江苏省淮宿七校2022-2023学年高一下学期第三次联考数学试卷含答案.pdf

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1、第 1 页/共 4 页 20222023 学年第二学期高一年级七校联考 数学试卷 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上）1.若复数 z 满足 i z34i，则|z|等于()A1 B7 C5D25 2.在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，若 3asin Bbcos A，且 b2 3，c2，则 a 的值为()A2 7 B2 C2 32 D1 3.若圆锥的母线长为 2 3，侧面展开图的面积为 6，则该圆锥的体积是()A3 B.3 C3 3 D9 4.已知1cos67，0，则

2、sin的值为（）A3 314B5 314C1114D13145.三星堆古遗址作为“长江文明之源”被誉为人类最伟大的考古发现之一3 号坑发现的神树纹玉琮，为今人研究古蜀社会中神树的意义提供了重要依据玉琮是古人用于祭祀的礼器，有学者认为其外方内圆的构造，契合了古代“天圆地方”观念，是天地合一的体现如图，假定某玉琮形状对称，由一个空心圆柱及正方体构成，且圆柱的外侧面内切于正方体的侧面，圆柱的高为 12cm，圆柱底面外圆周和正方体的各个顶点均在球 O 上，则球 O 的表面积为（）A 72cm2 B 162cm2 C 216cm2D 288cm26.P是ABC所在平面上一点，满足20PBPCPBPCPA

3、，则ABC的形状是（）A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形7.在ABC中，若32AB BCBC CACA ABuu u r uuu ruuu r uuruur uu u r，则cos A（）A.23B.22C.63D.368.在ABC中，22ABAC，,P Q为线段BC上的点，且BPPQQC.若59AP AQ，则BAC（）A.150B.120C.60D.30二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得 5 分，少选得 2 分，错选或不选得 0 分请把答案填涂在江苏省淮宿七校2022-2023学

4、年高一下学期第三次联考数学试卷第 2 页/共 4 页 答题卡相应位置上）9.在复数集内，下列命题是真命题的是（）A.若复数zR，则z RB.若复数z满足2z R，则zRC.若复数1z，2z满足1 2z z R，则12zzD.若复数z满足1zR，则zR10.设点 M 是ABC 所在平面内一点，则下列说法正确的是()A若BM13BC，则AM13AC23AB B若AM2AC3AB，则点 M，B，C 三点共线 C若点 M 是ABC 的重心，则MAMBMC0 D若AMxAByAC且 xy13，则MBC 的面积是ABC 面积的2311.在ABC中，下列结论中，正确的是（）A.若cos2cos2AB，则AB

5、C是等腰三角形或直角三角形B.若sinsinAB，则AB C.若222ABACBC，则ABC为钝角三角形 D.若60A，4AC，且结合BC的长解三角形，有两解，则BC长的取值范围是(2 3,)12.在长方体1111ABCDABC D中，3AB，4BC，15AA，动点P在平面11ADD A内且满足10101APADAA，则（）A无论，取何值，三棱锥1PBCC的体积为定值 30B当0时，1BPPC的最小值为89C当1时，直线PD与直线1CC恒为异面直线 D当1时，/BP平面11CB D三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分请把答案填写在答题卡相应位置上）13.已知向量2,3

6、a，4,7b ，则向量b在向量a的方向上的投影向量的坐标为_.14.化简：sin22cos45 sin23cos22sin45 sin23_.15.“牟合方盖”是我四古代数学家刘徽在研究球的体积过程中构造的一个和谐优美的几何模型，在正方体内作两个互相垂直的内切圆柱，其相交的部分就是牟合方盖如图，已知棱长第 3 页/共 4 页 为 2 的正方体按上述方法截得的除去牟合方盖后剩余的体积是163，则牟合方盖与截得它的正方体的外接球的体积之比是_（第 15 题图）16.已知ABC的外心为O，满足34AO BCBO ACCO BA，则c o s B的最小值是_.四、解答题（本大题共 6 小题，共计 70

7、 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.(本小题满分 10 分)已知i是虚数单位，复数z满足34i5 10iz .（1）求复数z的共轭复数；（2）若aR，且3i3izaz，求实数a的值.18.(本小题满分 12 分)设向量a，b满足1ab，且587ab.（1）求a与b的夹角；（2）求34ab的大小.19.(本小题满分 12 分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，E 为棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点 F（1）求证：/PA平面BDE；（2）求证：F 为PD的中点；第 4 页/共 4 页 20.(本小题满分 12 分)如图，某城市有一条

8、公路从正西方AO通过市中心O后转向东偏北角方向的OB，位于该市的某大学M与市中心O的距离133OMkm，且AOM.现要修筑一条铁路L，L在OA上设一站A，在OB上设一站B，铁路在AB部分为直线段，且经过大学M，其中2tan，13133cos，15OAkm（1）求大学M与站A的距离AM；（2）求铁路AB段的长AB.21.(本小题满分 12 分)已知ABC的内角,A B C所对的边分别为,a b c，且2()2sinsinsinsinabCBcAB（1）求cos A；（2）若ABC的面积为15,AD为内角A的角平分线，交BC边于点D，求线段AD长的最大值 22.(本小题满分 12 分)如图 1，六

