湖北省武汉市5G联合体2022-2023学年高一下学期期末考试数学试卷含答案.pdf

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1、高一数学试卷 第 1 页 共 6 页2022-2023学年度下学期武汉市重点中学5G联合体期末考试高一数学试卷高一数学试卷考试时间：2023 年 6 月 28 日 试卷满分：150 分祝考试顺利注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。一、选择

2、题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数ii13=（）A.i 21B.i1C.i 21D.i12.设m为直线，为两个不同的平面，则下列结论中错误的是（）A/m，/，且/mmB/m，/mC/，且/mmD/，且m与相交 m与相交3.在正四面体 ABCD 中，点 E，F，G 分别为棱 BC，CD，AC 的中点，则异面直线 AE，FG 所成角的余弦值为（）A.33B33C63D63高一数学试卷 第 2 页 共 6 页4.

3、某次投篮比赛中，甲、乙两校都派出了 10 名运动员参加比赛，甲校运动员的得分分别为 8，6，7，7，8，10，9，8，7，8，这些成绩可用下图中的（1）所示，乙校运动员的得分可用下图中的（2）所示则以下结论中，正确的是（）A甲校运动员得分的中位数为 7.5B乙校运动员得分的 75%分位数为 10C甲校运动员得分的平均数大于 8D甲校运动员得分的标准差大于乙校运动员得分的标准差5.在ABC中，,a b c分别是内角,A B C所对的边，若2,6,30abA，则边c()A2B2 2或6C2或2 2D2 26.如图所示，三棱柱111ABCABC-中，若 E、F 分别为,AB AC靠近点A的三等分点，

4、平面11EBC F将三棱柱分成左右两部分体积为1V和2V，那么12:V V()A 7:5B14:13C5:7D13:147.如图，圆锥PO的底面直径和高均是 4，过PO的中点1O作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的表面积为（）#QQABTYCQggCIABBAAQBCUwGSCEMQkhCCCKgGAEAYoEABiBFABAA=#QQABTYCQggCIABBAAQBCUwGSCEMQkhCCCKgGAEAYoEABiBFABAA=#高一数学试卷 第 3 页 共 6 页A.)547(B.)548(C.)549(D.)546(8.在ABC中，6A，2B，1BC，D为A

5、C中点，若将BCD沿着直线BD翻折至BC D，使得四面体CABD外接球半径为1，则直线BC与平面ABD所成角正弦值是（）A63B23C53D33二、选择题:本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.二、选择题:本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.9.已知互不相同的 9 个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，则剩下的 7 个数据与原 9 个数据相比，下列数字特征中不变

6、的是（）A中位数B平均数C第 41 百分位数D方差10.已知向量1,3a，cos,sin0b，则下列说法正确的是（）A若ab，则tan3B若ab，的值为65C a b的取值范围为3,2D存在，使得abab11.在ABC中，内角,A B C所对的边分别a，b，c，22sinabcA，下列说法正确的是（）A若1a，则14ABCSBABC外接圆的半径为bcaCcbbc取得最小值时，3AD4A时，cbbc值为2 2高一数学试卷 第 4 页 共 6 页12.如图，正四面体 ABCD 的棱长为 1，E，F 分别是棱 BD，CD 上的点，且BEDFt，(0,1)t，则（）A不存在 t，使得BC平面 AEFB

7、直线 AC 与直线 EF 异面C不存在 t，使得平面AEF 平面 BCDD三棱锥ADEF体积的最大值为224三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.双空题第一空 2 分，第二空 3 分.三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.双空题第一空 2 分，第二空 3 分.13.已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于3km，灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 40，灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 20，则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为_km.14.已知)32,2(a，e为单位向量，向量ea,的夹角为3，则向量a在向量e上的投影向量为_.15.如图

8、，在 中，3BAC，2ADDB，P为CD上一点，且满足R12APmACAB m ，若 AC=2，4AB，则AP CD 的值为.16.已知正方体1111ABCDABC D的棱长为3，动点 P 在1ABC内，满足114D P，则点 P 的轨迹长度为_高一数学试卷 第 5 页 共 6 页四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本题 10 分)(1)设Cz，在复平面内z对应的点为Z，那么求满足条件:32 z的点Z的集合的图形面积；(2)已知复数)(,)4(21Rmimmz),(

