 111nnna=+=，则1nan=5 分（2）1nnnba a+=，1(1)nbn n=+，6 分 111nbnn=+，8 分 111111(1)()()122311nTnnn=+=+，1nnTn=+10 分 18解：（1）由正弦定理sinsinsinabcABC=及条件，得1sincossinsin2BAAC+=，1 分 又sinsin()sincossincosCABABBA=+=+，2 分 1sincossinsinsincossincos2BAACABBA+=+，3 分 1sinsincos2AAB=，4 分 sin

10、0A，1cos2B=，5 分 0B，3B=6 分（2）记ABC的面积为S，由余弦定理2222cosbacacB=+，7 分 及3B=，可得2227acac+=，9 分 将2ca=代入上式，得29a=，故3a=，6c=，11 分 19 3sin22SacB=12 分 19证明：（1）作PC的中点D，PAC为等边三角形，ADPC，1 分 平面PBC 平面PAC，平面PBC平面PACPC=，AD 平面PBC，2 分 BC 平面PBC，BCAD，3 分 AB为圆O的直径，BCAC，4 分 又ACADA=，BC 平面PAC，5 分 BC 平面ABC，平面PAC 平面ABC6 分 2023 年深圳市普通高

11、中高二年级调研考试参考答案及评分标准 第5页 共10页（2）（法一）由三角形中位线的性质可知/EO AP，又EO平面PAC，AP 平面PAC，/EO平面PAC，/EF平面PAC，EOEFE=，平面/EOF平面PAC，7 分 平面EOF平面AFBCFO=，平面PAC平面AFBCAC=，/FO AC，8 分 由题可知2 3BC=，4AB=，取AC中点M连接PM，则PMAC，平面PAC平面AFBCAC=，由（1）可知PM 平面ABC，如图 1 建立空间直角坐标系，(0,0,3)P，(1,0,0)A，(1,2 3,0)B，13(,3,)22E，(2,3,0)F，(3,3,0)BF=，53(,0,)22

12、EF=，9 分 设平面BEF的一个法向量(,)mx y z=，则330,530,xyxz=令3x=，则3y=，5z=，(3,3,5)m=，10 分 由（1）可知平面ABC的一个法向量(0,0,1)n=，11 分 设平面BEF与平面ABC的夹角为，则55 37cos37|37m nm n=，平面BEF与平面ABC的夹角的余弦值为5 3737 12 分（法二）由2 3BC=，4AB=，取AC中点M连接PM，则PMAC，平面PAC平面AFBCAC=，由（1）可知PM 平面ABC，如图 1 建立空间直角坐标系，(0,0,3)P，(1,0,0)A，(1,2 3,0)B，13(,3,)22E，(2,3,0

13、)F，令(,0)F x y，1(,3,0)2EFxy=+，而平面PAC的一个法向量(0,1,0)，7 分 在平面ABC内，圆O的方程为22(3)4xy+=，且/EF平面PAC，22(3)4,30,xyy+=8 分 0,0 xy，则2x=，3y=，0z=，(2,3,0)F，(3,3,0)BF=，53(,0,)22EF=，9 分 设平面BEF的一个法向量(,)mx y z=，则330,530,xyxz=（第 19 题图 1）COM2023 年深圳市普通高中高二年级调研考试参考答案及评分标准 第6页 共10页 令3x=，则3y=，5z=，(3,3,5)m=，10 分 由（1）知平面ABC的一个法向量

14、(0,0,1)n=，11 分 设平面BEF与平面ABC的夹角为，则55 37cos37|37m nm n=，平面BEF与平面ABC的夹角的余弦值为5 373712 分（法三）如图 2，由三角形中位线的性质可知/EO AP，又EO平面PAC，AP 平面PAC，/EO平面PAC，/EF平面PAC，EOEFE=，平面/EOF平面PAC，7 分 平面EOF平面AFBCFO=，平面PAC平面AFBCAC=，/FO AC，8 分 由题可知2 3BC=，4AB=，取AC中点M连接PM，则PMAC，平面PAC平面AFBCAC=，由（1）可知PM 平面ABC，连接BM，过点E作/EH PM，H为BM的中点，且E

15、H 平面ABC，9 分 BF 平面ABC，EHBF，过点H作HNBF，垂足为N，连接EN，EHHNH=，BF 平面ENH，ENBF，则ENH为平面EFB与平面ABC的夹角，10 分 在BHF中，52FH=，6BFH=，5sin64HNFH=，11 分 1322EHPM=，由勾股定理可得374EN=，55 374cos37374ENH=，平面BEF与平面ABC的夹角的余弦值为5 3737 12 分 20解：(1)记“在一轮游戏中甲从A，B两盒内取出的小球均为白球”为事件C，1 分 由条件概率可知2226C11()5C75P C=，3 分 在一轮游戏中甲从A，B两盒内取出的小球均为白球的概率为17

16、54 分（2）（i）由题可知X可以取1，3，5，5 分 2223442226662218(1)55525CCCP XCCC=+=，6 分（第 19 题图 2）OCMHN2023 年深圳市普通高中高二年级调研考试参考答案及评分标准 第7页 共10页 11111133242422266622114(3)55525C CC CC CP XCCC=+=，7 分 2223222226662213(5)55525CCCP XCCC=+=，8 分 随机变量X的分布列为 X135P82514253259 分（ii）由（i）可知314813()5312525255E X=+=，10 分 每轮游戏的结果相互独立，

