精编版平行四边形和特殊四边形提高练习常考题和培优题.pdf

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1、 平行四边形和特殊四边形提高练习常考题和培优题 最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 平行四边形和特殊四边形提高练习常考题和培优题 一选择题（共 5 小题）1如图，把大小相同的两个矩形拼成如下形状，则FBD 是（）A等边三角形 B等腰直角三角形 C一般三角形 D等腰三角形 2如图，正方形 ABCD 和正方形 CEFG 中，点 D 在 CG 上，BC=，CE=3，H 是 AF 的中点，那么 CH 的长是（）A3.5 B C D2 3如图，在矩形 ABCD 中，AB=4，BC=8，对角线 AC、BD 相交于点 O，过点 O 作 OE 垂直 AC 交 AD 于点

2、 E，则 AE 的长是（）A3 B5 C2.4 D2.5 最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 4如图，在ABC 中，CFAB 于 F，BEAC 于 E，M 为 BC 的中点，EF=7，BC=10，则EFM 的周长是（）A17 B21 C24 D27 5如图，在矩形ABCD 中，AB=6，AD=8，P 是 AD 上不与 A 和 D 重合的一个动点，过点 P 分别作 AC 和 BD 的垂线，垂足为 E、F，则 PE+PF的值为（）A10 B4.8 C6 D5 二填空题（共 4 小题）6如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AE 平

3、分BAD 交BC 于点 E，若CAE=15，则BOE 的度数等于 7如图，将平行四边形 ABCD 的边 DC 延长到 E，使 CE=CD，连接 AE 交 BC于 F，AFC=nD，当 n=时，四边形 ABEC 是矩形 最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 8如图，在正五边形 ABCDE 中，连接 AC、AD、CE，CE 交 AD 于点 F，连接 BF，则线段 AC、BF、CD 之间的关系式是 9如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，四边形 OABC 是矩形，A（10，0），C（0，3），点 D 是 OA 的中点，点 P 在 BC 边上运动，当ODP 是腰长

4、为 5 的等腰三角形时，点 P 的坐标是 三解答题（共 31 小题）10如图，正方形 ABCD 中，AE=AB，直线 DE 交 BC 于点 F，求BEF 的度数 最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 11如图，梯形 ABCD 中，ADBC，AB=CD，对角线 AC、BD 交于点 O，ACBD，E、F、G、H 分别为 AB、BC、CD、DA 的中点（1）求证：四边形 EFGH 为正方形；（2）若 AD=1，BC=3，求正方形 EFGH 的边长 12如图，点 E、F分别是正方形 ABCD 的边 CD 和 AD 的中点，BE 和 CF 交于点 P求证：AP=AB

5、 13如图，点 P 为正方形 ABCD 对角线 BD 上一点，PEBC 于 E，PFDC 于F（1）求证：PA=EF；（2）若正方形 ABCD 的边长为 a，求四边形 PFCE 的周长 14如图 1，在正方形 ABCD 中，点 E 为 BC 上一点，连接 DE，把DEC 沿DE 折叠得到DEF，延长 EF交 AB 于 G，连接 DG 最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除（1）求EDG 的度数（2）如图 2，E 为 BC 的中点，连接 BF 求证：BFDE；若正方形边长为 6，求线段 AG 的长 15如图，在正方形 ABCD 中，F是对角线 AC 上的一点，

6、点 E 在 BC 的延长线上，且 BF=EF（1）求证：BF=DF；（2）求证：DFE=90；（3）如果把正方形 ABCD 改为菱形，其他条件不变（如图），当ABC=50 时，DFE=度 16已知正方形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于 O 如图 1，若 E 是 AC 上的点，过 A 作 AGBE 于 G，AG、BD 交于 F，求证：OE=OF 最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 如图 2，若点 E 在 AC 的延长线上，AGEB 交 EB 的延长线于 G，AG 延长DB 延长线于点 F，其它条件不变，OE=OF 还成立吗？17如图，点 P 是菱