9、,)2(2Rxixxz且的范围求,021 zz.18.(本题12 分)在ABC中，角,A B C所对的边分别为,sinsinsina b cABCB.(1)求角A；(2)若ABC外接圆的半径为2 63，求ABC面积的最大值.19.(本题 12 分)如图，在三棱柱111CBAABC 中，面11AABB为正方形，面CCAA11为菱形601CAA,侧面1111AABBCCAA面.(1)求证：111BCAAC面；(2)求二面角的余弦值ABBC1.20.(本题 12 分)为了深入学习领会党的二十大精神，某高级中学高一全体学生参加了二十大知识竞赛.试卷满分为 100 分，所有学生成绩均在区间40,100分

10、内已知该校高一选物理方向、历史方向的学生人数分别为 180、120.现用分层抽样的方法抽取了30 名学生的答题成绩，绘制了如下样本频率分布直方图#QQABTYCQggCIABBAAQBCUwGSCEMQkhCCCKgGAEAYoEABiBFABAA=#QQABTYCQggCIABBAAQBCUwGSCEMQkhCCCKgGAEAYoEABiBFABAA=#高一数学试卷 第 6 页 共 6 页(1)根据样本频率分布直方图,计算图中a的值,并估计该校全体学生成绩的平均数和第71 百分位数；(2)已知所抽取选物理方向和历史方向学生答题成绩的平均数、方差的数据如下表，且根据频率分布直方图估计出总成绩的

11、方差为 140，求高一年级选物理方向学生成绩的平均数1x和高一年级选历史方向学生成绩的方差22s.选科方向样本平均数样本方差物理方向1x75历史方向6022s21.(本题 12 分)已知ABC 的面积为233，且3 ACAB且ACAB(1)求角 A 的大小；(2)设 M 为 BC 的中点，且 AM27，BAC 的平分线交 BC 于 N，求线段 MN 的长度22.(本题 12 分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，/AD BC，90ADC，22ABADBC，PADBAD.(1)M为PC上一点，且 PMMC，当/PA平面DMB时，求实数的值；(2)设平面PBCPAD与平面的交线为

12、l，证明ABCDl面/;(3)当平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的大小为 45时，求PC与平面ABCD所成角的正弦值.答案第 3 页，共 6 页2022-2023 学年度下学期武汉市重点中学 5G 联合体期末考试高一数学试卷参考答案及评分标准选择题：题号123456789101112答案CBABCDBAACABABD BC填空题：133142e1531628.6A，2B，1BC，2AC，又D为AC中点，1ADCDBD，则1BCC DBD，即BC D为等边三角形，设BC D的外接圆圆心为G，ABD的外接圆圆心为O，取BD中点H，连接,C HOHOG OB OCOD，6A，1BD，112sin

13、BDOBA，即ABD外接圆半径为1，又四面体CABD 的外接球半径为1，O为四面体CABD 外接球的球心，由球的性质可知：OG平面BC D，又C H平面BC D，OGC H，CG=23CH=33，OC=1，OG=63；设点C到平面ABD的距离为d，由COBDOC BDVV得：13SOBDd=13SCBDOG，又 OBD 与 CBD 均为边长为1的等边三角形，d=OG=63，直线BC与平面ABD所成角的正弦值为dBC=63.12.因为直线AC与平面BCD交于点C，EF平面BCD，且不经过点C，所以直线AC与直线EF异面，故 B 正确.当12t时，E，F分别是棱BD，CD的中点，此时BCEF，因为

14、EF平面AEF，BC平面AEF，所以BC平面AEF，故 A 错误设O为BCD的中心，连接AO，因为经过点A有且只有一条直线AO垂直于答案第 2 页，共 6 页平面BCD，所以经过点A且垂直于平面BCD的平面一定经过直线AO，即当且仅当E，O，F三点共线时，平面AEF平面BCD，因为1D Et，D Ft，所以11D BD Et，1D CD Ft，设BC的中点为M，连接DM，则211113331D OD MD BD CD ED Ftt ，因为E，O，F三点共线，所以111131tt，整理得23310tt，因为30 ，所以此方程无解，所以不存在(0,1)t，使得平面AEF平面BCD，故 C 正确.易

15、知22222161333AOADD OADD M，在D EF中，1D Et，D Ft，所以D EF的面积213(1)3(1)sin234216ttStt，当且仅当12t时等号成立，所以三棱锥AD EF体积的最大值为1362316348故 D 错误16.在正方体1111ABCDA B C D中，如图，1D D平面ABCD，AC平面ABCD，则1D DAC，而BDAC，11,D DBDD D DBD平面1BD D，于是AC平面1BD D，又1BD平面1BD D，则1ACBD，同理11ABBD，而11,ACABA ACAB平面1AB C，因此1BD平面1AB C，令1BD交平面1AB C于点E，由1