17、且甲共参加了5轮游戏，()5()13E YE X=12 分 21解：（1）222()(ee2)(21)exxxfxaxax=+=+，1 分 当0a 时，由()0fx，解得12x ，由()0fx，解得12x ，2 分 当0a时，由()0fx，解得12x ，由()0fx，解得12x ，3 分 当0a 时，()f x的单调增区间为1(,)2+，单调减区间为1(,)2，当0a时，()f x的单调增区间为1(,)2，单调减区间为1(,)2+4 分（2）由()2ln0f xxx，得2e2ln0 xaxxx，（法一）令2()e2lnxg xaxxx=，则221(12)(e1)()(12)e2xxx axg

18、xaxxx+=+=，当0a时，2(1)e20ga=不满足条件，0a不成立，5 分 当0a 时，令2()e1xk xax=，2()(12)e0 xk xax=+，6 分 当0 x+时，()1k x ，21()e10aka=，01(0,)xa，使得0()0k x=，即020e1xax=，7 分 当0(0,)xx时，()0k x，当0(,)xx+时，()0k x，8 分 2023 年深圳市普通高中高二年级调研考试参考答案及评分标准 第8页 共10页()g x在区间0(0,)x上单调递减，在区间0(,)x+上单调递增，当0 xx=时，()g x取得最小值0()g x，9 分 由020e1xax=，取对

19、数得00lnln20axx+=，则020000()e2ln1lnxg xaxxxa=+，10 分 要使不等式恒成立，需1ln0a+，解得1ea，11 分 实数a的取值范围是1ea 12 分（法二）0 x，由解得22lnexxxax+，令22ln()exxxh xx+=，5 分 则22222221(2)e(2ln)(e2 e)(21)(12ln)()(e)exxxxxxxxxxxxxh xxx+=，6 分 令()12lnxxx=，1()20 xx=，()x在区间(0,+)上单调递减，7 分 1()ln202=，(1)l0=，8 分 01(,1)2x，使得0()0 x=，即001 2ln0 xx=

20、，9 分 且当0(0,)xx时，()0 x，当0(,)xx+时，()0 x，()h x在区间0(0,)x上单调递增，在区间0(,)x+上单调递减，当0 xx=时，()h x取得最大值0()h x，10分 由001 2ln0 xx=，得020eexx=，则0000202ln1()eexxxh xx+=，11 分 实数a的取值范围是1ea 12 分（方法三）先证明不等式e1xx+（等号在0 x=时取得）成立，设()e1xu xx=，则()e1xu x=，5 分 当0 x 时，()0u x，0 x时，()0u x，()(0)0u xu=，即不等式e1xx+成立，6 分 则22ln12ln2ln2ln

21、1ee ee(2ln)exxxxxxxxxxxx+=+，7 分 根据法二的证明，（评分标准参照法二）10 分 存在实数0 x使得00ln210 xx+=成立，则上式等号能够取得，22lnexxxx+的最大值为1e，11 分 因此，实数a的取值范围是1ea 12 分 2023 年深圳市普通高中高二年级调研考试参考答案及评分标准 第9页 共10页 22解：（1）考虑右焦点到一条渐近线的距离，由题可知C的一条渐近线方程为0bxay=，右焦点为(,0)c，右焦点到渐近线的距离220bcadab=+，1 分 222cab=+，db=，则依题意1b=，2 分 由离心率2cea=，有222aba+=，解得1

22、a=，3 分 双曲线C的方程为221xy=4 分（2）设直线l的方程：3xty=+，11(,)P x y，22(,)Q x y，由2231xtyxy=+=，得22(1)680tyty+=，5 分 要使直线l与双曲线C的右支交于两点，需()22212210632(1)0801ttty yt =，解得11t ，6 分 A点坐标为(1,0)，12121221212121211(4)(4)4()16APAQyyy yy ykkxxtytyt y yt yy=+，将12261tyyt+=，12281y yt=代入，得22222228811868241616241611APAQtkktttttttt=+7

23、 分 设1:1AP xm y=，2:1AQ xm y=，且11m，21m，121112mm=，即122m m=，故122mm=，8 分 2121mm=，112m，由12211xm yxy=，得2211(1)20mym y=，12121Pmym=，同理可得22221Qmym=，9 分 2023 年深圳市普通高中高二年级调研考试参考答案及评分标准 第10页 共10页 由12211xm yxy=+=，得2211(1)20mym y+=，12121Mmym=+，同理可得22221Nmym=+，10 分 122212122212221sin112122sin211APQQPAMNMNmmAP AQPAQSyAPAQymmmmSAMANyyAM ANMANmm=+，22222222121212122222222212121212(1)(1)15()(1)(1)15()mmm mmmmmmmm mmmmm+=+，11 分 令2212nmm=+，由122mm=，112m，得)212144,5nmm=+，510155APQAMNSnSnn+=，)4,5n，令10()15f nn=，)4,5n，()f n在区间)4,5上为增函数，所以()f n的取值范围为9,)+，121APQAMNAPQAMNAMNSSSSSSS=，12SS的取值范围为8,)+12 分