9、边形ABCDEF是由等腰梯形ADEF和直角梯形ABCD拼接而成，且90BADADC，2,4ABAFEFEDADCD，沿AD进行翻折，得到的图形如图 2所示，且90AEC.（1）求二面角CAED的余弦值；（2）求四棱锥CADEF外接球的体积.第 1 页/共 9 页 20222023 学年第二学期高一年级七校联考 数学试卷 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上）1.若复数 z 满足 i z34i，则|z|等于()A1 B7 C5 D25 答案 C 2.在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，

10、B，C 的对边，若 3asin Bbcos A，且 b2 3，c2，则 a 的值为()A2 7 B2 C2 32 D1 答案 B 3.若圆锥的母线长为 2 3，侧面展开图的面积为 6，则该圆锥的体积是()A3 B.3C3 3 D9 答案 A 4.已知1cos67，0，则sin的值为（）A3 314B5 314C1114D1314答案 C 5.三星堆古遗址作为“长江文明之源”被誉为人类最伟大的考古发现之一 3 号坑发现的神树纹玉琮，为今人研究古蜀社会中神树的意义提供了重要依据玉琮是古人用于祭祀的礼器，有学者认为其外方内圆的构造，契合了古代“天圆地方”观念，是天地合一的体现如图，假定某玉琮形状对称

11、，由一个空心圆柱及正方体构成，且圆柱的外侧面内切于正方体的侧面，圆柱的高为 12cm，圆柱底面外圆周和正方体的各个顶点均在球 O 上，则球O 的表面积为 A72cm2 B162cm2 C216cm2 D288cm2答案 C 6.P是ABC所在平面上一点，满足20PBPCPBPCPA，则ABC的形状第 2 页/共 9 页 是（）A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形答案 B 7.在ABC中，若32AB BCBC CACA ABuu u r uuu ruuu r uuruur uu u r，则cos A（）A.23B.22C.63D.36答案 D 8.在ABC中，22ABA

12、C，,P Q为线段BC上的点，且BPPQQC.若59AP AQ，则BAC（）A.150B.120C.60D.30答案 B 二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得 5 分，少选得 2 分，错选或不选得 0 分请把答案填涂在答题卡相应位置上）9.在复数集内，下列命题是真命题的是（）A.若复数zR，则z RB.若复数z满足2z R，则zRC.若复数1z，2z满足1 2z z R，则12zzD.若复数z满足1zR，则zR答案：AD 10.设点 M 是ABC 所在平面内一点，则下列说法正确的是()A若BM13BC，则AM1

13、3AC23AB B若AM2AC3AB，则点 M，B，C 三点共线 C若点 M 是ABC 的重心，则MAMBMC0 D若AMxAByAC且 xy13，则MBC 的面积是ABC 面积的23答案 ACD 11.在ABC中，下列结论中，正确的是（）第 3 页/共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 A.若cos2cos2AB，则ABC是等腰三角形或直角三角形B.若sinsinAB，则AB C.若222ABACBC，则ABC为钝角三角形 D.若60A，4AC，且结合BC的长解三角形，有两解，则BC长的取值范围是(2 3,)答案 BC 12.在长方体1111ABCDABC D中，3AB，4BC，15AA，

14、动点P在平面11ADD A内且满足10101APADAA，则（）A无论，取何值，三棱锥1PBCC的体积为定值 30B当0时，1BPPC的最小值为89C当1时，直线PD与直线1CC恒为异面直线 D当1时，/BP平面11CB D答案 BD 三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分请把答案填写在答题卡相应位置上）13.已知向量2,3a，4,7b ，则向量b在向量a的方向上的投影向量的坐标为_.答案 2 3，14.化简：sin22cos45 sin23cos22sin45 sin23_.答案 1 15.“牟合方盖”是我四古代数学家刘徽在研究球的体积过程中构造的一个和谐优美的几何模

15、型，在正方体内作两个互相垂直的内切圆柱，其相交的部分就是牟合方盖如图，已知棱长为 2 的正方体按上述方法截得的除去牟合方盖后剩余的体积是163，则牟合方盖与截得它的正方体的外接球的体积之比是_ 第 4 页/共 9 页 答案2 3916.已知ABC的外心为O，满足34AO BCBO ACCO BA，则c o s B的最小值是_.答案23四、解答题（本大题共 6 小题，共计 70 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.(本小题满分 10 分)已知i是虚数单位，复数z满足34i5 10iz .（1）求复数z的共轭复数；（2）若aR，且3i3izaz，求实数a的值.