16、1BAB CBABCVV，得13SAB1CBE=13SABCBB1，即2331(2)42ABBEAB，解得133BEAB，而1333BDAB，于是123D E，答案第 3 页，共 6 页因为点P在1AB CV内，满足114D P，则22112EPD PD E，因此点P的轨迹是以点E为圆心，2为半径的圆在 AB1C 内的圆弧，而 AB1C 为正三角形，则三棱锥1BAB C必为正三棱锥，E为正 AB1C 的中心，于是正 AB1C 的内切圆半径1313163223232 EHAB，则3cos2H EF，即6H EF，3F EG，所以圆在 AB1C 内的圆弧为圆周长的12，即点P的轨迹长度为12222

17、解答题：17（10 分）解：（1）由复数的几何意义知：所表示的图形为圆环，面积为523225 分（2）由题知：0)42(2imxmx，所以042,2xxxm，得到422xx，RxRm故).,5.51范围为所以有最小值为时，当x10 分18（12 分）（1）由sinsinsinABCB得，sinsinsinABABB，所以sinsinsin2cossinBABABAB，又0B，所以sin0B，所以1cos2A，因为0A，所以3A；4 分（2）由 ABC 外接圆的半径为263，则得46sin223aA，由余弦定理得，222cos2bcaAbc，即228bcbc，所以2282bcbcbc，解得8,b

18、c所以SABC=12bcsinA 2 3，故 ABC 面积的最大值为23.12 分19（12 分）解：（1）由菱形CAACCCAA11111111111111111111111111111111,BCAACACABAACBACCAABAAABAAABBAAAABBCCAAAABBCCAA面面中又正方形面面面面答案第 2 页，共 6 页6 分CKKBBHMHAABBCHHAACHC连于作过面则于作过,.,)2(1111则为故，所以面故CKHCKBBCHKBBBBHKBBCH1111,二面角的平面角ABBC1，在即为所求。中设77227cos27,2360,11aaCKHaCKaABHKaCHCA

19、AaABAAaACCHKRt12 分20（12 分）解：（1）由矩形面积之和为 1 可求出040.0a6910006.0951001.08510026.0751004.06510012.05510006.045x平均数第 71 百分位数75%71026.0)70(1004.010012.010006.0:000 xxx6 分（2）由题知抽取 30 名学生：物理方向 18 人，历史方向 12 人5.10275)6960(3012)69(753018140603012301869221222211sxsxx12 分20（12 分）(1)ABAC3|AB|AC|cosAbccosA3，又SABC12

20、bcsinA233，即bcsinA33，所以bcsinAbccosAsinAcosAtanA3，又A(0，)，所以A234 分(2)如图所示，在ABC中，AM为中线，所以 2AMABAC，答案第 3 页，共 6 页所以 4|AM|2(ABAC)2|AB|22ABAC|AC|2c2b26，所以b2c213由(1)知：bcsinA33bc6，又cb，所以c3，b2，由余弦定理可得：a2b2c22bccosA13619a19，SANC12|AN|bsinCAN12|AN|sinCAN，SBAN12|AN|csinBAN|AN|sinBAN，又CANBAN，所以SANCSBAN|CN|BN|32，又|

21、CN|BN|a19，所以|CN|5192，所以|MN|CM|CN|12a|CN|1019519221912 分22（12 分）（1）如图 连接AC交BD于点N，连接M N，/PA平面BD M，PA平面PAC，平面PAC平面BD MM N，/PAM N，在梯形ABCD中，/BCAD，AD NCBN，12CNCBANAD，/PAM N，2PMANM CC N，24 分./,/,/:设)2(ABCDlABCDBCABCDllBClPADPBCPBCBCPADBCADBClPBCPAD面面面又面，面面又面面面7 分（3）取AD的中点O，连接OP，OB，O为AD的中点，且/BCAD，2ADBC，/ODB

22、C且ODBC，四边形OBCD为平行四边形，/CDOB，90AD C，90BOD，ADOB，又ABAD，ABD为等边三角形，又 PAD BAD，PAD 为等边三角形，ADOPOPOBO，OP平面POB，OB平面POB，AD平面POB，BP平面POB，ADBP，过点P作/lAD，由/ADBC，则/lBC，l平面PAD，l平面PBC，即平面PAD平面PBCl，lOP，lBP，BPO为平面PAD与平面PBC所成答案第 2 页，共 6 页的锐二面角，BPO=45.又由3OPOB，OBP=45，BOP=90，POOB，ADPO，ADOBO，AD平面ABCD，OB平面ABCD，PO平面ABCD，PCO 为PC与平面ABCD所成的角，PC=PO2+CO2=7，sin PCH=POPC=37=217，因此，PC与平面ABCD所成角的正弦值为217.12分