7、形 ABCD 中对角线 AC 上的一点，且 PE=PB（1）求证：PE=PD；（2）求证：PDC=PEB；（3）若BAD=80，连接 DE，试求PDE 的度数，并说明理由 18如图，正方形 ABCD 中，AB=1，点 P 是 BC 边上的任意一点（异于端点B、C），连接 AP，过 B、D 两点作 BEAP 于点 E，DFAP 于点 F（1）求证：EF=DFBE；（2）若ADF 的周长为，求 EF的长 19如图，正方形 ABCD 的对角线 AC、BD 的交点为 O，以 O 为端点引两条互相垂直的射线 OM、ON，分别交边 AB、BC 于点 E、F（1）求证：0E=OF；最新好资料推荐-如有侵权请

8、联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除（2）若正方形的边长为 4，求 EF的最小值 20如图，在正方形 ABCD 中，点 E 是边 AD 上任意一点，BE 的垂直平分线FG 交对角 AC 于点 F求证：（1）BF=DF；（2）BFFE 21已知：如图所示，四边形 ABCD 中，ABC=ADC=90，M 是 AC 上任一点，O 是 BD 的中点，连接 MO，并延长 MO 到 N，使 NO=MO，连接 BN 与ND（1）判断四边形 BNDM 的形状，并证明；（2）若 M 是 AC 的中点，则四边形 BNDM 的形状又如何？说明理由 最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有

9、侵权请联系网站删除 22如图，在ABC 中，O 是边 AC 上的一动点，过点 O 作直线 MNBC，设MN 交BCA 的平分线于点 E，交BCA 的外角平分线于点 F（1）求证：OE=OF；（2）当点 O 运动到何处时，四边形 AECF 是矩形？23（1）如图矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，过点 D 作 DPOC，且 DP=OC，连接 CP，判断四边形 CODP 的形状并说明理由（2）如果题目中的矩形变为菱形，结论应变为什么？说明理由（3）如果题目中的矩形变为正方形，结论又应变为什么？说明理由 24如图 1，已知 ABCD，AB=CD，A=D（1）求证：四边形 ABCD 为矩

10、形；（2）E 是 AB 边的中点，F为 AD 边上一点，DFC=2BCE 如图 2，若 F为 AD 中点，DF=1.6，求 CF 的长度：如图 2，若 CE=4，CF=5，则 AF+BC=，AF=最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 25如图，直线 a、b 相交于点 A，C、E 分别是直线 b、a上两点且 BCa，DEb，点 M、N 是 EC、DB 的中点求证：MNBD 26如图所示，在梯形 ABCD 中，ADBC，B=90，AD=24cm，BC=26cm，动点 P 从点 A 出发沿 AD 方向向点 D 以 1cm/s 的速度运动，动点 Q从点 C 开始沿

11、着 CB 方向向点 B 以 3cm/s 的速度运动点 P、Q 分别从点 A 和点 C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动（1）经过多长时间，四边形 PQCD 是平行四边形？（2）经过多长时间，四边形 PQBA 是矩形？（3）经过多长时间，当 PQ 不平行于 CD 时，有 PQ=CD 最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 27如图，E、F是正方形 ABCD 的边 AD 上的两个动点，满足 AE=DF连接CF 交 BD 于 G，连接 BE 交 AG 于 H已知正方形 ABCD 的边长为 4cm，解决下列问题：（1）求证：BEAG；（2）求线段

12、DH 的长度的最小值 28如图，点 M 是矩形 ABCD 的边 AD 的中点，点 P 是 BC 边上一动点，PEMC，PFBM，垂足为 E、F（1）当矩形 ABCD 的长与宽满足什么条件时，四边形 PEMF 为矩形？猜想并证明你的结论（2）在（1）中，当点 P 运动到什么位置时，矩形 PEMF 变为正方形，为什么？29某校数学兴趣小组开展了一次课外活动，过程如下：如图，正方形ABCD 中，AB=4，将三角板放在正方形 ABCD 上，使三角板的直角顶点与 D点重合三角板的一边交 AB 于点 P，另一边交 BC 的延长线于点 Q（1）求证：AP=CQ；最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好