16、17.解：（1）34i5 10iz ，5 10i34i5 10i2550i1 2i34i34i34i25z ，复数z的共轭复数12iz ，5 分（2）21 ii1 iii1 i2zz，331ii1zz，又3i3izaz，即2i13aa ，2 2a.10 分 第 5 页/共 9 页 18.(本小题满分 12 分)设向量a，b满足1ab，且587ab.（1）求a与b的夹角；（2）求34ab的大小.18.解：（1）1ab，587ab；222582564802564 8049ababa ba b12a b，3 分 则1cos,2a ba ba b,0,a ba与b的夹角为3；6 分（2）2221349

17、16249 1624372ababa b10 分 3437ab12 分 19.(本小题满分 12 分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，E 为棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点 F（1）求证：/PA平面BDE；（2）求证：F 为PD的中点；第 6 页/共 9 页（1）证明：如图所示：连接 AC 交 BD于点 G，连接 GE，因为 ABCD为平行四边形，所以 G为 AC的中点，又 E为 PC的中点，所以/GEPA，3 分 又PA平面 BDE，GE 平面 BDE，所以/PA平面BDE；6 分（2）证明：因为底面ABCD为平行四边形，所以/ABCD，又 AB平面 ABEF，C

18、D 平面 ABEF，所以/CD平面 ABEF，9 分 又平面ABEF 平面PDCEF，所以/CDEF，又因为 E 为 PC的中点，所以 F为PD的中点.12 分 20.(本小题满分 12 分)如图，某城市有一条公路从正西方AO通过市中心O后转向东偏北角方向的OB，位于该市的某大学M与市中心O的距离133OMkm，且AOM.现要修筑一条铁路L，L在OA上设一站A，在OB上设一站B，铁路在AB部分为直线段，且经过大学M，其中2tan，13133cos，15OAkm（1）求大学M与站A的距离AM；（2）求铁路AB段的长AB.第 7 页/共 9 页 解：（1）在AOM中，15OA，AOM，且cos13

19、133，133OM，由余弦定理，得.2222OMOAOMOAAM 7213133133152)133(15cos22所以26AM，所以大学M与站A的距离AM为26km.（4 分）（2）因为13133cos，且为锐角，所以132sin在AOM中，由正弦定理，得,sinsinMAOOMAM即MAOsin13313226，解得22sinMAO （6 分）由题意知MAO为锐角，所以,4MAO所以4ABO因为,2tan所以52sin，,51cos所以1014sinsinABO （8 分）又,AOB所以52sin)sin(sinAOB在AOB中，由正弦定理，得AOBABsin,sinABOOA即10115

20、52AB，解得,230AB （11 分）所以铁路AB段的长AB为230km.（12 分）第 8 页/共 9 页 21.(本小题满分 12 分)已知ABC的内角,A B C所对的边分别为,a b c，且2()2sinsinsinsinabCBcAB（1）求cos A；（2）若ABC的面积为15,AD为内角A的角平分线，交BC边于点D，求线段AD长的最大值(1)由正弦定理，得2()2cabcbab，即22212cbabc，故2221cos21224Abccbbcbca.4 分(2)由（1）知sin154A，因为ABC的面积为15，所以1sin152bcA，解得8bc，6 分 又因为241,cosA

21、BADCADA，所以221 cos6sinsin,sin823sin4ABADCADBADCAD8 分 于是11sinsin1522ABCSb ADCADc ADBAD,那么6611252414ADbc 10 分 所以44 105102ADbcbc（当且仅当2 2bc时等号成立）故AD的最大值为512 分 22.(本小题满分 12 分)如图 1，六边形ABCDEF是由等腰梯形ADEF和直角梯形ABCD拼接而成，且90BADADC，2,4ABAFEFEDADCD，沿AD进行翻折，得到的图形如图 2所示，且90AEC.第 9 页/共 9 页（1）求二面角CAED的余弦值；（2）求四棱锥CADEF外

22、接球的体积.（1）在等腰梯形 ADEF 中，作EMAD于 M，则1,3,32ADEFDMAMEM，392 3AE连接 AC，则4 2AC，222902 5AECECEDDCECCDED，；CDADADEDDCD，平面 ADEF.3 分 又AEADEF面CDAE又CEAE,CECDCAECDEAEDE，面又AECE，CED就是二面角CAED的平面角，在2552 5DERt CDECDECE中，cos,所以二面角CAED的余弦值为55.6 分（2）取AD的中点1O,连接11,O E O F,易证四边形1O DEF、1O AFE均为平行四边形 所以11112O DO AO EO F,所以1O为等腰梯形ADEF的外心，9 分 取AC的中点O,连接1,OA OD OE OO,1OOCD,CD 平面 ADEF.1OO平面ADEF.又易得2 2OCOAODOEOF，所以O为四棱锥CADEF外接球的球心，所以3464 2(2 2)33V 12 分