13、资料-如有侵权请联系网站删除（2）如图，小明在图 1 的基础上作PDQ 的平分线 DE 交 BC 于点 E，连接PE，他发现 PE 和 QE 存在一定的数量关系，请猜测他的结论并予以证明；（3）在（2）的条件下，若 AP=1，求 PE 的长 30如图，在菱形 ABCD 中，AB=4cm，ADC=120，点 E、F同时由 A、C两 点出发，分别沿 AB、CB 方向向点 B 匀速移动（到点 B 为止），点 E 的速度 为 1cm/s，点 F的速度为 2cm/s，经过 t 秒DEF 为等边三角形，求 t 的值 31如图，在 RtABC 中，ABC=90，点 D 是 AC 的中点，作ADB 的角平分线

14、 DE 交 AB 于点 E，（1）求证：DEBC；（2）若 AE=3，AD=5，点 P 为 BC 上的一动点，当 BP 为何值时，DEP 为等腰三角形请直接写出所有 BP 的值 最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 32已知：如图，BF、BE 分别是ABC 及其邻补角的角平分线，AEBE，垂足为点 E，AFBF，垂足为点 FEF分别交边 AB、AC 于点 M、N求证：（1）四边形 AFBE 是矩形；（2）BC=2MN 33如图，在边长为 5 的菱形 ABCD 中，对角线 BD=8，点 O 是直线 BD 上的动点，OEAB 于 E，OFAD 于 F（1）对角

15、线 AC 的长是 ，菱形 ABCD 的面积是 ；（2）如图 1，当点 O 在对角线 BD 上运动时，OE+OF 的值是否发生变化？请说明理由；（3）如图 2，当点 O 在对角线 BD 的延长线上时，OE+OF 的值是否发生变化？若不变请说明理由，若变化，请直接写出 OE、OF 之间的数量关系，不用明理由 最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 34如图，已知 RtABDRtFEC，且 B、D、C、E 在同一直线上，连接BF、AE（1）求证：四边形 ABFE 是平行四边形（2）若ABD=60，AB=2cm，DC=4cm，将ABD 沿着 BE 方向以 1cm/s

16、 的速度运动，设ABD 运动的时间为 t，在ABD 运动过程中，试解决以下问题：（1）当四边形 ABEF 是菱形时，求 t 的值；（2）是否存在四边形 ABFE 是矩形的情形？如果存在，求出 t 的值，如果不存在，请说明理由 35已知，矩形 ABCD 中，AB=4cm，BC=8cm，AC 的垂直平分线 EF分别交AD、BC 于点 E、F，垂足为O（1）如图 1，连接 AF、CE求证：四边形 AFCE 为菱形 最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除（2）如图 1，求 AF 的长（3）如图 2，动点 P、Q 分别从 A、C 两点同时出发，沿AFB 和CDE 各边

17、匀速运动一周即点 P 自 AFBA 停止，点 Q 自 CDEC 停止在运动过程中，点 P 的速度为每秒 1cm，设运动时间为 t 秒 问在运动的过程中，以 A、P、C、Q 四点为顶点的四边形有可能是矩形吗？若有可能，请求出运动时间 t 和点 Q 的速度；若不可能，请说明理由 若点 Q 的速度为每秒 0.8cm，当 A、P、C、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，求 t 的值 36如图 1，E，F是正方形 ABCD 的边上两个动点，满足 AE=DF，连接 CF 交BD 于 G，连接 BE 交 AG 于点 H（1）求证：AGBE；（2）如图 2，连 DH，若正方形的边长为 4，则线段 DH 长度

18、的最小值是 37如图，在菱形 ABCD 中，AB=2，DAB=60，点 E 时 AD 边的中点，点M 时 AB 边上的一个动点（不与点 A 重合），延长 ME 交 CD 的延长线于点N，连接 MD，AN（1）求证：四边形 AMDN 是平行四边形（2）填空：当 AM 的值为 时，四边形 AMDN 是矩形；当 AM 的值为 时，四边形 AMDN 是菱形 最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 38如图，已知正方形 OABC 的边长为 4，顶点 A、C 分别在 x、y 轴的正半轴上，M 是 BC 的中点，点 P（0，m）是线段 oc 上的一动点 9 点 P 不与点

19、 O、C重合 0，直线 PM 交 AB 的延长线于点 D（1）求点 D 的坐标；（用含 m 的代数式表示）（2）若APD 是以 AP 边为一腰的等腰三角形，求 m 的值 39如图，在ABC 中，ABC=90，点 D 为 AC 的中点，过点 C 作 CEBD于点 E，过点 A 作 BD 的平行线，交 CE 的延长线于点 F，在 AF 的延长线上截取 FG=BD，连接 BG、DF（1）证明：四边形 BDFG 是菱形；（2）若 AC=10，CF=6，求线段 AG 的长度 最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 40如图，在正方形 ABCD 中，点 E 在边 AD

20、上，点 F在边 BC 的延长线上，连接 EF与边 CD 相交于点 G，连接 BE 与对角线 AC 相交于点 H，AE=CF，BE=EG（1）求证：EFAC；（2）求BEF 大小；（3）若 EB=4，则BAE 的面积为 最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 初二数学平行四边形和特殊四边形提高练习常考题和培优题 参考答案与试题解析 一选择题（共 5 小题）1（2012 春 炎陵县校级期中）如图，把大小相同的两个矩形拼成如下形状，则FBD 是（）A等边三角形 B等腰直角三角形 C一般三角形 D等腰三角形【分析】根据正方形性质得出 FG=BC，G=C=90，GB=

21、CD，根据 SAS 证FGBBCD，推出FBG=BDC，BF=BD，求出DBC+FBG=90，求出FBD 的度数即可【解答】解：大小相同的两个矩形 GFEB、ABCD，FG=BE=AD=BC，GB=EF=AB=CD，G=C=ABG=ABC=90，在FGB 和BCD 中，FGBBCD，FBG=BDC，BF=BD，最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 BDC+DBC=90，DBC+FBG=90，FBD=180 90=90，即FBD 是等腰直角三角形，故选 B【点评】本题考查了等腰直角三角形，全等三角形的性质和判定，正方形性质的应用，关键是证出FGBBCD，主要

22、考查学生运用性质进行推理的能力 2（2015 春 江阴市期中）如图，正方形 ABCD 和正方形 CEFG 中，点 D 在CG 上，BC=，CE=3，H 是 AF 的中点，那么 CH 的长是（）A3.5 B C D2【分析】根据正方形的性质求出 AB=BC=，CE=EF=3，E=90，延长AD 交 EF于 M，连接 AC、CF，求出 AM=4，FM=2，AMF=90，根据正方形性质求出ACF=90，根据直角三角形斜边上的中线性质求出CH=AF，根据勾股定理求出 AF 即可【解答】解：正方形 ABCD 和正方形 CEFG 中，点 D 在 CG 上，BC=，CE=3，AB=BC=，CE=EF=3，E

23、=90，最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 延长 AD 交 EF于 M，连接 AC、CF，则 AM=BC+CE=4，FM=EFAB=2，AMF=90，四边形 ABCD 和四边形 GCEF 是正方形，ACD=GCF=45，ACF=90，H 为 AF 的中点，CH=AF，在 RtAMF 中，由勾股定理得：AF=2，CH=，故选：C 【点评】本题考查了勾股定理，正方形的性质，直角三角形斜边上的中线的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线，并求出 AF 的长和得出 CH=AF，有一定的难度 3（2015 春 泗洪县校级期中）如图，在矩形 ABCD 中，AB=4，B

24、C=8，对角线 AC、BD 相交于点 O，过点 O 作 OE 垂直 AC 交 AD 于点 E，则 AE 的长是（）最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 A3 B5 C2.4 D2.5【分析】根据矩形的性质得出CDE=90，AD=BC=8，AB=DC=4，AO=OC，根据线段垂直平分线性质得出 AE=CE，在 RtCDE 中，由勾股定理得出CE2=CD2+DE2，代入求出即可【解答】解：在矩形 ABCD 中，AB=4，BC=8，CDE=90，AD=BC=8，AB=DC=4，AO=OC，OEAC，AE=CE，在 RtCDE 中，由勾股定理得：CE2=CD2+D

25、E2，即 AE2=42+（8AE）2，解得：AE=5，故选 B【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，线段垂直平分线性质的应用，解此题的关键是得出关于 AE 的方程 4（2015 秋 无锡期中）如图，在ABC 中，CFAB 于 F，BEAC 于 E，M为 BC 的中点，EF=7，BC=10，则EFM 的周长是（）最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 A17 B21 C24 D27【分析】根据 CFAB 于 F，BEAC 于 E，M 为 BC 的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出 FM 和 ME 的长，即可求解【解答】解：CFAB，M 为

26、BC 的中点，MF 是 RtBFC 斜边上的中线，FM=BC=10=5，同理可得，ME=BC=10=5，又EF=7，EFM 的周长=EF+ME+FM=7+5+5=17 故选 A【点评】此题主要考查学生对直角三角形斜边上的中线这个知识点的理解和掌握，解答此题的关键是利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出FM 和 ME 的长 5（2015 春 乌兰察布校级期中）如图，在矩形 ABCD 中，AB=6，AD=8，P是 AD 上不与 A 和 D 重合的一个动点，过点 P 分别作 AC 和 BD 的垂线，垂足为 E、F，则 PE+PF的值为（）最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如

27、有侵权请联系网站删除 A10 B4.8 C6 D5【分析】连接 OP，利用勾股定理列式求出 BD，再根据矩形的对角线相等且互相平分求出 OA、OD，然后根据 SAOD=SAOP+SDOP列方程求解即可【解答】解：如图，连接 OP，AB=6，AD=8，BD=10，四边形 ABCD 是矩形，OA=OD=10=5，SAOD=SAOP+SDOP，68=5PE+5PF，解得 PE+PF=4.8 故选 B 【点评】本题考查了矩形的性质，三角形的面积，熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键 二填空题（共 4 小题）最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 6（201

28、6 春 东平县期中）如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AE 平分BAD 交 BC 于点 E，若CAE=15，则BOE 的度数等于 75 【分析】由矩形 ABCD，得到 OA=OB，根据 AE 平分BAD，得到等边三角形OAB，推出 AB=OB，求出OAB、OBC 的度数，根据平行线的性质和等角对等边得到 OB=BE，根据三角形的内角和定理即可求出答案【解答】解：四边形 ABCD 是矩形，ADBC，AC=BD，OA=OC，OB=OD，BAD=90，OA=OB，DAE=AEB，AE 平分BAD，BAE=DAE=45=AEB，AB=BE，CAE=15，DAC=45 1

29、5=30，BAC=60，BAO 是等边三角形，AB=OB，ABO=60，OBC=90 60=30，AB=OB=BE，最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 BOE=BEO=（180 30）=75 故答案为 75 【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，矩形的性质，等边三角形的性质和判定，平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定等知识点，解此题的关键是求出OBC 的度数和求 OB=BE 7（2014 春 武昌区期中）如图，将平行四边形 ABCD 的边 DC 延长到 E，使CE=CD，连接 AE 交 BC 于 F，AFC=nD，当 n=2 时，四边形 A

30、BEC 是矩形 【分析】首先根据四边形 ABCD 是平行四边形，得到四边形 ABEC 是平行四边形，然后证得 FC=FE，利用对角线互相相等的四边形是矩形判定四边形 ABEC是矩形【解答】解：当AFC=2D 时，四边形 ABEC 是矩形 四边形 ABCD 是平行四边形，BCAD，BCE=D，由题意易得 ABEC，ABEC，四边形 ABEC 是平行四边形 AFC=FEC+BCE，当AFC=2D 时，则有FEC=FCE，最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 FC=FE，四边形 ABEC 是矩形，故答案为：2【点评】此题考查了平行四边形的性质以及矩形的判定此题难

31、度适中，注意掌握数形结合思想的应用，解题的关键是了解矩形的判定定理 8（2015 春 南长区期中）如图，在正五边形 ABCDE 中，连接 AC、AD、CE，CE 交 AD 于点 F，连接 BF，则线段 AC、BF、CD 之间的关系式是 AC2+BF2=4CD2 【分析】首先根据菱形的判定方法，判断出四边形 ABCF 是菱形，再根据菱形的性质，即可判断出 ACBF；然后根据勾股定理，可得 OB2+OC2=BC2，据此推得 AC2+BF2=4CD2即可【解答】解：五边形 ABCDE 是正五边形，ABCE，ADBC，四边形 ABCF 是平行四边形，又AB=BC=CD=DE=EA，四边形 ABCF 是

32、菱形，ACBF，OB2+OC2=BC2，最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 AC=2OC，BF=2OB，AC2+BF2=（2OC）2+（2OB）2=4OC2+4OB2=4BC2，又BC=CD，AC2+BF2=4CD2 故答案为：AC2+BF2=4CD2【点评】（1）此题主要考查了菱形的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法（2）此题还考查了勾股定理的应用：在任何一个直角三角形中

33、，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方，要熟练掌握 9（2015 春 株洲校级期中）如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，四边形OABC 是矩形，A（10，0），C（0，3），点 D 是 OA 的中点，点 P 在 BC边上运动，当ODP 是腰长为 5 的等腰三角形时，点 P 的坐标是（4，3），或（1，3），或（9，3）【分析】先由矩形的性质求出 OD=5，分情况讨论：（1）当 OP=OD=5 时；根据勾股定理求出 PC，即可得出结果；最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除（2）当 PD=OD=5 时；作 PEOA 于 E，根据勾股定理求出 DE，得出

34、 PC，即可得出结果；作 PFOA 于 F，根据勾股定理求出 DF，得出 PC，即可得出结果【解答】解：A（10，0），C（0，3），OA=10，OC=3，四边形 OABC 是矩形，BC=OA=10，AB=OC=3，D 是 OA 的中点，AD=OD=5，分情况讨论：（1）当 OP=OD=5 时，根据勾股定理得：PC=4，点 P 的坐标为：（4，3）；（2）当 PD=OD=5 时，分两种情况讨论：如图 1 所示：作 PEOA 于 E，则PED=90，DE=4，PC=OE=54=1，点 P 的坐标为：（1，3）；如图 2 所示：作 PFOA 于 F，则 DF=4，PC=OF=5+4=9，点 P 的

35、坐标为：（9，3）；综上所述：点 P 的坐标为：（4，3），或（1，3），或（9，3）；最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 故答案为：（4，3），或（1，3），或（9，3）【点评】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、等腰三角形的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键 三解答题（共 31 小题）10（2012 春 西城区校级期中）如图，正方形 ABCD 中，AE=AB，直线 DE交 BC 于点 F，求BEF 的度数 【分析】设BAE=x，根据正方形性质推出 AB=AE=AD，根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理求出AEB

36、和AED 的度数，根据平角定义求出即可【解答】解：设BAE=x，四边形 ABCD 是正方形，最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 BAD=90，AB=AD，AE=AB，AB=AE=AD，ABE=AEB=（180 BAE）=90 x，DAE=90 x，AED=ADE=（180 DAE）=180（90 x）=45+x，BEF=180 AEBAED，=180（90 x）（45+x），=45，答：BEF 的度数是 45 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形性质，正方形性质的应用，解此题的关键是如何把已知角的未知角结合起来，题目比较典型，但是有一定的难度

37、 11（2012 秋 高淳县期中）如图，梯形 ABCD 中，ADBC，AB=CD，对角线 AC、BD 交于点 O，ACBD，E、F、G、H 分别为 AB、BC、CD、DA 的中点（1）求证：四边形 EFGH 为正方形；（2）若 AD=1，BC=3，求正方形 EFGH 的边长 最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除【分析】（1）先由三角形的中位线定理求出四边相等，然后由 ACBD 入手，进行正方形的判断（2）连接 EG，利用梯形的中位线定理求出 EG 的长，然后结合（1）的结论求出 EH2=2，也即得出了正方形 EHGF 的边长【解答】（1）证明：在ABC 中

38、，E、F分别是 AB、BC 的中点，EF=同理 FG=，GH=，HE=在梯形 ABCD 中，AB=DC，AC=BD，EF=FG=GH=HE 四边形 EFGH 为菱形 设 AC 与 EH 交于点 M 在ABD 中，E、H 分别是 AB、AD 的中点，EHBD，同理 GHAC 又ACBD，BOC=90 EHG=EMC=BOC=90 四边形 EFGH 为正方形 （2）解：连接 EG，在梯形 ABCD 中，E、G 分别是 AB、DC 的中点，最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 EG=（AD+BC）=（1+3）=2，在 RtHEG 中，EG2=EH2+HG2，4=

39、2EH2，EH2=2，则 EH=即四边形 EFGH 的边长为 【点评】此题考查了等腰梯形的性质及三角形、梯形的中位线定理，解答本题的关键是根据三角形的中位线定理得出 EH=HG=GF=FE，这是本题的突破口 12（2013 秋 青岛期中）如图，点 E、F分别是正方形 ABCD 的边 CD 和 AD的中点，BE 和 CF 交于点 P求证：AP=AB 【分析】延长 CF、BA 交于点 M，先证BCECDF，再证CDFAMF得 BA=MA 由直角三角形中斜边中线等于斜边的一半，可得 RtMBP 中AP=BM，即 AP=AB【解答】证明：延长 CF、BA 交于点 M，最新好资料推荐-如有侵权请联系网站

40、删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 点 E、F分别是正方形 ABCD 的边 CD 和 AD 的中点，BC=CD，BCE=CDF，CE=DF，BCECDF，CBE=DCF DCF+BCP=90，CBE+BCP=90，BPM=CBE+BCP=90 又FD=FA，CDF=MAF，CFD=MFA，CDFAMF，CD=AM CD=AB，AB=AM PA 是直角BPM 斜边 BM 上的中线，AP=BM，即 AP=AB 【点评】本题考查了正方形各边长相等、各内角为直角的性质，全等三角形的判定和对应边相等的性质，直角三角形斜边中线长为斜边长一半的性质，本题中求证CDFAMF 是解题的关键 最新好资料推荐

41、-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 13（2015 春 禹州市期中）如图，点 P 为正方形 ABCD 对角线 BD 上一点，PEBC 于 E，PFDC 于 F（1）求证：PA=EF；（2）若正方形 ABCD 的边长为 a，求四边形 PFCE 的周长 【分析】（1）连接 PC，证四边形 PFCE 是矩形，求出 EF=PC，证ABPCBP，推出 AP=PC 即可；（2）证CBD 是等腰直角三角形，求出 BF、PF，求出周长即可【解答】解：证明：（1）连接 PC，四边形 ABCD 是正方形，AB=CB，ABD=CBD=45，C=90，在ABP 与CBP 中，ABPCBP（S

42、AS），PA=PC，最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 PEBC，PFCD，PFC=90，PEC=90 又C=90，四边形 PFCE 是矩形，EF=PC，PA=EF（2）由（1）知四边形 PFCE 是矩形，PE=CF，PF=CE，又CBD=45，PEB=90，BE=PE，又 BC=a，矩形 PFCE 的周长为 2（PE+EC）=2（BE+EC）=2BC=2a【点评】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的连接和掌握，能证出 AP=PC 是解此题的关键 14（2015 秋 福建校级期中）如图 1，在正方形 ABCD 中，点 E 为 BC

43、上一点，连接 DE，把DEC 沿 DE 折叠得到DEF，延长 EF交 AB 于 G，连接DG（1）求EDG 的度数（2）如图 2，E 为 BC 的中点，连接 BF 求证：BFDE；若正方形边长为 6，求线段 AG 的长 最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 【分析】（1）由正方形的性质可得 DC=DA A=B=C=ADC=90，由折叠的性质得出DFE=C，DC=DF，1=2，再求出DFG=A，DA=DF，然后由“HL”证明 RtDGARtDGF，由全等三角形对应角相等得出3=4，得出2+3=45 即可；（2）由折叠的性质和线段中点的定义可得 CE=EF=B

44、E，DEF=DEC，再由三角形的外角性质得出5=DEC，然后利用同位角相等，两直线平行证明即可；设 AG=x，表示出 GF、BG，根据点 E 是 BC 的中点求出 BE、EF，从而得到GE 的长度，再利用勾股定理列出方程求解即可；【解答】（1）解：如图 1 所示：四边形 ABCD 是正方形，DC=DA A=B=C=ADC=90，DEC 沿 DE 折叠得到DEF，DFE=C，DC=DF，1=2，DFG=A=90，DA=DF，在 RtDGA 和 RtDGF 中，RtDGARtDGF（HL），最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 3=4，EDG=3+2=ADF+

45、FDC，=（ADF+FDC），=90，=45；（2）证明：如图 2 所示：DEC 沿 DE 折叠得到DEF，E 为 BC 的中点，CE=EF=BE，DEF=DEC，5=6，FEC=5+6，DEF+DEC=5+6，25=2DEC，即5=DEC，BFDE；解：设 AG=x，则 GF=x，BG=6x，正方形边长为 6，E 为 BC 的中点，CE=EF=BE=6=3，GE=EF+GF=3+x，在 RtGBE 中，根据勾股定理得：（6x）2+32=（3+x）2，解得：x=2，即线段 AG 的长为 2 最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 【点评】本题考查了正方形的性

46、质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、翻折变换的性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键 15（2016 春 召陵区期中）如图，在正方形 ABCD 中，F是对角线 AC 上的一点，点 E 在 BC 的延长线上，且 BF=EF（1）求证：BF=DF；（2）求证：DFE=90；（3）如果把正方形 ABCD 改为菱形，其他条件不变（如图），当ABC=50 时，DFE=50 度 最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除【分析】（1）根据正方形的四条边都相等可得 BC=DC，对角线平分一组对角可得BCF=DCF，然后

47、利用“边角边”证明即可；（2）易证FBE=FEB，又因为FBE=FDC，所以可证明FEB=FDC，进而可证明DFE=90；（3）根据全等三角形对应角相等可得CBF=CDF，根据等边对等角可得CBF=E，然后求出DFE=DCE，再根据两直线平行，同位角相等可得DCE=ABC，从而得解【解答】（1）证明：在正方形 ABCD 中，BC=DC，BCF=DCF=45，在BCF 和DCF 中，BCFDCF（SAS）；BF=DF；（2）证明：BF=EF，FBE=FEB，又FBE=FDC，FEB=FDC，又DGF=EGC，DFG=ECG=90，即DFE=90；（3）证明：由（1）知，BCFDCF，CBF=CD

48、F，EE=FB，最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 CBF=E，DGF=EGC（对顶角相等），180 DGFCDF=180 EGCE，即DFE=DCE，ABCD，DCE=ABC，DFE=ABC=50，故答案为：50【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，等边对等角的性质，熟记正方形的性质确定出BCF=DCF 是解题的关键 16（2015 秋 泗县期中）已知正方形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于 O 如图 1，若 E 是 AC 上的点，过 A 作 AGBE 于 G，AG、BD 交于 F，求证：OE=OF 如图 2，若点

49、 E 在 AC 的延长线上，AGEB 交 EB 的延长线于 G，AG 延长DB 延长线于点 F，其它条件不变，OE=OF 还成立吗？【分析】由正方形的性质得出 OA=OB，ACBD，得出BOE=AOF=90，由角的互余关系得出OBE=OAF，由 ASA 证明BOEAOF，得出对应边相等即可；最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 由正方形的性质得出 OA=OB，ACBD，得出BOE=AOF=90，由角的互余关系得出OBE=OAF，由 ASA 证明BOEAOF，得出对应边相等即可【解答】证明：四边形 ABCD 是正方形，OA=OB，ACBD，BOE=AOF=9

50、0，OEB+OBE=90，AGBE，AGE=90，OEB+OAF=90，OBE=OAF，在BOE 和AOF 中，BOEAOF（ASA），OE=OF；解：OE=OF 还成立；理由如下：四边形 ABCD 是正方形，OA=OB，ACBD，BOE=AOF=90，OEB+OBE=90，AGBE，AGE=90，最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 OEB+OAF=90，OBE=OAF，在BOE 和AOF 中，BOEAOF（ASA），OE=OF【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键 17（2016